Декомпозиция задачи оптимального потребления на дискретном рынке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.853.3 ББК 22.18

ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОТРЕБЛЕНИЯ НА ДИСКРЕТНОМ РЫНКЕ1

Соловьев А. И.2

(Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва)

Рассмотрена многопериодная дискретная модель рынка, описываемого деревом сценариев без самопересечений. Инвестор максимизирует ожидаемую полезность потребления в течение конечного периода времени. Предлагаются декомпозиционные схемы решения задач оптимального потребления со степенной и логарифмической функциями полезности, которые позволяют свести решение основной задачи к решению нескольких однопериод-ных задач.

Ключевые слова: безарбитражный рынок, неполный рынок, задача оптимального потребления, дерево сценариев, динамическое программирование, выпуклое программирование.

Введение

Задача максимизации функции полезности на дискретных неполных рынках вызывает затруднения по нескольким причинам. Сложность задач выпуклого программирования очень быстро увеличивается с ростом числа переменных и ограничений. В случае задач оптимального потребления это объясняется свободой выбора портфеля ценных бумаг и неопределенностью поведения финансового рынка. Таким образом, решение рассматрива-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 14-01-91163а. Автор выражает благодарность своему научному руководителю к.ф.-мз.н., доценту В. В. Морозову за помощь в написании данной работы.

2 Алексей Игоревич Соловьев, аспирант, (alex.solo.88@mail.ru).

емых задач в изначальной постановке является неэффективным. Мартингальный подход позволяет сначала определить оптимальный план потребления и затем соответствующие этому плану портфели, но неполнота рынка усложняет поиск оптимального потребления.

Проблемы оптимального потребления на дискретных рынках рассматривались во многих работах. Плиска [6] разработал критерий допустимости процесса потребления на полных рынках. Он предложил три основных метода решения задач оптимального потребления: динамический и мартингальный подходы и метод введения фиктивных бумаг. Хэ и Пирсон [3], используя крайние точки множества цен, обеспечивающих отсутствие арбитража, свели основную динамическую задачу к статической. Бушар и Фам [1] рассмотрели дискретные неполные финансовые рынки с пропорциональными транзакционными издержками. Оптимальные процессы потребления и инвестирования найдены, опираясь на теорию двойственности. Эренфрид [2] нашел аналитический вид решения задач для моделей потребления с логарифмической, степенной и экспоненциальной функциями полезности. Он предполагает рынок полным, дисконтирующий фактор определяется состоянием рынка. В работе используются марковские процессы принятия решений.

Дискретная задача оптимального потребления с возможностью инвестирования близка задаче хеджирования платежного обязательства [5]. Модель финансового рынка, описанная в настоящей статье, введена Кингом в работе [4]. Им доказан критерий существования оптимального решения в задачах максимизации полезности.

Раздел 2 данной работы посвящен описанию модели. В разделе 3 формулируется основная задача, и устанавливаются ее эквивалентные формы. Описан метод динамического программирования для нахождения оптимального потребления в задачах со степенной и логарифмической функциями полезности.

1. Описание модели

На рынке обращаются й + 1 видов ценных бумаг, имеющих номера ] = 0,1,..., й. Актив с номером 0 имеет положительную стоимость и считается безрисковым, он выбирается дисконтирующим. Пусть неотрицательный вектор Хп = (Х°,..., Х.%) обозначает дисконтированные цены бумаг по отношению к безрисковому активу в состоянии рынка п. Его компонента Х° равна 1 для любого состояния п.

Множество состояний N разбито на попарно непересекающиеся подмножества состояний N, в которые рынок может перейти в моменты времени Ь = 0,..., Т. Множество N0 состоит из единственной корневой вершины дерева, обозначаемой 0. Пусть а (п) обозначает единственную вершину из множества 1, предшествующую вершине п € N, Ь = 1, ...,Т. Положим также а0 (п) = п, а5 (п) = а5-1 (а (п)) Vп € N4, 8 = 1, ...,Ь. Множество всех прямых потомков вершины п € N, Ь = 0, ...,Т — 1, обозначим через С (п) С Пусть V (п) - множество всех

следующих за п вершин дерева. Рынок моделируется деревом без самопересечений. Это значит, что каждой концевой вершине (листу) дерева соответствует единственный путь, ведущий к ней из корневой вершины. Эти пути образуют вероятностное пространство элементарных событий О. Множество N делит пространство О на подмножества (события), определяемые вершинами п € N4, и состоящие из всех путей, содержащих п. Совокупность этих событий порождает алгебру При этом То = {0, О} С Т С ... С Тт.

