Диаграммное представление операторного формализма одношаговых процессов

Еферина Екатерина Геннадьевна; Велиева Татьяна Рефатовна; Королькова Анна Владиславовна; Гнатич Михаил Михайлович; Кулябов Дмитрий Сергеевич; Севастьянов Леонид Антонович

УДК 51-7+530.145

Еферина Е.Г.1, Велиева Т.Р.1- Королькова А.В.1, Гнатич М.3-4-5- Кулябов Д.С.1-2-

Севастьянов Л. А.1-3

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия Юбъединённый институт ядерных исследовании, Дубна, Московская область, Россия 3Объединённьш институт ядерных исследовании, Дубна, Московская область, Россия 4Институт экспериментальнои физики, Кошице, Словакия 5Университет Павола Иозефа Шафарика, Кошице, Словакия

ДИАГРАММНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРНОГО ФОРМАЛИЗМА ОДНОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ

АННОТАЦИЯ

В развиваемом группой методе стохастизации одношаговых процессов из исходной стохастической системы получаются упрощённые математические модели. Эти модели возможно исследовать стандартными методами, в отличии от исходной системы. Однако сам процесс стохастизации зависит от типа исследуемой системы. Мы хотим получить унифицированный абстрактный формализм для стохастизации одношаговых процессов. Данный формализм должен быть эквивалентен ранее введёному. Для унификации методов построения основного кинетического уравнения предлагается использовать диаграммную технику. Предложена диаграммная техника, позволяющая получать унифицированным образом основное кинетическое уравнение для исследуемой системы.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Представление чисел заполнения, пространство Фока, нотация Дирака, одношаговые процессы, основное кинетическое уравнение, диаграммная техника.

Eferina E.G.1, Velieva T.R.1, Hnatich M.3-4-5, Korolkova A.V.1, Kulyabov D.S.1-2,

Sevastianov L.A.1-3

!RUDN University (Peoples' Friendship University of Russia), Moscow, Russia institute for Nuclear Research, Dubna, Moscow region, Russia 3Institute for Nuclear Research, Dubna, Moscow region, Russia 4Institute of Experimental Physics, Kosice, Slovakia 5Pavol Jozef Safarik University in Kosice (UPJS), Kosice, Slovak Republic

DIAGRAM REPRESENTATION FOR THE OPERATOR APPROACH OF ONE-STEP

PROCESSES STOCHASTIZATION

ABSTRACT

By the means of the method of stochastization of one-step processes we get the simplified mathematical model of the original stochastic system. We can explore these models by standard methods, as opposed to the original system. The process of stochastization depends on the type of the system under study. We want to get a unified abstract formalism for stochastization of one-step processes. This formalism should be equivalent to the previously introduced. To unify the methods of construction of the master equation, we propose to use the diagram technique. We get a diagram technique, which allows to unify getting master equation for the system under study.

KEYWORDS

Occupation numbers representation, Fock space, Dirac notation, one-step processes, master equation, diagram technique.

Введение

При моделировании разных физических и технических систем их зачастую можно моделировать в форме одношаговых процессов [1-4]. Тогда встает задача адекватного представления и изучения полученнои модели. Для статистических систем кроме представления векторов состояния (комбинаторным подход) [1, 2] также используется и представление чисел заполнения (операторным подход) [5-10], особенно хорошо подходящее для описания систем с переменным числом элементов. Однако, техника получения моделеи для комбинаторного достаточно сильно отличается от техники для операторного подхода. В даннои работе мы хотим предложить унифицированную методику для обоих подходов на основе диаграммнои техники.

Общее описание методики

Наша методика полностью формализована таким образом, что для ее применения достаточно сформулировать исходную задачу соответствующим образом. Следует заметить, что большинство исследуемых нами моделеи можно было формализовать как одношаговые процессы [12, 13]. Собственно, для этого типа моделеи и развивалась нами эта методика. Что не исключает возможности расширения ее и на другие процессы. Итак, первым шагом мы приводим нашу модель к виду одношагового процесса. Далее необходимо формализовать этот процесс в виде схем взаимодеиствия. Аналогами схем взаимодеиствия являются уравнения химическои кинетики, реакции частиц и т.д. [1, 2, 5]. Каждои схеме взаимодеиствия приписывается собственная семантика. Эта семантика приводит непосредственно к основному кинетическому уравнению. Однако основное кинетическое уравнение [12, 13]. имеет обычно достаточно сложную структуру, что затрудняет его решение и исследование. Тогда возможны два пути:

• вычислительным подход — решение основного кинетического уравнения, например, по

теории возмущении;

• модельныи подход — получение приближенных моделеи в виде уравнении Фоккера-

Планка и Ланжевена.

