Детектирование дробно-степенных зависимостей с комплексными показателями в диэлектрических спектрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 538.956-404

ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ДРОБНО-СТЕПЕННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СПЕКТРАХ

АРБУЗОВ А.А., НИГМАТУЛЛИН Р.Р.

Казанский государственный университет им. В.И. Ленина,

420111, г. Казань, ул. Кремлёвская 18

АННОТАЦИЯ. Разработаны новые методы анализа диэлектрических спектров (т.е. найдены чёткие критерии, основанные на анализе структуры аппроксимирующей функции и особенностях её поведения), позволяющие распознавать наличие дробно-степенных слагаемых с комплексными показателями степени. Показано, что традиционные методы анализа данных не могут решить данную задачу.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: дробно-степенные частотные зависимости, диэлектрические спектры. ВВЕДЕНИЕ

Современная диэлектрическая спектроскопия анализирует поведение проницаемости 8 изучаемого материала в широком частотном (ъ = 10- ...10 Гц) и температурном (T = —170. +300 oC) интервале. Такое широкое температурно-частотное окно способствует получению уникальной информации по релаксационной динамике исследуемого образца. Основная цель диэлектрической спектроскопии заключается в том, чтобы связать структурные и динамические параметры анализируемого материала с параметрами правильно подобранной аппроксимирующей функции на промежуточном (мезоскопическом) уровне пространственных и временных масштабов. Эта проблема имеет фундаментальный интерес, так как зачастую мы понимаем физику, контролирующую поведение отдельных атомов и молекул («микроскопику») и «макрофизику», объясняющую поведение больших макроскопических частей вещества. Но в большинстве случаев мы мало знаем о сложном поведении молекул внутри кластеров, а эти знания могут быть положены в основу понимания сильнокоррелированных движений больших групп молекул в области наномасштабов.

Главной проблемой диэлектрической спектроскопии является отсутствие единой теории диэлектрических спектров [1]. В настоящее время (как и ранее) для описания широкополосных диэлектрических данных большого класса исследуемых материалов зачастую используется набор эмпирических формул, например, Дебая [2], Коула-Коула [3] и др. или их линейных комбинаций. Очевидно, что при таком описании желаемая связь подгоночных параметров со структурой материала и протекающими релаксационными процессами не может быть установлена. В последних работах Р.Р. Нигматуллина и его коллег были реализованы первые этапы построения общей теории диэлектрической релаксации (ОТДР), предполагающей самоподобную структуру диэлектрической среды. Было показано, что «универсальное» степенное поведение (изложенное в работе [4]) следует из сокращенного описания многочисленных микродвижений, которые сводятся к небольшому числу движений групп частиц, на промежуточном масштабе частот (мезомасштаб). Данный эффект аналитически доказан для слабо [4] и сильно [5] коррелирующих фрактальных структур, обладающих сферической симметрией, а также для слабо коррелирующих фрактальных структур цилиндрической симметрии [6]. Однако на настоящий момент ОТДР находится на стадии проверки, и некоторые проблемы остаются по-прежнему не решенными. Среди прочего хочется отметить отсутствие надежного инструментария (набора методов анализа диэлектрических спектров), позволяющего обосновывать выбор аппроксимирующей функции (т.е. позволяющего найти наиболее подходящую модель для описания данного спектра и, соответственно, вещества) и интерпретировать диэлектрические спектры, описываемые дробно-степенными выражениями с действительными и комплексными показателями степени.

ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ДРОБНО-СТЕПЕННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ _В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СПЕКТРАХ_

ОБНАРУЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Многие форматы представления данных позволяют улучшить качество аппроксимации и распознать истинную подгоночную функцию диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными показателями [7], [8]. Обнаружение комплексных показателей требует дополнительных исследований. Остановимся на них более подробно.

В работах [4] и [6] показано, что диэлектрическая проницаемость самоподобной среды без учёта проводимости может быть записана в следующем виде:

£( = ТП-гЧ' К (&) = ( + с (с * (• 0)

1 + К (¡ю) J

Функция релаксации К« в данном случае представляет собой триаду, состоящую из дробно-степенных слагаемых с одним действительным V и парой комплексно-сопряжённых ±0 показателей, т - характерное время релаксации. В обычном представлении зависимости реальной и мнимой частей проницаемости е(<<), определяемой выражением (1), могут не обнаруживать никаких особенностей (рис. 1), что не позволяет отличить данную функцию от функции Коула-Коула (2)

= . (2) 1 + и®т)

ф

а)

Ре(б)

5 10

1п(ю)

2015-

!т(е)

б)

!п(ю)

Рис. 1. Реальная (а) и мнимая (б) части функции диэлектрической проницаемости £0ю) из (1)

5-

0-

0

-5

15

-5

5

Представление данной функции е в формате отношения [7] также не приносит результатов (рис. 2).

