Действительные числа - раздел повышенного уровня в двухуровневой системе математического образования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Действительные числа — раздел повышенного уровня в двухуровневой системе

математического образования 1

А. П. Черняев

Излагаются и приводятся в соответствие два метода введения действительных чисел: аксиоматический и при помощи бесконечных десятичных дробей.

Теорема Кантора о вложенных отрезках добавляется, т. к. в некоторых изложениях она участвует в аксиоматике.

Введение

Действительные числа преподаются в некоторых вузах, где математика преподается на серьезном уровне, в начале курса математического анализа для обоснования теории пределов. При двухуровневой системе математического образования базовый уровень не предполагает подробного изложения раздела «Действительные числа». Такое изложение предполагает лишь повышенный уровень. Судя по динамике учебных программ Московского физико-технического института, где внедрена двухуровневая система математического образования, и

'Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проекты Л"'2.1.1/11133 и 2.1.1/12968

содержания колоквиума на норном курсе можно заключить, что эту тему стараются пройти как можно быстрее и излагают ее в лекциях в основном аксиоматическим методом. Это делается в силу недостатка учебных часов, а также потому, что успешное освоение этого раздела, как показывает процесс обучения, весьма затруднительно. В настоящей статье излагаются п приводятся в соответствие два метода введения действительных чисел: аксиоматический и при помощи бесконечных десятичных дробей.

Кроме этого, поскольку теорема Кантора о вложенных отрезках естественно вытекает из действительных чисел, а в некоторых изложениях даже участвует в аксиоматике, то мы добавляем ее к рассматриваемому разделу.

Для студентов 1-го курса, начинающих изучать математический анализ, первая серьезная проблема это освоение раздела, который называют введением в анализ. Успешное освоение этого раздела, как показывает процесс обучения, весьма затруднительно. Для успешного освоения введения в анализ некоторым студентам бывает недостаточно прослушать лектора и посетить семинары по следующим соображениям.

Самая первая тема введения в математический анализ действительные числа излагается различными лекторами по-разному. Традиционно используются аксиоматический метод |1 3] и метод бесконечных десятичных дробей [4-10|. Есть еще метод сечений Дедекинда |11|. но он используется реже. Связь между этими методами слабая и данная работа, в частности, это попытка восполнить этот пробел.

Действительно, если множество не строится конкретно, а задается условиями, то нельзя быть уверенным в существовании этого множества. Это показывает, например, парадокс Рассела |12|, который приводится в первом пункте настоящей работы.

В |4 10| действительные числа определяются при помощи бесконечных десятичных дробей. Однако, для обоснования свойств действительных чисел привлекаются понятия точных верхней и нижней граней |4 б| и предела последовательности |7 9|. С другой стороны, понятия точных верхней и нижней граней требуют определения действительного числа, обоснования свойств упорядоченности действительных чисел, а традиционное определение предела последовательности 11,2,3,10|: « Число х называется пределом последовательности если для любого действительного числа е > 0 существует номе]) X, такой, что для любого натурального числа п > Л справедливо неравенство |х„ — .г| < е» требует еще и обоснования арифметики действительных чисел.

Действительно, обратившись к (0 8|. имеем: « Число М называется точной верхней гранью множества X, М — вир Л", если для любого х € Л' х < М и для каждого М' < Л/ найдется такое х € Л', что х > А/Ч. Это значит, что должно быть определено действительное число и должны быть определены отношения порядка: больше, меньше, равно. Далее, в [6| определения точных верхней и нижней граней используются для обоснования арифметики действительных чисел.

В |7 9| дается определение предела последовательности, которое требует лишь определения и упорядоченности действительных чисел: « Число х называется пределом последовательности {#„}, если для любого интервала {о,Ь), содержащего х, существует номер X, такой, что хп, у которого п > N, содержится в интервале (о,Ь)». Это определение затем привлекается и для обоснования арифметики действительных чисел, чем обеспечивается меньшая, чем в |0| трудоемкость этого обоснования.

Итак, в |1 3| арифметика действительного числа содержится в его определении, а определения точных граней и пре-

дела последовательности даются потом, а в |6 9| одно из этих понятий обязятельно привлекается для обоснования арифметики действительных чисел. Возникает вопрос: возможно ли определив действительные числа бесконечными действительными дробями доказать аксиомы действительных чисел в качестве свойств, не привлекая понятия точных граней и предела последовательности.

В данной работе, опираясь на арифметику рациональных чисел |13). доказываются аксиомы действительных чисел [1] и понятия точных верхней и нижней граней и предела последовательности для этих доказательств не привлекаются.

Теорема Дедекинда 14 6| в данной работе получается как прямое следствие теоремы непрерывности.

В отличие от [14| в данной работе к действительным числам добавлена теорема Каетора |15]. формулировка которой несколько отличается от традиционной [1 10), т.к. существуют изложения действительных чисел, где утверждение теоремы Кантора без единственности общей точки является аксиомой. |15|

1 . Понятие множества, основные обозначения, парадоксы Рассела

Множество в математике понятие исходное, оно не определяется. Оно означает — набор или совокупность. Множество состоит из объектов, которые называются его элементами. Множества обычно обозначают большими буквами, а элементы множеств малыми. Запись а € .4 означает, что элемент а принадлежит множеству Л, а £ А — а не принадлежит .4, запись V« означает для любого о, 3« — существует а, запись а : означает а такой, что. Запись => означает следует, а <=>

равносильно.

Запись А С В означает, что множество .4 является подмножеством множества В, т.е. Ун € Л а & В. Если Л С В и В С .4, то пишут .4 = В. Запись а = Ь означает, что а и Ь это один п тот же элемент, причемдолжны быть справедливы свойства рефлексивности: а — о; взаимности: а = Ь => Ь — о; транзитивности: о = Ь, Ь = с => а = с.

Объединением множеств .4 и В. т.е. Ли В назовем множество. состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств .4 и В.

Пересечением множеств Л и В, т. е. Л П В назовем множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит как множеству Л, так и множеству В.

Разностью множеств Л и В, т.е. А\В назовем множество, состоящее из всех элементов Л. не входящих в множество В.

Вводится пустое множество 0 множество, не содержащее ни одного элемента.

Примеры множеств: Л = {«} множество из одного элемента, В = {«.6} — множество из двух элементов, если эти элементы различны.

Понятие множества противоречиво. Это показывает парадоксы Бертрана Рассела, один из которых мы приведем [12|.

Парадокс Рассела. Назовем правильными такие множества, которые не содержит себя в качестве элемента. П]>и-мером правильного множества мож ет 6ыуш> множество и;з двух элементов.

Неправильными назовем множества, которые содержат себя в качестве элемента.

Любое множество может быть либо правильным, либо неправильным.

Рассмотрим теперь множество Г, которое содержит в качестве элементов лишь все правильные множества.

Предположим, что F правильное множество. Значит F G F. Но отсюда следует, что F неправильное.

Предположим, что F неправильное множество. Это значит, что F £ F. Но отсюда следует, что F правильное.

2 . Аксиоматический метод введения действительных чисел

Непустое множество R называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы действительными (вещественными) числами, если на Я определены операции сложения и умножения и отношения порядка, удовлетворяющие следующим свойствам |1|.

I. Свойства сложения:

1. Vo, b 6 Я а. + b = Ь + а (коммутативность);

2. Vo,b.c. € Я а + (Ь + с) = (6 + а) + с (ассоциативность);

3. 3 0 € Я : V« € Я а + 0 = а;

4. Vo 6 Я 3 —а число противоположное а : о + (—о) = 0; Число а + (—Ь) = а — b называется разностью а и b Vo, b € Я.

II. Свойства умножения:

1. Vn.ft G Я ob = ba (коммутативность);

2. Vo./;.г 6 Я a(bc) = (bo)c (ассоциативность);

3. 31 € Я 1^0: Vo (Е Я ol = о;

4. Va € /? и / 0 3 I/o = а-1 число обратное а : <иГ1 = 1.

III. Свойство сложения и умножения:

Vo, b. с € Я (а + Ь) с = ас+Ьс (дистрибутивность умножения относительно сложения).

IV. Упорядоченность и ее связь со сложением и умножением. Для любых различных о и b из /? справедливо отношение а < b или, что то же самое b > о, либо b < а или, что то же самое о > Ь. При этом должны быть выполнены свойства:

1. Если а < 1> и Ь < с, то а < с (транзитивность):

2. Если а < Ь, то Уг б Н а + с < Ь 4- с;

3. Если а > I) и с > 0 то ас > Ьс.

Множества, удовлетворяющие IV и IV. 1 называются упорядоченными.

V. Непрерывность. Пусть Л" и У непустые множества /?. такие что

\/х е X , Уу € V х ^ у. Тогда За & Я, такое что

Ух € Л\ У уеУ х^а^у. (2.1)

Замечание 1. Множество ф рациональных чисел удовлетворяет всем аксиомам, кроме V.

Действительно, пусть Л' = {г : х £ С}, 0 < х2 < 2}, V = = {у '■ У € У > О- У2 > 2}- Тогда в С? не существует а со свойством (2.1).

Следствия из аксиом I V.

1. Число 0 единственно.

Действительно, пусть существуют 0 и 0', удовлетворяющие I. 3. Тогда, в силу I. 1 и I. 3

О' = 0' + 0 = 0 + 0' = 0.

2. Число (-«) единственно.

Действительно, пусть существуют [-п) и (—а). удовлетворяющие I. 4. Тогда, в силу I. 1. I. 2 и I. 3

(-а)' = (-а)' + 0 = (-«)' + (а + (-а)) = ((-о)' + а) + (-а) =

= (а + (—о)') + (-а) = 0 + (-а) = {-а) + 0 = (-а).