Вычислительным подход позволяет получать конкретное решение для изучаемои модели. В нашеи методике данныи подход связан с решением по теории возмущении [14-16]. Модельныи подход позволяет получить модели, которые удобно исследовать численно и качественно.

По методам построения основного кинетического уравнения (и, соответственно, последующих упрощенных моделеи) можно выделить два подхода:

• комбинаторным подход;

• операторным подход.

В комбинаторном подходе все деиствия выполняются в пространстве векторов состояния системы, то есть мы на протяжении всех модельных манипуляции имеем дело с конкретнои исследуемои системои.

В операторном подходе мы отвлекаемся от конкретнои реализации исследуемои системы, работая с абстрактными операторами. В пространство векторов состоянии мы переходим только в конце вычислении. Кроме того, конкретную операторную алгебру мы выбираем, исходя их симметрии задачи.

Основное кинетическое уравнение

Для описания системы используется основное кинетическое уравнение (master equation): --Qt-= I [w(>2; 4>, t2)p(4>, t2; tj - wfy; <p2, t2)p(p2, t2; tx)] dip,

где w(9|^,t) есть вероятность перехода из состояния ф в состояние ф за единицу времени.

При дискретнои области определения множества состоянии системы ф можно записать (пронумеровав состояния числами n и m):

где рп — вероятность нахождения системы в состоянии п в момент времени ^ wnm — вероятность перехода системы из состояния т в состояние п за единицу времени.

Операторный подход

Представление чисел заполнение является основным языком при описании физики многих тел. Главными элементами этого языка являются волновые функции системы, содержащие информацию о том, сколько частиц находится в каждом одночастичном состоянии. Для изменения состояния системы используют операторы рождения и уничтожения. Методика применения

формализма вторичного квантования для неквантовых систем (статистических, детерминированных) была рассмотрена в целом ряде статеи [7, 19-21]. Для записи представления чисел заполнения обычно используют нотацию Дирака. В нотации, предложеннои П. А. М. Дираком состояние системы описывается элементом проективного гильбертового пространства.

<Р *i- = Pi = (У)+ =< i| = |i > +. Скалярное произведение имеет следующии вид:

= (t|t).

Тензорное произведение имеет вид:

(fijip1 = \i ></|.

В формализме чисел заполнения основное кинетическое уравнение переходит в уравнение Лиувилля:

д

— |<р(0 >=£|<К0 >.

Оператор Лиувилля L удовлетворяет соотношению:

< 0|L = 0.

Диаграммная запись

Опишем предлагаемую нами диаграммную технику для стохастизации одношаговых процессов.

-►------►-tip

Рис. 1. Прямое взаимодействие

Т,л _м__

Рис. 2. Обратное взаимодействие

Будем записывать схемы взаимодействия в виде диаграмм. Каждой схеме взаимодействия соответствует пара диаграмм (рис. 1 и 2) для прямого и обратного взаимодеиствия соответственно. Диаграмма состоит из следующих элементов:

• входящие линии (на рисунке 1 обозначено сплошнои линиеи). Эти линии направлены к линии взаимодеиствия. Линия помечается количеством и типом взаимодеиствующих сущностеи. Можно записывать по однои сущности на линию или группировать их;

• исходящие линии (на рисунке 1 обозначено сплошнои линиеи). Эти линии направлены от линии взаимодеиствия. Линия помечается количеством и типом взаимодеиствующих сущностеи. Можно записывать по однои сущности на линию или группировать их;

• линия взаимодеиствия. (на рисунке 1 обозначена пунктирнои линиеи). Направление времени обозначено стрелкои. Линия помечается коэффициентом интенсивности взаимодеиствия.

Каждои линии приписывается определенным фактор (в зависимости от выбранного подхода). Результирующее выражение получается перемножением этих факторов. При применении операторного подхода с помощью диаграмм взаимодеиствия мы получаем оператор Лиувилля. Каждои линии присвоим соответствующии фактор. Результирующии членом будет получен из нормального произведения (нормальное произведение есть запись произведения операторов в виде, когда все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения. факторов).

