CC BY
20
УДК 631.363.28
ДЕЙСТВИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ И СЛУЧАЙНЫХ СИЛ НА АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНУЮ СИСТЕМУ «ЗУБ ПРУЖИННОЙ БОРОНЫ-ПОЧВА»
ФЕДОРЕНКО И.Я.,
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой механизации производства и переработки с.-х. продукции ФГБОУ ВО «Алтайский ГАУ»; тел.: (3852) 62-83-26; е-mail: IJFedorenko@mail.ru.
Реферат. Ранее было установлено, что в системе «зуб бороны - почва» происходит мягкое возбуждение автоколебаний, которые носят осцилляторный характер. Показано, что при определенной характеристике сопротивления почвы колебания зуба могут возникать даже без воздействия случайных пульсаций сопротивления. Рассмотрено действие детерминированных колебательных сил, которые имеют место при бороновании поперек предыдущей обработки почвы. Установлено, что при определенных внешних частотах воздействия возможно как подавление автоколебаний и их захватывание внешней силой, так и конкуренция автоколебаний и внешнего воздействия с образованием колебаний - биений. Проведено также моделирование случайного сопротивления почвы и его воздействие на данную автоколебательную систему. Установлено, что характер автоколебаний не нарушается, однако предельный цикл на фазовом портрете носит размытый (зашум-ленный) характер, поскольку размах колебаний изменяется случайным образом.
Ключевые слова: пружинная борона, зуб бороны, автоколебания, численное решение, устойчивость режима, фазовая плоскость, предельный цикл.
ACTION OF THE DETERMINED AND RANDOM FORCES ON THE HUNTING SYSTEM: "THE TOOTH OF SPRING HARROW-SOIL"
FEDORENKO I.Ya.,
Dr. Tech. Sci., Prof., zav. kaf. «Mekhanizatsiya proizvodstva i pererabotki sel'skokhozyaystvennoy produktsii», Altayskiy gosudarstvennyy agrarnyy universitet; Ph.: (3852) 62-83-26; е-mail: IJFedorenko@mail. ru.
Essay. It is established that in the system "the tooth of harrow - the soil" occurs the soft excitation of the autooscillations, which bear oscillator nature. It is shown that with the specific resistance characteristics of the soil of the fluctuation of tooth they can appear even without the action of the random pulsations of resistance. The action of the determined oscillating forces, which occur with the harrowing across the previous working of soil, is examined. Is established that with the defined external frequencies of action is possible both the suppression of auto-oscillations and their capturing by external force and the competition of auto-oscillations and external action with the formation of the fluctuations - of beatings. The simulation of the random resistance of soil and its effect on this hunting system is carried out. It is established that the nature of auto-oscillations is not disrupted; however, limiting cycle on the phase portrait bears the washed away (zashumlennyy) nature, since back-and-forth amplitude changes randomly.
Keywords: spring harrow, tooth harrow, oscillations, numerical solution, stability of regime, phase plane, limit cycle.
Введение. Автоколебательные рабочие органы почвообрабатывающих машин стали реальностью наших дней, обеспечивая существенный технологический и энергетический эффект. В частности, к автоколебательным рабочим органам относятся зубья пружинных борон. Отечественными и зарубежными предприятиями выпускается целая гамма таких борон.
Исследование автоколебаний зубьев борон было начато нами в книге [1]. Уточненная теория и численное исследование было изложено в статье [2]. В настоящей работе проведено приближение к реальным условиям работы бороны, когда на автоколебательную систему дополнительно действуют детерминированные и случайные колебательные силы.
Материал и методика исследования. Рассмотрим расчетную схему взаимодействия зуба с почвой (рисунок 1).
Зуб совершает сложное абсолютное движение: переносное с постоянной скоростью V заделки зуба и относительные угловые колебания ф с центром в точке 0.
Зависимость сопротивления зуба аппроксимировали известной трехзвенной формулой [2]
.- ■■ = ■■-■■_■ -:■ ■■-■■_■ -:■-■■- ■■_■ (1)
где ^, Ъ±. Ьг - экспериментально определяемые параметры;
г - расстояние от точки приложения равнодействующей сопротивления до точки 0.
