CC BY
1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2023, Т. 165, кн. 1 С. 16-34
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ОБЗОРНАЯ СТАТЬЯ
УДК 534.16
doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.16-34
ДЕЙСТВИЕ РАЗНЫХ ЗАПАЗДЫВАНИЙ НА СМЕШАННЫЕ ТИПЫ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ ВОЗБУЖДЕНИИ
А. А. Алифов
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва, 101990, Россия
Представлен обзор ряда статей о влиянии различных запаздываний (упругость, демпфирование, автоколебательный механизм возбуждения) на динамику классов (или видов) смешанных колебаний (СК) без учета и с учетом взаимодействия колебательной системы с источником энергии. Полученные результаты дают целостную информацию о влиянии на динамику СК различных запаздываний, как в отдельности, так и в сочетании. С учетом взаимодействия с источником энергии, единой основой для рассмотрения всех видов СК является известная расчетная схема (или модель) механической фрикционной автоколебательной системы. Представлены общие для всех видов СК нелинейные дифференциальные уравнения движения и их решения, из которых, как частные случаи, вытекают соотношения для того или иного вида СК. Приведены уравнения нестационарных движений и соотношения для вычисления амплитуды и фазы стационарных колебаний, скорости источника энергии и нагрузки на него со стороны колебательной системы, условия устойчивости стационарных колебаний. Изложены результаты расчетов, проведенных для получения информации о влиянии запаздываний на динамику системы. Проведенные расчеты демонстрируют многообразие явлений, которые могут быть обусловлены взаимодействием сил с запаздыванием и сил в источнике энергии. Различные запаздывания в одной и той же системе изменяют форму амплитудно-частотных кривых, сдвигают их, оказывают влияние на устойчивость движения.
Ключевые слова: тип колебаний, смешанные колебания, автоколебания, источник энергии, запаздывание, демпфирование, упругость, нелинейность, метод, прямая линеаризация.
Теория колебательных систем с источником энергии ограниченной мощности, нашедшая отражение во множестве исследований во всем мире [1-11] и др., напрямую связана с решением экологических проблем, возникших отчасти в связи с ростом энергопотребления на Земле. Во многих современных технических устройствах и технологических процессах при определенных условиях возникают колебательные процессы различного вида, которые могут быть вызваны также действием запаздывания, обусловленного разными факторами [12] и др. Задачи без учета свойств источника энергии в системах с запаздыванием рассмотрены во множестве работ, например, в [13-22] и др. Систематическое изучение ряда колебательных процессов с учетом различных запаздываний и ограниченной мощности источника энергии отражено в цикле работ автора [23-30] и др.
Аннотация
Введение
Существующая классификация колебаний по механизму возбуждения или характеру взаимодействия с окружающей средой [2, 31] и др. позволяет выделить
4 типа колебаний (свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания, автоколебания), отличающихся по своим особенностям (характеристикам). Они образуют также 4 вида или класса смешанных (взаимодействие типов) колебаний:
- вынужденные и параметрические колебания (ВП);
- вынужденные и автоколебания (ВА);
- параметрические и автоколебания (ПА);
- вынужденные, параметрические и автоколебания (ВПА).
Самым сложным среди смешанных колебаний является ВПА.
В работах [23-30] с учетом различных запаздываний (упругость, демпфирование, автоколебательный механизм - трение, вызывающее автоколебания) и свойства источника энергии рассмотрены:
- ВА при действии запаздывания в автоколебательном механизме [23] ;
- ВА при совместном действии запаздываний в автоколебательном механизме и упругости [24];
- ПА при запаздывании в автоколебательном механизме [25];
- ПА при совместном действии запаздываний в упругости и демпфировании [26];
- ПА при совместном действии запаздываний в автоколебательном механизме и упругости [27];
- ВПА при запаздывании в упругости [28] ;
- ВПА при запаздывании в автоколебательном механизме [29] ;
- ВПА при совместном действии запаздываний в упругости и демпфировании [30].
Целью работы является обзор статей [23-30] для получения общего системного представления о влиянии различных запаздываний на динамику смешанных колебательных процессов без учета и с учетом взаимодействия колебательной системы с источником энергии. Использованная в этих работах единая расчетная схема (модель) позволяет легко понять и сравнить результаты этого влияния.
1. Исходная модель, уравнения общего вида, их решения и условия
устойчивости
1.1. Модель и дифференциальные уравнения движения. Основой исследования фрикционных автоколебаний является схема (рис. 1), приведенная в [1, 2, 31, 32] и многих других работах. Динамика системы с учетом источника энергии ограниченной мощности и без учета запаздываний описывается в наиболее общем и сложном случае смешанных колебаний (ВПА) нелинейными дифференциальными уравнениями
mx + k0x + c0x = T (U ) — F (x) + X sin v\t — bx cos vt, (1)
1ф = M (ф) — roT (U ),
где m - масса тела 1, лежащего на ленте, непрерывно движущейся со скоростью V = r0 ф, r0 = const - радиус шкива, вращающего ленту, ф - скорость вращения шкива или ротора двигателя с моментной характеристикой M(ф), ko = const и co = const - соответственно коэффициенты демпфирования и жесткости демпфера 3 и пружины 2, T(U) - сила трения в месте контакта тела 1 с лентой, U = V—x, F(x) - нелинейная часть силы упругости пружины 2, X = const, b = const, vi = const, v = const - соответственно амплитуды и частоты вынуждающей силы
и параметрического возбуждения, I - суммарный момент инерции вращающихся частей.
Рис. 1. Модель системы
В практических условиях широко распространена (наблюдалась также в ходе экспериментов в космосе [33]) характеристика
T(U) = R(sgnU — a1 U + а3 U3).
(2)
Здесь R - нормальная сила, ai = const, аз = const, sgnU =1 в случае U > 0 и sgnU = —1 в случае U < 0. При относительном покое U = 0 имеет место —R < T(0) < R. Характеристика (2), из-за широкой распространённости, использована в расчетах, приведенных в публикациях, указанных во введении [23-30]. Некоторые графические результаты этих расчетов приведены ниже.