3. Аналогично 1 и 2 обосновывается единственность 1 и а-1 при а ф 0.

139

4. V« е Я аО = а.

Это следует из того, что н силу II. 3, II. 1, III справедливы равенства, означающие, что яО удовлетворяет I. 3

а + пО = а1 +а0 = 1а + 0а = (1 + 0)а = 1а = а\ = а .

5. а, Ь е Я. аЬ = 0 а = 0 или 6 = 0.

От противного, пусть а ^ 0 и Ь ф 0, тогда умножив аЬ = 0 на а"1 • б-1 и используя II. 1, II. 2 и II. 4, получим 1 = 0, что противоречит II. 3.

6. 0 < 1.

От противного, пусть 0^1, тогда из II. 3 следует, что 0 > 1. или, что то же самое 1 < 0. Согласно I. 4 существует ( —1). Пользуясь IV. 2. из последнего неравенства получаем 0 < < (-1), или, что то же самое (-1) > 0. Обращаясь к IV. 3 при а = 0, Ь = 1 и с = (-1), получаем 0 > (-1), что противоречит неравенству 0 < ( — 1). полученному ранее.

Замечание 2. Ввиду парадокса Рассела возникает вопрос: не получим ли мы во множестве Я противоречивого следствия, как это произоиыо с множеством Г предыдущего пункта. Для этого мы построим множество Я с помощью бесконечных десятичных дробей.

3 . Определение действительных чисел и их упорядоченность

В процессе счета возникают натуральные числа 1, 2, 3, ..., п, ... .

Мы. как правило, ограничиваемся этим предложением. Однако, можно дать определение: натуральным числом назовем инвариант класса конечных эквивалентных множеств, а можно натуральные числа ввести аксиоматически |16|.

140

Потребности практики приводят к необходимости введения рациональных чисел, т. е. чисел вида т/п , где га целое, а п натуральное число. Однако, как показывает теория измерений, этого недостаточно, возникает потребность дальнейшего расширения понятия числа.

Всюду в дальнейшем предполагаются известными свойства рациональных чисел |13| (более точно, предполагаются известными свойства конечных десятичных дробей).

Бесконечными десятичными дробями называются символы вида а0, сца2 ... а>,... и — а0, Гк1<*2 •••<*»»•••» где а0 любое целое неотрицательное число, а каждое а, , i = 1, 2,... — одна из цифр 0, 1, 2, ..., 9.

Определение 1. Действительным числом называется любая бесконечная десятичная дробь.

Если а = о0, f>irt¿ ... o„rvn+l..., то рациональное число ап = а0, . ■. f>n называется нижним п-значным приближением действительного числа, а число 7in = а п + 10-п верхним n-значным приближением.

Если а = —а0, Qia2 ... а по„+1... , то, соответственно, а„ = -а0,о,а2 Ю_п, Tin = а„ + 10~" = -o-0,Oirt2 .. .а„.

Легко видеть |G|. что

Определение 2. Если для двух действительных чисел а и Ь существует такое целое неотрицательное /¡о, что

«о ^ ^ «2 ^ • • • ^ ^ «п+1 ^ • • • , о0 ^ «i ^ «2 ^ ^ öri+i

(3.1)

(3.2)

(3.3)

то а < I). или, что то же самое Ь > а, если же

ьп0 < я„о -

(3.4)

то b < а, или, что то же самое о > Ь. Если же tie выполняется ни первое условие ни второе, то а = Ь.

Следствие. Если выполнено (3.3), то

3 щ : Vn ^ п0 ап < Ьи , (3.5)

аналогично, если выполнено (3.4), то

Зп0 : Vn ^ п0 Ьп < ап . (3.6)

ап ^ ano < bnQ ^ Ьп .

откуда и следует (3.5).

Аналогично, из (3.4), (3.1) и (3.2) будем иметь

К ^ К0 < апи ^ ап ,

откуда и следует (3.G).

Исследуем теперь случай равенства более детально.

Критерий равенства. Для справедливости равенства о = Ь необходима и достаточна справедливость неравенства

|ап-6п|<$ КГ". (3.7)

Доказательство. Пусть о = Ь. На основании определения 2 для любого целого неотрицательного п справедливы неравенства

ап > Ьп (3.8)

и

К>ап. (3.9)

Из (3.8) имеем

0 ^ ап — bn = ап + 10-п — Ьп , т.е.

ап-Ьп>-10-".

(3.10)

Из (3.9) получим

о ь„ - ап = Ь„ + КГ" - а

т. е.

а„ - 6„ ^ ИГ".

(3.11)

Из (3.10) и (3.11) следует (3.7).

Обратно, пусть справедливо (3.7), тогда справедливы (3.10) и (3.11), из которых следуют (3.8) и (3.9) соответственно. Тогда, по определению 2 следует, что а = Ь. Критерий доказан.

Если числа а и Ь имеют одно и то же представление бесконечной десятичной дробью, то они равны.

Действительно, если представление одно и то же, то для любого целого неотрицательного п а„ = Ь„. Из критерия равенства. применяя (3.7) получаем искомое утверждение.

Числа вида

а = ±«о- сц^а... о,,99... 9..., о„ Ф 9

н

Ь = ±00,0102...(0„+1)00...0...

также будут равными. Действительно,

00,0102... а*, А: ^ п ; о0,0]о2... о,,99 ... 9. к > п;

или

-00,0|02 .. о* ~ Ю к^п; —о0,0102 ... о„99... 9 — Ю-*, к > п ;

или

ь _ I -а0,оца2 .. .0!к - 10 к ^ п ;

| -а0,о1а2 ...«„(«„-I-1) - 10~к, А->71.

Тогда, если А- п, то ак — Ьк = 0, а если к > п, то н силу тождества

9 1

9 / 1

1 + — + ...

с-л-

10г^1 ' Ю"+2 ' ю* 10« Ю"+1 I ю "'10*

= _1_/__1\=1_1 31

10"" V / 10я V 10*-*) 10» ю*' • 1 ;

имеем

1

_ 9 9 _9___1_

~ ю"+1 + Ю"+2 + ' " + 10* ~ 10" ~ "То*'

Применяя критерий равенства получаем требуемое утверждение.

Лемма о равенстве. Если две разные десятичные дроби ¡таны, то одна из них конечная, а другая периодическая с периодом 9.

Доказательство. Пусть даны две разные десятичные дроби а = = ±«о, ОЦО12 . . . а„ . . . , Ь = ±Зо, 01р2 ■ ■ • Рп ■ ■ • " о = Ь. Пусть / — наименьшее число, для которого г>/ ф По критерию равенства |я„ - ^ 10~". Далее,

_ , _ сц - А с*1+1 - ап - Рп

10' 10'+1 10" ■

В силу оценки, которая получается с учетом (3.12)

«/+1 - 01+1 н____+ - /3„

9

Ю'+1 9

о +

10" 9 1

1

10" 10' 10" '

имеем

, , | ^ I"/ ~

«/+1 - 01+1 От. - 0п

Ю'+1 "' 10"

>\сч-(М 1 1 10' 10' 10" '

Значит

да+ (313)

а, на основании (3.13)

(3.14)

Пусть, для определенности о/ < 01, тогда из (3.14) следует, что - 0( - 1 ^ 0. < а/ + 1 =>• Д = + 1 и тогда

1 , «ж - /3<+1 а„ - 0п , , V

а„-Ь„ =--г Н--г—----уп > I. (3.15)

10' Ю'+1 10"

Положим в (3.15) п = / + 1, тогда

1 а/+1 - 01+1 —10 4- «/+1 — 01+1 . йм 10/+1 =-10Й4-• <3-16)

Из критерия равенства получаем |-10 + а/+1 — /5|+1| ^ 1. Поскольку |—10 + сц+1 — 01+{\ = 10 - с\ц+1 + 01+1 > 0, то 10 — -о/+1 + 01+1 = 1, т. е. 9 = - 0[+1 и единственно возможный вариант а/+1 = 9 и 3^1 = 0, поскольку 07+1 и 0[+\- цифры от 0 до 9. Тогда из (3.16)

9 1

Й/+1 £'+1 - 10/ + ю'+1 Ю'+1

и ич (3.15)

, 1 . <*1+2 - 01+2 . . Лп - Зп и 1 . 1

Повторяя те же рассуждения получим а/+2 = 9. Д+2 = 0

и т. д.

Из определения 2 следуют свойства равенств: рефлексивности и взаимности, а из леммы о равенстве следует свойст во транзитивности |9|.

В дальнейшем, где это возможно, будем исключать из рассмотрения периодические десятичные дроби с периодом 9 |9|. Теперь мы можем доказать IV. 1.

Лемма о транзитивности. Если а < Ь и Ь < с. то и < с.

Действительно, т. к. а < Ь , то 3 щ ^ 0 : аГ|( < 6 . а т. к. Ь < с, то 3 п2 ^ 0 : 6„2 < сп . Положим щ = тах{п,, п2}. Тогда, на основании (3.5) и (3.6)

о„0 ^ ап, <ЬПх^ЬПо, Ь„и ^ Ь„2 < с„2 5$ сТ,о,

откуда

ап < />_ < Ьи < сп => а,, < с„ .

"о — по о —по "о —«о

Из последнего равенства следует, что а < с.

Следствие. Если а ^ Ь и b ^ с, то а ^ с.

Доказательство следует из леммы о транзитивности и транзитивности равенства, полученной ранее.

