ДЕЙСТВИЯ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА БАЛКИ БЕРНУЛЛИ--ЭЙЛЕРА И ТИМОШЕНКО Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Толмачев В.В. Теория бозе-газа. М.: Изд-во МГУ, 1969.

4. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.

Поступила в редакцию 27.02.2019

УДК 531

ДЕЙСТВИЯ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА БАЛКИ БЕРНУЛЛИ-ЭЙЛЕРА И ТИМОШЕНКО

Т. И. Ждан1

Рассматривается динамическое поведение балок моделей Бернулли-Эйлера и Тимошенко под действием подвижной сосредоточенной нагрузки. В случаях балки, лежащей на упругом основании, и предварительно натянутой балки получено и проанализировано выражение для прогиба в виде сходящегося ряда. Представлены области изменения параметров, при которых результаты двух моделей совпадают. Показано, что при определенных скоростях в системе может возникать резонанс.

Ключевые слова: упругое основание, резонанс, модель Бернулли-Эйлера, модель Тимошенко, изгибающий момент, подвижная нагрузка.

A dynamic behavior of Bernoulli-Euler and Timoshenko beams subjected to a moving concentrated load is considered. A solution of this problem is found and analyzed in the form of a convergent series in the case of a stretched beam and a beam lying on an elastic foundation. The parameter ranges where the results of these two models are coincident are found. It is shown that, under certain conditions, a resonance is possible in such a system.

Key words: elastic foundation, resonance, Bernoulli-Euler model, Timoshenko model, bending moment, moving load.

1. Введение. Исследование поведения материалов под воздействием сосредоточенных подвижных нагрузок имеет большое практическое значение для железнодорожной промышленности, а также при строительстве канатных дорог и мостов. В связи с появлением новых концепций транспортной системы и развитием высокоскоростных поездов появилась необходимость более тщательного анализа динамики взаимодействия железнодорожного пути с транспортным составом. Для моделирования и исследования этого вопроса используются модели балок Бернулли-Эйлера [1] и Тимошенко [2, 3]. В некоторых задачах предпочтительнее использовать одну модель вместо другой, поэтому сравнение этих двух моделей представляет практический интерес. Среди работ, посвященных данной проблеме, можно отметить статью [4], в которой исследуется динамическое поведение балок, лежащих на упругом основании, и сравниваются их дисперсионные зависимости, а также статью [5], где приведены результаты сравнения динамических жесткостей балок Бернулли-Эйлера и Тимошенко, находящихся под воздействием точечной нагрузки.

В настоящей работе также сравниваются балки Бернулли-Эйлера и Тимошенко, находящиеся под действием сосредоточенной подвижной нагрузки [6]. При определенных условиях в такой системе может иметь место резонанс, при котором прогиб балки неограниченно растет с течением времени.

2. Постановка задачи для натянутой балки. Рассмотрим балку, испытывающую предварительное постоянное натяжение To в поле действия силы тяжести. В начальный момент времени она неподвижна, горизонтальна и находится в состоянии равновесия. В некоторый момент времени на нее начинает действовать подвижная сосредоточенная сила, линейную плотность которой можно задать в форме q = —m0g£(x — V0t)ey, где S(x) — дельта-функция Дирака, V0(x) — скорость подвижной нагрузки, ey — орт вертикальной оси. Будем рассматривать случай малых отклонений срединного волокна балки от горизонтального положения. Уравнения динамики балки могут быть

1 Ждан Татьяна Ивановна, — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tzhdanl992Qmail.ru.

Zhdan Tatiana Ivanoma — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.

получены с помощью вариационного принципа Гамильтона-Остроградского [7] для упругих систем. В качестве обобщенных координат выберем величину поперечного отклонения средней линии у(х,Ь) и угол отклонения р(х, Ь) поперечного сечения балки от вертикальной оси. Для модели Бернулли-Эйлера предполагают, что р(х,Ь) = ух(х,Ь), и пренебрегают кинетической энергией, затраченной на поворот сечения. В этом случае уравнения движения для модели Бернулли-Эйлера и Тимошенко соответственно имеют вид

Ы 0 " Г° Ш + = ',Щ9Нх -Ш (1)

-г° 0 + "О" Ш - °*Ч0 -1) = -

где р — удельная плотность материала; Е — модуль Юнга; ■] — момент инерции сечения; Н, Ь — высота и ширина балки; то — масса нагрузки; д — ускорение свободного падения; О — модуль сдвига; х — коэффициент Тимошенко.

Далее переходим к безразмерным переменным х* = у, у* = Ч, ¿* = где с = I — длина

III у Рцп

балки, рцп — плотность единицы длины балки. В дальнейшем знак * будем опускать.

Для определенности рассмотрим граничные условия в виде шарнирного закрепления, а в качестве начальных условий примем нулевые начальные условия. Для модели Бернулли-Эйлера начальные и граничные условия примут вид

ду

* = 0, у = 0, ^ = 0;

д2у

ж = 0, х = 1, у = 0, тт4=0.