Для большей общности характеристика силы T (U) принята в некоторых работах из [23-30] в виде
T(U) = R [sgnU + f (x)], f (x) = ]T a U4 = ]T Snin,
(3)
¿0 = a1V + a2V2 + a3V3 + a4V4 + a5V5,
51 = —(a1 + 2a2V + 3a3V2 + 4a4V3 + 5a5V4),
52 = a2 + 3a3V + 6a4V2 + 10a5V3,
53 = — (a3 + 4a4V + 10a5V2), 84 = a4 + 5a5V, 85 = — a5, где ai = const.
Для решения уравнений (1) использован метод прямой линеаризации (МПЛ), описанный в [34,35] и др. Преимуществами МПЛ являются: достаточно малые затраты ресурсов; простота и легкость применения; возможность получения конечных расчетных соотношений независимо от конкретного вида нелинейной характеристики; отсутствие трудоемких и сложных приближений различных порядков, применяемых в известных методах нелинейной механики [36, 37] и др. Функции f (x) и F(x) на основе МПЛ заменены линейными функциями
где
f*(x) = Bf + kf x, F*(x) = Bp + kp x, Bf = ^2 Nnan un, n = 0, 2,4,... (n — четное),
n
kf = ^^ anNnvn-i, n = 1, 3, 5,... (n — нечетное),
n
BF = ^2 NsYs as, s = 2, 4, 6,... (s — четное),
(4)
0
n
kF = ^^ NsYsas 1, s = 3, 5, 7,... (s — нечетное),
s
Nn = (2r + 1)/(2r + 1 + n), Nn = (2r + 3)/(2r + 2 + n),
Ns = (2r + 1)/(2r + 1 + s), Ns = (2r + 3)/(2r + 2 + s), a = max |x|, v = max |x| .
Здесь Bf, kf , BF, kF являются коэффициентами линеаризации, и в выражениях Nn, Nn, Ns, Ns символ r представляет параметр точности линеаризации, который может быть выбран [34] в интервале (0, 2), но не ограничен.
Уравнения (1) с учетом временных факторов запаздываний п = const, т = const и Д = const имеют вид
mx + kox + cox = T(Ид) — F(x) + A sin vit — bx cos vt — knxn — cxT, (5)
1ф = M (ф) — ro T (Ид) и на основе (4) приобретают форму
mx + ko x + cx = B + R(sgnUд + kf Xд)+
+ A sin vit — bx cos vt — kn xn — cxT, (6)
1ф = M(ф) - roR(sgnUA + Bf + kf XA), где c = co + kp, B = RBf — Bp, Ua = V — Xa , Xa = X (t — Д), Xn = X(t — n),
XT = X(t — T) .
Из приведенных соотношений можно получить в качестве частных случаев выражения для смешанных колебаний ВА (b = 0) и ПА (А = 0), а также для всех типов колебаний.
1.2. Решения уравнений. Для решения нелинейного уравнения с линеаризованными функциями в работе [34] описан метод замены переменных с усреднением. С его помощью можно изучить нестационарные и стационарные процессы. В качестве решения приняты
X = a cos ф, X = —и sin ф, ф = pt + £ (7)
и выведены стандартной формы уравнения для определения и и £.
Для решения первого уравнения (6) можно использовать отмеченный метод, а для второго уравнения - процедуру, изложенную в [35]. В соответствии с этой процедурой, при усреднении осуществляется замена V = ro ф на и = ro О в выражениях So,... в (4). При этом с учетом и = ap, p = v получаются в случае и > ap следующие уравнения для определения нестационарных значений амплитуды a, фазы £ и скорости и:
^ =---— (2аА + 2 A cos £ - absin2£),
dt 4pm
d£ 1
-p =-(2aE + 2 A sin £ + ab cos 2£), (8)
dt 4pma
du ro Г, ,, и. „ . „Л
a =7 [Щ7)-гоЩ1 + в,)],
А = р(ко + кп соэрп — Rkf соэрД) — сэтрт, Е = — р2) + кр + ркп этрп + ссоэрт — pRkf этрД,
= со/т, — р2 « 2^о(^о — р), и = го П, = 2п — агсвт(и/ар).
В случае и < ар имеют место уравнения
¿а
~7И
1
8R
(2оА + 2 А сое £ - аЪ зт 2£--- л/а2р2 -и2),
4рт пар
1
¿е =_
А 4рт а
(2аЕ +2А эш £ + аЬ соэ2£),
¿и
го I
М(-) - гп Д(1 + В/) - —(3^ - 2^)
г п
(9)
При условиях а = 0, £ = 0, и = 0 из (8) следуют уравнения для стационарных колебаний, амплитуда и фаза которых определяются соотношениями
(а2 В — 2А2)2 — 4А2(А2 + 2ЬОа2) =0, tg £ = Ь(ЬаЬ — А)/аА,
(10)
где С = Ь + 2Е, В = 4А2 + С2 — 2ЬС, Ь = А ± (А2 +2Ьа2(Ь + 2Е))1/2 /2аЬ.
В случае и < ар для амплитуды применима приближенная формула ар « и.
Условие и = 0 дает следующее уравнение для вычисления стационарных значений скорости:
М (и/г0) — 5 (и) =0,
(11)
где
а) и > ар, 5(и) = гоR(1 + Bf),
б) и < ар, 5(и) = гоR [(1 — Bf) + п-1(3п — 2^*)] .
Выражение 5(и), представляющее нагрузку на источник энергии и содержащее коэффициент линеаризации Bf, зависящий от амплитуды, упрощается на основе равенства ар « и при скоростях и < ар.