Из определения 2 и леммы о транзитивности следует упорядоченность множества действительных чисел.

Достаточное условие равенства. Пусть Оля двух действительных чисел а и Ь и любого целого неотрицательного п существуют рациональные числа г„ и R„ и целое неотрицательное N. удовлетворяющие неравенствам

гп < а ^ /?„, (3.17)

Rn- rn^N10-n. (3.18)

Тогда, а = b. 146

Доказательство. Предположим противное а ф Ь. Пусть для определенности а < Ь. Тогда, на основании (3.1), (3.2), (3.3) и (3.17) имеем

г„ <6По Л„. (3.19)

По лемме о транзитивности неравенство (3.19) упрощается до неравенства, содержащего лишь рациональные числа

г„ ^ а„п < ЬПо ^ И,х. (3.20)

II? (3.20) 1131 мы получим

~1'п ^ Кп-гп - -Опа ^ -г„ => ЬПо-а„0 ^ ЬПо-г„ ^ /?„-/•„ •

Из неравенства (3.18) и последнего следует, что

¿„.-¡Ч^л-Ю"".

или

10" ^ N!(ЬПо — аПо).

что невозможно, поскольку левая часть последнего неравенства можег стать больше любого наперед заданного числа.

Лемма о числе. Для любого действительного числа о и любых целых неотрицательных т и п справедливо неравенство

ат ^ а ^ а„ . (3-21)

Доказательство. Докажем сначала

Уш ат ^ а. (3.22)

Рассуждая от противного, формулируем отрицание (3.22)

3 7»0 — целое неотрицательное : «„, > а. (3.23)

147

Обращаясь к определению 2 условие (3.23) означает, что

3 тг целое неотрицательное : (ат ) > а,,,, . (3.24)

-— т,

Пусть а = о0, 0]02 • • • ато • • • • В случае г»! < т0 «„, =

= 00,0-102... Ото И

(от) =о0,о1о2...о„11 =аШ1 > П„м , (3.25) -— "<1

что противоречит определению ат \\ атг Для получения (3.25) мы обратились к (3/24). В случае т\ = т0 также получаем (3.25) п полученное противоречие также имеет место. В случае Ш! > то я„10 = о0,0]02 ... ато ... и

(«,„„) = о0, о,о2... о„,о = а„,о > ят1, (3.26)

-т,

что также невозможно, т.к. аП1 ^ о.т . Для получения (3.26) мы также обратились к (3.24).

Пусть а = — оо, 01О2 ... о„,о .... В случае т\ < тщ ат = —00,0,02 .. .оШо - 10"то и

(«т0) = -о0,о,о2...от1 - 1(Гт1 = аГП( > аГП], (3.27)

-— »«I

что противоречит определению «,„ и а,П1. Для получения (3.27) мы обратились к (3.24).

В случае т\ = т0 атц = —Оо,0)02... от; = 10~т' и

(а,п) = -оо, о,о2 ... от, - 2 • 1(Гт1 = атх - КГ"" > ат, . --'"1

(3.28)

Здесь мы также использовали (3.24) и поскольку невозможно (3.27), то (3.28) невозможно и подавно.

В случае т\ > т0 аП1о = — Оо, о,о2 .. . ото = Ю-'"1 и

(ат) = —о0, Ох02... С4т0~Ю-"10 — Ю-"11 =а„1о-10-т' > а^

-т,

(3.29)

что также невозможно, т.к. «m ^ ат^ Для получения (3.29) мы также использовали (3.24).

Итак, поскольку (3.24) не имеет места, то (3.23) также не выполнено. Т. о., (3.22) доказано. Теперь докажем, что

Vn а ^ ä„ . (3.30)

Рассуждая от противного, формулируем отрицание (3.30)

3 п0 целое неотрицательное : а > я„0. (3.31)

Обращаясь к определению 2 условие (3.31) означает, что

3 711 - целое неотрицательное:« > . (3.32)

Пусть а = а0, аха2 ... о„0....

В случае щ < 7i0 н„0 = оо> • • • «п0 + Ю-"0 и

ЮП1 = "0. • • • «п, 4- 10-"' = йп, < ant , (3.33)

чю противоречит определению а„,и ап . Для получения (3.33) мы обратились к (3.32).

В случае t?i = щ ü„0 = q0, aia2... о„0 + 10~"° и

Щ)П1 =a0,a1a2...ani+210-ni = än) + 10"п' < оП[. (3.34)

Здесь мы также использовали (3.32) и поскольку невозможно (3.33), то (3.34) невозможно и подавно.

В случае r»i > п0 а„0 = ао,аца2 ■ ■ ■ о„0 + Ю-"0 и

=a0,a1a2...ano + 10-no + 10-",=äno4-10-n' < oflj ,

(3.35)

что также невозможно, т.к. äno ^ äWl. Для получения (3.36) мы также использовали (3.32).

149

Пусть а = —cío, ai<*2 •••<*„„... . В случае п \ < п0 п,,„ = = -а0,а1а2 • • ■ «п0 и

ТОН1 = «о, • • • t*n, = «П, < а„, , (3.36)

что противоречит определению а„,и ап . Для получения (3) мы обратились к (3.32). В случае н, = п0 также получаем (3) и полученное противоречие также имеет место. В случае n¡ > п0 аП0 = -о0,а,а2.. .а„0 и

Ю», = -«о. "i«2 • • - «n0 = а„о + Ю-"1 < аГ|) , (3.37)

что также невозможно, т. к. а,1( ^ а„ . Для получения (3.37) мы также использовали (3.32).

Итак, поскольку (3.32) не имеет места, (3.31) также не выполнено. Т.о., (3.30) доказано.

Из (3.22) и (3.30) следует (3.21).

4. Геометрическая интерпретация действительных чисел

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа точками этой прямой. Поэтому, совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой, а также числовой или действительной осью, а отдельные числа ее точками. При такой интерпретации действительных чисел иногда вместо о меньше b (Ь больше а) говорят, что точка а лежит левее точки />. рис. 1 (Ь лежит правее я).

Множество М С /?- множеству действительных чисел называется промежутком, если М удовлетворяет условию: для любых х,у € А/, таких что х < у любое г, удовлетворяющее неравенству х ^ z ^ у, также принадлежит М.

В качество примеров промежутков можно привести интервал (а.Ь) = {;/■ 6 /? : а < х < 6}: отрезок [«./>] = {.г 6 Я : а < х < !>}: полуинтервалы (а.Ь] = {.г € Я : а < х ^ Ь). [о,Ь) = = {.г 6 Я : а < х < Ь}. Указанные промежутки называют также конечными промежутками, их длину назовем Ь — а. Однако, бывают и бесконечные промежутки: (а,+оо) = {./• £ Я : а < ./}; (—ос, 6) = {х е Я : х < Ь}\ [а, +оо) = {х е Я : а ^ г}; (-ос, Ь] = = {.г € Я : х < &}; (-ос, +ос) = Я.

а Рис. 1 Ь

5. Непрерывность действительных чисел

Обратимся теперь к доказательству V, т.е. непрерывности.

Теорема непрерывности. Пусть X и )' непустые множества аз Я. такие что

Ух € Л', УубГ х^у. (5.1)

Тогда

3 а € Я : Ух Е X , Чу € Г х ^ а ^ у. (5.2)

Доказательство. В силу (5.1) зафиксируем х' е Л' и у* е V. Если у* 6 Л", то и = у' и (5.2) доказано. Пусть, далее у* $ Л".

151

Отметим, что определить действительное число означает указать правило, но которому с помощью конечного числа операций можно вычислить п-значное приближение »„числа а для любого целого неотрицательного г/, и при этом должно быть выполнено неравенство

ап+1-а„^9-10-<п+1\ (5.3)

т. к. это неравенство вытекает из определения бесконечной десятичной дроби |4 9|. Построим число «. указав способ вычисления его п- значного приближения ап. Рассмотрим множество рациональных чисел {£.„}. каждое из которых является п- значным приближением хп всех чисел х (Е Л' между х' и </*. Хотя Л' может быть бесконечным, тем не менее, множество {хп} л-значных приближений конечно. В самом деле, между 11 Уо содержится конечное число рациональных чисел, имеющих п знаков после запятой. Количество таких дробей ограничено сверху числом (у^ —х*о)-10". В конечном множестве {х„} есть наибольший элемент, его мы и выберем в качестве п-значного приближения ап:

ап = шах{т„}. (5.4)

Построенные приближения удовлетворяют неравенству (5.3), т.к. нарушение этого неравенства означало бы, что ап не есть наибольший элемент множества }. Действительно, пусть

«п+1-ап>9.1(Г<"+1>. (5.5)

Существует .? 6 А*, такое что

«„+1 =1п+1 (5С)

Т.е. в А' должно существовать число х, такое что его п + 1-значное приближение с недостатком совпадает с о„+1. Но тогда

¿п+1-1п^9.10-<п+1\ (5.7)

т. к. хп+1 И1„ — суть 71+1 н п-значные приближения х. Отсюда, получаем

хп 2 хп+1 - 9 • 1(Г<»+,> = а„+] - 9 • 10-<п+1> > ап ,

т. е.

хп > ап . (5.8)

Здесь мы выразили хп из (5.7), (5.8) воспользовались (5.6), а затем, и (5.5). Неравенство (5.8) противоречит (5.4).

Итак, число а определено. Докажем теперь, что построенное число а удовлетворяет (5.2). Сначала, докажем, что

Ух 6 Л' х ^ а

от противного. Пусть существует число х € Л', такое что х > а. Это значит, что существует целое неотрицательное т, такое что хт>ат> ат, рис. 2. Но это невозможно в силу (5.4).