Рисунок 1 - Расчетная схема взаимодействия зуба с почвой
Дифференциальное уравнение угловых колебаний зуба вокруг точки 0 было записано в виде:
где 3 - момент инерции зуба; с - угловая жесткость зуба; " ._■ "" - -^т:-:;:.^ по выражению (1). Разделив все члены уравнения (2) на получим ■р + ш1<р = <¿1с-^ (3)
где ¿->о = Vе//~ угловая частота свободных колебаний зуба.
Введем обозначения:
Величины 6: Сф, 1-0 и имеют смысл углов
(в радианах), на которые отклоняется зуб при действии моментов V) Ьс и р(.ф, ЮЛ^
С учетом этих обозначений уравнение (3) можно записать в компактном виде
ф + = - вД^Р) ■ 92]. (4)
К уравнению (4) нужно присоединить ограничение по максимальному отклонению зуба фп, вытекающее из геометрического анализа рисунок 1:
<р < огссоб < фг_.
Это ограничение можно интерпретировать по-другому, дополнив уравнение (3) еще одним уравнени-
■р+(и = V) - б^ИО -р^еслифй
<р + = 0, если <р > <рГщ ^ ^
Это и есть основные дифференциальные уравнения колебаний зуба бороны, т.е. математическая модель работы зуба, которая была получена в статье [2].
Второе из этих уравнений отражает тот факт, что если при колебаниях зуб выходит из почвы, то ее сопротивление становится равным 0.
Следовательно, в первом приближении автоколебания в нашей системе можно описать законом:
р = Л-фА ■ соз ¡и(г, (6)
где <Рд - полуразмах автоколебаний;
ф0 - положение динамического равновесия зуба.
Результаты исследования. Исследуем далее воздействие внешней периодической силы на нашу автоколебательную систему. Такая сила может появиться при бороновании поперек предыдущей обработки с ярко выраженной гребнистостью почвы.
Силу сопротивления зуба, представленную выражением (1) мы должны при этом дополнить членом
где Фо - амплитудное значение вынуждающей силы; р - частота внешнего воздействия; Ц = Фа/¿о - коэффициент, показывающий относительную величину силы Ф0 в сравнении с силой
При действии силы Ф нас интересуют, во-первых, явления, подобные резонансам, а именно резонансы первого (на основном тоне) и второго рода. Они возникают, как показали численные эксперименты в системе МаШса^ соответственно при р=т ир=2т (а не р=то ир=2то, как трактуют некоторые источники). Напомним, что в наших обозначениях т - это частота автоколебаний, то - собственная частота колебательной системы зуба. Эти частоты могут существенно, в 1,5-1,7 раза, различаться между собой. Указанные выше резонансы чаще всего называют захватыванием, хотя частоты р и т изначально совпадают.
Во-вторых, интерес представляет явление захватывания (подавления автоколебаний внешней силой) при различных расстройках частоты:
а также разных величинах коэффициента ц.
Начнем численное исследование явления захватывания при нулевой настройке А=0 . Это явление несомненно существует, поскольку при р=т и даже при р=2т колебания остаются близкими к синусоидальным, однако резонирующие свойства проявляются очень слабо. Так, при реальных значениях ц =
0,3...0,5 прибавка по размаху колебаний по сравнению с чистыми автоколебаниями составляет для резонанса на основном тоне 10.15 %, а для резонанса 2-го рода прибавки вообще нет (при дальнейшем увеличении л размах даже уменьшается).
Действие этих явлений распространяется на некоторые области возбуждения вблизи частот р=т и р=2в), внутри которых автоколебания подавляются внешней периодической силой. Причем, чем больше эта сила, тем больше область захватывания (рисунок 2).
Области захватывания в современной литературе еще называют областями синхронизации, а соответствующие им графики - языками Арнольда (в честь российского математика В.И. Арнольда). Такие языки еще можно построить для соотношения частот р:в) = 1:2; 2:3; 1:3 и т.д. Но эти языки очень узки и не имеют практического значения [3].