дх2

В случае балки Тимошенко

ду др

¡ = 0, У = 0, -*=0, „ = 0, ^=0;

д2у др

ж = 0, х = 1, у = 0, тг4=0, ^=0.

дх2 дх

Чтобы найти у(х,Ь), разложим функции у, р и дельта-функцию Дирака в ряд по базисным функциям, удовлетворяющим граничным условиям:

те те

у = уп(Ь) ё'т(ппх), р = ^2 рп(Ь)сов(пих), (2)

п=1 п=1

V)

6 \ X —

С '

п= 1

Подставляя эти разложения в (1) и приравнивая соответствующие выражения при $,т(пих), получим обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с начальными условиями:

I ((пи)2р2 + (пи)4)уп + р2уп = -2» 8т(пиЫг)), ( )

\уп(0)= уп(0)=0, и € N.

Здесь = 1$, м =

Для решения систем уравнений (3) воспользуемся методом Коши. Тогда решением системы (3) будут следующие функции:

г

-2» в'т(шп(Ь — в))

] Р2Шп

Здесь шп — корень характеристического уравнения, который соответствует дифференциальному уравнению (3).

По аналогии получим систему ОДУ для модели Тимошенко:

'Уп(^) + (1 + р2)(пп)2уп(¿) - р2ппфп(¿) = -2^ sin(пnMí), Фп(*) + (^2(пп)2 + р2Г2)фп(¿) - р2Г2ППУп(^) = 0,

(4)

Уп(0) = Уп(0) = 0, , ФпСО = Фп(¿) = 0, п е N

где р2 = /X = Щ1, д* = г2 = М = *

Находим решения этих обыкновенных дифференциальных уравнений и подставляем их в вы-

Уп

у(ж,£) = sin(w1t) + к2 sin(w2í) + А sin(пnMt)) sin(пnж),

п=1

где

к _ ттМ(2ц - А(тгпМ)2 + Аш^) ^ _ -ттМ(2ц - А(тгпМ)2 + А^) — ^2) ' — ^2) 2^((ппМ)2 - С1)

А =

(ппМ)4 - (ппМ)2(с1 + с3) + с1с3 - с2с4'

/Сз + С1 + л/(с3 - С1)2 +4с2с4 /сз + С1 - л/(с3 - С1)2 + 4с2с4

= У-2-' Ш2 = У-2-'

с1 = д2(пп)2 + р2г2, с2 = ппр2г2, с3 = (р2 + 1)(пп)2, с4 = ппр2.

Для того чтобы найти фп(£), необходимо подставить выражение для уп(£) в первое уравнение (4). Автором было исследовано полученное решение для задачи с конкретными численными параметрами и были построены графики зависимости прогиба у (ж, ¿) и изгибающего мо мента М (ж, ¿) от координаты ж в фиксированные моменты времени. Напомним, что изгибающий момент для модели Бернулли-Эйлера вычисляется по формуле М = Е.], а для модели Тимошенко — по формуле

М = Е.1^. На основе упомянутых графиков была построена область параметров, при которых относительная разница изгибающих моментов для данных моделей составляет не более 20%. В результате исследования было выявлено, что при любых допустимых значениях параметров различие

%

3. Резонансный случай. Особый интерес представляет решение уравнения (1) в резонансном

/р2(пп)2+(пп)2 т 1

случае, когда корень характеристического уравнения шп = у—— для дифференциального уравнения

(пп)2р2 + (пп)4уп + р2Уп = -2^ sin(пnMt))

совпадает с частотой ппМ в правой части. В этом случае решение данного дифференциального уравнения представляется в виде

, . -ц sin(wt) cos(wí) Уп{1)= 2^2 (5)

В этом выражении номер п определяется из условия ^р (т"г)^+(т"г) — ^пМ, п € М, откуда /р2(М2 — 1)

п = у —• Напомним, что п является натуральным числом, поэтому для соблюдения условия резонанса параметры р и М должны принимать соответствующие значения. Например, для п = 1 это возможно при значении параметров р = 4.22 и М = 1.2467. Таким образом, в выражении для прогиба балки у = Хт=1 Уп(^) sin(пnж) один из членов ряда уп(£) sin(пnж) имеет другой

уп

решения. Данная ситуация может возникнуть при определенных характеристических параметрах

задачи, при этом параметр М должен быть больше 1. На рис. 1 представлен график зависимости прогиба срединного волокна от времени в одном из сечений балки.

Как видно из рисунка, с течением времени прогиб растет, т.е. мы можем говорить о возникновении резонанса в системе. Поэтому необходимо иметь в виду, что при определенных значениях параметров задачи в жизни может возникнуть ситуация, которая негативно скажется на работе транспорта.

