CC BY
12
ы
ТЕХНПЧЕСКПЕ ИНУКИ
ДИАГНОСТИРОВАНИЕ СРЕДСТВ СВЯЗИ ПО ДИАГРАММАМ СОСТОЯНИЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В МАТРИЧНОМ ОТОБРАЖАЮЩЕМ УСТРОЙСТВЕ
А. В. Дорошев, И. И. Швецов, Д. В. Сивоплясов
DIAGNOSING COMMUNICATION FACILITIES ACCORDING TO STATE DIAGRAMS IN MATRIX DISPLAY DEVICE
Doroshev A. V., Shvetsov I. I., Sivopliasov D. V.
The algorithm and criterion of identifying the technical condition class of the diagnosis object by the measured diagram are presented in the article. The dimensions' optimization of matrix display device elements subject to discretization errors, signal quantization and measurement is considered.
В статье приведены алгоритм и критерий распознавания класса технического состояния объекта диагностирования по измеренной диаграмме. Представлена оптимизация размеров элементов матричного отображающего устройства с учетом погрешностей дискретизации, квантования и измерения сигналов
Нлючевыэ1е слова: диаграмма, матричное устройство, диагностирование, алгоритм, дискретизация.
УДК 621.394.18
До настоящего времени при диагностировании средств связи (СС) чаще всего используют параметрический подход, в соответствии с которым оценка технического состояния СС осуществляется по измеренным значениям параметров [1, 2]. Несмотря на несомненные преимущества в достоверности полученных оценок при реализации данного подхода он требует значительных временных и метрологических затрат. Развивающимся направлением совершенствования методов диагностирования СС является функциональное диагностирование, при котором оценка состояния системы осуществляется по форме предварительно преобразованного выходного сигнала [3, 4].
В работах [5, 6] в качестве нелинейного преобразования предлагается использовать корреляционную свертку искаженного сигнала Эи ) на выходе СС и эталонного
сигнала 8э (^) с номинальными значениями
параметров. Так как идентификация состояния СС осуществляется по значениям отсче-
корреляции
тов
gi = к •
коэффициентов
JS„(t, в)• S*(t, тi)dt
i = 1, n , то
для получения вектора признаков необходимо провести измерения на п периодах
/ е [0, Т] сигналов. Здесь Ээ (^, т/) - сигнал, комплексно сопряженный по отноше-
нию к
от-
носительно
S3 (t) и задержанный на время t
Su (t); в - вектор параметров,
2
характеризующий состояние СС; К - нормирующий коэффициент.
Значительно сократить время измерения (до одного периода сигнала) можно, если диагностику СС проводить по диаграммам состояний (ДС) в виде кривых:
sт (0=лК ./Ж И), (1)
образованных сигналами Лг (/) = /г (/, в) и Лх (/) = /х (/, в, Т), отображаемыми на соответствующих осях ординат Г (Лг) и абсцисс X (SX) декартовой системы координат. Здесь /-1 (•) - функция, обратная /х (•).
Исследование подобных диаграмм состояний применительно к кинетике токопотребле-ния электрических аппаратов описано в [7]. Однако интерес представляет исследование чувствительности ДС к изменениям формы выходного сигнала оконечного оборудования системы вследствие возникающих в ней отказов. В качестве примера исследуемого СС рассмотрим формирователь импульсов с амплитудой Е, периодом следования Т и длительностью tu, которую при разложении в ряд Фурье можно представить выражением
Л ($) = еТ
1 + 2Х Л. / •С08
к=1
Ю^/ 2
(2)
где - частота первой гармоники.
Ограниченность полосы пропускания СС ^-й гармоникой приводит к искажению импульсного сигнала. На рисунке 1 представлены диаграммы состояний, построенные в соответствии с выражениями (1) и (2) для случая ограничений числа гармонических составляющих N=5 (кривая 1) и N=17 (кривая 2) при временном сдвиге сигнала Лх () относительно Лг (/) на
величину т=Т/4. Характер данных ДС свидетельствует об их чувствительности к изменению
полосы пропускания, причиной которой может явиться, например, неисправность выходного фильтра СС.