При технологическом процессе боронования реальные частоты возбуждения не превышают 50.60 с-1, а относительная амплитуда силы ¡л - 0,3.0,5. При таких условиях более вероятны режимы работы вне областей зоны захватывания. На этих режимах внешнее возбуждение и автоколебания постоянно конкурируют между собой, в результате чего возникают колебания-биения с периодом 2л/—£¿>1 (рисунок 3).
Вид этих колебаний ближе к экспериментально получаемым осциллограммам.
Таким образом, автоколебательная система реагирует на внешнее гармоническое воздействие совершенно иным (и более сложным) образом, чем обычная колебательная система.
Представим теперь, что наша автоколебательная
система вместо гармонического воздействия подвергается действию случайных сил. При работе бороны такое воздействие имеется всегда и связано со случайным сопротивлением почвы и случайным (в общем случае) ее рельефом.
В работах [4, 5] показано, что тяговое сопротивление почвообрабатывающих машин можно считать стационарным эргодическим процессом с нормальным законом распределения данной случайной величины.
Стационарные случайные процессы могут быть с необходимой для инженерной практики точностью представлены каноническим (спектральным) разложением, т.е. в виде суммы гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами на неслучайных частотах [6].
Если в выражении (7) считать ¥о математическим ожиданием сопротивления зуба, то при действии случайных сил мы должны дополнить это выражение суммой слагаемых:
ф = ^ Рк С-обС^ t -
(9)
где - случайные коэффициенты, приобретающие здесь смысл коэффициентов вариации сопротивления;
рк - неслучайные частоты, как результат разбиения всего интервала действующих частот на некоторые диапазоны Ар (рк = кАр; к 0. 1,2,..., Л'г):
5 - начальная фаза гармонического колебания (случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,2п)).
Рисунок 2 - Области захватывания автоколебаний зуба бороны внешней периодической силой (заштриховано)
0.8
0.4
ф№
0.2
-0.2
^ ф(0 0 а
- 0.5 0 0.5 1
Ф(t)
а б
Рисунок 3 - Биения, как результат воздействия внешней периодической силы на автоколебательную систему: а) график колебаний; б) фазовый портрет (¡=0,5;р=30с ; в) = 49 с-')
Очевидно, что в реальных исследованиях и расчетах ограничиваются, в зависимости от требований точности, тем или иным конечным числом N членов ряда (9).
При таком моделировании случайного процесса реализации являются периодическими колебаниями (с периодом Т= 2п/Ар), следовательно, свойством эргодичности не обладают [6]. Поэтому требуется несколько реализаций случайного процесса.
Общее достоинство разложения (9) - простота алгоритма моделирования.
Известно далее, что дисперсия Б стационарного случайного процесса, представленного своим каноническим разложением, связана с парциальными дисперсиями соотношением [6].
о = (Ю)
Парциальная дисперсия Бк представляет собой ту часть общей дисперсии стационарного процесса, которая приходится на к-ю гармонику.
Величина парциальной дисперсии устанавливается по функции спектральной плотности Н(р)
Соответственно парциальный коэффициент вариации можно представить выражением:
В соответствии с требованием (10) можно найти, что
_ У,: (П)
Р - / . №
где р- - коэффициент вариации процесса;
¡¿к - парциальные коэффициенты вариации.
Таким образом, если бы мы располагали функцией спектральной плотности S(p) стационарного случайного процесса, то функцию Ф (9) можно было бы записать и в таком виде:
При компьютерном моделировании, с целью получения качественной картины действия случайных сил на автоколебательную систему «зуб бороны -почва», мы учли 10 гармоник: р^=6, 12,..., 60 с"1 следовательно Ар = 6 с '.
Частоты воздействий на зуб мы приняли большего диапазона, чем на почвообрабатывающий агрегат в целом, в силу разных фильтрующих свойств этих систем.
Коэффициенты вариации сопротивления почвы достигают величины 0,20.0,25 [4, 5]. Примем в данных расчетах ¡=0,25. В связи с отсутствием экспериментальных функций спектральной плотности сопротивления пружинных борон квадраты парциальных коэффициентов приняты одинаковыми:
т.е. введено распределение плотности типа «ограниченный белый шум».