А

-0,0010 -

-0,0020 -

Рис. 1

Рис. 2

4. Постановка задачи для балки, лежащей на упругом основании. Рассматривается движение сосредоточенной силы с постоянной скоростью Уо вдоль балки, лежащей на упругом основании с коэффициентом жесткости И. Упругое основание моделируется в соответствии с гипотезой Винклера. Линейная плотность силы определяется все тем же выражением q = —то&5(х — УоЬ)еу. Граничные и начальные условия примем теми же, что и в случае предыдущей задачи. Тогда, используя вариационный метод Гамильтона Оетроградекого в рамках модели Бернулли Эйлера, получим уравнения для прогиба балки у:

д4 д2

Е'7дЗ + Ну + рь,г = ~т°д5(-х ~

(6)

Уравнения (6) и (1) отличаются друг от друга только вторым слагаемым в левой части уравнения. Аналогично для модели Тимошенко получим систему уравнений

= —тод5(х — У^),

дг дх2 \ дх

(7)

Начальные и граничные условия для (6), (7) примем такими же, как и для натянутой балки. Решение данной задачи в этом случае находится аналогично описанному ранее.

Как и в случае натянутой балки, была построена область параметров, при которых относительная разница изгибающих моментов для двух моделей составляет менее 20%.

В области, находящейся ниже кривой рис. 2, наблюдается хорошее совпадение результатов двух моделей. Но это довольно узкая область параметров: в ней высота балки мала (до 0.05).

Поэтому в случае натянутой балки предпочтительнее использовать модель Бернулли Эйлера, а в случае балки на упругом основании для расчетов изгибающих моментов и напряжений модель Тимошенко. Чтобы понять, почему в одном случае расхождения в двух моделях менее различимы, а в другом более, необходимо вспомнить, что в теории Тимошенко плоские сечения, перпендикулярные срединному волокну, остаются плоскими, но уже не перпендикулярными к деформированному волокну. Таким образом, возникает дополнительный угол поворота сечения к оси стержня. В случае предварительно натянутой балки из-за затрат энергии на натяжение меньшая часть энергии идет на поворот сечения.

Выводы. Полученное решение для прогиба в обеих задачах позволяет найти важные практические характеристики, такие, как нормальные и касательные напряжения в сечении балки, изгибающий момент и т.д. Проведенный анализ решения показывает, что для балки, лежащей на упругом основании, рекомендуется использовать более сложную модель Тимошенко.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крысов C.B. Вынужденные колебания и резонанс в упругих системах с движущимися нагрузками. Горький: Изд-во ГГУ, 1985.

2. Felszeghy S.F. The Timoshenko beam on an elastic foundation and subject to a moving step load //J. Vibration and Acoustics. 1996. 118, N 3. 277-284.

3. Manita L.A., Ronzhina M.I. Singular solutions for vibration control problems //J. Phys. Conf. Ser. 2018. 955, N 1. 01230-01237.

4. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Лисенкова Е.Е., Семерикова Н.П. Динамическое поведение балок моделей Бернуллп-Эйлера, Рэлея и Тимошенко, лежащих на упругом основании (сравнительный анализ) // Вестн. Нижегород. гос. ун-та им. II.II. Лобачевского. 2011. № 5. 274-278.

5. Веричев С.Н., Метрикин A.B. Динамическая жесткость балки в движущемся контакте // Прикл. механ. и техн. физ. 2000. 41, № 6. 170-177.

6. Звягин А. В., Гурьев К.П. Пористая среда, насыщенная жидкостью, под действием движущейся сосредоточенной нагрузки // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 2. 34-40.

7. Вееницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Наука, Физматлит, 2001.

Поступила в редакцию 11.03.2018

УДК 532+532.529.5

ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

Я. Д. Янков1

В статье обсуждается возможность построения математической модели дисперсных систем, аналогичной теории идеальных газов.

Ключевые слова: идеальная дисперсная система, скорость звука, относительная плотность.

This paper discusses the possibility of constructing a mathematical model of dispersion systems of a similar theory of ideal gases.

Key words: ideal dispersion system, speed of sound, relative density.

1. Научная проблема. Основная проблема современной теории дисперсных систем — вывести систему макроскопических уравнений, адекватно отражающих свойства дисперсных систем, при любых значениях размера дисперсных частиц и их объемного содержания, что было сделано автором в [1, 2]. Однако возникает вопрос о возможности упростить эти уравнения и разработать математическую модель, аналогичную теории идеальных газов.

2. Уравнения движения дисперсных систем. Для дальнейших исследований напомним предложенные в [1, 2] макроскопические уравнения переноса, моделирующие свойства поступательных степеней свободы дисперсных систем, записав их в следующем виде:

du9 _ V7l7li Al ^J^ '"'P / 1 \ '0p

= QgE - Vr [(1 + ap)pg] + I apVrPg - ^ jVrpos " ^ " fo ) ^ +

+ Vr • < ßg

Vrufl + Vrufl* — ^ (Vr • ufl)I j, (1)

dU 2

Qg = Vr(XgVrTg) - pg{ 1 + ap)(Vr ■ ug) + ßg(Vr\ig + Vrufl*) : Vrufl - - ßg(Vr ■ Ug)2, dn

+ Vr • (npUg) = Vr ■ {DosVrPos - DpUpVrPg + DTílp4rTg) ,

1 Янков Янко Добрев — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yankov.yankoQyandex.ru.

Yankov Yanko Dobrev — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Aeromechanics and Gas Dynamics.