CC BY
454
ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ
УДК 372.851 ББК 658.1
Абасов Рагиб Зейнал оглы
кандидат физико-математических наук, доцент
кафедра высшая математики Азербайджанская Государственная Нефтяная Академия
г.Баку Abasov Rahib Zeynal candidate of physics and mathematics science, assistant professor Department of Higher Mathematics Azerbaijan State Oil Academy Baku [email protected]
Действия над бесконечными периодическими десятичными дробями
The operation on the repeating decimals
Нельзя сказать, что в школьной программе математики рассмотренная нами тема изучается подробно, много вопросов по этой теме остаются открытыми.
В данной работе бесконечные периодические десятичные дроби рассматриваются как бесконечный процесс в определенном смысле. Кроме этого, изучаются и доказываются некоторые свойства этих дробей. Эти свойства аналогичны соответствующим свойствам конечных десятичных дробей.
We can’t say that considered theme by us is studied in detail in the school curriculum of mathematics. So many questions on this topic are still open.
In this paper recurring decimals are regarded as an infinite process in a certain way. Besides this some properties of these fractions are studied and proved. These properties are analogical for corresponding properties of finite decimals.
Ключевые слова: обыкновенные дроби, периодические десятичные дроби, действия над периодическими дробями, обобщение, рациональное вычисление.
Key words: common fraction, repeating decimals, the operation on the repeating decimals, generalization, efficient calculation.
В школьной математике периодические дроби изучаются в определенном
смысле как бесконечные процессы. Но, периодические дроби прежде всего -бесконечные десятичные дроби и поэтому естественно ожидать, что некоторые преобразования и действия над ними можно осуществлять аналогично с действиями над десятичными дробями. Кроме того, периодическая дробь - это есть обыкновенная дробь с особым знаменателем вида 99 ... 900 ... 0. И этот
факт может дать некоторый эффект в работе с периодическими дробями. Следовательно, преобразования и действия над периодическими дробями требуют рассмотрения в новом аспекте, чему и посвящается настоящая статья.
Дробь т будем считать правильной и несократимой. п
1. Об эффективном обращении простых дробей в периодические десятичные дроби
Известно что, если в разложении знаменателя п на простые множители нет множителей отличных от 2 и 5 (которые могут быть в одинаковых или
различных степенях), то дробь т может быть записана в виде десятичной
п
дроби. При этом число цифр в дробной части равно максимальному количеству множителей 2 или 5 в разложении п. Например, в представлении дроби
-37 после запятой будет пять цифр, поскольку 160 = 25 • 5. Естественно,
160
что для несократимых дробей это правило остается в силе, если числитель дроби произвольно изменить (даже если числитель будет больше знаменателя). Так же ясно и то, что несократимая дробь т, у которой знаменатель
п
представляется в виде 25- 51 или 55- 21 (1 = 0,5) может быть записана в этом же виде десятичной дроби. Отметим еще, что в рассмотренном случае преобразовать обыкновенную дробь в десятичную можно двумя способами:
1) делением числителя на знаменатель;
2) умножением знаменателя и числителя на недостающие двойки или пятерки до равного их количества в знаменателе.
В некоторых случаях второй способ бывает удобнее:
3
73 = _23_ = 73^ = 9Ж = 059!25.
80 24 • 5 24 • 54 Ю000
Если в знаменателе рассматриваемой дроби есть множители отличные от 2 и 5, то эта дробь записывается в виде периодической дроби. Можно показать, что если в разложении числа п на простые множители нет 2 и 5, тогда неза-
мл
висимо от того, что п простое или составное число, дробь — (несократимая)
п
может быть представлена в виде чистой периодической дроби. Если же в разложении п есть 2 или 5 (в любых степенях), то дробь — представляется в
п
и ч_/ о 1 ч_/
виде смешанной периодической дроби такой, что число цифр между запятой и первым периодом равно максимальному количеству множителей 2 и 5.
Основываясь на правиле обращения периодической дроби в обыкновенные, для некоторых обыкновенных дробей можно ускорить процесс обращения
3
их в периодическую дробь. Например, по известному правилу 0,(3) = 9, про-
Л о &
изводя обратные рассуждения можно записать — = 0,(4), 2 3 = 2 9 = 2,(6) и т.д.
По такому же правилу будет:
107 = 1093 = 10,(63), 711 = 7 11'27 = 7 297 = 2,(297),
11 99 37 37 • 27 999
^3 = 747 = 754^7 = 0,7(54) и т.д.