Теперь докажем, что

У у еУ у^а

от противного. Пусть существует число у 6 V, такое что у < а. Это значит, что существует целое неотрицательное р, такое что ур < «р. Но это значит, что существует х € Л', такое что ар -— ¿Р ^ Х- С другой стороны, у ^ ур. Т.о., рис. 3

У ^ УР < яр ^ ^.

что противоречит (5.1). Последнее завершает доказательство (5.2).

У Ур Рис. 3 X а W

Теорема Дедекинда. Пусть множества X и У действительных чисел такие, что:

а) любое действительное число попадает либо в Л , либо в ) .

б) множества X и )' непустые;

в) Vx G X и Vy е У х < у . (5.9) Тогда, существует единственное число а такое, что

Vx € X и УуеУ х^а^у. (5.10)

Доказательство II ? неравенства (5.9) следует справедливость (5.1). поэтому выполнено (5.2). Следовательно, существование а из (5.10) прямо следует из теоремы непрерывности.

Докажем единственность а из (5.10). Рассуждаем от противного, т.е. пусть существует b ф а, удовлетворяющее (5.10), а именно

Vx G Л" и УуеУ х^Ь^у. (5.11)

Для определенности предположим, что а < Ь. тогда выполнено (3.3), т.е.

Эпо^О й11о<ЬПо. (5.12)

Пусть а € Л", тогда в силу (3.21) а ^ аПо. Предположение и < йПи приводит к противоречию по следующим соображениям. Если ППо 6 X. то это противоречит (5.10). если же г7„п € ) . то это противоречит (5.11). рис. 4. Значит и = яГ1ц. Но тогда

X X, У

а Ч Рис. 4 ь-п0 * г Ь

ЬПо 6 1. т.к. предположение Ьи € Л' ведет к противоречию (5.11). рис. 5.

А'

т II ад Рис. 5 ьПп "о ь

Рассмотрим теперь £ + Из (5.12) следует, что

X у

а = ап "о Рис. 6 Ьп — п„ ь Г

Если мы предположим, что ^ {агц,+!>п0) ^ V, то прихо-155

дим к противоречию (5.10), поскольку

а = °П0 < \ (°п0 + £По) € X , рис. 6.

Если мы предположим, что | ^й„о + ЬГ1 ^ £ У, то приходим к противоречию (5.11), поскольку

У Э \ К + *-„) < -»о ^ Ь' рис- 7'

У У

а = а "о Рис. 7 Ь-п0 ь

Пусть, теперь л € Г, но это сразу противоречит (5.11), т. к. У Э а < Ь.

Замечание. Множество рациональных чисел плотно во множестве действительных чисел, т. е. между любыми двумя неравными действительными числами можно вставить рациональное число.

Действительно, пусть а ф Ь. Тогда, положим для определенности а < Ь, тогда в силу (5.12) и (5.13)

а < о (а»о + £»о) ^ Ь

6. Модуль действительного числа

Отметим свойства действительных чисел, в которых используется понятие модуля действительного числа

{а. а ^ О, -а, а < О,

1)|-а| = |а|,

2) |аЬ| = |а| • \Ь\.

3) |а + 6|£|а| + |*|.

4) \а — Ь\^ ||а| — |6||.

Докажем неравенство 3), т. к. свойства 1) и 2) очевидны. Складывая неравенства

- М ^ а ^ |а| , - |6| ^ Ь ^ |Ь| ,

а точнее пользуясь теоремой 1 пункта 3 и свойством 9) пункта 4, получаем

-(|в| + |Ь|Ка + **|а| + |6| ,

т.е. |а + Ь\ ^ |а| + |6|, что совпадает с 3). Докажем неравенство 4). Т.к.

п = (а -Ь) + Ь, Ь = (6- а) + а,

то

и ^ \а - 6| + \ь\ , \Ь\ ^ IЬ - а\ 4- |а| = |а - 6| + |а| . Следовательно,

\а-Ь\> |а| - \Ь\ , |а - Ь\ 2 |Ь| - И . Откуда следует, что

\a-b\2 |Н-|Ь||,

что совпадает с 4). 157

7. Арифметика действительных чисел

Определение 1. Суммой двух действительных чисел а и Ь назовем действительное число с, которое для любых целых неотрицательных т и и удовлетворяет неравенству

+ 1 (7-1)

Существование с из (7.1) следует из теоремы непрерывности предыдущего пункта. Действительно, пусть множество Л* = = {«,„ + а множество V = {«„ + 6,,}. Нужно доказать лишь справедливость (3.7). т.е.

&т < «л +5«. (7.2)

для любых целых неотрицательных т и п. Но (7.2) следует из (3.23).

Единственность с из (7.1) докажем от противного. Пусть существуют с и с* не обязательно равные между собой, удовлетворяющие (7.1). Поскольку с* удовлетворяет (7.1), то

+Ьт ^ с' ^ ая +6„. (7.3)

Положив, теперь, в (7.1) и (7.3) т = п, получим

йп + < с < я,| + К> «г. + Ьп ^ с' ^ Пп + Ьп. (7.4)

11 ос кольку,

аи+Ьп-а„-Ьп = 2-10-",

то на основании (7.4), последнего равенства и достаточного условия равенства заключаем, что с = с'.

Докажем теперь свойства сложения I. 1 I. 4. 1 )Уа.б€Я а+ 6 = 6 + «.

Справедливость этого свойства следует из определения 1, т. к. множество {ат + ЬТП} совпадает с множеством {Ьт + «,„}, а множество {«„ 4- Ь„ } совпадает с множеством {б„ + «,,}.

158

2) Уа, 6, с е Я а+(6 + с) = (а4-6)+с. Справедливость этого свойства следует из определения

1, т.к. множество {«тп + (Ьт + ст)} совпадает с множеством {(ат 4-6т) 4-ст}, а множество {ап + (¿>„ -(- сп)} совпадает с множеством {(а„ + Ьп) -I- с,,}.

3) 3 0 € И : У« € Л а + 0 = а.

Действительно, согласно определению 1 для а + 0 множество А* = {ат 4-0,,,} = {«„,}, а множество У = {«„ + Ю-"}, а для в А' = {«,„} и Г = {«„}.

Т. о., справедливы неравенства

от ^ а < ап . (7.5)

ат + + НГП. (7.6)

Положив, теперь, в (7.5) и (7.6) т = п, получим

«„ $оп + ПГп, а„ ^ а + 0 ^ ап + КГ" . (7.7)

Поскольку,

ап 4- 10_п - а„ = 2 • Ю-" ,

то на основании (7.7), последнего равенства и достаточного условия равенства заключаем, что а 4- 0 = а. что и требовалось.

4) Уоб Я 3 (-а) : а 4-(-а) = 0.

Действительно, если а = ао, аца? ... а„ ..., где п-о любое целое неотрицательное число, а а, . / = 1, 2.... одна из цифр 0, 1, 2, ..., 9, то определим (-а) = -о0, ото2 ...«„•• • Тогда о„ = п0,о1а2...аП1 а„ = а0.а,о2...о„ + 10~", (-«)^ = -о0,О1«2■ •-а»» ~ (-п)п = -ао»сцо2 - Оп5 значит, согласно определению 1 для а + (—я) А = |«т 4-(—а)ш} =

{- Ю-'"}. V = |я(1 + (--а)„ | = {10 "}. Т. о., справедливы неравенства

-10"т ^ о+ (-а) ^ Ю-", (7.8)

-КГт ^ 0 ^ 10"". (7.9)

Положив, теперь, в (7.8) и (7.9) т = п. получим

-1(Г" ^ а + (-я) ^ 10"", -ИГ" ^ 0 ^ 10"" . (7.10)

Поскольку,

Ю-' _ (-10"") = 2 -КГ",

то на основании (7.10), последнего равенства и достаточного условия равенства заключаем, что в этом случае а +(—я) = 0.

Если же а = — Оо, а\ач.. . а„... , где о0 любое целое неотрицательное число, а о, ,/ = 1, 2,... — одна «и цифр

0, 1, 2.....9. то определим (—я) = с*о>сц«2 ■ • .°п • • • ■ Тогда

а„ = -ао.отаг .. .а„ - 10"", а„ = -о0, а^ ... п„, (~а)п = -а0, «1«2 ... оп. ( о)Т1 = -«о, «102 ...аП + 10~", а, значит, согласно определению 1 для я 4- (—я) Л" = |ят 4- (-я) | =

= {-10"т}, У = {я„ 4- (-а),,} = {10""}. Т. о., справедливы неравенства

-10~т ^ а 4- (-а) ^ 10"", (7.11)

-10"т ^ 0 ^ 10"". (7.12)

Положив, теперь, в (7.11) и (7.12) т = п, получим

-10"" ^ я +(-а) ^ 10"", -10"" ^ 0 ^ 10"". (7.13)

Поскольку,

10"" — ( — 10"") = 2 • 10"",

то на основании (7.13), последнего равенства и достаточного условия равенства заключаем, что и в этом случае я-(-(—я) = 0.

Определение 2. Произведением двух действительных -чисел а ^ 0 и Ь ^ 0 назовем действительное число г/, которое для

любых целых неотрицательных т и п удовлетворяет неравенству

ЧтЬт^(1^апЬп. (7.14)

В остальных случаях произведение аЬ определяется следующим образом:

аЬ = —(а(—Ь)), если а ^ 0. Ь < 0;

аЬ = -((-а)Ь), если а <0,6^0; (7.15)

об = (—а)(—Ь). если а < 0, 6 < 0 .