Вероятностная мера р = (рп, п € N) на О приписывает листьям дерева вероятности рп > 0, ^п^т РП = 1. Вероятности для всех промежуточных вершин определяются рекурсивно: Рп = 52тес(п) Рт, Vп € ^Мг. Заметим, что ро = 1. Будем считать, что мера р задает истинные (статистические) вероятности событий. Она однозначно определяется по вероятностному распределению рт = (рп, п € Мт).

Вероятностная мера д = (дп, п € N) эквивалентная р

(Яп > 0, V п € М) называется мартингальной, если

(1) Я тХт = £ ЯпХп, V т еМг,Ь = 0,...,Т - 1.

^ ' пео(т)

Пусть Q - множество всех мартингальных мер. Будем рассматривать согласованные с фильтрацией {.} процессы вида Ь = {Ьг}, где случайная величина Ьг принимает значения Ьп, п € Мг, и, следовательно, .¿-измерима. Из (1) следует, что процесс приведенной стоимости {Х£ } каждой ^'-й бумаги является я-мартингалом.

Предположим, в каждом состоянии рынка п € N инвестор формирует портфель вп = ,—,вп) , где в3п - количество бумаг ^'-го вида, ] = 0,1,...,^. Приведенная стоимость портфеля вп равна Хп ■ вп - скалярное произведение векторов Хп и вп. Пусть сп ^ 0 - объем средств, потребляемых инвестором в состоянии п € N. Стратегией инвестора назовем пару (с, в), где процесс потребления с = {сг} и портфельный процесс в = {вг} удовлетворяют условию самофинансирования

(2) Хп ■ ва(п) = Хп ■ вп + сп, Vп € Мг, * = 1,..., Т.

Пусть V - начальный капитал инвестора. Предположим, что его функция полезности и (х) возрастает и строго вогнута. В этом случае инвестору следует тратить весь свой начальный капитал и использовать все конечные сбережения. Поэтому можно ограничиться стратегиями, удовлетворяющими условиям V = Хо ■ во + со и Хп ■ вп = 0, V п € МТ.

Говорят, что рынок допускает арбитражную возможность, если инвестор, не вкладывая средств в ценные бумаги, может не остаться должником в каждом из возможных состояний рынка и получить прибыль с ненулевой вероятностью. Известно [6], что на безарбитражных рынках существует мартингальная мера, и она единственна на полных рынках. В данной статье рассматриваются безарбитражные неполные рынки.

2. Основная задача

Инвестор выбирает стратегию, максимизирующую суммарную ожидаемую полезность потребления в течение Т периодов

торгов. Сформулируем исходную задачу

max (е,в) Т, РиП (с„)

(3)

иеЯ

еХи ■ ва(и) = Хи ■ ви + Си, Vп е Л, * = 1, ...,Т

V = Хо ■ во + Со,

Хи ■ ви = 0, V п еЛГ

Си ^ 0, Vп еЛ.

Следующая теорема доказана в [6] для полных рынков.

Теорема 1. Ограничения задачи (3) эквивалентны следующим:

(4) Е ЗиСи = V, Vз е Я, Си ^ 0, Vп еЛ.

4 ' иеЯ

Доказательство. Возьмем произвольную мартингальную меру з е Я и домножим на ди левые и правые части условия самофинансирования. Сложим все равенства системы ограничений, в результате имеем £Зиси = V, V з е Я.

