CC BY
106
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 116-128 Механика
УДК 539.3
Деформирование сплавов в режиме сверхпластичности и близких к нему режимах *
О. И. Быля, Р. А. Васин
Аннотация. Обсуждаются оптимальные условия протекания процесса сверхпластического деформирования («оптимальная сверхпластичность») и особенности поведения материалов, когда некоторые из этих условий нарушаются («процессы, близкие к сверхпластическим»). Предлагается вариант математической модели (одноосный случай), включающий параметр, характеризующий изменяющуюся микроструктуру материала, — средний размер зерна. Этот вариант позволяет качественно правильно описывать диаграммы деформирования при скачкообразном изменении скорости деформации в режиме сверхпластичности и близких к нему режимах деформирования.
Ключевые слова: сверхпластичность, математическая модель, трансформация микроструктуры, немонотонное нагружение.
Хорошо известно [1, 2], что практически все поликристаллические материалы и даже керамики способны при определенных условиях демонстрировать особый вид механического поведения, который принято называть «сверхпластичностью» (СП). При этом даже исключительно хрупкие в нормальных условиях материалы могут быть деформированы на сотни, а иногда и тысячи процентов зачастую без возникновения локализации деформаций, ускоряющей процесс разрушения. Условия, требуемые для такого поведения материала, обычно находятся экспериментально и являются по природе своей эмпирическими. Например, для большинства сплавов для обеспечения СП течения необходимо чтобы температура (Т) была порядка 0,4Тпл, где Тпл — температура плавления по абсолютной шкале, скорость деформирования лежала в диапазоне 10-5 ^ 10-2с-1, а микроструктура материала была мелкозернистой (средний размер зерна ^ 10 мкм) и глобулярной. Однако, в силу приближенного характера этих ограничений, практически невозможно точно сказать,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 09-08-92651, № 11-08-00961).
когда процесс деформирования материала станет сверхпластическим и в какой момент СП течение перестанет быть таковым. По этой причине при разработке технологических процессов, использующих явление СП, обычно стараются, чтобы весь процесс деформирования происходил в режиме «оптимальной сверхпластичности». Этот режим находится экспериментально как совокупность условий, при которых параметр скоростной чувствительности [3-5]
_ ( д log а \
m V д log е) T,e=const
достигает своего максимума. Здесь а и е — безразмерные напряжение и скорость деформации соответственно(здесь и всюду далее речь идет только об одноосном нагружении). Существуют даже исследования, предлагающие интерактивное изменение условий нагружения для поддержания максимального значения скоростной чувствительности в течение всего процесса деформирования [6]. При оптимальной СП материал ведёт себя как вязкая жидкость и напряжение течение можно считать функцией скорости деформирования, температуры и начального размера зерна:
а _ f (e,T,do).
Микроструктура материала при этом изменяется незначительно и её трансформацией в первом приближении можно пренебречь, довольствуясь лишь указанием среднего размера зерна материала до начала деформирования.
На практике реализовать оптимальные условия сверхпластического деформирования (СПД) в технологических процессах зачастую бывает затруднительно или просто невозможно и, кроме того, экономически невыгодно. Действительно, трудно осуществить процесс изотермического деформирования в течение длительного времени, особенно при больших габаритах заготовки; сложно подготовить требуемую достаточно
однородную ультрамелкозернистую исходную микроструктуру; не эффективно вести процесс при малых скоростях деформаций, характерных для СПД. Иногда выход за оптимальные пределы СП может происходить и преднамеренно — при увеличении скорости деформирования
для ускорения технологического процесса на некотором этапе (так называемая «высокоскоростная СП»), при понижении температуры для уменьшения энергозатрат («низкотемпературная СП») или при попытке измельчения неподготовленной структуры непосредственно
в ходе изготовлении изделия. Такого рода процессы, когда условия оптимальной СП нарушаются, но материал тем не менее деформируется относительно однородно и разрушается при сравнительно больших (по сравнению с обычным высокотемпературным деформированием) деформациях, будем классифицировать как «процессы, близкие к СП».