ф

654321 -0-5

!п(Рв(е)/!т(е))

Чи*

!п(ю)

Рис. 2. Функция диэлектрической проницаемости £0ю) из (1) в формате отношения

0

10

15

Для дальнейшего изучения определим функцию релаксации Я(1<):

Я (>) —

-1.

(3)

найдя граничные параметры при помощи обобщённого обратного формата [8]. Реальная и мнимая части функции Я(!ю) также не демонстрируют отличия от функции Коула-Коула в обычном представлении (рис. 3).

а)

гу

^ 400 0)

а: 300'

Re(R)

1п(и)

а: ¥

10 15

1т(Я)

б)

1п(и)

Рис. 3. Реальная (а) и мнимая (б) части функции релаксации R(jm), для £(/«) из (1)

На данном графике также не удаётся выявить никаких особенностей поведения функции. Для того чтобы глубже разобраться в данной проблеме, преобразуем выражение для функции Я0а) с г0<<) из (1), учитывая, что j = е}п/2, = е~°я/2, и представим реальную часть функции релаксации в виде

Re Я — А0 + Дсоб (Ох) + А2эт (Ох)], Л0 — Т со8 [ —|, х — 1п®,

— 2 Ао с

А2 — 2А0 с

, , пОЛ , (пО

соэр- ш | —— 1 + этр-sh I ——

пу 2

с — \с\е

jW

соэр- sh

пО

пуЛ , ( пО

— I- этр- ch I-

2 ) 2

(р — 01п т + у,

(4)

а мнимую часть в виде

1т Я — о>У\_В0 + Вхсоэ (0х) + В2эт (Ох)], В0 —Т соэ | —

В1 — 2В0 |с|

В2 —-2В0 с

, , пОЛ , (пОЛ (пу

со(-chI I-sinр•sh I "2" I-с(§ I "у

, , пОЛ (пу\ , (пО

со(-sh I — I-I — 1+sinр•ch I —

(5)

15

-5

2

Главная особенность данных выражений заключается в том, что они содержат периодические члены э1п(^х), еоэ(^х), зависящие от логарифма частоты. Однако, как это было отмечено в работах [1] и [6], данные осцилляции очень малы и подавляются большим действительным показателем V.

Для детектирования данных «скрытых» осцилляций оказывается эффективным формат отношения, применённый к функции Я()ю). Действительно, если представить функцию релаксации Я(/ю) в данном формате, то зависимость < сокращается, и осцилляции чётко проявляются (рис. 4):

ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ДРОБНО-СТЕПЕННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ

В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СПЕКТРАХ

¥ 9)

аТ ¡г

Ре(Р)/!т(Р)

ил

15 20

!п(ш)

Рис. 4. Функция релаксации R(jm), полученная для £(/&»), определяемой (1), в формате отношения

/ ч Re К А0 + А1 cos (От) + А2 sm (Ох)

КР (]а) =-=-)--)-.

у ' 1т К В0 + B1cos (Ох) + B2sm (Ох)

(6)

Аппроксимация данных логопериодических осцилляций и дробно-степенного поведения функции релаксации не составляет труда, [1] и [6], рис. 6.

В заключение хочется отметить один важный момент. Некоторые исследователи могут описывать диэлектрические спектры функциями Коула-Коула, Коула-Давидсона и др., не содержащими комплексных слагаемых, а затем вычесть функцию аппроксимации из данных и обнаружить что-то похожее на осцилляции (очевидно, что это будут различные погрешности, шумы и т.д.). Хочется подчеркнуть, что полученные зависимости не говорят о наличии комплексных показателей. Действительно, для того чтобы обнаружить логопериодические осцилляции необходимо поделить функцию релаксации на выражение (']<)), где V - значение ведущего действительного показателя, [1] и [6]. Если же поделить функцию диэлектрической релаксации К(]а), не содержащую комплексных показателей, на величину , то никаких логопериодических осцилляций обнаружить не удастся (рис. 5).

4 3x10

4,3x10

4,3x10

4,3x10

4,3хЮ

3

О? 1,6x1с2

^аТ се

а)

Ре(Р/(|ю)у)

!п(ю)

си

!т(Р/(|ю)у)

/ б)

5 10 15 20

!п(ю)

Рис. 5. Реальная (а) и мнимая (б) части функции R(jю)/(jю)v, где R(joJ) - функция релаксации Коула-Коула (2)

3 0x10

1,7x10

2 5x10

1,7x10

2,0x10

1 5x10

10x10

1,6x10

5 0x10

1,5x10

30-

15

Данные зависимости не представляют собой прямые линии из-за погрешностей нахождения параметров е^ еда. На графиках не видны осцилляции, в отличие от функции (1) (рис. 6).