1.3. Условия устойчивости стационарных колебаний. Уравнения в вариациях, составленные для уравнений нестационарных движений (8), и критерии Рауса-Гурвица дают условия устойчивости, определяемые неравенствами
В1 > 0, В3 > 0, В1В2 — В3 > 0, (12)
где В1 = — (Ьц + Ь22 + Ь33) , В2 = ЬцЬээ + Ьц^2 + Ь22Ь33 — Ь2зЬз2 — Ь12Ь21 — Ь1зЬз1 ,
Вз = ЬцЬ2зЬз2 + Ь22Ь1зЬз1 + ЬззЬ12Ь21 — ЬцЬ22Ьзз — Ь^2ЗЬЗ1 — Ь1зЬ21Ьз2 .
В случае и > ар получены выражения
Ь22 = —
4рт
ди
дА
2(А + а—) - Ьвт2£ да
1
aRдkf
т 0 , »13 = 0, »21 = 7л--т^-соврА,
I да 2т ди
Ь
1
2з
2рт
(А эт £ + Ьа соэ 2£),
R дЬ . . ,
631 =---ятрД, 6з2
2т ди 2рт
дЕ А ----- вт £
да а2
Ьзз
1
2рта
(А соэ £ — аЬ эт 2£),
дА дк^ л дЕ дкр дЬ
— = -рК—- соэрД, — = —--рД-^- этрД,
да да да да да
дВ^ д^о . ч2 д^2 . ч4 до4
— = "НГ + ^ + ЛГ4(ар)4
ди ди
дб. ди ди
ди
ди
дВ
да
= 2ар2(Ж^2 + 2Ж4 ¿4а2р2),
да
= 2ар2(^з +2^У5 ¿5а2р2)
¿о = а1и +«2и2 + ази3 + а4и4 + а5и5, ¿1 = —(«1 + 2а2и + Зази2 + 4а4и3 + Ба5и4), ¿2 = «2 + Зази + 6«4и2 + 10«5и3, ¿з = — (аз + 4«4и + 10«5и2), ¿4 = «4 + Б«5и, ¿5 = — а5,
дй
д¿1
—— = а\ + 2о2и + Зо3гГ + 4о4и + Ъа^и , —— = —2(о2 + Зо3и +6о4гГ +100:5« ),
ди
д¿■
д¿4
—- = 3 (о3 + 4о4ы + 10о5гГ), —— = - 4(о4 + 5о5г(), —— = 5о5, —— = 0
ди дб2 ди
О! 7
—^ = 2а(Мз1з + 2Я575 а2 + ЗЛГ777а4 + •••), Я = тМ(-). да ¿и го
ди
ди
ди
В случае скоростей и < ар изменяются лишь коэффициенты
7 »'О
»11 = -г
д - г0д-
,дBf
2гоR
-к^а?р2 - и2
Ь12
г^
+ ■
2и
дBf
<9° 7Го у 22р2 — ы2
Ь21 =
aR дк^ 4и
- -тг^ соэрД -|--. =
2т ^ ди па2р2 у а2р2 — и2
1 Г дА
Ъо2 = --- 2(А + а—)-Ьзт2£
4рт да
4Ru2
2 тпагр2 -у/о2р2 — и2
При вычислении дBf/ди, дBf/да учитываются лишь четные степени п и, соответственно, ¿о, ¿2, ¿4, а при вычислении дк^/ди, дк^/да - нечетные степени п и, соответственно, ¿1 ,¿3^5. Аналогично учитываются при вычислении дкр/да нечетные степени в и, соответственно, 71,73,75,...
1
2. Результаты расчетов
С целью получения информации о влиянии запаздываний на систему проведены расчеты при различных значениях параметров в (1). Основными расчетными параметрами являются: ^о = 1 с-1, т =1 кгс • с2 • см-1, ко = 0.02 кгс • с • см-1, сТ = 0.0Бкгс • см-1, А = 0.02кгс, Ь = 0.07кгс • см-1, го = 1 см, 1 = 1 кгс • с • см2 ,
R = 0.Б кгс, а1 = 0.84 с • см-1, аз = 0.18 с3 • см-3 . Для запаздываний использованы величины рД, рп и рт из интервала (0, Зп/2) , которые для краткости указаны далее в тексте и под рисунками без частоты р .
При расчетах использовано выражение (2) с коэффициентами линеаризации kf = ¿1 + ¿3Ж3и2 , Bf = —а1и + а3и3 + 3а3Ж2иа2р2 , N = (2г + 3)/(2г + Б),
N2 = (2г + 1)/(2г + 3). Кривые, представленные на всех рисунках, приведенных далее, имеют место при численном значении N3 =3/4, соответствующем параметру точности линеаризации г = 1.5. Заметим, что такое же число имеет место, если для решения (1) использовать известный метод усреднения нелинейной механики [36,37]. Таким образом, МПЛ и метод усреднения дают одинаковый результат, однако МПЛ намного проще. Кривые получены в случае линейной силы упругости, т. е. Е(х) = 0 или кр = 0. Колебания с соответствующими амплитудами устойчивы в пределах заштрихованных секторов для крутизны С} = -^М{и/го) характеристики источника энергии. Эти секторы должны быть указаны на кривой нагрузки Б (и), представленной, например, на рис. 8 г, но для краткости показаны на амплитудных кривых.
2.1. Смешанные вынужденные и автоколебания (ВА).
2.1.1. Действие запаздывания в автоколебательном механизме [23].
На рис. 2 показаны некоторые результаты расчетов при значении скорости и = 1.16 см • с-1. Совпадение сплошной кривой 1 и точек имеет место для Д = 0. Пунктирная кривая 2, штрих-пунктирная 3 и штриховая 4 получены, соответственно, для Д = п/2, Д = п, Д = 3п/2. Колебания с амплитудами, соответствующи-
а 1
0.5 ■
0
0.95 0.975 1 1.025 Р
Рис. 2. Амплитудно-частотные кривые
ми точкам А, Б, В, устойчивы, если крутизна характеристики источника энергии находится в пределах заштрихованных секторов. Как видно из графиков, запаздывание сильно влияет на форму амплитудной кривой. В связи с этим возникает вопрос, который приведен в более общем случае ниже в п. 2.1.2.