Амплитуда к-й гармоники неискаженного импульсного сигнала (2) определяется из выражения
т = 2Еги ип(юл/2)
и к ~
т
Ю^/ 2
Выход из
Рисунок 1. Диаграммы состояний с учетом ограничений числа гармонических состояний
строя канального усилителя в тракте СС приводит к изменениям амплитуд гармонических составляющих сигнала. Эта неисправность неизбежно отражается на графике ДС (см. рис. 2), где кривая 1 отражает случай снижения уровня первой гармоники (Т/1 = 0), а кривая 2 - третьей гармоники сигнала (Т3 = 0 ).
Рисунок 2. Диаграммы состояний с учетом изменений амплитуд гармонических состояний
X
Таким образом, проведенное имитационное моделирование
свидетельствует о наглядной зависимости графиков диаграмм состояний от характера возникающих отказов в формирователе сигналов, что позволяет использовать данные ДС в процессе диагностирования СС.
Предлагаемый алгоритм диагностирования СС состоит из двух этапов: построения диаграмм состояния и распознавания класса технического состояния.
На первом этапе отсчеты выходного сигнала диагностируемого объекта после дискретизации через интервалы времени Т/п подаются
на входы блока элементов памяти, представляющего двумерную матрицу размерности П X П, причем на вход У - непосредственно, а на вход
Х - после задержки сигнала на время т < Т . После каждого отсчета измеряемого сигнала результат в виде логической «единицы» записывается в
(] ) -ю ячейку памяти, которая соответствует 7-му уровню сигнала на входе Х (7-я строка матрицы) и ]-му уровню сигнала на входе У (]-й столбец матрицы).
На рисунке 3, где представлена матрица состояний блока памяти (матричное отображающее устройство), логическим «единицам» соответствуют закрашенные элементы. Таким образом, диагностическим признаком состояний СС является вектор
о ' '
ПХ П
] = 1, П'
каждый эле-
Рисунок 3. Матричное отображающее устройство
мент которого может принимать одно из двух значений: 0 или 1, т. е.
Е] =(0,1).
На этапе распознавания осуществляется построчное (слева направо, а затем снизу вверх) сравнение информации, записанной в элементы матрицы блока памяти, со значениями признаков (эталонной ДС) QПrX)П каждого а-го класса технического состояния СС, где
Qю<n = {¡¡а)); Ял^) = {0,1); а = 1, Л; Л - количество распознаваемых классов состояний СС. Результатом сравнения является бинарный элемент
г. ^) =
j
1, если 4й}=gj =(3)
0, если qiagj, qjf 1.
По окончании второго этапа диагностирования для каждого класса рассчитывается число совпадений логических «единиц» в сравниваемых ячейках памяти с одинаковыми номерами: n n , s
Ra rj • Решающее правило для распознавания состояния СС можно сформулиро-
i=1 j=1
вать так: техническое состояние объекта (обусловленное наличием дефекта а-го вида) относится к тому классу a , для которого получено наибольшее число пересечений эталонной диаграммы состояний с измеряемой ДС, т. е. a = arg max {Ra } .
a=1, Л
Достоверность результатов при использовании предлагаемого метода диагностирования зависит, прежде всего, от размерности П X п вектора признаков Gnn , определяемого числом
элементов матричного отображающего устройства, и от числа Л распознаваемых классов технического состояния. При детерминированном подходе, когда не учитывается погрешность измерений отсчетов (уровней) сигнала, значение параметра п выбирается исходя из допустимых ошибок дискретизации и квантования сигнала. Кроме того, следует учитывать аппаратурную либо программную реализуемость блока ячеек памяти.
Расширение номенклатуры Л распознаваемых классов хотя и позволяет увеличить глубину диагностирования, однако за счет роста числа эталонных диаграмм состояний на ограниченном матричном пространстве снижает точность принимаемых решений (особенно на участках пересечений ДС различных классов). С целью уменьшения ошибочных решений следует подбирать такое значение параметра t, при котором ДС для различных классов технических состояний будут в наибольшей степени отличаться друг от друга. При этом необходимо учитывать оптимизацию размеров элементов матричного отображающего устройства с учетом погрешностей дискретизации, квантования и измерения сигналов.