Обратно, пусть с удовлетворяет условиям (4). Покажем, что найдется процесс в, удовлетворяющий ограничениям задачи (3). Система уравнений

{-Хо ■ во = -V + Со,

Хи ■ ва(и) - Хи ■ ви = Си, Vп еЛ(,4 = 1, ..., Т Хи ■ ви = 0, V п еЛГ

разрешима относительно в по альтернативе Фредгольма. Действительно, любая мартингальная мера з е Я является решением сопряженной к (5) однородной системы (6) £иеСМ ХиЗи = ХтЗт, V т е Л\Лг

и ортогональна правой части системы (5).

(Со - V) + ^ ЗиСи = ^ ЗиСи - V = 0. иеЖ\{о} иеЖ

Нетрудно показать, что любое решение (6) принадлежит линейной оболочке множества мартингальных мер и, поэтому, также ортогонально правой части системы (5). I

Таким образом, задача (3) эквивалентна следующей:

maxс Y, PnU (cn)

neN

(7) i Е qnCn = v, Vq e Q

< neN

[cn ^ 0, Vn eN.

Введем обозначение для приведенной стоимости портфеля

. def

9n в состоянии n e N : Vn = Xn ■ en. По принципу доказательства необходимости из условия самофинансирования (2) можно получить следующие выражения:

(8) Vm = ^ q (n|m) cn, V q (m) e Q (m), m eN,

neD(m)

где Q (m) - множество условных мартингальных мер q (m) = (q (n|m), n e D (m)). Преобразуем задачу (7), используя (8):

(9)

max (c,v) Y1 PnU (cn) neN

^ q (n|m)(Vn + cn) = Vm, Vq (m) e Q (m), m e N\Nr

neC(m) < Vo + co = v, Vn = 0, V n eNr

^ 0, Vn eN.

Равенства системы ограничений (7) эквивалентны системе

^ qncn = v, Vq e Qext.

neN

Здесь, Qext - множество крайних точек замыкания Q. Учитывая [5, Утверждение 3.1.], приходим к выводу, что первая группа ограничений задачи (9) выполнена для всех q(m) e Qext(m).

Замечание 1. Методы динамического программирования, описанные далее, позволяют установить оптимальное решение задачи (7). Таким образом, для нахождения оптимального портфельного процесса в* необходимо решить систему уравнений (5). Причем, определив стоимости портфелей Vn по формуле (8), решения вn можно найти отдельно для каждого состояния n e N.

2.1. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ

В этом подразделе приведена динамическая схема решения задачи оптимального потребления для следующей функции полезности: и (ж) = жа/а, а < 1, а = 0.

Целевая функция задачи (9) с учетом записи меры р через условные меры

4-1

Рп = П Р (а' (п) К+1 (п)), vп * = 1,..., Т.

«=0

принимает вид

,<1е/

т- 1

^ = ^ Рпи (Сп) = и (со) + ^ ^ ^ Рпи (Сп)

пеж 4=0 теМ пеС(т)

=и

(со)+ ^ Р (П1|0)

и

(Сп1)+ ^ Р (П2|П1)

п2€С(пх)

и

(Сп2 ) + ... + ^ Р (пт |пт-1) и

(спт )

пт ес(пт _1)

Введем обозначения

<==/ ) Епеем Р(п|т) и (сп),

т е Ат_1

,ЕпеС(т) Р (п|т)[и (Сп) + , т е А, * = 0,...,Т - 2,

тогда ^ = и (со) +

Итак, метод динамического программирования для решения задачи (9) состоит в последовательном решении следующих задач для всех т е А4, * = Т — 1,..., 0:

Вначале V т е Ат-1 и V Ут ^ 0 необходимо решить задачи <!в/

(Ут) = max(еп,п€С(т)) Е Р (п|т) и (сп)

пеС(т)

Е 9 (п|т) Сп = Ут, V5 (т) е (т)

пеС(т)

Сп ^ 0, Vп е С (т).

х

Далее, V m e Nt, t = T - 2,..., 0, Vm ^ 0 : (11)

def

Zm (Vm) = max (cn,y„,neC(m)) E P (n|m) [u (cn) + (Vn)]

nGC(m)

f E q (n|m)(Vn + cn) = Vm, V q (m) e Qext (m)

/ n€C(m)

(cn ^ 0, V n eC (m).