1'~р-►------►-Гр

а1 +к яР

Рис. 3. Прямое взаимодействие (операторный подход]

Рис. 4. Обратное взаимодействие (операторный подход]

Будем использовать следующие факторы для каждого типа линии (рис. 3).

• Входящая линия. Линия соответствует выводу однои сущности из системы. Следовательно, еи соответствует оператор уничтожения а. Очевидно, что комбинированнои линии

мощности I соответствует оператор а1.

• Исходящая линия. Линия соответствует появлению в системе новой сущности. Следовательно, еи соответствует оператор рождения п. Очевидно, что комбинированной линии мощности F соответствует оператор пр.

• Линия взаимодеиствия. Этои линии соответствует собственно коэффициент интенсивности взаимодеиствия.

lip-►---»----►-Fa

я1 а1 + к 1

Рис. 5. Прямое взаимодействие (операторный подход], расширенная нотация

1р —---*-----Fp

я1 ' "

~ к

-М--- --<4

~к aF

тrFaF

1

Рис. б. Обратное взаимодействие (операторный подход], расширенная нотация

Для корректировки диаграммы 3 мы должны вычесть количество сущностеи, вступивших во взаимодеиствие, помноженное на интенсивность взаимодеиствия. Тогда получим следующии член оператора Лиувилля:

+ клра' - +кп'а' = +к(п¥ - л')а'. Для обратных взаимодеиствии (рис. 4) используются эти же правила.

Для учета дополнительного фактора будем использовать расширенные диаграммы (см. рис. 5 и 6). Здесь из нормального произведения числителеи вычитается нормальное произведение знаменателеи.

Таким образом, получаем оператор Лиувилля:

! = £[ +ка{(пГа-(п1)'1а){а1)'1а+ -К^-^У")^]. Модель Ферхюльста

В качестве демонстрации метода рассмотрим модель Ферхюльста [24-26], описывающую ограниченныи рост (привлекательность этои модели в том, что она одномерна и нелинеина). Изначально эта модель описывается следующим дифференциальным уравнением:

йф _ — = Х(р - - у<р,

здесь Я — коэффициент интенсивности размножения, в — коэффициент интенсивности вымирания, у — коэффициент интенсивности уменьшения популяции. Здесь мы оставляем те же обозначения, что и в исходнои модели [24]. Построим стохастическии вариант даннои модели. Запишем схемы взаимодеиствия:

<р о (р ^ $0.

Первое соотношение означает, что индивидуум, которьш съедает единицу пищи, немедленно репродуцируется, в обратную сторону - соперничество между индивидуумами. Второе — смерть индивидуума.

У

Рис. 7. Первое прямое взаимодействие

Рис. 8. Первое обратное взаимодействие

Рис. 9. Второе взаимодействие

Применим операторным подход. Для схем взаимодеиствия (10, 11 и 12) получаем оператор Лиувилля:

Ь = Л(п2 — п)а + у(п — п2)а2 + р(1 — п)а = = Л((а+)2 — а+)а + у(а+ — (а+)2)а2 + 0(1 — а+)а = = Я(а+ - 1 )а+а + /?(1 - а+)а + у(1 - а+)а+а2.

а

яа

А ►

А А

Я

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Т V

Рис. 10. Первое прямое взаимодействие (операторный подход]

я

I

а

яа ф

Рис. 11. Первое обратное взаимодействие (операторный подход]

$ о

па 0

Рис. 12. Второе взаимодействие (операторный подход]

Запишем основное кинетическое уравнение через оператор Лиувилля:

дРп(0 1 , ... .

= —{п1Ц(р) = ot п!

1

= —(п1 — [Аа+а + Ва+а + уа+а+аа] + [Ва + уа+аа] + Ла+а+аш) = п!

= — [Лп + 0П + уп(п — 1)](п|<р) + [р(п + 1) + у(п + 1 )п](п + 1|<р) + Л(п — 1)(п — 1|<р) = = — [Лп + /3п + уп(п — 1)К(0 + [/3(п + 1) + у(п + 1 )п]рп + 1(0 + Л(п — 1 )рп — 1(0. Результат полностью совпадает с формулои, полученнои комбинаторным методом.

Заключение

Авторами предложена диаграммная техника для стохастизации одношаговых процессов. На данныи момент эта техника позволяет получить основное кинетическое уравнение. Также эта техника позволяет унифицировать разные подходы к стохастизации одношаговых процессов.

Работа частично поддержана грантами РФФИ № 14-01-00628, 15-07-08795, 16-07-00556. Также публикация выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (Соглашение № 02.a0321.0008).