2.1.2. Совместное действие запаздываний в упругости и автоколебательном механизме [24]. На рис. 3 показаны некоторые результаты расчетов при значении скорости u = 1.2 см • с-1. Кривая 0 соответствует отсутствию запаздывания (AT = 0, Д = 0, т =0). Кривые 1 неустойчивы при Д = п/2, Д = 3п/2, т = п/2 (рис. 3 а, рис. 3в), и колебания не реализуются в резонансной области. Из приведенных графиков следует, что запаздывание, в зависимости от его величины, приводит к смещению и деформации амплитудной кривой в области частот, и под его действием проявляется интересная особенность. Для объяснения рассмотрим первое уравнение (1) с учетом F(x) = -yx3 в виде
mx + k0 x + cqx + yx3 = A sin vt + T(U). (13)
Рис. 3. Амплитудно-частотные кривые: кривая 1 — т = п/2, кривая 2 — т = п, кривая 3 — т = 3п/2
Система, описываемая уравнением (13), достаточно подробно исследована в [2]. Вид амплитудно-частотной кривой при Д = п/2 и т = п аналогичен виду кривой для (13) при «жесткой» (7 > 0) характеристике нелинейной силы упругости, а в случае Д = 3п/2, т = п — «мягкой» (у < 0). Такая же особенность имеет место выше в п. 2.1.1. В связи с этим возникает вопрос: как определить обусловленность вида (нелинейностью упругости или запаздыванием) амплитудно-частотных характеристик при снятии их в реальных условиях? Вопрос не простой, и для ответа необходимо многостороннее изучение реальной системы.
2.2. Смешанные параметрические и автоколебания (ПА).
2.2.1. Действие запаздывания в автоколебательном механизме [25].
Некоторые результаты расчетов в случае и = 1.2 см • с-1 представлены на рис. 4. Сплошная кривая А получена для Д = 0, штрих-пунктирная Б — Д = п/2, пунктирная В — Д = п, штриховая Г — Д = 3п/2. Величины ааА и аав отражают амплитуды автоколебаний при Д = 0 и Д = п согласно обозначениям кривых А и В. Как видно из результатов расчета, запаздывание оказывает значительное влияние на ширину и положение области резонанса, вид амплитудных кривых и устойчивость резонансных колебаний.
Рис. 4. Амплитудно-частотные кривые
2.2.2. Совместное действие запаздываний в упругости и демпфировании [26]. Амплитудно-частотные кривые а(р) рис. 5 имеют место для скорости и = 1.2 см • с-1, и горизонтальные участки кривых на рис. 5 в соответствуют зависимости ар « и. Для сравнения на всех рисунках представлена кривая 1 в случае отсутствия запаздываний (кп =0, п = 0, т = 0) .В пределах секторов, заштрихованных и наполненных черным цветом, для крутизны характеристики источника энергии колебания с соответствующими амплитудами устойчивы. В частях секторов, наполненных черным цветом, наблюдается достаточно слабая устойчивость, т. е. критерии (или один из критериев) устойчивости (12) выполняются в виде 0.000Х > 0, где X<9.
Рис. 5. Амплитудно-частотные кривые
Совместное действие различных сочетаний запаздывания в упругости и демпфировании может сильно влиять на резонансные колебания. В зависимости от различных сочетаний величин запаздываний амплитуда колебаний может увеличиваться/уменьшаться, устойчивость колебаний усиливаться/ослабляться, а резонансная область сдвигаться по частоте.
2.2.3. Совместное действие запаздываний в упругости и автоколебательном механизме [27]. Зависимости амплитуды от частоты а(р), показанные на рис. 6, получены при и = 1.2 см • с-1. На всех рисунках а о указывает амплитуду автоколебаний (без запаздывания), кривые 1 соответствуют отсутствию запаздывающих сил (Д = 0, т = 0) и представлены для сравнения. Устойчивые (в зависимости от крутизны характеристики источника энергии) колебания показаны сплошной частью кривой 1, неустойчивые - при идеальном источнике энергии -пунктирной. Под действием запаздываний возникают интересные эффекты. Верх-
Рис. 6. Амплитудно-частотные кривые
няя (устойчивая при отсутствии запаздывания согласно кривой 1) и нижняя ветви кривых 2 оказываются неустойчивыми при Д = п/2, Д = 3п/2 .В случае Д = п верхняя ветвь неустойчива при любой крутизне характеристики источника энергии, включая идеальную, а нижняя ветвь - устойчива в зависимости от крутизны. В зависимости от крутизны характеристики источника энергии - верхние и нижние ветви кривых 3 - также могут оказаться устойчивыми. Кроме того, кривые 2 и 3 при Д = п/2 и Д = 3п/2 ведут себя в некоторой степени подобно тому, что получается при нелинейной силе упругости, отмеченной выше в п. 2.1.2. При Д = п/2 и Д = 3п/2 видно аналогичное поведение кривых 2 и 3: они наклонены
вправо при Д = п/2 и влево - при Д = 3п/2. Такой эффект возникает из-за присутствия запаздывания в автоколебательном механизме трения. Такого эффекта нет при отсутствии запаздывания по трению и его наличии по упругости (сдвигает резонансную зону вправо или влево относительно случая его отсутствия).
2.3. Смешанные вынужденные, параметрические и автоколебания (ВПА).
2.3.1. Запаздывание в упругости [28]. Амплитудно-частотные характеристики а(у), представленные на рис. 7, имеют место для скорости и = 1.2 см • с-1, и аа означает амплитуду автоколебаний при т = 0. Участки на кривых Г1 и Г3, указанные тонкими штриховыми линиями, являются неустойчивыми. Участок кривой Г1, показанный тонкой линией, неустойчив при идеальном источнике энергии и устойчив слабо при неидеальном источнике. Неустойчивым колебаниям, как при идеальном, так и неидеальном источнике энергии, соответствует тонкая штриховая линия кривой Г3 на участке между точками А и В. Как следует из графика, амплитудная кривая при значении запаздывания 0.Б^т = п смещена влево и немного отличается по характеру и численно от кривой в случае т = 0. Запаздывание при значениях О.Б^т = п/2, О.Б^т = 3п/2 сильно влияет на амплитуду и уменьшает ее.