Затем остается решить задачу

def

Z* =f max(c0,y0) [u (co) + Z* (Vq)]

(12) |Vo + co = v, \co ^ 0.

Данную схему можно значительно упростить, если воспользоваться однородностью максимумов Zm (Vm) по Vm для всех

m e N\NT.

Теорема 2. Для степенной функции полезности оптимальное потребление в задаче (7) определяется по формулам

С* = v/ (l + (aZ0 (1))1/(1-a)) ,

cn = сПС (azm (1))1/(1-a), V n eC (m), m e N\Nt ,

где (c_n, n eC (m)) и Zm (1) - оптимальное решение и максимум в задачах (10) и (11) при Vm = 1. Максимум в задаче (7) равен

Z* = va (1 + (aZ* (1))1/(1-a))1-a /a.

Доказательство. Пусть m e NT-1. Сделаем замену пере-

def

менных cn = cn/Vm, V n e C (m) . Легко видеть, что u (cn) = Vmu (cn), V n e NT, поэтому

(13) zm (Vm) = Vmzm (1),

где Zm (1) обозначает максимум в задаче (10) при Vm = 1.

Пусть m e NT-k, где k e {2,..., T}. Чтобы упростить решение устраним явную зависимость ограничений от переменных cn

def

для всех n e C (m) с помощью замены Wn = Vn + cn, n e N. С учетом замены и однородности (13) имеем

Zm = ^ P (n|m) [u (cn) + (Wn - Cn)a Zn (1)].

nGC(m)

Точка максимума функции по сп ^ 0 при фиксированных

п е С (т)

сп = + (1))1/(1-а))-1.

Пусть вга = 1 + (а^П (1))1/(1-а) . Тогда = 5„с„ и и (сп) + (^га - с„)° (1) = и (с„)(1 + (5„ - 1)а аЯП (1)) = и (с„). Поэтому Vт е ^г-к, исключая переменные п е С(т), задача (11) эквивалентно сводится к следующей задаче:

^т, (Кт) = тах (Сп , га€С(т)) Е р (п|т) ¿>пи (сп)

пЕС(т)

(14) Г Е Я (п|т) 5„с„ = Кт, Vд (т) е ^ех1 (т)

/ габС(т)

(с„ ^ 0, Vп еС (т).

- ^е/ . .

Используя замену сп = сп/Ут, п е С (т) , находим, что

(Кт) = КО^* (1), где ^^ (1) - максимум в задаче (14) с

К™ = 1.

Определяем оптимальное значение (Ко) = КО^* (1) и переходим к решению задачи (12). С учетом условия К0+с0 = V максимум целевой функции Z = и (с0) + (V — с0)а Z* (1) по с0 ^ 0 достигается при с* = v/s0.

Таким образом, оптимальное решение задачи (7) можно определить последовательно следующим способом:

сЦ=v/sо, сп = с^са(„) (в0(П)— 1), v п е ^ * =l,т

где = 1 + (аZnn (1))1/(1-а), сП - оптимальное решение задач (10) и (11) при Кт = 1. Максимум целевой функции исходной задачи равен Z* = и (с*) + (V — с0)а Z0 (1) = ¿0и (сО) =

V0 (1 + (а^0* (1))1/(1-а^1-° /а. ■

2.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ

Теорема 3. Оптимальный процесс потребления в задаче (7) с логарифмической функцией полезности является д-мартингалом при д е

Доказательство. Зафиксируем произвольное Ь = 0,..., Т—1. Согласно (8) задача (9) эквивалентна следующей задаче: (15)

'г-1

г * = тах (С, Ут, теМ) ^ ^ Рп1п (сп) _«=о пеМЗ

+ ( Рт 1п (Ст) + Рп 1п (Сп)

теМь \ пе'(т)

'е Е дпСп + Е дт Ут = V, V д € дех1 «=о пеМЗ теМь

Е д (п|т) сп = Ут, Vд (т) € ^ех1 (т), т €N4

пе'(т)

Сп ^ 0, V п € N.