110 990 990
В последней дроби представление 747 в виде 747 = 754 - 7 объясняется
так: 747 = 0, а( Ьс) ^ аЬс - а = 747 ^ 99а + Ьс = 747 = 99 • 7 + 54 ^ а = 7,
990
Ьс = 54 (обратить внимание на причину того, что периодическая дробь сме-
747
шанная). Итак, чтобы дробь 99^ обратить в периодическую дробь, надо разделить число 747, стоящее в числителе на 99, получить частное а = 7, и остаток Ьс = 54. Не продолжая деление принимаем полученный остаток 54 за период. Это правило изложим в общем виде:
т
= 0,аха2...аг {ЬХЬ2...Ьк) ^ а1а2...агЬ1Ь2...Ьк - а1а2...аг = т ^
^ т = аа---а .00.--0 + ЬА ■■■Ь, - аа---а = Э9...9. ■ а,а ...а + ЬА ...Ь,
12 ^---_ - 12 к 12 г е__ . 1 а г 12 к
'2''"-'к ^1^2”"'*г ^1^ а” г 1 12” к
к к
Отсюда видно, что для того, чтобы дробь данного вида записать в виде периодической дроби, надо разделить данное в числителе число т на число 99 ... 9
найти частное а1а2...о, и остаток Ь1Ь2...Ьк. Покажем это на примере:
г
999
74761 -6993
74 74761
4831 ^ ^4761 = 0,74(835)
3996 99900
835
По такому же правилу, так как 74761 = 99 • 755 +16, можно записать = 0,755(16).
99000
К преобразованиям такого вида мы вернемся в одном из последующих разделов.
Обращение правильной несократимой дроби —, у которой в разложении
п
знаменателя на простые множители нет множителей 2 и 5, в чистую периодическую дробь означает, что число п должно быть делителем некоторого
числа 99 .. 9 изображенного цифрой 9, повторенной определенное число раз.
к
Можно проверить, что для деления числа .99...9 . на 7 и 13, 17, 19, 23, 29
к
число к должно равняться соответственно числам 6, 16, 18, 22, 28.
Для использования вышеизложенного метода обращения обыкновенных дробей в периодические полезно знать разложение некоторых чисел вида 99 ... 9 на простые множители. Приведем некоторые из них: к 999 = 3 • 3 • 3 • 37,
9999 = 3 • 3-11 • 101,
99999 = 3 • 3 • 41 • 271,
999999 = 3 • 3 • 3• 7-11•13•37,
9999999=3•3•239•4649,
99999999 = 3 • 3 -11 • 73 • 101 -137 и др. Согласно этим разложениям, например, можно найти
17 17 • 99 1683
101 101 • 99 9999
103 103•9•4649 4309623
2390 2390•9•4649 99999990
= 0,(1683),
= 0,0(4309623)
2. Некоторые видоизменения чистых и смешанных периодических дробей
При решении некоторых простых примеров с периодическими дробями иногда полезно представить чистую периодическую дробь в виде другой чистой или даже смешанной периодической дроби. В некоторых же случаях смешанная периодическая дробь, записанная в виде чистой периодической дроби, принимает более простую форму. Рассмотрим лишь несколько таких примеров. Начнем с чистых периодических дробей. Но, прежде всего отметим, что обоснование этих преобразований может стать полезной самостоятельной работой для школьников. Например,
1) 2,(4) = 2,(44) = 2,(444) = ...; 4) 0,(32) = 0,3(23) = 0,32(32) = ...;
2) 2,(4) = 2,4(4) = 2, 44(4) = ... ; 5) -3,(163) = -3,(163163) = ...;
3) 0,(32) = 0,(3232) = ...; 6) -3,(163) = -3,1(631) = -3,16(316) =
= -3,163(163) = ... .
В этих примерах отметим одно обстоятельство: при обращении чистой периодической дроби в смешанную число цифр в периоде остается постоянным. Для примера, докажем в общем виде пример 4) (Ь Ф с):
(—\ Ьс 10 Ь + с 100Ь + 10с
а, 1 Ьс )= а +-----------------------------= а +-= а +-=
^ / 99 99 990
100Ь + 10с + Ь - Ь ЬсЬ - Ь г(~т\
= а +-------------------= а +--------= а, Ь\сЬ).
990 990
Записав в обратном порядке некоторые из приведенных равенств, увидим, что некоторые смешанные периодические дроби можно представить в виде чистых периодических дробей. Рассмотрим еще некоторые видоизменения смешанных периодических дробей:
1) 6,54(24) = 6,5(42); 3) 2,06738(38) = 2,0673(83) = 2,067(38);
2) 3,724(24) = 3,72(42) = 3,7(24); 4) -0,13(7813) = -0,1(3781) = -0,(1378).