Основным отличием таких процессов от оптимальной СП является ярко выраженная трансформация мирокроструктуры, происходящая в процессе деформирования и, как результат, функциональный характер определяющих соотношений, описывающих эти процессы.
Качественно различие обсуждаемых процессов деформирования можно проследить, изображая их в пространстве трех параметров, оказывающих основное влияние на механическое поведение материала. В качестве таких параметров выберем температуру Т, скорость деформирования ё и параметр, характеризующий текущее состояние микроструктуры п (рис. 1).
¿^Температура
Рис. 1. Графическое представление пространства управляющих параметров высокотемпературного деформирования. А — область эмпирических ограничений, требуемых для СП деформирования,
В — область оптимальной сверхпластичности
Выбранные параметры не являются равноправными: температура
и скорость деформирования являются независимыми управляющими параметрами, а микроструктуру можно выбирать только начальную, и её дальнейшее изменение зависит от процесса деформирования. По этой причине не любая кривая в таком пространстве будет представлять реально существующий процесс.
В данном пространстве область ограничений, требуемых для реализации сверхпластического течения, представляет собой параллелепипед (рис.1, область А), однако поверхность этого параллелепипеда, вообще говоря, не является «поверхностью сверхпластичности», так как данные условия носят очень приближенный характер и даже их выполнение не всегда гарантирует СПД материала, а строго математически сформулированного критерия СП пока не предложено. По-видимому, четкой границы между «областью СП» и «не СП» не существует. Область оптимальной СП, условно изображенная на рис. 1 (область В) в принципе может быть построена
экспериментально. Для этой цели необходимо провести серии экспериментов на одном и том же материале, но с различной исходной микроструктурой, варьируя температуру и скорость деформирования в пределах условий СП. Те сочетания параметров, при которых скоростная чувствительность материала т будет максимальной или отличаться от абсолютного максимума для данного материала на величину заданного допуска, дадут координаты точек, лежащих в области оптимальной СП. Форма и размер области, естественно, зависят от величины заданного допуска. На основе известных экспериментальных данных можно сделать ряд предположений о форме этой области. Например, при приближении температуры или скорости деформации к границам диапазона, рекомендуемого для СП, площадь соответствующего сечения области оптимальной СП будет уменьшаться и постепенно исчезнет. Такой же эффект наблюдается при «ухудшении» микроструктуры, например, при увеличении среднего размера зерна. Сложнее представить форму этой области при сильном измельчении микроструктуры, когда размер зерен уменьшается до нанометров. В принципе, зона оптимальной СП должна расшириться, однако известно, например, что наноструктуры могут оказаться очень нестабильными, и тогда высокая температура может привести к резкому росту зерен.
Необходимо отметить, что идея построения области оптимальной СП по значению параметра скоростной чувствительности имеет ряд существенных недостатков. Прежде всего, достоверное определение параметра т требует очень аккуратного выполнения экспериментальной методики [4], т.к. данный параметр получается путём дифференцирования кривой, построенной по результатам серии экспериментов с разными скоростями деформирования, либо одного эксперимента со ступенчатым изменением скорости деформирования. Так как параметр т зависит и от ё, и, в меньшей степени, от величины деформации, найденная величина содержит, как правило, существенную погрешность; кроме того, процедуру определения этого параметра трудно назвать устойчивой (небольшие изменения процедуры экспериментов или обработки данных могут дать заметно отличающиеся величины параметра). Другой проблемой использования величины т для определения области оптимальной СП является выбор величины допуска. Так как сам параметр экспериментально определяется с погрешностью, абсолютный максимум т для данного материала также весьма приблизителен, а поэтому относительно малые допуски не имеют смысла, а достаточно большие очертят область слишком грубо. В литературе известны критерии устойчивости пластического течения при высоких температурах, включающие производные от т по скорости деформации [7, 8]. Оптимальное СПД можно рассматривать как один из случаев такого течения. Однако, в виду сказанного выше о точности экспериментального определения т, практическое использование данного подхода является проблематичным.