Существование г/ из (7.14) следует из теоремы непрерывности предыдущего пункта. Действительно, пусть множество Л* = {ат}Ьт, а множество У = {о„6„}. Нужно доказать лишь справедливость (3.7), т.е.

атЪт ^ «А (7.16)

для любых целых неотрицательных т и п. Но (7.16) следует из (3.23).

Единственность д из (7.14) докажем от противного. Пусть существуют </ и <!' не обязательно равные между собой, удовлетворяющие (7.14). Поскольку д' удовлетворяет (7.14), то

ЧтЬт ^ с* ^ а„Ь,г (7.17)

Положив, теперь, в (7.1) п (7.3) т = го, получим

а„£„ ^ д ^ апЬп , аиЬп ^ д' ^ я(1Ь„ . (7.18)

Поскольку,

апЬп - а„Ьп = («„ 4-10~п)(Ьп + 10"") - апЬп = = (ап+6п)10-" + 10-2",

то на основании (3.1) и (3.2) заключаем, что

апЬп — апЬп ^ {Щ + И^+1)НГп.

Тогда на основании (7.18), последнего неравенства и достаточного условия равенства заключаем, что г/ = г/*.

Существование и единственность произведения в остальных случаях следуют из формул (7.15).

Докажем теперь свойства умножения II. 1 II. 3.

5)Уа,ЬеЯ аЬ = Ьа.

Справедливость этого свойства следует из определения 2. т. к. множество {аш6„,} совпадает с множеством {Ьта„,}. а множество {«„/>„} с множеством {Ьпап} .

6) V«,/». с 6 Я а(Ьс) = {аЬ)с.

Справедливость этого свойства следует из определения 2. т.к. множество {а,„(Ьтсш)} совпадает с множеством {{итЬг„)с„,}, а множество {«„ (й„о„)} совпадает с множеством { (а„Ьи) г„ }.

7) 316 Л, 1^0: V« € Я а\ = а.

Действительно, согласно определению 2 для а 1 множество А' = {ато1то} = {ат}, а множество У= {а„Т„} = {а„ (1 + 10"")}, а для и X = {я,,,} и У = {а„}.

Т. о., справедливы неравенства

ат < о1 ^ «„ (1 + НГ") , (7.19)

ат ^ а ^ а„ . (7.20)

Положив, теперь, в (7.19) и (7.20) т = п. получим

«„ ^ «1 ^ «„ (1 + И)"") , о„ ^ и ^ ап < ап (1 + 10-") . (7.21)

Поскольку,

«„ (1 + 10-") - а„ = (ап + 10"") (1 + 10~") -«„ = = И)"" + а „Ю-" + Ю-2" ^ (а0 -I- 2) 10"" ,

то на основании (7.21), последнего равенства и достаточного условия равенства заключаем, что al = а, что и требовалось. Докажем теперь свойство сложения и умножения III.

8) Va, b, с 6 R (а + b)c = а + bc.

Справедливость этого свойства следует из определении 1 и 2. т. к. множество {(ат + Ьт)ет} совпадает с множеством {(Lmil„, + ömcm}, а множество {(«„ + 6„)г„} совпадает с. множеством { а ц сп + Ьпсп).

Докажем теперь свойства упорядоченности IV. 2 и IV. 3.

9) Если а < Ь, то Vc G Ra + c<b + c. Если а < 6, то

3 п0 : Vn ^ Sn + 10-"° $ Ьп. (7.22)

Действительно, из (3.3) следует, что

3 7i0 : ä„o + 10"n° ^ Ь„о,

а уже из этого можно заключить справедливость цепочки неравенств

än + 10-"" ^ ä„() + io~n° ^ьПо^ьГ1.

Далее, на основании (7.22), имеем а + с ^ ö„ + cri < ä„+cn + 9 10-n°-1 = ä„-(-10""°+ с„ - lü"nu_1 =

= ö„ + 10""° + с„ £Ъп + сп^Ь + с,

откуда, следует справедливость 9).

10) Если а > b и с > 0, то ас > Ьс. Докажем сначала, что если а > Ь, го

Зп^Уп^п, ап — Ьп > 10~"' . (7.23)

Действительно, из неравенства а > b следует, что

3 77, : апх > ЬП1 = 6В1 + 10-"' =► апх - 6„, > 10""' => 163

=>ащ-ЬП1> 2-10—

Поскольку, Уп ^ 711

а„1 + 1 - "'к - /3»

«„ - = а«, - йп, + —— + • • • + 10„ -

то

ап-Ьп = |а„ - Ьп\ > |а„, -ЬП1|-

£*Щ+1 — 0П1+1 + - 0п

= аП1 - кп, -

10Щ+1

10"

= 2- Ю-"1 -

> 2 • Ю-"1 -9

10"1+1 9

4-----Н

«71 - 0П

10"

10"1+1 1

= 2 - КГ"1 - 10"П1 = 10-"' .

Юп,+1 1-1/Ю Из (7.23) следует, что т. к. с > 0, то

3 712 : с„ > Ю-"2. (7.24)

Положив N = тах{п1,п2} из (7.23) и (7.24) получим, что

Уп^ЛГ сп(ап-Ьп) >10-"'-"%

откуда Уп ^ N

ас^М апсп > Ьпсп 4- Ю-"1-"2.

Из последнего неравенства следует, что

ас > (Ьп - 10-") (сп - 10-") 4- Ю-"1'"2 = Ьпсп 4- Ю""'-"2-

-10-" {К + с„) + Ю-2" > Кс» 4- Ю-"1""2 - 10-" {К 4- Сп) > Ьс.

(7.25)

Справедаивость (7.25) следует из того, что

10

-111

- 10"" (5П +Сп) = 10-" [Ю"-"'-"2 - (5„ 4- сп)} > о.

(7.26)

В свою очередь (7.26) выполнено в силу неравенства

Ю"-"1-"2 > Ьп +с„. (7.27)

Справедливость (7.27) при достаточно больших п следует из того, что при увеличении п на единицу левая часть (7.27) увеличивается в 10 раз, а правая в силу (3.2) не возрастает.

Из свойства 10) следует, что если а > Ь и с < 0, то ас < Ьс. Действительно, т. к. с < 0, то (—с) > 0 и тогда из 10) следует, что а(— с) > Ь(—с), а значит —ас > —Ьс. Тогда, в силу 9) добавив к обеим частям последнего неравенства ас + Ьс, получим Ьс >

> ас, что и требовалось. Здесь мы воспользовались равенствами а(—с) = —ас и Ь(—с) = —Ьс, которые очевидны.

Определение 3. Пусть а ф 0. Число Ь. Оля которого аЬ = 1, называется обратным к а и обозначается £ или а~х.

Единственность обратного числа для данного а ф 0 следует из свойства 9). Действительно, пусть а,-1 и о21 числа обратные к а и 1 < а?1 для определенности. Тогда, если о > 0, имеем 1 =оа^' < аа2 1 = 1, а если а < 0, имеем 1 = аа^1 >

> аа2' = 1. Полученные неравенства противоречивы.

Докажем существование обратного числа для а ф 0. Ограничимся сначала случаем а > 0. Обозначим X — = {х € Я : ах < 1}, У = {у € Я : ау > 1}. Для X и Г выполнены все условия теоремы Дедекинда. Действительно, для любого х либо ах ^ 1, либо ах > 1. Если а^1,тоо-1^1и значит 1 € X. Далее, существует натуральное т, такое что ат > 1 и тогда т € У. Если а > 1, то а ■ 1 > 1 и значит 1 € У. Далее, существует натуральное т, такое что а ■ ^ ^ 1. Тог да ^ £ Л*. Т. о., X и У- непусты. Кроме этого,

Ух е X и У у еУ ах ^ 1 < ау.

Отсюда х < у. По теореме Дедекинда существует действитель-ное число с, удовлетворяющее неравенству

х^с^у, Ух € X, УуеГ. (7.28)

Покажем, что с - Ь. Из (7.28) следует, что с — 10~п € А", с+ 10 " £ У. Поэтому, для любого целого неотрицательного п

а(- Ю-") ^ 1 < а( + 10~").

Тогда

-а • 10_п ^ 1 - ас < а • 10"*,

что возможно лишь при ас = 1.

Существование Ь из определения 3 при а < 0 следует из формулы (7.15), т.к.

аЬ= (-а)(-Ь) = 1, а < 0, ¿<0;

откуда

<-»> = 1

а это значит

6=-гЦ = -(-а)-1, а < 0 .

(-а)

Как мы уже отмечали, а — Ь = а + (—Ь) называется разностью а п Ь. а | = а • £ называется частным от деления а на Ь при Ь ф 0.

8. Степени и логарифмы

Если к - натуральное число, то для любого действительного числа а. по определению

ак = а • а •(...)• а,

где ь правой части последнего равенства находится к сомножителей.

Также, дпя любого действительного числа а по определению полагаем

а° = 1.

Определение 1. Пусть а > П. Числи b > 0, для которого bk - а называется корнем (арифметическим.) k-той степени из а, т. е. \/а или ах'к.

Единственность арифметического корня следует из леммы о транзитивности и свойства 10) пункта 4. Действительно, если корни Ь\ и b¿, таковы что b{ > b-¿, то 6f > b\b2 > Полагая b*"1 > б*-1) получаем bk > b\bk¿~1 > bk¿. Поэтому, либо Ьк ф о, либо Ьк Ф а-

Докажем существование b = s/a для а > 0 и натурального к. Обозначим Л* = {х € R, х > 0 : хк ^ о}, У = {у 6 Я, у > 0 : ук > «}. Для X и )' выполнены все условия теоремы Дедекинда. Действительно, выберем такое натуральное число т. чтобы выполнялись неравенства 1 /т < а < гп, тогда (1 /т)к < а < тк и. поэтому, 1 /т € X. т € У. Т. о., ни Л', ни )' не являются пустыми множествами.