1.9 155 2 2.05 V
Рис. 7. Амплитудно-частотные кривые: кривая Г1 — т = 0, кривая Г2 — т = п/2, кривая Гз — т = п, кривая Г4 — т = 3п/2
2.3.2. Действие запаздывания в автоколебательном механизме [29].
Амплитудно-частотные кривые, представленные на рис. 8 а, получены для и = 1.26 см • с-1 при следующих значениях запаздывания: т = 0 - кривая 1, т = п/2 -кривая 2, т = п - кривая 3, т = 3п/2 - кривая 4. Ввиду большой трудоемкости расчета, графики представлены в виде кусочно-линейных из-за малого числа расчетных точек, но в принципе должны быть гладкими. График, показанный на рис. 8 б, имеет место для запаздывания т = 0 и скорости и = 1.14 см • с-1, а рис. 8 в есть зависимость амплитуды от скорости (и) при т = 0,р = 2. Кривая нагрузки на источник энергии со стороны колебательной системы ^(и), показанная на рис. 8 г, соответствует амплитудной кривой (и) на рис. 8 в. Стрелками показаны
О ! и О1
в) г)
Рис. 8. Зависимости амплитуды от частоты (а, б) и скорости источника (в); зависимость нагрузки на источник от скорости источника и скачкообразных переходов (г)
различного характера переходы из одного состояния в другое при изменении скорости источника энергии и. Подробное описание таких переходов при отсутствии запаздывания в силе трения имеется в [2]. Они возникают также при наличии запаздывания.
2.3.3. Совместное действие запаздываний в упругости и демпфировании [30]. Амплитудно-частотные кривые а(и), приведенные на рис. 9, имеют место для скорости и = 1.2 см • с-1. Соответствие кривых различным значениям запаздывания следующее: сплошная кривая 1 - полное отсутствие запаздываний (кп = 0, ст = 0), штриховая 2 — п = п/2, двухпунктирная - 3 — п = п. Штриховая и пунктирная кривые при п = п/2 показаны условно, без учета приближенной зависимости аш « и, представленной горизонтальной прямой а =1.2 (ш = 1). Полностью неустойчива кривая 2 с достаточно малыми амплитудами, показанная на рис. 9 б. Прямые = 0, Ез =0 отражают соотношение для
определения амплитуды на границе области устойчивости при идеальном источнике энергии. Как видно из представленных графиков, запаздывания смещают амплитудно-частотную кривую вверх-вниз, вправо-влево, изменяют ее форму.
Следствия анализа (1) при отсутствии запаздываний и целый ряд явлений, сильно зависящих от свойств источника энергии, детально описаны в [2], поэтому останавливаться на них не будем, такие же явления имеют место и при наличии запаздываний.
В завершение отметим, что здесь представлены не все результаты проведенных расчетов и анализа. Сравнительный анализ результатов по разным запаздываниям позволяет сказать, что они приводят в одной и той же системе к разным
Рис. 9. Амплитудно-частотные кривые
эффектам в зависимости от их величины: запаздывание в упругости изменяет форму амплитудно-частотной кривой и сдвигает зону резонанса вправо или влево в частотной области; запаздывание в демпфировании может изменить форму амплитудно-частотной кривой и появление колебаний; запаздывание в автоколебательном механизме приводит к тому, что амплитудные кривые при определенных значениях запаздывания ведут себя несколько подобно тому, которое получается при «жесткой» и «мягкой» характеристиках нелинейной силы упругости.
3. Заключение
Рассмотренные работы показывают многообразие явлений, которые могут быть обусловлены взаимодействием сил с запаздыванием и сил в источнике энергии. Они позволяют сделать обобщенно следующие выводы.
1. Разные запаздывания приводят в одной и той же системе к разным эффектам.
2. Запаздывания изменяют качественно и количественно амплитудно-частотные кривые, сдвигая их вверх/вниз, вправо-влево (по частоте).
3. При определенных значениях запаздывания появляются амплитудно-частотные кривые, по виду которых невозможно определить обусловленность их вида нелинейностью упругости или запаздыванием, вследствие чего возникает необходимость многостороннего изучения реальной системы.
4. Запаздывания оказывают влияние на устойчивость движения, которая под их действием может увеличиться или уменьшится.
Литература
1. Kononenko V.O. Vibrating Systems with a Limited Power-Supply / Gladwell G.M.L. (Ed.). London: Iliffe, 1969. 236 p.
2. Alifov A.A., Frolov K.V. Interaction of Nonlinear Oscillatory Systems with Energy Sources / E. Rivin (Ed.). New York, Washington, Philadelphia, London: Hemisphere Publ. Corp., 1990. 327 p.
3. Краснопольская Т. С., Швец А.Ю. Регулярная и хаотическая динамика систем с ограниченным возбуждением. Сер.: Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьют. исслед., 2008. 280 с.
4. Асташев В.К., Бабицкий В.И., Боровков Б.А. Влияние массы корпуса на динамику машин виброударного действия с ограниченным возбуждением // Машиноведение. 1977. № 5. С. 30-34.
5. Ganiev R.F., Krasnopolskaya T.S. The scientific heritage of V.O.Kononenko: The Sommerfeld-Kononenko effect //J. Mach. Manuf. Reliab. 2018. V. 47, No 5. P. 389398. doi: 10.3103/S1052618818050047.
6. Püst L. Electro-mechanical impact system excited by a source of limited power // Eng. Mech. 2008. V. 15, No 6. P. 391-400.
7. Balthazar J.M. Vibrating systems with limited power supply: An emergent topic after Prof. Kononenko // Proc. 5th Int. Conf. on Nonlinear Dynamics. Kharkiv, 2016. P. 16-22.
8. Bissembayev K., Iskakov Z. Nonlinear vibrations of orthogonal mechanism of shaking table // Int. J. Appl. Mech. Eng. 2014. V. 19, No 3. P. 487-501. doi: 10.2478/ijame-2014-0032.
