CC BY
34
Bozorova O.H.
Chirchiq davlatpedagogika universiteti o'qituvchi
DEKART KOORDINATALARI SISTEMASI VA SFERIK KOORDINATALI SISTEMASI ORASIDAGI BOG'LANISH
Annotatsiya. Ushbu maqolada sferik koordinatalar sistemasining ayrim qo'llanishlari bayon etilgan. Xususan, sfera tenglamasi, koordinata tekisliklari tenglamalari keltirilgan, hamda uch karrali integralni hisoblashda sferik koordinatalardan foydalanishga oid misolyechib ko'rsatilgan.
Kalit so'zlar: Dekart koordinatalar, sferik koordinatalar, sfera, uch karrali integral.
Bozorova O.H. teacher
Chirchik State Pedagogical University
RELATIONSHIP BETWEEN THE CARTESIAN COORDINATE SYSTEM AND THE SPHERICAL COORDINATE SYSTEM
Abstract. This article describes some applications of the spherical coordinate system. In particular, the equation of the sphere, the equations of the coordinate planes are presented, and an example of the use of spherical coordinates in the calculation of the triple integral is shown.
Key words: Cartesian coordinates, spherical coordinates, sphere, triple integral.
Fazoda Oxyz dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan bo'lsin. Markazi koordinatalar boshida (ya'ni 0 nuqtada) bo'lgan R radiusli sferani qaraylik.
Ma'lumki, bu sferaning nuqtalari
x2 + y2 + z2 = R2
tenglama bilan aniqlanadi. Sferadagi biror (ixiyoriy ravishda tanlangan) A nuqtaning Oxy tekisligiga proyeksiyasi A nuqta bo'lsin. OA' Kesma Ox o'qi bilan 9 burchak hosil qilsin. OA va OA' kesmalar orasidagi burchak esa y bo'lsin. U holda chizmadan A nuqtaning xA, yA va zA koordinatalari va RA, 9A, kattaliklar orasida
xA = Ra cos 9A cos , yA = RA sin 9A cos ^A, Za = RA sin ^A
bog'lanishlar mavjudligini ko'rish mumkin. sin va cos funksiyalar davriy bo'lganligi uchun bu bog'lanishlar o'zaro bir qiymat bo'la olmaydi. O'zaro bir qiymatlilikni saqlash maqsadida
0 < 9 < 2n,
n n --< ^ < -
22
cheklovlar kiritiladi. A nuqta ixtiyoriy ekanligidan qaralayotgan sferadagi har qanday (x, y, z) koordinatali nuqta
x = R cos9 sin^ y = R sin9 cos^ z = R sin^
0 < 9 < 2n,
n n --< ^ < -
22
munosabatlarni qanoatlantiradi.
Hosil qilingan {O, R, 9, sistema fazodagi sferik koordinatalari sistemasi deyiladi. Bunda yuqoridagi munosabatlar sferik koordinatalar R, 9, ^ dan Dekart koordinatalar x, y, z ga o'tish formulalari deb yuritiladi.
{O, R, 9, koordinatalar sfera orqali kiritilgani uchun sferik koordinatalar sistemasi deb yuritiladi.
Boshqacha izoh: Fazoda tayinlangan O nuqta va R > 0 kattalik o'zgarmasa 9 va ^ kattaliklar qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlarni qabul qilganda hosil bo'lgan nuqtalar to'plami fazodagi sferani beradi.
Shuni alohida takidlash joizki, R = 0 bo'lganda 9 va ^ kattaliklarning har qanday qiymatida ham yagona O nuqta hosil bo'laveradi. Shuning uchun odatda R > 0 qiymatlar qaraladi.
Endi Oxyz fazodagi koordinatalar bilan berilgan nuqtaning R, 9, ^ sferik koordinatalarini topamiz. Chizmada ko'rinadiki,
R = /x2 + y2 + z2, 9 = arccos -7^=, yoki 9 = arcsin
/x2+y2' Vx2+y2
Z / x2 +y2
^ = arcsin -¡= , yoki ^ = arccos ■
/x2+y2+z2' /x2+y2+z2
(2) munosabatlar dekart koordinatali sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga o'tish formulalari deb yuritiladi.
Ayrim fazoviy figuralarning sferik koordinatalar sistemasidagi tenglamalarni keltiramiz.