Матричные отображающие устройства (МОУ) различных графических образов находят широкое применение в системах обработки сигнальной информации, например, в измерительно-вычислительных комплексах, системах мониторинга среды, средствах медицинской диагностики [8-10]. При этом число элементов МОУ, а, следовательно, и их размеры выбираются, как правило, с учетом двух противоположных требований: разрешающей способности изображения и стоимости МОУ.
Однако при распознавании структурных элементов изображения ДС на дискретном растре МОУ следует учитывать факторы, влияющие на достоверность распознавания, в частности, ошибки квантования и дискретизации информационных сигналов, а также погрешность их измерения. Таким образом, при цифровой обработке сигналов возникает необходимость в определении оптимальных размеров элементов МОУ, обеспечивающих максимально возможный уровень достоверности распознавания изображения.
Учет погрешностей в измерении элементов изображения предполагает рассмотрение их координат (точек) на плоскости МОУ x0 y как случайных величин х и у.
В геометрической интерпретации сечение поверхности двумерной нормальной плотности вероятности W(X, у) плоскостью, параллельной координатной плоскости х0у, на уровне доверия Wд0в представляет собой эллипс, уравнение проекции которого на плоскость х0 у имеет вид [11]:
Э к =
{х, У (х - Х0 )2/ а X2 +(у - У0 )2/^2 = к 2 }
(4)
где Х0, у0 - центры рассеивания величин х и у; 7х и 7у - их средние квадратические отклонения; к - константа, определяемая по формуле:
к2 = -2 • 1п^дов • 2жх<у). (5)
При реализации матричных индикаторов каждая точка изображения должна индицироваться одним из элементов МОУ, имеющим прямоугольную форму. Рассматривая вероятностный характер описания положения каждой точки изображения (Х0, у0), на плоскости х0у
следует определить влияние взаимного расположения эллипса рассеивания вида (4) и прямоугольника элемента МОУ на точность распознавания координаты изображения. При этом можно говорить только о приближенной замене фактической области рассеивания вида (4) прямоугольником:
П ={х,
у|хП £ х0 £хП, уП £ у0 £ у
(6)
Под вероятностью ошибки распознавания элемента изображения а будем понимать вероятность ложной «браковки» элемента МОУ (с точки зрения отсутствия в данном элементе исследуемой составляющей изображения), при нахождении искомой точки в пределах эллипса рассеивания (4), но за пределами прямоугольника (6), т. е.
а
Р{(х, у)е Эк }-Р{(х, у)е П}.
(7)
Вероятность попадания случайной точки (х, у), распределение которой подчинено нормальному закону, в прямоугольник (6), стороны которого параллельны координатным осям х0у, определяется по формуле [11]:
Р{(х, у)е П} =
Ф
С х х ^
х п - х0
-Ф
(х х \
х п - х0
л
Ф
\
у п 2У0.
7у 0
-Ф
С у п - у0 ^
'у 0
(8)
где
Ф(г) = •{ ехр(-11 /2^1 -<2к 0
интеграл вероятности.
Вероятность попадания точки (х, у) в эллипс (4) равна [11]:
Р{(х, у)е Эк}= 1 -ехр(-к2 /2) (9)
Если область допустимых вариаций случайной величины (х, у) аппроксимирована прямоугольником П так, чтобы он полностью был вложен в эллипс рассеивания Эк , то существует область ложной «браковки», определяемая условной вероятностью ошибки:
а = Р {(х, уУ )е П | W (х, у) > WДоB }. (10)
С целью повышения достоверности распознавания изображения следует минимизировать вероятность ошибки а путем максимизации площади вписанного в эллипс прямоугольника.