9. Kovriguine D.A. Synchronization and Sommerfeld effect as typical resonant patterns // Arch. Appl. Mech. 2012. V. 82. P. 591-604. doi: 10.1007/s00419-011-0574-4.
10. Samantaray A.K., Dasgupta S.S., Bhattacharyya R. Sommerfeld effect in rotationally symmetric planar dynamical systems // Int. J. Eng. Sci. 2010. V. 48, No 1. P. 21-36. doi: 10.1016/j.ijengsci.2009.06.005.
11. Cveticanin L., Zükovic M., Cveticanin D. Non-ideal source and energy harvesting // Acta Mech. 2017. V. 228. P. 3369-3379. doi: 10.1007/s00707-017-1878-4.
12. Прикладная механика: учебное пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. / Под ред. В.М.Осецкого. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.
13. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 288 с.
14. Кащенко С.А. Динамика логистического уравнения с запаздыванием и диффузией и с быстро осциллирующими по пространственной переменной коэффициентами // Докл. Академии наук. 2018. Т. 482, № 5. С. 508-512. doi: 10.31857/S086956520002987-8.
15. Мулюков М.В. Устойчивость линейного автономного осциллятора с запаздывающей обратной связью // Вест. Перм. ун-та. Сер.: Матем. Механика. Информ. 2015. Т. 3. C. 5-11.
16. Асташев В.К., Герц М.Е. Автоколебания вязко-упругого стержня с ограничителями при действии запаздывающей силы // Машиноведение. 1973. Т. 5. С. 3-11.
17. Жирнов Б.М. Одночастотные резонансные колебания фрикционной автоколебательной системы с запаздыванием при внешнем возмущении // Прикл. механика. 1978. Т. 14, № 9. С. 102-109.
18. Тхан В.З., Дементьев Ю.Н., Гончаров В.И. Повышение точности расчета систем автоматического управления с запаздыванием // Программные продукты и системы. 2018. Т. 31, № 3. С. 521-526.
19. Гарькина И.А., Данилов А.М., Нашивочников В.В. Имитационное моделирование динамических систем с запаздыванием // Соврем. пробл. науки и образования. 2015. № 1, ч. 1. С. 1-7.
20. Daza A., Wagemakers A., Sanjuan M.A.F. Wada property in systems with delay // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2017. V. 43. P. 220-226. doi: 10.1016/j.cnsns.2016.07.008.
21. Третьякова Т.В., Вильдеман В.Э. Пространственно-временная неоднородность процессов неупругого деформирования металлов. М.: Физматлит, 2016. 120 с.
22. Жирнов Б.М. Об автоколебаниях механической системы с двумя степенями свободы при наличии запаздывания // Прикл. механика. 1973. Т.9, № 10. С. 83-87.
23. Alifov A.A., Farzaliev M.G. About the calculation by the method of linearization of oscillations in a system with time lag and limited power-supply // CSDEIS 2019: Advances in Intelligent Systems, Computer Science and Digital Economics / Hu Z., Petoukhov S., He M. (Eds.). Ser.: Advances in Intelligent Systems and Computing. V. 1127. Cham: Springer, 2020. P. 404-413. doi: 10.1007/978-3-030-39216-1_37.
24. Alifov A.A. On mixed forced and self-oscillations with delays in elasticity and friction // ACSDEIS 2020: Advances in Intelligent Systems, Computer Science and Digital Economics II / Hu Z., Petoukhov S., He M. (Eds.). Ser.: Advances in Intelligent Systems and Computing. V. 1402. Cham: Springer, 2021. P. 1-9. doi: 10.1007/978-3-030-80478-7_1.
25. Алифов А.А., Фарзалиев М.Г. О расчете методом линеаризации взаимодействия параметрических и автоколебаний при запаздывании и ограниченном возбуждении // Вест. Томск. гос. ун-та. Матем. и механика. 2020. № 68. С. 41-52. doi: 10.17223/19988621/68/4.
26. Alifov A.A., Mazurov M.E. The influence of delays in elasticity and damping on auto-parametric oscillations // Mach. Sci. 2021. V. 10, No 1. P. 43-50.
27. Alifov A.A. Autoparametric oscillations with delays in elastic and frictional forces // J. Mach. Manuf. Reliab. 2021. V. 50, No 2. P. 98-104. doi: 10.3103/S1052618821020023.
28. Алифов А.А. О смешанных вынужденных, параметрических и автоколебаниях при ограниченном возбуждении и запаздывающей упругости // Вест. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. 2020. № 3. С. 12-19. doi: 10.15593/perm.mech/2020.3.02.
29. Alifov A.A. Self-oscillations in delay and limited power of the energy source // Mech. Solids. 2019. V. 54, No 4. P. 607-613. doi: 10.3103/S0025654419040150.
30. Алифов А.А. Смешанные вынужденные, параметрические и автоколебания при неидеальном источнике энергии и запаздывающих силах // Изв. вузов. ПНД. 2021. T. 29, № 5. С. 739-750. doi: 10.18500/0869-6632-2021-29-5-739-750.
31. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.
32. Климов Д.М. Об одном виде автоколебаний в системе с сухим трением // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2003. № 3. С. 6-12.
33. Броновец М.А., Журавлёв В. Ф. Об автоколебаниях в системах измерения сил трения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2012. № 3. С. 3-11.
34. Алифов А.А. Методы прямой линеаризации для расчета нелинейных систем. М., Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2015. 74 с.
35. Алифов А.А. О расчете колебательных систем с ограниченным возбуждением методами прямой линеаризации // Пробл. машиностр. и автоматиз. 2017. № 4. С. 92-97.
36. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.
37. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. Т. 2: Колебания нелинейных механических систем / Под ред. В.Н. Челомей. М.: Машиностроение, 1979. 351 с.