1. Markazi koordinatalar boshida bo'lgan, radiusi R0 ga teng sfera tenglamasi:
R = Ro
2. x = 0 tekislik (ya'ni, Oxz koordinatalar tekisligi) tenglamasi:
n 3n
ф = 2'Ф = Т
3. y = 0 tekislik tenglamasi (ya'ni Oxz koordinata tekisligi) tenglamasi:
4. z = 0 tekislik (ya'ni Oxy koordinata tekisligi) tenglamasi:
n
Ф = -
T 2
Endi sferik koordinatalar sistemasining uch karrali integrallarni hisoblashdagi tatbig'ini ko'rsatamiz. Buning uchun
lll f ( x, у, z )dxdydz = JJJ f ( R cosçcosy, R sin ç cos у, R sin у) JdRdçdy
Q
formuladan foydalaniladi. Bu yerda J Yakobian deb ataluvchiushbu determinantdan iborat:
J
дx дx дx
дR дç ду
ду ду _ду
дR дç ду
дz дz дz
дR дç ду
3
cosçcos^ - Rsinçcos^ - Rcosçsin^ sinçcos^ Rcosçcos^ - Rsinçsin^ sin^ 0 R cos^
т-»2 2 3 т-»2 . 2 -2 т-»2 2 • 2
= R cos çcos у + R sin çsin ^cos^ + R cos çsin ^cos^ +
2 2 3 2 3 2 2 2
+R sin çcos у = R cos у + R sin уcosу = R cosу Demak,
lll f ( x, У, z)dxdydz = JJ f ( R cosçcosу, R sin çcos у, R sin у) R 2cosуdRdçdу
Q
Misol.
fff 2 2 2 2 2 2
JJJ (x + У + z )dxdydz uch karrali integralni Q:x + y + z -1 shar
Q
bo'yicha hisoblang.
x = R cos çcos у Yechish. Avvalo y = R sinçcosу tengliklar qo'llab,
z = R sinу
2
>"y 2 •"v ^ 2 9 9 2 9
(x + y + z )=R cos çcos у + R sin çcos у + R sin у = =R cos у + R sin у=R
Ekanligini topamiz. Keyin Q shaming sferik koordinatalar sistemasidagi ifodasini yozib olamiz, bunda shar radiusi 1 ekanligini e'tiborga olamiz:
0 < R < 1,
0 < ф < 2n,
n n --< ф < -
22
Shuning uchun
Ш(X2 + У + Z2)dxdydz = JjJR2R2cos^dRdg>d^ = J dp j cos^d^jR^dR =
ж 2ж
Q Q 0 _Ж
1
= 4ж*1 = 4ж.
5 5
0
/?4
= 2ж * 2*R
5
hosil bo'ldi.
References:
1. А. А. Заитов. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебное пособие. - Ташкент: «Zuxra baraka biznes" - 123 с.
2. А. А. Заитов. Элементы дифференциального исчисления. Учебное пособие. - Ташкент: изд-во ТГПУ. - 131 с.
3. A. A. Zaitov, A. Ya. Ishmetov. Matematika 1. O'quv qo'llanma. - Toshkent: "Zuxra baraka biznes" - 225 bet.
4. D. U. Bozarov. (2022). Determinantlar mavzusini mustaqil oqishga doir misollar. Fizika-matematika fanlari jurnali, 3(1).
5. Bozarov D. U. Chiziqli va kvadratik modellashtirish mavzusini mustaqil o'rganishga doir misollar //Eurasian journal of mathematical theory and computer sciences. - 2022. - Т. 2. - №. 6. - С. 24-28.
6. S. X. Sirojiddinov, M. Maqsudov, M. S. Salohiddinov. Kompleks o'zgaruvchili funksiyalar nazariyasi-T: O'qituvchi, 1976
7. Sh. T. Maqsudov. Analitik funksiyalar nazariyasidan mashqlar-T.: O'qituvchi,1978
8. I. I. Privalov. Vvedenie v teoriyu funksiy kompleksnogo peremennogo-M.: Nayka,1977
9. A. R. Qutlimurotov. O'. H. Bozorova. Geometrik almashtirishlar-Academic research in educational sciences,2021
10. D. U. Bozarov. Matritsalar mavzusini mustaqil o'zlashtirishga doir misollar //МуFаллим хам узликсиз билимлендириу. - 2022. - Т. 3. - №. 3.
11. https://t. me/zaamath