Математическая постановка оптимизационной задачи при учете только погрешностей в измерении состоит из целевой функции:
х
х
(хП - хп )-(уп - у П)® тах (11)
и функции ограничения
(х - хоУ/ах2 + (у - уо)7°2 = к2. (12)
Для упрощения расчетов совместим центр исследуемого эллипса рассеивания с началом координат хОу. В таком случае возможно решение следующей оптимизационной задачи в
пределах первого квадранта:
— — —2/00 —2 /00
хп • уп ® тах при хп/ахк + уп/аук = 1. (13)
Введем замену переменных:
хп = схк • и; хп = аук • V, (14)
получим уравнение окружности радиусом р = 1:
Й2/1 + Ц2/1 = 1. _ (15)
Так как для окружности и = V = V , из уравнения (15) получаем:
2п2 = 1, (16)
откуда V = 1/72. Учитывая (14), находим оптимальные значения сторон прямоугольника максимальной площади, вписанного в эллипс:
хп = ахк/42; уп = Сук/42. (17)
При этом вероятность попадания случайной величины (х, у) в данный прямоугольник (с учетом (8)) определяются выражением
Р{(х, у)е П) = [ф(к/л/2)-ф(-к/42)]2 =[2ф(к/42)]2. (18)
Однако значения сторон прямоугольника хп и у п, определяемые выражением (17) не всегда могут быть приняты при практической реализации элементов МОУ, так как следует учитывать ограничения, накладываемые на исследуемые сигналы при их дискретизации и квантовании.
Ограничителем на горизонтальные размеры А х элемента МОУ является высшая частота _в исследуемого сигнала, учитываемая при временной дискретизации сигнала и(?) в соответствии с теоремой отсчетов [9]:
/ч ^ /ТА ч ыП^^ и- kАt)]
и(*) = х) • 2 _;; ../, (19)
к=-¥ в у - kАt)
где u(kАt) - отсчеты сигнала в моменты времени t = kАt ; Аt = 1/2_в. Следовательно, значение Ах не должно превышать интервал дискретизации:
А х < Аt = 1/2_в. (20)
Следствием дискретизации сигнала по уровню является ошибка квантования е с дисперсией вида [9]:
+д„
1
Ад2 Л2 „
2
д2
„
Т2
(21)
ак2в = ¡е 2Ж (в)с1е = 21 е2 — (в = 3
-Л о Д 3
п„ 0 „ \ /
где Ли - шаг квантования; Ж(е) - плотность вероятности ошибки квантования. Следовательно, на вертикальные размеры Л у элемента МОУ накладываются ограничения по допустимой дисперсии квантования:
Л у < Л„ = 2Л/эоГ. (22)
Таким образом, оптимизационная задача минимизации ошибки X сводится к нахожде-
А* л *
х и Л у, максимизирующих прямоугольника П, и состоит из целевой функции:
А* Л *
х и Л у, максимизирующих площадь вписанного в эллипс рассеивания
5П = Л х - Л у ® тах
Л х,Л у
и ограничений
'(Л х /2а х )2 +(л у 12а у )2 = к2; Лх < 1/2Р;
Л у < 2^
.2
кв
(23)
(24)
(25)
(26)
Так как целевая функция (23) нелинейная, а ограничения (25) и (26) заданы в форме неравенств, то для нахождения точек оптимума следует применить метод множителей Лагранжа с условием Куна-Таккера [12].
Прежде всего, составим функцию Лагранжа:
4дх, Ду, Я )= Дх -Лу + я 1 [(Лх/2ах)2 +(ду/2ау )2 - к2]+
+12(Лх - 1/2^в) + Яз(Лу - 2л/3акв), (27)
где Я = (Я1, Я2, Я3 ) - вектор неопределенных множителей Лагранжа. Найдем производные
от
Ь(-) по Дх, Ду, Я и
приравняем их к нулю:
дЬ/адх =Ду + Я -Дх/2а2 + Я2 = 0; (28)
дЬ дду = дх + Я1 - Ду /2ау + Я3 = 0; (29)
дЬ/дЯ1 = (Дх /2ах )2 + (ду /2ау )2 - к2 = 0; (30)
Я2-дЬ/дЯ2 = Я2(Дх -1/2^)= 0; (31)
Яз-дЬ/дЯз = Яз(ду -2л/3акв)= 0. (32)
Из уравнения (26) находим выражение для множителя Я1;
Я = -2ау2 (Л х + Яз) / Л у, (33)
подставив которое в уравнение (25), получим новую систему уравнений:
А у + - А хСу (А х + Аз )/А уС х = 0; (34)
(Ах/2ах)2 + (ау Пау)2 - к2 = 0; (35)
(Ах - 1/2_в)= 0; (36)
Аз (Ау - ^1)= 0. (37)
Рассмотрим несколько ветвей решения системы уравнений (34)-(37) в зависимости от значений множителей А2 и А3 :
1) А2 Ф 0, А3 Ф 0 . Из уравнений (36) - (37) следует:
А х = 1/2 _в; Ау = 2л/3Скв. (38)
2) А2 ф 0, А3 = 0. Тогда из (37) следует значение А х = 1/2 _В , которое при подстановке в уравнение (35) дает решение:
А х = 1/2 _в; А у = 2о уд/к2 - 1/16о2 _в2 .