Далее, хк ^ а < ук. Т. к. ./• > 0, у > 0, то неравенство хк < ук равносильно неравенству х < у. По теореме Дедекинда существует единственное число , удовлетворяющее неравенству

х ^ с ^ у, Vx 6 X, Vy 6 Y.

Покажем, что с= Ь. Если а > 0. то

3 п0 : а > Ю-"0 > (Ю""0)2,

Поэтому. Ю-"0 € -V и с ^ 10""° > 0. Тогда

(с - 10"')* < а < (с 4- 10"')*. V/ ^ п0 .

(8.1)

Используя формулу

рп -Яп = (р- я)(р"~1 + р""29 + ... + РЯп'2 + 9П_1)>

легко показать, что

(с -I- Ю-')'1 - ск ^ К ■ 10"', с* - (с - Ю-')* ^ Л' • 10^', (8.2) где К = кг*. Тогда, из (8.1) и (8.2) следует, что для всех I ^ п0 -К • 10"' ^ а - с* ^ К ■ 10"',

что возможно лишь при а = с*, т. е. при с — Ь.

Определение 2. Пусть а неотрицательное действительное число, г — рациональное число. Если а ^ 0 и г = р/ц несократимая дробь, где р — целое неотрицательное число, а у — натуральное, то аГ = (Уа)р, а если а > 0 и г < 0, то аТ = (а_1)~г, где а"1 — число обратное к а.

Из этого onpeдeJ\eнuя следует, что, если а, Ь неотрицательные действительные числа, г, Г\, г2 — рациональные числа, то справедливы свойства:

1) если а > 1 и Г\ > г2, то ап > аГ2;

2) (аГ1)Г2 = аГ1'Г2;

3) аг,+Г2 = аг' • аГ2;

4) аг ■ Ьг = (аЬ)г;

5) если а > Ь > 0 и г > 0, то аг > Ьг .

Докажем 1). Если а > 1, то а1''1 > 1 для любого натурального у. Действительно, предполагая обратное а1/' < 1, получаем

а = {а1'4)4 ^ (а1/')9-1 ^ (а1/ч)ч~2 ^ ... (а1/ч)2 ^ а1/ч ^ 1,

т. е. приходим к противоречию. Отсюда, следует, что а?'4 > 1, если р любое натуральное. Тогда аГ1~г'г > 1. Домножив обе части последнего на аТг получаем требуемое неравенство.

168

Докажем 2). Пусть п = Рг/<7ь г2 = Рг/ф- Тогда

(„Г,,,, = 8 = ( = ^ 1 (8Л)

с другой стороны

аТуТ2 = а«1« = "УаР"'».

(8.4)

Равенство 2) при (8.3) и (8.4) будет иметь вид

У ( Ч/^")

Р2 Р1Р2

= ЦЧ1Ч2 ,

(8.5)

Для того, чтобы доказать (8.5) надо сначала из определения целой степени и ассоциативности умножения доказать его для <]х = д2 = 1, т. е.

Из определения натуральной и нулевой степени и ассоциативности умножения убеждаемся, что левая и правая части (8.6) суть произведения числа а на себя р\р2 раз. Тому же самому произведению равны левая и правая части (8.6) в силу третьей формулы (7.15), если р\ и р2 целые отрицательные числа. В силу первой и второй формул (7.15) левая и правая части (8.6) равны произведению числа 1 /а на себя Р\Р2 раз.

Далее, докажем формулу (8.5) при р\ = р2 = т. е.

Пусть Ц/ = с, это означает, что = с42, откуда а = (с42)41 = с4142. Справедливость последнего следует из (8.6). Из последнего равенства получаем с = а значит (8.7)

доказано.

Заменяя в (8.7) а на аР1Р2. получим

(8.6)

(8.7)

Далее, отметим, что (1 ^ О \/(Г> = в,. Это сразу следует из определения 1. Из этого равенства сразу следует, что ув? = = • Для справедливости последнего достаточно взять

И = 1/71. тогда (I = № и#= {/Щр = = И", =

= И1'. Пользуясь последним, для левой и правой части (8.8), получим

У V«PIP2 = V^)"', (8.9)

"^арт = (i1^)PlP2 = . (8.10)

Из (8.8), (8.9) н (8.10) следует справедливость (8.5), что и требовалось.

Докажем 3). В тех же обозначениях

PJ. . Р1 Я ' + Г"?Ч1

— - -

аГ1+п = а41 ч2 = и -пч2 = — 4i\ZaP\4i(iPiQi =

PI 92 Р2Ч1 PI P2

= Ч1^/аР1Ч2 . ч^аР2Ч\ = П<ИЧ2 . а'142 = • ая2 = аТх ■ аГ2 .

Для доказательства этой цепочки равенств осталось доказать, что

аР\Ч2+Р2Я\ — аР\Ч2аР1Ч\

но это сразу следует из определения целой степени. Докажем 4). В тех же обозначениях

аг ■ V = ая • Ья = • = {уЪ)р(1ГЬ)» = (</¡1 ■ <Д>У =

= {</7ьу = (аЬ)я = (аЪ)г. Для справедливости этой цепочки осталось доказать, что

Ус1-<Гь= Л.

На основании определения 1 если а = а\ и l/J> = bi, то а = а' и b = b\. Но ab = ciftf = (aibi)g, откуда \/öb = a}bi.

Докажем 5). При тех же обозначениях надо доказать , что ар/ч > 1//Ч прц а > I) > 0. Из а > Ь > 0 следует, что а? > № из леммы о транзитивности пункта 3 и свойства 10) пункта 4. Положим а2 = яр/<? и Ь2 = Ьр/ч. Надо доказать, что а2 > Ь2. Предположим противное: а2 ^ 1>2. Но тогда а\ ^ Ь\ и, значит ар ^ что невозможно.

Неравенство Бернулли. Для любого целого неотрицательного к

(14-х)* ^ 1 + кх, Ух> -1. (8.11)

Докажем (8.11) но индукции. При к = 0 (8.11) является равенством, левая и правая части которого равны единице. Если предположить справедливость (8.11) при некотором к, то мы имеем

(1 4- х)*+1 = (1 4- х)* (1 4- х) > (1 4- кх) (1 4- х) =

= 1 + кх 4- х + кх2 ^ 1 + (А; + 1) х.

Отсюда, по индукции следует справедливость (8.11) при любом целом неотрицательном к.

Лемма. Если а > 1, то 0 < — 1 ^

Действительно, из (8.11) следует, что

а= (14-(</о- 1))* ^ 1 + к(№- 1), и лемма доказана.

Определение 3. Пусть действительное число а ^ 1, а х любое, действительное число. Число с = ах, называемое степенью с основанием а и показателем х, определяется как удовлетворяющее неравенству

агт ^ с ^ а?п , (8.12)

при любых целых неотрицательных т и п. Если же 0 < а < 1. то

ах = (а-1) 1 . (8.13)

Существование с из (8.12) следует из теоремы непрерывности пункта 3. Действительно, пусть множество X = {л*"1}, а множество V = {аХи}. Нужно доказать лишь справедливость (3.7), т.е.

аг-<аг-, (8.14)

для любых целых неотрицательных т и п. Но (8.14) следует из свойства 1) степени с рациональным показателем.

Единственность с из (8.12) доказывается от противного. Пусть существуют с и г*, удовлетворяющие (8.12), и для определенности

с<с\ (8.15)

Тогда, на основании определения 2 пункта 3 существует целое неотрицательное л,, такое что

,<£*„,. (8-16)

Из (8.12) для с и с* при т — л, (8.15) и (8.16) получаем

а~т ^ сП1 < с*П1 ^ а'п,

откуда

О < с*П1 -с„, ^ а£" -с„, , ^ -аг" =» с*П1 -сП| ^ а7п -а£» .

Т. к. дпя любого целого неотрицательного л

а1п - а~п = (аге» - 1 аг°-—- ,

V / Ю"

здесь мы применили лемму, то

г* - с < а*0 ° ~ *

что невозможно.

Существование и единственность а1 при 0 < я < 1 следует из только что доказанного и формулы (8.13).

Свойства степеней с действительными показателями аналогичны свойствам степеней с рациональными показателями 1) - 5).

Докажем, что справедливо аналогичное 1) свойство а) если а > 1 и х > у, то а1 > ау.

Действительно, если х > у, то

3 п : хП2 > уП1,

а т. к. о > 1, то в силу свойства 1) степеней с рациональными показателями

а-п ^ аг"2 > а?п* ^ аРп \/п ^ п2 ■ Тогда из (8.12) получим

а1 ^ а~п* > а?п1 ^ а",

что и требовалось.

Докажем, что справедливо аналогичное 2) свойство б) если а > 0, то (а*)" = аху .

Пусть а > 1, тогда из (8.12)

а~т ^ с ^ аг", (8.17)

(ах)-т ^ (а1)" ^ (а1)*» , (8.18)

Из левого неравенства (8.15) и свойства 5) степеней с рациональными показателями получаем

(а*-)«". ^ (а1)*".. (8.19)

Из правого неравенства и того же свойства 5) степеней с рациональными показателями имеем

(ах)Рп ^ (а*"Уп . (8.20)

Теперь из (8.18), (8.19), (8.20) и свойства 2) степеней с рациональными показателями получим

О*тут = (а£т)Ут ^ (а*)-т ^ {ах)у ^ {а'Уп ^ (аг")5" = а7"*».