Поступила в редакцию 20.12.2022 Принята к публикации 2.05.2023
Алифов Алишир Али оглы, доктор технических наук, главный научный сотрудник Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
Харитоньевский переулок, д. 4, г. Москва, 101990, Россия E-mail: a.alifov@yandex.ru
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2023, vol. 165, no. 1, pp. 16-34
REVIEW ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.16-34
Influence of Different Delays on Mixed Types of Oscillations under Limited
Excitation
A.A. Alifov*
Mechanical Engineering Research Institute, Russian Academy of Sciences, Moscow, 101990 Russia
E-mail: *a.alifov@yandex.ru
Received December 20, 2022; Accepted May 2, 2023 Abstract
This review summarizes the findings of some published studies that have explored the influence of various delays (elasticity, damping, and self-oscillatory mechanism of excitation) on the dynamics of classes (or types) of mixed oscillations (MO) without and with consideration of the interaction between the oscillating system and the energy source. A general holistic framework was provided for how such delays, both separately and in combination, affect the dynamics of MOs. A unified computational scheme (model) used in the works studied made it easy to understand and compare the results of this influence on different types of MOs. With the account of the interaction with the energy source, the known calculation scheme (or model) of a mechanical frictional self-oscillating system serves as a unified basis for considering all types of MOs. Nonlinear differential equations of motion valid for all types of MOs with their respective solutions were presented, from which the relations for any certain type of MO are derived as special cases. Equations of unsteady motion and relations to calculate the amplitude and phase of stationary oscillations, the velocity of the energy source and the load of the oscillating system on it, as well as the stability conditions of stationary oscillations were given. The results of the calculations carried out to gain insight into the influence of delays on the system dynamics were discussed. Overall, the calculations show that the interaction between the forces with delay and the forces in the energy source is at the core of a variety of phenomena. Different delays in the same system change the shape of the amplitude-frequency curves, shift them, and influence the stability of motion.
Keywords: oscillation type, mixed oscillations, self-oscillations, energy source, delay, damping, elasticity, nonlinearity, method, direct linearization
Figure Captions
Fig. 1. System model.
Fig. 2. Amplitude-frequency curves.
Fig. 3. Amplitude-frequency curves: curve 1 —t = n/2, curve 2 —t = n, curve 3—t = 3n/2. Fig. 4. Amplitude-frequency curves. Fig. 5. Amplitude-frequency curves. Fig. 6. Amplitude-frequency curves.
Fig. 7. Amplitude-frequency curves: curve ri— t = 0, curve r2 — t = n/2, curve r3 — t = n, curve r4 — t = 3n/2.
Fig. 8. Amplitude dependence on frequency (a, b) and source velocity (c); dependence of source load on source velocity and intermittent transitions (d). Fig. 9. Amplitude-frequency curves.
References
1. Kononenko V.O. Vibrating Systems with a Limited Power-Supply. Gladwell G.M.L. (Ed.). London, Iliffe, 1969. 236 p.
2. Alifov A.A., Frolov K.V. Interaction of Nonlinear Oscillatory Systems with Energy Sources. E. Rivin (Ed.). New York, Washington, Philadelphia, London, Hemisphere Publ. Corp., 1990. 327 p.
3. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika sistem s ogra-nichennym vozbuzhdeniem [Regular and Chaotic Dynamics of Systems with Limited Excitation]. Ser.: Regular and Chaotic Dynamics. Moscow, Izhevsk, NITs "Regulyar. Khaot. Din.", Inst. Komp'yut. Issled., 2008. 280 p. (In Russian)
4. Astashev V.K., Babitsky V.I., Borovkov B.A. The influence of body mass on the dynamics of vibration-impact machines with limited excitation. Mashinovedenie, 1977, no. 5, pp. 3034. (In Russian)
5. Ganiev R.F., Krasnopolskaya T.S. The scientific heritage of V.O. Kononenko: The Sommerfeld-Kononenko effect. J. Mach. Manuf. Reliab., 2018, vol. 47, no. 5, pp. 389398. doi: 10.3103/S1052618818050047.
6. Pust L. Electro-mechanical impact system excited by a source of limited power. Eng. Mech., 2008, vol. 15, no. 6, pp. 391-400.
7. Balthazar J.M. Vibrating systems with limited power supply: An emergent topic after Prof. Kononenko. Proc. 5th Int. Conf. on Nonlinear Dynamics. Kharkiv, 2016, pp. 16-22.
8. Bissembayev K., Iskakov Z. Nonlinear vibrations of orthogonal mechanism of shaking table. Int. J. Appl. Mech. Eng., 2014, vol. 19, no. 3, pp. 487-501. doi: 10.2478/ijame-2014-0032.
9. Kovriguine D.A. Synchronization and Sommerfeld effect as typical resonant patterns. Arch. Appl. Mech., 2012, vol. 82, pp. 591-604. doi: 10.1007/s00419-011-0574-4.
10. Samantaray A.K., Dasgupta S.S., Bhattacharyya R. Sommerfeld effect in rotationally symmetric planar dynamical systems. Int. J. Eng. Sci., 2010, vol. 48, no. 1, pp. 21-36. doi: 10.1016/j.ijengsci.2009.06.005.
11. Cveticanin L., Zukovic M., Cveticanin D. Non-ideal source and energy harvesting. Acta Mech., 2017, vol. 228, pp. 3369-3379. doi: 10.1007/s00707-017-1878-4.
12. Prikladnaya mekhanika: uchebnoe posobie dlya vuzov [Applied Mechanics: A Textbook for University Students]. 2nd ed. Osetsky V.M. (Ed.). Moscow, Mashinostroenie, 1977. 488 p. (In Russian)
13. Rubanik V.P. Kolebaniya kvazilineinykh sistem s zapazdyvaniem [Oscillations of Quasilinear Systems with Delay]. Moscow, Nauka, 1969. 288 p. (In Russian)
14. Kashchenko S.A. Dynamics of a delay logistic equation with diffusion and coefficients rapidly oscillating in space variable. Dokl. Math., 2018, vol. 98, no. 2, pp. 522-525. doi: 10.1134/S1064562418060224.