,3

ас ТТ 01

а)

Рис

Ке№)) Ке(у(|щ))

!п(ш)

1,5x10 ■ . 3 1,0x10-'-Л 5,Cx10s■ 0,0--5,0x10-^-

л

-1,0x10"'-

!т(ВД) !т(у(|ю))

б)

!п(ш)

6. Реальная (а) и мнимая (б) части модельной функции <р(/ю) = R(jm)/(jm)v где R(jю) - функция релаксации для е(гю) из выражения (1)

Подобные осцилляции говорят о том, что функция релаксации содержит пару степенных слагаемых с комплексно-сопряжёнными показателями степени.

Осцилляции также не проявляют себя при представлении данной функции К« в формате отношения (рис. 7), в отличие от функции релаксации (1) (рис. 4).

8 Cx

С-

8 Cx

С-

8,Cx

8,Cx

03-

8,0x

-1 5x10

8 Cx

-2 0x10

-5

-5

0,18—,

0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 -0,02 -0,04

-5

Ке(К)/!т(К)

0 5 10 15

!п(ю)

Рис. 7. Функция релаксации R(jю) для функции Коула-Коула (2) в формате отношения

20

Таким образом, для того чтобы распознать наличие комплексно-сопряжённых показателей необходимо, во-первых, найти граничные параметры е^ еж при помощи ООФ формата, чтобы выделить функцию релаксации, а затем представить данную функцию К(']«) в формате отношения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Существующие способы представления диэлектрических данных не позволяют однозначно определить по спектру функцию диэлектрической проницаемости и распознать наличие дробно-степенных слагаемых с комплексными показателями.

Нами были разработаны новые методы анализа диэлектрических спектров, позволяющие отличать друг от друга различные аппроксимирующие функции, в том числе содержащие комплексные показатели степени.

Становится очевидным, что современная обработка данных должна быть многоэтапной, и начинать её надо с обоснованного выбора аппроксимирующей функции. Критерии выбора должны быть чёткими и основываться на анализе особенностей анализируемой функции аппроксимации.

ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ДРОБНО-СТЕПЕННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ _В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СПЕКТРАХ_

Частично данная работа была выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы 2009/2010 гг." по теме РНП-14 "Неинвазивные методы обработки спектров, сигналов и шумов сложных гетерогенных систем, включая микро/наносистемы", и авторы выражают свою признательность министерству образования и науки РФ за финансовую поддержку.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Jonscher A.K. Dielectric Relaxation in Solids. London : Chelsea Dielectric Press, 1983. 380 р.

2. Debay P. Polar Molecules. New York : Dover, 1929. 172 р.

3. Cole K.S., Cole R.H. Dispersion and Absorption in Dielectrics I. Alternating Current Characteristics // J. Chem. Phys. 1941. V. 9. P. 341-351.

4. Nigmatullin R.R. Theory of dielectric relaxation in non-crystalline solids: from a set of micromotions to the averaged collective motion in the mesoscale region // Physica B: Physics of Condensed Matter. 2005. V.358. P.201-215.

5. Nigmatullin R.R. "Fractional" kinetic equations and "universal" decoupling of a memory function in mesoscale region // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2006. V. 363. P. 282-298.

6. Арбузов А.А., Нигматуллин Р.Р. Влияние осевой симметрии дипольных кластеров на диэлектрическую релаксацию // Химическая физика и мезоскопия. 2009. Т. 11, №1. С. 59-74.

7. Macedo P.B., Moynihan C.T., and Bose R. The modulus format and its application in dielectric spectroscopy // Physics of Chemical Glasses. 1972. V. 13. P.171-183.

8. Арбузов А.А. Обобщённый обратный формат и его применение к обработке диэлектрических спектров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион, 2007. №4. С. 112-121.

DETECTION OF FRACTIONAL POWER-LAW DEPENDENCES WITH COMPLEX EXPONENTS IN DIELECTRIC SPECTRA

Arbuzov A.A., Nigmatullin R.R. Kazan State University, Kazan, Russia

SUMMARY. New methods of raw dielectric spectra analysis allowing detecting the presence of fractional power-law components with complex exponents have been developed. In other words, we found precise criteria based on the inner structure of function analyzed which helps us to find these anomalous components. It was shown also that traditional techniques can not solve this problem.

KEYWORDS: fractional power-law dependences, dielectric spectra.

Арбузов Андрей Александрович, кандидат физико-математических наук, сотрудник кафедры теоретической физики КГУ им. В.И. Ленина, тел. (843)231-53-42, e-mail: andrey.arbuzov@mail.ru

Нигматуллин Равиль Рашидович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики КГУ им. В.И. Ленина, тел. (843)231-53-42, e-mail: nigmat@knet.ru