(8.21)

С другой стороны, из (7.14) и (8.12) для любых целых неотрицательных р и г/

а^* ^ а1" ^ а*»' . (8.22)

Из (3.22) следует, что

хур^ ху ^ ху,, (8.23)

а из (7.14) справедливо неравенство

ХтУ,п ^ ху ^ Хпуп . (8.24)

Тогда, из (8.24) при т = п и (8.23) при р — ц следует, что для любого р существует п, такое что

^ £„УП < хпуп < *Ур ■ (8.25)

Из (8.25) мы получаем

аШР ^ а£пУп) а*пУп . (8.26)

Обращаясь к (8.21) при т = п и (8.24) мы имеем

аЕЬ> ^ (а*)У ^ а*йр , (8.27)

а из (8.22) при р = ц

а^* ^ аху ^ а^р. (8.28)

Из (8.27) и (8.28) получаем

(о1)*' - аху ^ а**' - аху , -аху ^ а.

Т. о., in последних неравенств следует

(ах)и - аху ^ а~у" - а^* = а^" - l) . (8.29)

Проделывая те же выкладки предварительно поменяв местами (8.27) и (8.28), получаем

аху - (ах)у < а^р - а^р = а^р (а^ - l) . (8.30)

Из (8.29) и (8.30) на основании леммы следует справедливость б) при а > 1.

При а = 1 справедливость б) очевидна, а при 0 < а < 1 она следует из (8.13).

Докажем, что справедливо аналогичное 3) свойство в) если о > 0, то ах+у = ах • ау. Пусть а > 1, тогда из свойства а) следует, что

^ ах+у ^ , (8.31)

при любых целых неотрицательных тп и п и

а£таУт ^ а*аУ аХпаУ„ (8.32)

Из свойства 3) для степеней с рациональными показателями, (8.31) и (8.29) при m = п, имеем

ах+у - ах ■ ау ^ аХп+у» - ах ■ ау,

—ах • ау ^ -ain • а^' = .

Из последних двух неравенств получаем

ах+у - ох • ау ^ аХп+у« - а^+у-п = (а^ - l) . (8.33)

Проделывая те же выкладки предварительно поменяв местами (8.31) и (8.29), получаем

ах • ау - ах+у ^ ах"аУп - с£«ау» = а*»ау-« (a^* - 1 j . (8.34) 175

Пз (8.33) и (8.34) на основании леммы следует справедливость в) при я > 1.

При « = 1 справедливость в) очевидна, а при 0 < я < 1 она следует из (8.13).

Докажем, что справедливо аналогичное 4) свойство г) если а > 0 и Ь > 0, то атЬ£ = (аЬ)х. Пусть а > 1 и Ь > 1. тогда из свойства а) следует, что

^ах-Ъх ЪХп (8.35)

при любых целых неотрицательных т и тг и

(аЬ)г- ^ (аЬ)х ^ (аЬ)Хп . (8.36)

Далее доказательство г) аналогично доказательству в) только (8.31) надо заменить на (8.35), а (8.29) на (8.36).

При я = 1 или 6=1 справедливость г) очевидна, а при О < я < 1, или 0 < Ь < 1 она следует из (8.13).

Докажем, что справедливо аналогичное 5) свойство д) ес-ли я > Ь > 0 и х > 0, то я1 > Ьх.

Если а, > 1 и х > 0, то а' > = 1. Пусть я. = тогда (|)т > 1. Домножив обе части последнего на Ь1. в силу доказанных свойств, имеем

Определение 4. Пусть Ь > О, Ь ф 1 и а > 0. Число 0, Оля которого Ьа = я, называется логарифмом числа а по основанию Ь и обозначается 0 =

Единственность логарифма следует из свойства 1).

Предположим противное. Пусть <1Л и с12 суть и ¿\ ф

Ф (12. Предположим, что (1\ > 02, тогда (1\ = К^ья и 02 = 1о§ь я. Мы имеем = я и Ь'1'2 = я, но > Ьн- при > в.2, если Ь > 1 и Ь^ < Ьпри 0 < Ь < 1, последнее устанавливается

176

простой проверкой. Полученное противоречие доказывает искомую единственность.

Докажем существование d = log6o. Пусть b > 1. Обозначим X = {.т € Я : х > О, Ь1 ^ а}, У = {у 6 Я: у > О, W > а}. Для Л* и У выполнены все условия теоремы Дедекинда. Действительно, если мы рассмотрим множество Ьт. где переменная х принимает лишь целые значения, то мы можем взять такое отрицательное х, что bz будет не больше любого наперед заданного числа, а значит и а, мы можем взять такое натуральное х, что Ь1 будет больше любого наперед заданного числа, а значит и а. Это означает, что Ли Уне пусты. Далее, для любого х £ Я справедливо либо b1 ^ а, либо Ьт > а. Это значит, что любое х € Я попадает либо в X, либо в У. II. наконец, для любых х € X и у £ У справедливо неравенство bT ^ а < Ьу, или b1 < W. Из последнего неравенст ва следует неравенство х < у, т.е. (3.27). Действительно, предполагая противное х ^ у приходим к Ьх ^ Ьу. что невозможно. Применяя теорему Дедекинда, получаем существование с/, удовлетворяющего неравенству х ^ d ^ у, откуда следует, что Ьх ^ bd ^ /Л для любого х € X и любого у G У. Но Ь1 ^ я < Ьу Ух € Л', Vy G У. Обозначив за А'* = : х <Е X}, У* = {6" : у € 1'} и применяя к Л" и У* теорему Дедекинда, получаем а = bd, или <1 = log6a.

Существование d — log6a при 0 < b < 1 следует из формулы (8.13).

Свойства логарифмов являются прямыми следствиями свойств степеней. Действительно:

а) если b > 1 и х > у > 0, то log6x > log6y, а если О < b < \ и х > у > 0, то log6 х < log6 у.

Для доказательства достаточно обозначить £ = logft х и т7 = logby, тогда х = №. у = bv и при b > 1 // > W £ > 7;, т.к. если бы £ ^ 7/, то в силу а) № ^ //'. а это противоречит условию.

Если О <Ь<1, то из (8.13) имеем х = у =

£ = 1ой6_1 х-1, 1] = у-1. Из х > у следует, что (б-1)-* > > (б-1)-'' и, значит, —£ > —г), т. е. £ < г/.

Докажем, что 0) если Ь > О, Ь ф 1; с > 0. с ф 1: а > 0, то

Достаточно доказать, что к^бк^а = и. Действительно. из свойства б) степеней

= 0,

откуда

clogc6!ogba = rlogra ^ \og b\ogb(1 = logr а .

Докажем, что 7) если а > 0, с > 0; b > 0, b ф 1, то logb(ac) = log6 a + logb с. Действительно, в силу свойства с) степеней

¿log6(ac) _ ac ¿logb a+logb с _ ¿logj, a . ¿logbr _ flr

откуда

¿log„(ac) _ ¿logb a+logj, с ^ l0g6(ac) = Iogb « + log^ С . Докажем, что

5) если а > 0, b > Q. b ф 1, то logba' = log6a. Действительно, в силу свойства б) степеней

61окь = av i ьс log(-a = (b°l08fc "У = ac,

откуда

6logb ac _ bc lofo a ^ ,ogb ac = ^ fl

9 . Рациональные и иррациональные

числа

Итак, рациональное число это число вида где m целое. а п натуральное.

Известно, как вводятся операции суммы и произведения рациональных чисел. Известны свойства этих операций |13|.

Известно, что любое рациональное число можно представить в виде либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дроби, используя алгоритм деления «уголком» |1()|.

Обратно, зная бесконечную периодическую десятичную дробь, можно найги m и п. Для этого используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии a + aq + aq2 + ... = ^, |g| < 1 |Ю|.

Например,

45 45 _ _ Л 45 27

100

Рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, будем отождес твлять с соответствующей бесконечной десятичной дробью с нулем в периоде, т. е. 2,5 с 2.5(0), а не с 2,4(9).

При таком соглашении между множеством рациональных чисел и множеством бесконечных периодических десятичных дробей можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если бесконечная десятичная дробь является периодической. то она является рациональным числом, а если эта дробь не является периодической, то ее называют иррациональным числом.

Нетрудно привести простые примеры иррациональных чисел:

0,12345678910111213... .

Здесь, после запятой стоят натуральные числа, выписанные подряд, начиная с единицы.

1,10100100010000... .

Здесь, после запятой стоят выписанные подряд степени десятки: первая 10, вторая 100, третья 1000, четвертая 10000 и т.д.

10. Счетность множества рациональных чисел

Множества X и У называют эквивалентными и пишут Л' ~ У, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Это означает, что:

1) каждому элементу х € X соответствует единственный элемент у 6 У;

2) каждый элемент у е V при этом соответствует некоторому элементу х € X ;

3) разным элементам множества X соответствуют разные элементы множества ) .

Множество эквивалентное множеству натуральных чисел называется счетным. Говорят также, что элементы счетного множества можно занумеровать числами натурального ряда.

Теорема 1. Множество ]нщионильных чисел Q счетно.

Доказательство. Пусть Е множество положительных рациональных чисел. Это множество состоит из всех несократимых дробей вида m/n, где m, п принадлежат множеству натуральных чисел. Выпишем подряд все несократимые дроби, у которых сумма числителя т и знаменателя тг равна двум, трем.