15. Mulyukov M.V. Stability of a linear autonomous oscillator with delayed feedback. Vestn. Permsk. Univ. Ser.: Mat. Mekh. Inf., 2015, vol. 3, pp. 5-11. (In Russian)
16. Astashev V.K., Hertz M.E. Self-oscillations of a visco-elastic rod with limiters under the action of a lagging force. Mashinovedenie, 1973, vol. 5, pp. 3-11. (In Russian)
17. Zhirnov B.M. Single-frequency resonance oscillations of a frictional self-excited system with delay subjected to external perturbations. Prikl. Mekh., 1978, vol. 14, no. 9, pp. 102109. (In Russian)
18. Than V.Z., Dementiev Yu.N., Goncharov V.I. Improving the accuracy of calculation of automatic control systems with delay. Program. Prod. Sist., 2018, vol. 31, no. 3, pp. 521526. (In Russian)
19. Garkina I.A., Danilov A.M., Nashivochnikov V.V. Simulation of dynamic systems with delay. Sovrem. Probl. Nauki Obraz., 2015, no. 1, part 1, pp. 1-7. (In Russian)
20. Daza A., Wagemakers A., Sanjuan M.A.F. Wada property in systems with delay. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2017, vol. 43. pp. 220-226. doi: 10.1016/j.cnsns.2016.07.008.
21. Tretiakova T.V., Vildeman V.E. Prostranstvenno-vremennaya neodnorodnost' protsessov neuprugogo deformirovaniya metallov [Spatial and Temporal Inhomogeneity of Inelastic Deformation in Metals]. Moscow, Fizmatlit, 2016. 120 p. (In Russian)
22. Zhirnov B.M. Self-excited vibrations of a mechanical system with two degrees of freedom and delay. Sov. Appl. Mech., 1973, vol. 9, pp. 1109-1112. doi: 10.1007/BF00894292.
23. Alifov A.A., Farzaliev M.G. About the calculation by the method of linearization of oscillations in a system with time lag and limited power-supply. In: Hu Z., Petoukhov S., He M. (Eds.) CSDEIS 2019: Advances in Intelligent Systems, Computer Science and Digital Economics. Ser.: Advances in Intelligent Systems and Computing. Vol. 1127. Cham, Springer, 2020, pp. 404-413. doi: 10.1007/978-3-030-39216-1_37.
24. Alifov A.A. On mixed forced and self-oscillations with delays in elasticity and friction. In: Hu Z., Petoukhov S., He M. (Eds.) ACSDEIS 2020: Advances in Intelligent Systems, Computer Science and Digital Economics II. Ser.: Advances in Intelligent Systems and Computing. Vol. 1402. Cham, Springer, 2021, pp. 1-9. doi: 10.1007/978-3-030-80478-7_1.
25. Alifov A.A., Farzaliev M.G. On the calculation by the method of linearization of the interaction of parametric and self-oscillations at delay and limited excitation. Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., 2020, no. 68, pp. 41-52. doi: 10.17223/19988621/68/4. (In Russian)
26. Alifov A.A., Mazurov M.E. The influence of delays in elasticity and damping on auto-parametric oscillations. Mach. Sci., 2021, vol. 10, no. 1, pp. 43-50.
27. Alifov A.A. Autoparametric oscillations with delays in elastic and frictional forces. J. Mach. Manuf. Reliab., 2021. vol. 50, no. 2, pp. 98-104. doi: 10.3103/S1052618821020023.
28. Alifov A.A. About mixed forced, parametric and self-oscillations by limited excitation and delayed elasticity. Vestn. Permsk. Nats. Issled. Politekh. Univ. Mekh., 2020, no. 3, pp. 12-19. doi: 10.15593/perm.mech/2020.3.02. (In Russian)
29. Alifov A.A. Self-oscillations in delay and limited power of the energy source. Mech. Solids, 2019, vol. 54, no. 4, pp. 607-613. doi: 10.3103/S0025654419040150.
30. Alifov A.A. Mixed forced, parametric, and self-oscillations with nonideal energy source and lagging forces. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Prikl. Nelineinaya Din., 2021, vol. 29, no. 5, pp. 739-750. doi: 10.18500/0869-6632-2021-29-5-739-750. (In Russian)
31. Andronov A.A., Vitt A.A., Khaykin S.E. Teoriya kolebanii [Oscillation Theory]. Moscow, Nauka, 1981. 568 p. (In Russian)
32. Klimov D.M. On one type of self-oscillations in a system with dry friction. Izv. Ross. Akad. Nauk. Mekh. Tverd. Tela, 2003, no. 3, pp. 6-12. (In Russian)
33. Bronovets M.A., Zhuravlev V.F. On self-excited vibrations in friction force measurement systems. Mech. Solids, 2012, vol. 47, no. 3, pp. 261-268. doi: 10.3103/S0025654412030016.
34. Alifov A.A. Metody pryamoi linearizatsii dlya rascheta nelineinykh sistem [Methods of Direct Linearization for Calculation of Nonlinear Systems]. Moscow, Izhevsk, NITs "Regulyar. Khaot. Din.", 2015. 74 p. (In Russian)
35. Alifov A.A. On calculation of oscillating systems with limited excitation by direct linearization methods. Probl. Mashinostr. Avtom., 2017, no. 4, pp. 92-97. (In Russian)
36. Asimptoticheskie metody v teorii nelineinykh kolebanii [Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations]. Moscow, Nauka, 1974. 504 p. (In Russian)
37. Vibratsii v tekhnike [Vibrations in Engineering]. Chelomei V.N. (Ed.). Vol. 2: Oscillations of nonlinear mechanical systems. Moscow, Mashinostroenie, 1979. 351 p. (In Russian)
/ Для цитирования: Алифов А.А. Действие разных запаздываний на смешанные / типы колебаний при ограниченном возбуждении // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. \ Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, кн. 1. С. 16-34. doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.16-34.
For citation : Alifov A.A. Influence of different delays on mixed types of oscillations / under limited excitation. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Mate-\ maticheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 1, pp. 16-34. doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.16-34. (In Russian)