Подставляя полученные выражения для А и А в уравнение (34) находим:
А = а /(8а22 - 1/16о2_2).
2 у \ х в V х в /
3) А2 = 0, А3 Ф 0 . Из уравнения (37) следует Ау = Уд/3oт , которое при подстановке в (35) дает решение:
А х = 2о хд/к 2 - 3а2 / а у ; Ау = ^^ .
Подставляя данные решения в уравнение (34) получим:
Аз = 2Охл/к2 -Зок2в/ау -6Ок2вОх 2а^к2 -3акв/ау .
4) А2 = 0, А3 = 0 . Из уравнения (34) получим: Ау = Ах • а у I а х .
Подставляя данное выражение для Ау в уравнение (35) получим:
Ах = х; Ау = у.
Предварительно убеждаемся, что все четыре точки принадлежат множеству допустимых решений. Подставляя их координаты (при известных значениях _в, а кв , а х, а у и к) в ограничения и видя, что они остаются истинными, рассчитываем значения целевой функции Бп (А х, А у ) в каждой из них. Сравнивая значения целевой функции в каждой из найденных точек, мы видим, что наибольшее значение достигается при первой ветви решения. Но так как множители Лагранжа А2 Ф 0, А3 Ф 0 соответствуют границе допустимого множества, то и решения принадлежат границам (38), а это означает, что для оптимальной альтернативы будет полностью израсходован ресурс, определяемый допустимыми значениями а2 и Аt.
ЛИТЕРАТУРА
1. Давыдов П. С. Техническая диагностика радиоэлектронных устройств и систем. - М.: Радио и связь, 1988. - 256 с.
2. Глазунов Л. П., Смирнов А. Н. Проектирование технических систем диагностирования. - Л.: Энер-гоатомиздат, 1982. - 168 с.
3. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем (обзор) // Автоматика и телемеханика. - 1980. - № 8. - С. 96-121.
4. Киселев Н. В., Сечкин В. А. Техническая диагностика методами нелинейного преобразования. - Л. -Энергия, 1980. - 112 с.
5. Федоренко В. В. Диагностирование систем передачи сигналов с использованием корреляционных функций // Электронное моделирование. - 1993. - № 6. - С. 65-68.
6. Федоренко В. В. Функциональное диагностирование формирователей сигналов как обратная задача математической физики // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2001. -№ 4. - С. 48-52.
7. Вербов М. В. Экспериментальные исследования энергопотребления асинхронного электропривода и его функциональная диагностика // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2002. - № 1. - С. 66-68.
8. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. - М.: Мир, 1982. - 312 с.
9. Арманд Н. А., Крапивин В. Ф., Мкртчян Ф. А. Методы обработки данных радиофизического исследования окружающей среды. -М.: Наука, 1987. - 270 с.
10. Лепихов Ю. Н., Лялин В. Е., Пивоваров И. В. Распознавание структурных элементов на дискретном растре // Инфокоммуникационные технологии. - 2005. - № 2. - С. 30-37.
11. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Высшая школа, 2000. - 480 с.
12. Дегтярев Ю. И. Методы оптимизации. -М.: Сов. радио, 1980. - 272 с.
Об авторах
Дорошев Александр Васильевич, Ставропольский государственный университет, кандидат технических наук, доцент кафедры организации и технологии защиты информации. Сфера научных интересов -диагностика средств связи. [email protected]
Швецов Игорь Игоревич, Ставропольский государственный университет кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры организации и технологии защиты информации. Сфера научных интересов -нелинейные динамические системы. [email protected]
Сивоплясов Дмитрий Владимирович, Ставропольский государственный университет, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - модулярная арифметика в вычислительной технике, искусственные нейронные сети, многоканальные телекоммуникационные системы. [email protected]