четырем, пяти и т.д. Получим бесконечную строку

1 12 13 12 3 4 15

■ 1 .' .2' 1.' .3' 1.' .4'3 '2 1, .5 1...... '

т+п=2 т+п—3 т+п=4 т+п=5 т4-п=6

В этой бесконечной строке, состоящей из различных чисел, содержатся все элементы множества Е. Обозначим п-ый член строки (10.1) через г„. Тогда все рациональные числа, т.е. все элементы множества С), содержатся в бесконечной строке

0, тх, -Г1 , г2, г2, ... , г„ , -тп, ....

11. Несчетность множества действительных чисел

Множество, не являющееся конечным или счетным, называют несчечным.

Теорема 2. Множество действительных чисел Н несчетно.

Доказательство. Докажем, что множество положительных действительных чисел /?+ несчетно. Предположим противное. Тогда все элементы множества Л+ содержатся в совокупности {«*}. где ак = 'ау ...:

(1) (1) (1) Я! = О!о ,а2 ... ,

(2) (2) (2) а2 = ак0 ',а, 'а2 ... ,

(к) (к) (к) ак = а0 ',а\ а2 ... ,

Покажем, что существует число Ь = 0, ■ • •, не содержащееся в совокупности {«*•}. Выберем цифру так, чтобы

Зх ф а'0, Зх ф 0, Зх ф 9; цифру 32 так, чтобы & ф а'2', Д, ф О, [32 Ф 9 и т.д. Вообще, для любого натурального А- выберем Зк гак, чтобы 'Зк Ф Зк Ф 0, Зк Ф 9. Тогда Ь Ф ак в силу леммы о равенстве. Это противоречит предположению о том, что любое число из /?+. содержится в совокупности {а*}. Т.о., множество /?+ не является счетным, а. поэтому, и множество Я действительных чисел также несчетно.

12. Теорема Кантора о вложенных отрезках

Определение 1. Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие число хп, то множество хп, п = - 1,2,..., называется числовой последовательностью, которую обозначают {х„}.

Определение 2. Последовательность отрезков [а„.£>„], где п натуральное число называется последовательностью вложенных отрезков если

У/г [ап+1Л1+1] С [а„А] .

Теорема Кантора о вложенных отрезках. У любой последовательности вложенных отрезков [оп,/гп] существует хотя бы одна общая точка.

Пусть, далее, не существует отрезка положительной длины общего для всех отрезков [а„,&„], то обитая точка единственна [14, гл. II, §8, .43].

Доказательство. Обратимся к теореме непрерывности параграфа 3, полагая Л' = {а,,,} и У = {£>„}• Докажем, что если т и п натуральные числа, то

Ут,п ат ^ Ьп . (12.1)

Действительно, если т ^ и. то в силу определении 2 мы можем написать

ат^ап<Ь „. (12.2)

В том случае, если гп > п , то в силу того же определения 2

ат<Ьт^Ьп. (12.3)

Из (12.2) и (12.3) следует справедливость неравенства (12.1), которое в нашем случае играет роль условия (5.1). В силу утверждения (5.2) из теоремы непрерывности пункта 5 следует, что

3 с е Я : Ут, п ат < с ^ Ьп, т = 1,2.....п = 1,2,... . (12.4)

Полагая в (12.4) т = п получаем, что

3 с € Я : Уп а„ ^ с ^ Ьп, п = 1,2,..., (12.5)

и первая часть теоремы доказана.

Вторую часть теоремы докажем от противного. Пусть существуют общие точки для всех [а„, &„] с и с*, такие что с Ф с*. т.е. помимо (12.5) выполнено условие

3 с* € Я : Уп а„ < с* Оп, п = 1,2..... (12.6)

Без ограничения общности предположим, что г < г* Тогда из (12.5) и (12.6)

ап^с<с'^Ьп, п = 1,2,.... (12.7)

Т.о., из (12.7)

Уг € [с,с*] а„ ^ с^ г ^ с9 ^ Ъп, п= 1,2,.... (12.8)

Из (12.8) следует, что отрезок положительной длины [с, с*] является общим, что противоречит условию. Значит предположение существования с и с* удовлетворяющих соответственно

(12.5) и (12.6) приводит к противоречию и вторая часть теоремы докатана. Отсюда, докатана и вся теорема.

Возникает естественный вопрос: если вложенные отрезки [я„,6„] заменить на вложенные интервалы (а„, 6„), которые определяются аналогично, останется ли справедливым основное утверждение теоремы.

Простой пример вложенных интервалов (0, показывает, что общей точки у приведенных вложенных интервалов нет.

Имеются изложения, где утверждение теоремы Кантора без единственности общей точки является аксиомой [14. гл. II, §8, с. 45|.

13. Альтернативное оирелеление числа е

Традиционно число еопределяется при помощи предела последовательности 11-5, 8-11). Мы в этом пункте дадим определение этого числа, не использующее определение предела последовательности. Это определение будет использовать лишь теорему непрерывности пункта 3 предыдущей главы |14|.

Определение. Числом е назовем действительное число, которое для любых целых неотрицательных т и н удовлетворяет неравенству

КГ-ИГ (ш)

Существование е из (13.1) следует из теоремы непрерывности пункта 3 предыдущей главы |14|. Действительно, пусть множество А' = {(14- "'}. а множество )' = |(1 4-

184

Нужно доказать лишь справедливость (5.1), т.е.

ИГ ИГ (1х2)

для любых целых неотрицательных т и п. При /71 = п мы имеем

1 + 1)\Л+1)-(1 + ±)_(1 + 1Г\ (13.з)

ТП) \ ш) \ 771 / \ 771)

Если 77г < 71, то

^гиг«ИГ (1з-4)

Последнее справедливо в силу цепочки равенств и неравенств

1 г

0+А] | гп -1

(771 + 1)"'1)'

т2т-1

771 / 77? 2 — 1 V" 711 — 1 \ 7712 )

/ 1 \ гп 771 / 1

1 - —г I ^

т — 1 V т2 „

771 ТП — 1

^ 771 / 771 \ _ 771 / 1 \ _ 711 ^ 171 — 1 V 7712 / 177. — 1 \ 771 / 771 — 1 771

Здесь мы применили неравенство Бернулли (8.11). Если 777 > п, то

= 1.

КГ* К).....«ИГ (13'5>

Последнее справедливо в силу цепочки равенств и неравенств

(1 + ±)"'+1 (т + 1)"м' (го - 1)'

V 7П2 - ] )

771 \ 7712

т/1 - 1 / т + 1 \ тп - 1 / 1 \ >-( 2-Г =- 1 +-7 = 1 ■

777 \ тг — 1 / 771 \ 777 — 1 /

Здесь мы применили неравенство Бернуллн (8.11). Из (13.3), (13.4) и (13.5) следует (13.2).

Единственность е из (13.1) докажем следующим образом. Пусть существуют е* и е не обязательно равные между собой, удовлетворяющие (13.1). Поскольку с* удовлетворяет (13.1), то

(1 + ^) ^ + + ' (13 6) Положив теперь в (13.1) и (13.6) т = п. получим

(13.7)

Из (13.7) следует, что

\ 77 У п \ п) 71 77

Тогда

|е* - е| п ^ 4.

Левая часть последнего неравенства при г* ф е неограниченна, поэтому последнее неравенство невозможно. Отсюда следует, что е* = е.

14. Заключение

В настоящей статье довольно подробно излагаются и приводятся в соответствие два метода введения действительных чисел: аксиоматический и при помощи бесконечных десятичных дробей.

Как известно, теорема Кантора о вложенных отрезках естественно вытекает из действительных чисел, а в некоторых изложениях даже участвует в аксиоматике. Именно поэтому она и включена в этот раздел.

Список литературы

1. Кудрявцев Л. Д. Кратнкий курс математического анализа. Учебник для вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. -736 с.

2. Бесов О. В. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. Учебн. пособие. М. МФТИ, 2004. -328 с.

3. Иванов Р.Е. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. Учеб. пособие. М. МФТИ, 2000. 359 с.

4. Рождественский Б. Л. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. Учеб. пособие. - М. МИФИ, 1967. -264 с.

5. Рождественский Б. Л. Лекции по математическому анализу. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. -544 с.

6. Яковлев Г. Н. Вещественные числа. Методические указания для студ. 1 курса МФТИ, 1972. -23 с.

7. Яковлев Г. Н. Числовые последовательности и непрерывные функции. Учеб. пособие. М. МФТИ, 1992. 60 с.

8. Яковлев Г. Н. Лекции по математическому анализу. 4.1. Учеб. пособие. М. МФТИ, 1994. -212 с.

9. Яковлев Р. Н. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов. — М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2004. 340 с.

10. Тер-Крикоров А. Л/., Шабунин М. //. Курс математического анализа. Учеб. пособие доя вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -81G с.

11. Фихтпенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит.. 1962. -607 с.

12. Курс лекций. Элементы дискретной математики. М. МГТУ «МАМИ», 2006. 272 с.

13. Андронов И. К., Оку пев ,4. К. Арифметика рациональных чисел. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971. -399 с.

14. Черняев А. П. Действительные числа. Учебно-методическое пособие. - М.: МФТИ, 2010. 46 с.

15. Погорелое А. В. Основания геометрии. М.: Наука, 1968.

152 с.

16. Ландау Э. Основы анализа. — М.: Гос. ичд-во иностр. лит., 1947. -182 с.

Московский физико-технический институт. E-mail: chernyaev49@yandex.ru, chemyaevl949@inbox.ru. Поступила 30 апреля 2011 г.