На основе этих примеров нетрудно вывести общие соображения о том, какие видоизменения и над какими смешанными периодическими дробями возможны.
3. Цифры 0 (нуль) в записи периодических дробей
Школьникам хорошо известно какое значение имеет цифра 0 в записи десятичной дроби в зависимости от занимаемой позиции. Какую роль играет эта цифра в записи периодической дроби? Здесь ограничимся несколькими примерами:
1) 2,(40) < 2,(4); 6) 2,0(4) < 2,(4);
2) 2,(400) < 2,(40); 7) 2,0(40) < 2,0(4);
3) 2,(405) < 2,(45); 8) 2,0(40) < 2,(40);
4) 2,(040) < 2,(04); 9) 2,00(4) < 2,0(4);
5) 2,(040) < 2,(40); 10) 2,00(40) < 2,(40) и т.д.
В этих примерах видим (это можно доказать и в общем виде), что при отбрасывании цифры 0 из дробной части в записи периодической дроби (чистой или смешанной) получается большая дробь по сравнению с данной.
4. Умножение и деление периодических дробей на 10й (нє]\)
Умножение и деление периодических дробей на 10п (пєМ) как отдельная тема в школьной программе математики не изучается, хотя в некоторых моментах мы наблюдаем такие умножения, но без доказательства. Отметим, что в этих примерах число п, как правило, не произвольное, оно выбирается определенным образом. Желая получить правила выполнения этих действий над периодическими дробями, когда п произвольное натуральное число, (аналогично тому, как это делается с десятичными дробями) ниже проведем доказательства некоторых частных случаев. Начнем с чистой периодической дроби. Рассмотрим выражение 10 • а1а2 ...а п, \Ь1Ь2 ..Ьт). Для простоты обозначим
с = аха2 ...ап. Тогда 10 • С,(ЬА ...ьм) = 10
с + ЬЛ ...Ьт
99 9
Ь1Ь2 ...Ьт 0
= 10с + 1 2'" т = 10с + 99... 9
т т
+ Ьі -1Г + ЬА...Ьт0 = 10с + 99... 9• Ьі + А + Ь2Ьз...Ьт0 = 10с + 9^9 99^3
—т— __________ ~т _____________
+ Ь1 + Ьоо''°9 Ь' = СЬ1’\Ь2 (-Ьт Ь1 )= а1а2-ап К Ь1
"—З
, т
Таким образом, для умножения чистой периодической дроби на 10 надо передвинуть запятую вправо (в определенном смысле) на один знак. Таким же образом можно определить правило умножения этих дробей на 10п: передвинуть запятую вправо на п знаков в том же смысле. Например,
1) 100 • 12,(4315) = 1243,(1543); 2) 1000 • 3,(04) = 3040,(40) и т.д.
Умножение смешанной периодической дроби на 10 рассмотрим на одном примере:
10 • Ь, о(<$) = 10 • (Ь + ) = 10Ь + 9с±^ = 10Ь + с + ^ = Ьё,&) -
90 9 9
запятая перенесена вправо на один знак. Можно доказать, что при умножении
смешанной периодической дроби на 10п запятая переносится вправо на п знак (в определенном смысле). Например,
1) 100 • 2,5(34) = 253, (43);
2) 10000 • 3,28(043) = 32804,(304) и т.д.
Думаем, что школьнику будет полезно провести соответствующее доказательство в общем виде. Заметим, что при этих действиях число цифр в периоде и здесь остается неизменным.
Подобным образом можно утверждать, что для деления периодической дроби на 10п запятую надо перенести на п знаков влево (в определенном смысле). Для определенности рассмотрим один простой случай:
1 • а, (Ь) = 1 • (а + Ь) = 9а+Ь = 10а + Ь - а = = 0,а(Ь).
10 10 9 90 90 90
Например,
1) 10 • 3,(48) = 0,3(48);
2) ^ . 2,5(7) = 0,025(7).
Как видно, при делении периодических дробей на 10п период не меняется.
Из сказанного следует, что умножение и деление периодических дробей
на 10п проводится аналогично тому как это делается с десятичными дробями,
только перенесение запятой нужно понимать в определенном смысле.
5. Сложение периодических дробей
Для выяснения правила сложения периодических дробей с целыми числами достаточно следующих примеров:
1) 5 + 2,(4) = 5 + 2 4 = 7 4 = 7,(4);
2) 3 + 7,0(6) = 3 + 7— = 10— = 10,0(6).
