Действие тензорного дифференциального оператора на подобъектах Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. С. Малаховский

4. Столяров А. В. Замечания к применению в научных исследованиях дифференциалов обобщенных символов Кронекера //Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 36. Калининград, 2010. С.144—145.

5. Шевченко Ю. И. Нормальная аффинная связность Столярова, ассоциированная с распределением плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 39. Калининград, 2008. С. 157—166.

6. Шевченко Ю. И. Плоскостная аффинная связность Столярова, ассоциированная с распределением. // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 40. Калининград, 2009. С.152—160.

7. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве: учебное пособие. Калининград, 2009.

8. Шевченко Ю. И. Проективная связность Лаптева — Остиану, ассоциированная с распределением плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 41. Калининград, 2010. С. 150—165.

V. Malakhovsky

ABOUT MISTAKES IN PRINCIPLE BYUSING GENERALIZED KRONECKER SYMBOLS IN DIFFERENTIAL GEOMETRY

Two mistakes in principle in scientific works using generalized Kroneсker symbols and its covariant differentials are analyzed.

УДК 514.75

К. В. Петешов

(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)

ДЕЙСТВИЕ

ТЕНЗОРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НА ПОДОБЪЕКТАХ

В проективном пространстве рассмотрены дифференциальные уравнения компонент символа Кронекера и дифференциальные сравнения для компонент квази-

тензора, задающего оснащение Бортолотти поверхности. Произведено неформальное разбиение этих уравнений и сравнений при подробной записи — без использования тензорного дифференциального оператора. Показано, что формальное разбиение в сжатой записи (с применением тензорного оператора) производить, вообще говоря, нельзя.

Ключевые слова: символ Кронекера, подсимволы Кронекера, оснащение Бортолотти, квазитензор.

В работе индексы принимают следующие значения: 1,3,... = 1,п; г,],... = 1,т; а,$,...= т + 1,п.

Проективное пространство Рп отнесем к подвижному реперу Я = {А, А1}, деривационные формулы которого имеют вид:

где форма в играет роль множителя пропорциональности, а

ствующей в пространстве Pn, удовлетворяют структурным уравнениям (см., напр., [1, с. 173])

dA = 0A + со1 At , dAj = в At + оС AJ + со ¡A,

базисные формы со1 ,о0,®i проективной группы GP(n), дей-

§1. Символ Кронекера и его подсимволы

Символ Кронекера б] можно трактовать как набор кон-

стант

1,если J=J, 0, если J Ф J,

которые образуют один раз ковариантный и один раз контра-вариантный тензор.

Действительно, компоненты символа Кронекера ôj удовлетворяют дифференциальным уравнениям

AôJ = 0, (1.1)

которые проверяются непосредственно:

AôJ = dôô + ôK^K - ôK coJK = 0 + соj -oJj = 0.

Значит, расписывая действие оператора A в уравнениях (1.1), имеем

dôJ+0KC -ôK с = 0. (1.1')

Найдем дифференциальные уравнения для подсимволов Кронекера ôJ,ô) в пространстве Pn. Выполним разбиение

значений индекса I=(i,a) в равенствах (1.1'). При I = 1,m , т. е. в том случае, когда индекс I пробегает значения i, имеем

dôJ +ôfCK -ôKсK = 0.

Распишем сокращенное суммирование во втором слагаемом

dô'j +ôkjCk+ô) с) -ôK с = 0.

Используя оператор A

AôJ = dôJ-ôK С +ôja'k,

получим

AôJ +ôa С) = 0. (1.2)

Аналогично при I = т + 1,п , т. е. в том случае, когда индекс I пробегает значения индекса а, имеем

л<а I яК,а <а,,к л aдJ +дJ со к = 0 .

Распишем сокращенное суммирование во втором слагаемом:

ад® + са +д1с0<а -дС = 0.

Используем оператор А:

Аба=dsа -зас +б$*а,

тогда

А8а + 8) са = 0. (1.3)

Таким образом, справедливо

Утверждение 1. В проективном пространстве Pn подсим-

волы Кронекера 8), 8а удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1.2, 1.3), т. е. являются квазитензорами, составляющими в совокупности тензор Кронекера б) .

Вывод 1. Формально разбивать значения индекса I под тензорным оператором А в дифференциальных уравнениях

(1.1) компонент символа Кронекера б) нельзя.

§2. Оснащенная по Бортолотти поверхность

В проективном пространстве Рп рассмотрим т-мерную поверхность Хт (1 < т < п) как т-параметрическое семейство касательных плоскостей. Совмещая вершину А репера с точкой касания и помещая вершины А на касательную плоскость Тт к поверхности Хт в точке А, получаем [3] уравнения поверхности Хт в репере первого порядка Я1 = {А,А^,Аа}

са = 0, са = ЛаС. (2.1)

Определение. Оснащением Бортолотти [2] поверхности Хт проективного пространства Рп называется присоединение к каждой ее точке А гиперплоскости Рп-1, не проходящей через нее, т. е. Рп-1 ФА = Рп.

Гиперплоскость Бортолотти задается совокупностью точек В1 = А1 +^А,

где коэффициенты /и1 удовлетворяют следующим сравнениям по модулю базисных форм со1

А/1 +с = 0. (2.2)

Так как А/и1 = dмI - М)а]1 , то

dцI - + с1 = 0. (2.2')

Учитывая, что )=(], а), получим развернутый вид формулы

d/и1 - /с! - /С) + с = 0. (2.3)

Выполним формальное разбиение индекса I = (¡,а) в формуле (2.2) без учета того, как действует оператор А. При I = 1,т , т. е. когда индекс I пробегает значения индекса 7 и при ^т + 1,п получим

А/1 +с = 0, А/а + с а = 0. (2.4)

Выполним неформальное разбиение индекса I не в краткой записи (2.2), а в подробной записи (2.3) с учетом (2.1 2). При I = 7 имеем

d / - / С - /а +С = 0.

Так как А/ = dмi - /ис] , то

7 г~1~1 г"а 7

7 /С

А/ -МаЛаС = 0, что эквивалентно сравнениям (2.41), так как слагаемое с базисными формами со1 можно опустить. При I =а из сравнений (2.3) получим

dМа - МСа - МрСа + Са = 0.

Используя оператор А/а = dма- МрО>а , запишем последние сравнения короче

АМа-МгСа + Са = 0,

что не совпадает со сравнениями (2.4 2). Итак, имеем

Лц1 + С = 0, АЦа - н-с'а + Са = 0 (2.5)

Утверждение 2. Сопоставляя (2.4) и (2.5), видим, что при формальном разбиении значений индекса I под оператором Л получаем сравнения, лишь частично совпадающие со сравнениями, найденными неформальным путем.

Вывод 2. Формально разбивать значения индекса под оператором Л в дифференциальных сравнениях (2.2) квазитензора /и1, задающего оснащающую гиперплоскость Борто-лотти для точки А поверхности Хт , вообще говоря, нельзя.

Список литературы

1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / пер. с англ. М., 1986.

2. Столяров А. В. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. 1977. № 8. С. 25—46.

3. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий: учебное пособие. Калининград, 2000.

K. Peteshov

SUBOBJECTS MANIPULATIONS OF THE TENSOR DIFFERENTIAL OPERATOR

Differential equations of the components of the Kronecker delta and differential comparisons of the quasi-tensor components defining the Bortolotti's clothing of surface are viewed in the projective surface. The informal partition of these equations and comparisons is performed by a detailed listning — without the use of the tensor differential operator.

It is proved that a formal partition by the contracted listning (with the use of a tensor operator) is impossible to carry out.