В качестве альтернативного подхода можно попытаться исследовать границу между СП и близкими к СП режимами деформирования, пользуясь упомянутым выше различием в поведении микроструктуры и характере определяющих соотношений в этих режимах. В случае оптимальной СП микроструктура практически не изменяется, в близких к СП процессах, напротив, активно трансформируется. Эксперименты, проведенные в режимах, близких к СПД, говорят о зависимости поведения материала от истории деформирования [2, 4, 9, 10]. Для качественного исследования такого поведения при различных режимах деформирования построим модель, учитывающую активную трансформацию микроструктуры, и проанализируем её поведение при различных вариациях управляющих параметров.
Конструируемая модель, в отличие от ряда физических моделей [2], имеет феноменологический характер. Чтобы учесть активное изменение микроструктуры в процессе деформирования, представительному объёму присвоим дополнительную характеристику — текущее состояние микроструктуры п. Вопрос о выборе этого параметра непростой, так как изменения микроструктуры бывают нетривиальными и многоуровневыми [11]. Для начала в качестве параметра микроструктуры возьмём наиболее очевидный и легко экспериментально измеряемый — средний размер зерна. Будем предполагать, что представительный объём содержит зёрна различных размеров, каждое зерно идентифицируется только одной величиной — характерным размером d, и известна функция распределения p(d), указывающая относительный суммарный объём (Vi), занимаемый зёрнами, размеры которых принадлежат диапазону di (di — ^ ^ d < di + ^). Здесь и всюду далее значения d считаются заданными в безразмерном виде, например, отнесенными к минимальному наблюдаемому в оптический микроскоп диаметру зерна Do. Так как при практическом исследовании микроструктуры используется анализ плоских микрошлифов, при экспериментальном построении функции распределения предполагается, что речь идет об относительной площади (Ai), занимаемой на шлифе всеми зернами (точнее, сечениями зерен), характерные размеры которых принадлежат диапазону di.
Параметр, характеризующий микроструктуру, имеет физический смысл среднего размера зерна и определяется стандартным образом:
П = Y1 P(di) • di. (1)
i
Начальная функция распределения и начальное значение характеристики микроструктуры определяются по микрошлифам, сделанным на недеформированном материале.
Физические законы, описывающие изменение состояния микроструктуры, сложно напрямую использовать в макроскопических определяющих соотношениях, так как первые относятся к индивидуальным зёрнам,
а вторые описывают совокупное поведение всех зерен, содержащихся в представительном объёме. При этом в одном и том же объеме могут одновременно действовать несколько физических механизмов трансформации элементов микроструктуры. Введение в рассмотрение функции распределения позволяет учесть это обстоятельство следующим образом. Каждый физический закон применяется только к таким типам зерен, для которых он получен [1]. Например, если зерна мелкие и глобулярные, основным механизмом их роста является медленный диффузионный рост под действием температуры; для более крупных зерен к «температурному» росту добавляется доминирующий «деформационный» рост, скорость которого зависит от индивидуального размера зерна. Когда энергия деформации достигает некоторого порогового значения, очень крупные зёрна начинают измельчаться; при этом доминирующими механизмами является дислокационная ползучесть и рекристаллизация. Таким образом, для каждого диапазона размеров зерен задаётся свой дифференциальный закон изменения этих размеров. Совокупность таких изменений во всех диапазонов размеров зёрен на каждом временном интервале будет задавать изменение функции распределения, а соответственно и среднего размера зерна п (см. рис. 2).
Рис. 2. Графическое изображение функции распределения зерен по размерам и схема её трансформации в процессе деформирования
В предлагаемой математической модели трансформации микроструктуры используются три механизма изменения размеров зерен для трёх типов размеров зерен — «малых», «средних» и «крупных» (рис. 2).