Литература

1. Demidova A. V., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastianov L. A. The method of stochastization of one-step processes // Mathematical Modeling and Computational Physics. — Dubna : JINR, 2013. — P. 67.

2. Demidova A. V., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastyanov L. A. The method of constructing models of peer to peer protocols // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). — IEEE Computer Society, 2015. — P. 557-562. — 1504.00576.

3. Velieva T. R., Korolkova A. V., Kulyabov D. S. Designing installations for verification of the model of active queue management discipline RED in the GNS3 // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). — IEEE Computer Society, 2015. — P. 570-577. — 1504.02324.

4. Basharin G. P., Samouylov K. E., Yarkina N. V., Gudkova I. A. A new stage in mathematical teletraffic theory / / Automation and Remote Control. — 2009. — dec. — Vol. 70, no. 12. — P. 1954-1964.

5. Hnatic M., Eferina E. G., Korolkova A. V. et al. Operator Approach to the Master Equation for the One-Step Process // EPJ Web of Conferences. — 2016. — Vol. 108. — P. 02027. — 1603.02205.

6. Korolkova A. V., Eferina E. G., Laneev E. B. et al. Stochastization of one-step processes in the occupations number representation // Proceedings - 30th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2016. — 2016. — P. 698704.

7. Grassberger P., Scheunert M. Fock-Space Methods for Identical Classical Objects // Fortschritte der Physik. — 1980. — Vol. 28, no. 10. — P. 547-578.

8. Tauber U. C. Field-Theory Approaches to Nonequilibrium Dynamics // Ageing and the Glass Transition. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2005. — Vol. 716. — P. 295-348. — 0511743.

9. Janssen H.-K., Tauber U. C. The field theory approach to percolation processes / / Annals of Physics. — 2005. — jan. — Vol. 315, no. 1. — P. 147-192. — 0409670.

10. Mobilia M., Georgiev I. T., Tauber U. C. Fluctuations and correlations in lattice models for predator-prey interaction // Physical Review E. — 2006. — apr. — Vol. 73, no. 4. — P. 040903. — 0508043.

11. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. — М. : Мир, 1987. — Т. 1.

12. Ван-Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990.

13. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — Мир, 1986.

14. Hnatic M., Honkonen J., Lucivjansk§ T. Field-theoretic technique for irreversible reaction processes / / Physics of Particles and Nuclei. — 2013. — Vol. 44, no. 2. — P. 316-348.

15. Hnatich M., Honkonen J. Velocity-fluctuation-induced anomalous kinetics of the A + A ^ reaction // Physical review. E, Statistical physics, plasmas, fluids, and related interdisciplinary topics. — 2000. — Vol. 61, no. 4 Pt A. — P. 3904-3911.

16. Гнатич М., Хонконен Ю., Лучивянски Т. Теоретико-полевой подход к описанию кинетических реакций. Роль случайных источников и стоков / / Теоретическая и математическая физика. — 2011. — Т. 169, № 1. — С. 146-157.

17. Waage P., Gulberg C. M. Studies concerning affinity // J. Chem. Educ. — 1986. — Vol. 63, no. 12. — P. 1044.

18. Gorban A. N., Yablonsky G. S. Three Waves of Chemical Dynamics // Math. Model. Nat. Phenom. Vol. — 2015. — Vol. 10, no. 5. — P. 1-5.

19. Doi M. Second quantization representation for classical many-particle system // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1976. — Vol. 9, no. 9. — P. 1465-1477.

20. Doi M. Stochastic theory of diffusion-controlled reaction // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1976. — Vol. 9, no. 9. — P. 1479-1495.

21. Peliti L. Path integral approach to birth-death processes on a lattice / / Journal de Physique. — 1985. — Vol. 46, no. 9. — P. 1469-1483.

22. Cajori F. A History of Mathematical Notations. — 1929. — Vol. 2. — P. 367.

23. Dirac P. A. M. A new notation for quantum mechanics / / Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1939. — Vol. 35, no. 03. — P. 416.

24. Verhulst P. F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. — 1838. — Vol. 10. — P. 113-117.

25. Feller W. Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung // Acta Biotheoretica. — 1939. — Bd. 5, H. 1. — S. 11-40.

26. Feller W. On the theory of stochastic processes, with particular reference to applications // Proceedings of the First. Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. — 1949. — P. 403-432.

References