В частности, при Ь = 0 получаем задачу эквивалентную (7)

г * = тах (С;Уо) Е Рп 1п(Сп) пеМ

/

Уо + Со = V,

Е дпСп = Уо, Vд € дех1

пеМ\{о}

сп ^ 0, V п € N.

Делаем замены переменных

Сп = Сп/Ут, п € V (т), т € N4, Ж = Уп + Сп, п € N.

Тогда

У] Рп 1п (Сп) = Рп [1п (Сп) + 1п (Жт — Ст)]

пе' ( т) пе' ( т)

^ Рп 1п (Сп) + Рт (Т — Ь) 1п (Жт — Ст) .

пе' ( т)

Таким образом, целевая функция записывается так:

% = Е Е Рп 1п (Си) + «=о иеМ,

Е

твМь

Рт (1п(Ст) + (Т - £) 1п (Жщ - Ст)) + £ Ри 1п (Си)

и^О(т)

Для случая £ = 0 :

% = 1п(Со) + Т 1п (V - Со) + ^ Ри 1п (Си).

иеЖ\{о}

При фиксированном Жт максимум целевой функции % по Ст достигается при Ст = Жт/ (Т - £ + 1), так как ограничения задачи (15) после замены переменных от Ст не зависят. Преобразуем с учетом этих равенств первую группу ограничений задачи (9):

Е Я (п|т) Жи = Жт - Ст, Vя (т) е Я (т), т е Л\Лт

ибС(т)

^ Е Я (п|т) Си = Ст, V я (т) е Я (т), т е Л\ЛТ.

ибС(т)

В результате, приходим к определению мартингального процесса (1). Таким образом, оптимальный процесс потребления С* является я-мартингалом. I

Теорема 3 позволяет провести декомпозицию исходной задачи на несколько однопериодных задач. Для этого нужно положить Со = V/ (Т + 1) и последовательно по £ = 1,..., Т определить оптимальный процесс потребления с* , решая задачи

max (сп,и€С(т)) Е Ри 1п(си) ибС(т)

Е Я (п|т) Си = сЩ, Vя (т) е Яext (т)

ибС(т)

Си ^ 0, V п еС (т).

Литература

1. BOUCHARD B., PHAM H. Optimal consumption in discrete-time financial models with industrial investment opportunities and nonlinear returns // The Ann. of App. Prob. - 2005. -Vol. 15, №4. - P. 2393-2421.

2. EHRENFRIED S. Consumption-investment problems with state dependent discounting: Doctoral dissertation. -University of Ulm, Germany, 2012. - 139 p.

3. HE H., PEARSON N. D. Consumption and portfolio policies with incomplete markets and short-sale constraints: the finite-dimensional case // Math. Fin. - 1991. - Vol. 1, № 3. - P. 1-10.

4. KING A. J. Duality and martingales: a stochastic programming perspective on contingent claims // Math. Program. Ser. B. - 2002. - Vol. 91, № 3. - P. 543-562.

5. MOROZOV V.V., SOLOVIEV A.I. On optimal partial hedging in discrete markets // Optimization. - 2013. - Vol. 62, № 11. - P. 1403-1418.

6. PLISKA S. R. Introduction to mathematical finance: discrete time models: Malden, Massachusetts: Blackwell Publishers, 1997. - 276 p.

DECOMPOSITION OF CONSUMPTION-INVESTMENT PROBLEMS IN DISCRETE MARKETS

Alexey Soloviev, Lomonosov Moscow State University, Moscow, post-graduate student (alex.solo.88@mail.ru).

Abstract: We consider a multi-period discrete model of an incomplete market evolving with respect to a non-recombining scenario tree. The investor maximizes expected utility of his of her consumption over a finite time horizon. Decomposition schemes are suggested for optimal consumption-investment problems with power-like and logarithmic utility functions. We introduce dynamic programming algorithms that reduce the original problem to the set of one-period problems.

Keywords: arbitrage-free markets, incomplete markets, consumption problems, scenario tree, dynamic programming, convex programming.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии М. В. Губко

Поступила в редакцию 16.09.2014 Дата опубликования 31.01.2015