7 90 90
Сложение чистых периодических дробей рассмотрим в следующих случаях:
а) Количество цифр (п) в периоде слагаемых одинаково.
В этом случае, если сумма периодов меньше числа 9 , то сложение производится аналогично правилу сложения десятичных
п
дробей, а в остальных случаях сначала сумма периодов увеличивается на 1, а далее применяется то же самое правило. Например,
1) 12,(57) 2) 12,(57) 3) 12,(57) 4) 4,(618)
+ 3,(13) + 3,(42) + 3,(61) + 15,(721)
Щ70) 16,(00)=16 ЩТ9) 20,(340)
б) Число цифр в периодах разное.
В этом случае, уравняв число цифр в периодах, применяют предыдущее правило. Например,
1) 2,(64) + 0,(132) = 2,(646464) + 0,(132132) = 2,(778586) (НОК(2, 3) = 6);
2) 3,(53) + 4,(7) = 3,(53) +4,(77) = 8,(31).
Сравнение этого способа с обычным способом сложения периодических дробей предоставляем читателю.
Используя вышеприведенные правила умножения и деления периодических дробей на 10п (пєМ), а также некоторые их видоизменения, можно определить правила сложения смешанных периодических дробей. Сначала отметим, что при сложении периодических дробей цифры между запятой и первым периодом принципиального значения не имеют, числа же стоящие в периоде складываются по правилу сложения чистых периодических дробей. Однако в первую очередь в слагаемых числах надо уравнять количество цифр между запятой и первым периодом, а также количество цифр в периодах. Например,
1) 2,4(3) + 3,2(4) = 5,6(7); 3) 5,42(7) + 2,6(8) = 5,42(7) + 2,68(8) = 8,11(6);
2) 2,4(8) + 3,7(4) = 6,2(3); 4) 1,42(3) + 0,7(12) = 1,42(33) + 0,71(21) = 2,13(54).
6. Вычитание периодических дробей
При одинаковом количестве цифр в периоде вычитание чистых периодических дробей производится следующим образом:
а) если число стоящее в периоде уменьшаемого не меньше числа стоящего в периоде вычитаемого, то вычитание производится аналогично правилу вычитания десятичных дробей. Например,
1) 7,(8) - 2,(5) = 5,(3);
2) 12 - 4,(57) = 11, (99) - 4,(57) = 7,(42) и т.д.
б) если период уменьшаемого меньше периода вычитаемого, то сначала период вычитаемого уменьшает на 1, а затем производят вычитание аналогично вычитанию десятичных дробей. Например,
6,(538) - 4,(694) = 1,(694).
Для вычитания смешанных периодических дробей сначала их преобразуют, выравнивая в уменьшаемом и вычитаемом количество цифр между запятой и первым периодом, а также количество цифр в периоде. Затем, учитывая сказанное выше о периодах чистых периодических дробей, производят вычитание аналогично вычитанию десятичных дробей. Например,
7,12(4) - 3,8(23) = 7,12(44) - 3,82(32) = 3,30(12).
Этот пример можно решить и приведя данные дроби к чистым периодическим дробям:
7,12(4) - 3,8(23) = ^ • [712,(44) - 382,(32)] = ^ • 330,(12) = 3,30(12).
Еще один пример:
3,4(138) - 2,23(49) = 3,41(381381) - 2,23(494949) = 1,17(886431).
Наконец, на основании вышесказанного можем дать правило сравнения периодических дробей. Из двух периодических дробей та больше, у которой целая часть больше. При равенстве целых частей, независимо от того периодические дроби чистые или смешанные, сравнение производится аналогично
правилу сравнения десятичных дробей. Чтобы доказать это, надо в данных периодических дробях уравнять число цифр после запятой до первого периода, а также число цифр в периоде.
Библиографический список
1.Ляпин, Е.С. Алгебра и теория чисел. / Ляпин, Е.С, Евсеев А.Е. - Москва,." Просвеше-ние ",-1974,- 382 стр.
2. Марданов, М.Дж. Математика ,учебник 6-го класса.Баку,-из-во "Чашыоглы",-2007,-382стр.
Bibliography
1.Lyapin, ES Algebra and Number Theory. / Liapin, ES, AE Evseev - Moscow. "Enlightenment-solution", -1974, - 382 pages
2. Mardanov, MJ Math textbook 6th klassa.Baku,-from-in "Chashiogli" -2007, -382 page