Сами коэффициенты [11---Д1Л имеют значение 0,079.
Сопоставляя значение ¿Ч ■ ■■ /Ч о с соответствующими значениями л на диаграмме (рисунок 2), видим, что действие гармоник относительно слабо. Но мы приняли ¡=0,25, т.е. максимальное действие случайности. Реальные случайные нагрузки будут меньше. Кроме того, если брать большее число гармоник, то парциальное действие каждой гармоники также будет меньше. Именно при условии слабого случайного воздействия и развитой генерации автоколебаний флуктуации амплитуды гармоник могут быть проигнорированы (это следует из [3]).
Поэтому флуктуирующие значения коэффициентов р.^ мы заменили на их постоянные значения. Процесс, тем не менее, остался случайным за счет случайного сдвига фазы на каждой частоте 'Р*. Случайную фазу генерировали системой Mathcad при помощи функции гиш£
Поскольку дифференциальное уравнение колебаний зуба бороны мы решили численно, то возникает вопрос корректного учета внешнего воздействия (9). Дело в том, что по теореме Котельникова, если входное воздействие Ф(1) имеет спектральную плотность, локализованную в полосе частот 0 ... то оно мо-
жет без потерь представлено дискретными отсчетами, удовлетворяющих условие Л £ < я /■ .
Поскольку мы приняли С1>тал- и 60с-1, то должно быть Д£ < 0,052 с. Поскольку шаг численного интегрирования дифференциальных уравнений составляет обычно 0,01 с или даже 0,001 с, то при решении информация о входном сигнале не теряется.
0.6
0
0
2
20
dp(t) 0 dt
20
- 0.2
0
2
4
6
(3>
0.5
t
0 0.5 1
ф№
а б
Рисунок 4 - Моделирование действия случайного сопротивления почвы на автоколебательную систему «зуб бороны - почва» при учете 10 гармоник: а) график колебаний зуба; б) «зашумленный» предельный цикл
На рисунке 4 представлена одна реализация действия почвы на автоколебательную систему при определенном случайном наборе фаз Видно, что частота автоколебаний не изменилась, т.е. подавления автоколебаний не произошло. Наблюдаются биения с частотой квантования Ар — 6 с-1. Никакого стохастического резонанса также не наблюдается. Действие случайной нагрузки на зуб привело лишь к флуктуации амплитуды колебаний, чаще всего в сторону уменьшения по сравнению с детерминированным вариантом.
Таким образом, учет действия случайности показывает, что автоколебания не нарушаются, а картина колебаний становится реалистичной, похожей на экспериментально получаемую осциллограмму колебаний.
Наиболее адекватные результаты могут быть получены при осреднении нескольких реализаций колебаний зуба с разными наборами случайных фаз
Выводы. 1. В результате динамического анализа взаимодействия зуба пружинной бороны с почвой получены нелинейные дифференциальные уравнения
(5), являющиеся математической моделью данного процесса. Аналитическое и численное (компьютерное) её исследование показало, что она адекватно описывает устойчивый процесс автоколебаний зуба бороны. На основе этого анализа могут быть истолкованы все факты, обнаруживаемые в реальных условиях работы бороны.
2. Рассмотрено действие детерминированных колебательных сил, которые имеют место при бороновании поперек предыдущей обработки почвы. Установлено, что при определенных внешних частотах воздействия возможно как подавление автоколебаний и их захватывание внешней силой, так и конкуренция автоколебаний и внешнего воздействия с образованием колебаний - биений.
3. Проведено моделирование случайного сопротивления почвы и его воздействие на данную автоколебательную систему. Установлено, что характер автоколебаний не нарушается, однако предельный цикл на фазовом портрете носит размытый (зашум-ленный) характер, поскольку размах колебаний изменяется случайным образом.
Список использованных источников
1. Федоренко И.Я. Вибрационные процессы и устройства в АПК: монография. - Барнаул: РИО Алтайского ГАУ, 2016. - 289 с.
2. Федоренко И.Я. Численно-аналитическое моделирование колебаний зуба пружинной бороны // Вестник Алтайского государственного аграрного университета. - 2018. - № 1(159). - С.162-167.
3. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Регулярные и хаотические автоколебания // М.: Интеллект, 2009. - 311с.
4. Красовских В.С. Теория и расчет машинно-тракторных агрегатов при возделывании зерновых культур: монография. - Барнаул, РИО Алтайского ГАУ, 2015. - 183с.
5. Лурье А.Б. Статистическая динамика сельскохозяйственных агрегатов . - М.: Колос, 1981. - 382 с.
6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1991. - 384 с.
List of sources used
1. Fedorenko I.Ya. Vibration processes and devices in the agroindustrial complex: monograph. - Barnaul: RIO of the Altai State University, 2016. - 289 p.
2. Fedorenko I.Ya. Numerically-analytical modeling of oscillations of a tooth of a spring harrow // the Bulletin of the Altay state agrarian university. - 2018. - No. 1 (159). - P.162-167.
3. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Vadivasova Т.Е. Regular and chaotic self-oscillations // M .: Intellect, 2009. -311p.
4. Krasovskikh V.S .Theory and calculation of machine-tractor aggregates in the cultivation of grain crops: monograph. - Barnaul, RIO of the Altai State University, 2015. - 183 p.
5. Lurie A.B. Statistical dynamics of agricultural aggregates. - Moscow: Kolos, 1981. - 382 p.
6. Venttsel E.S., Ovcharov L.A. The theory of random processes and its engineering applications. - Moscow: Nauka, 1991. - 384 p.
УДК 631.354.2.076
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЗНАЧЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТА ДРОБЛЕНИЯ ЗЕРНА НА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ПАЛЬЦЕВОЙ РЕШЁТКЕ СТРЯСНОЙ ДОСКИ ЗЕРНОУБОРОЧНОГО КОМБАЙНА
ПЕТРОВ Е.Е.,
аспирант, ФГБОУ ВО «Донской государственный технический университет», e-mail: patka4@mail.ru. ШАПОВАЛ Б.Г.,
кандидат технических наук, ведущий инженер кафедры «Теоретическая и прикладная механика», ФГБОУ ВО «Донской государственный технический университет», e-mail: nba-shapoval@yandex.ru.
Реферат. В статье обоснована актуальность определения закона распределения плотности вероятностей значений коэффициента дробления зерна, при его использовании в качестве критерия, характеризующего качество функционирования экспериментальной пальцевой решётки стрясной доски зерноуборочного комбайна. Описаны методика и условия исследования. Приведены результаты исследований и выполнен их анализ. Сделано заключение о нормальном законе распределения плотности вероятностей значений коэффициента дробления зерна на пальцевой решётке стрясной доски зерноуборочного комбайна, что позволяет в дальнейших исследованиях использовать математическую теорию планирования экспериментов, при использовании этого параметра, для характеристики процесса сепарации и других процессов в зерноуборочном комбайне.
Ключевые слова: процесс сепарации, качество функционирования, пальцевая решётка, теория планирования эксперимента, закон распределения.
DETERMINATION OF THE LAW OF DISTRIBUTION OF DENSITY DENSITY OF PROBABILITIES OF GRAIN CRUSHING COEFFICIENT FACTORS ON EXPERIMENTAL FINGER GRANTS OF THE FRICTION BOARD OF COMBINE HARVESTER
PETROV E.E.,
the post-graduate student, Don State Technical University, E-mail: patka4@mail.ru. SHAPOVAL B.G.,
candidate of Technical Sciences, Leading engineer of Department of Theoretical and Applied Mechanics, Don State Technical University, E-mail: nba-shapoval@yandex.ru.
Essay. The article proves the urgency of determining the law of distribution of the probability density of the values of the coefficient of grain crushing, when used as a criterion characterizing the quality of the experimental finger grate operation of a grain harvester harvesting board. The methods and conditions of the study are described. The results of the research are presented and their analysis is performed. The conclusion is made about the normal law of distribution of the probability density of the values of the grain grinding coefficient on the finger grate of the stamping board of a combine harvester, which in future studies makes it possible to use the mathematical theory of experiment planning, using this parameter, to characterize the separation process and other processes in a combine harvester.