Примем, что очень медленный температурный рост глобулярных зерен малых размеров описывается уравнением:
КТ
<Іі € Ос
(2)
В этом уравнении Ь—время; условие йг ^ В8 отбирает мелкие зерна,
абсолютной шкале), универсальная газовая постоянная К и энергия активации Q, отражает зависимость скорости температурного роста зерен от температуры, к — материальная константа. Данное уравнение включает три параметра материала Q, и к. Энергия активации Q для большинства материалов и основных диапазонов температур есть величина табличная. Размер 03, вплоть до которого зёрна считаются малыми, может быть определён как из физических наблюдений, так и чисто феноменологически. Эксперименты на глобулярных материалах и сравнения изображений микроструктур до и после деформации устойчиво указывают размеры зерен, которые даже при очень длительном эксперименте изменяются очень незначительно, например, для титановых сплавов семейства Ть6А1-4У это зёрна с размером не более 4-5 мкм. Величину параметра к можно найти из экспериментов на выдержку образцов при различных температурах; к находится из сравнения микрошлифов сделанных до начала и после окончания эксперимента.
Механизму деформационного роста зёрен, характерному для зерен средних размеров (03 < йг < Всг), посвящено много исследований и предложен ряд моделей, описывающих его. В предлагаемом описании выбрано следующее соотношение, являющееся модификацией физической модели [12], которая математически выглядит следующим образом:
Здесь а — текущее безразмерное напряжение; С\, С2, С3 — параметры, которые в исходной модели [12] представляют собой комбинации физических констант материала, но могут также рассматриваться как феноменологические и быть найдены из экспериментов на растяжение образцов с различными исходными средними размерами зерен.
Результат преобразования функции распределения в соответствии с изменениями микроструктуры, описываемыми формулами (2), (3) на каждом шаге по времени ДЬ выглядит следующим образом:
Отдельного обсуждения заслуживает параметр модели Бсг — критический размер, при достижении которого зёрна начинают измельчаться. Экспериментальные исследования показывают, что даже достаточно длинные пластинчатые зёрна могут оставаться неразрушенными в результате деформации (например, в окрестности центра образца на кручение), и при этом даже относительно небольшие зерна оказываются раздробленными при больших деформациях. Кроме того, известно, что
безразмерная комбинация , в которую входят температура Т (по
Р(йг)\г+^г = ^2 Р(й3 ^ , (1г <Осг.
(4)
при высоких значениях напряжений повреждение и разрушение зерен происходит более активно, чем при низких. Из этого можно сделать вывод, что величина Дсг не является константой, а зависит, в частности, от энергии деформации. Вопрос о виде этой зависимости остаётся открытым и требует специального экспериментального исследования. На основе имеющихся экспериментальных данных эта зависимость выбрана в экспоненциальной форме:
где О* и д > 0 — константы.
Физически измельчение зерен может происходить за счёт двух основных механизмов: дислокационного и рекристаллизации. В первом случае дислокации, находящиеся в зерне, выстраиваются в дислокационную стенку и зерно разделяется на два или несколько зерен, во втором случае где-то на границе большого зерна зарождается новое зерно и в процессе своего роста разделяет исходное на несколько частей. Простейшая математическая модель измельчения основывается на предположении, что все зерна, размеры которых оказываются равными или превышают критический размер, подвергаются измельчению, в результате чего появляются зерна малого (за счет рекристаллизации) и среднего (за счет дислокационного разделения) размеров. Процедура расчета поправки функции распределения зерен в результате измельчения на каждом шаге по времени выглядит следующим образом. Для текущего значения ОсТ вычисляется суммарный относительный объём зерен, размеры которых превышают критический (Уте/). Полагается, что доля % (0 € X € 1) этих зерен становится малой, а остальные — средними по размерам зернами. Принимаются некоторые законы распределения для вновь образовавшихся зерен, и согласно ему новые зёрна добавляются к уже имеющимся после шага АЬ зёрнам. После этого вычисляется окончательная функция распределения размеров зерен на текущем шаге по времени. В используемом варианте модели для простоты принимается, что все вновь образовавшиеся в результате измельчения на шаге АЬ малые зерна принимают размер О0, а средние зерна — размер, равный значению параметра микроструктуры (От = п) на предыдущем шаге:
Уравнения (2)—(7) дают замкнутую систему соотношений, описывающих трансформацию микроструктуры материала в процессе СПД и близкого к СП деформирования. Для получения феноменологической модели механического поведения материала при таком деформировании необходимо уравнение, связывающее механические характеристики процесса и
(6)
Р(Оо) := р(Оо) + X - Уте/,
Р(От) := Р(От) + (1 х) ' Уте/ ■
(7)
включающее параметр состояния микроструктуры п Предлагаемая
модель (одномерный случай) состоит из двух основных последовательно соединенных элементов: вязкоупругого и «сверхпластического». В
качестве вязкоупругого элемента взято обобщенное тело Максвелла [2], модифицированное для учета температуры. В качестве СП элемента может быть взята одна из моделей СП течения, учитывающая размер зерна, например, модель, предложенная в [12] (выбор используемой модели СП влияет на количественное описание, но не меняет качественную картину процесса деформирования). Математически данная модель выглядит
следующим образом:
£ = ¿e + ¿v + ¿sp,
£e + £v =(| + A ■ a) ■ exp (- RT ) , (8)
¿sp = (Aa2d-2 + Ba4) ■ exp ^,
где Е, A, А и В — константы модели, не зависящие от Т. Точка означает дифференцирование по времени.
Данная модель была запрограммирована с помощью MATLAB 7.10.0. Тестирование модели показало, что она качественно правильно описывает основные известные закономерности поведения материала, наблюдаемые в эксперименте. Приведём некоторые из них: при заданной мелкозернистой микроструктуре и заданной постоянной скорости деформирования чем выше температура, тем ниже напряжение течения (рис. 3, а); при заданной микроструктуре и фиксированной температуре чем выше скорость деформирования, тем выше идёт диаграмма деформирования (рис. 3, б); если микроструктура материала неподготовленная (крупнозернистая), то диаграмма идёт выше и наблюдается разупрочнение материала (рис. 3, в).
Рис. 3. Характерные закономерности поведения материала в режиме СПД и близких к нему (верхний ряд — экспериментальные данные [13-14], нижний — численное моделирование)
Можно воспользоваться данной моделью для решения вопроса об определении границы между оптимальной СП и деформированием, близким к СП. Если, как обсуждалось выше, в качестве отличительной черты близких к СП процессов рассматривать наличие активной трансформации микроструктуры и функциональный характер ОС, то задача сводится к тому, чтобы с помощью модели найти те режимы, когда активная перестройка микроструктуры начинается (либо, наоборот, замедляется или останавливается), и подобрать такие виды экспериментов, в которых этот переход мог бы наблюдаться и, желательно, быть количественно зафиксированным.
Диаграммы деформирования образцов с неподготовленной крупнозернистой микроструктурой дают возможность заметить некоторые закономерности. Диаграммы, как правило, являются «падающими» и стремятся к кривым деформирования мелкозернистого материала при тех же условиях деформирования [14-15]. При более высоких скоростях деформирования падение кривой становится более крутым. Отсюда можно сделать вывод, что неподготовленная крупнозернистая микроструктура измельчается в процессе деформирования (что хорошо известно из металлографического анализа) и чем выше скорость деформирования, тем активнее этот процесс (здесь надо заметить, что при высоких скоростях нагружения могут развиваться повреждения, которые сейчас не обсуждаются), что описывает и сконструированная модель. С помощью модели можно рассмотреть следующий виртуальный эксперимент. Имеются четыре образца из одного материала, два с идентичной мелкозернистой микроструктурой, и два с идентичной крупнозернистой. Сначала моделируем одноосное растяжение при постоянной скорости деформирования ¿1 и постоянной температуре двух образцов — с крупнозернистой и с мелкозернистой микроструктурой. Получим две кривые деформирования (рис.4, а, б), которые назовем базовыми — «базовая крупнозернистая» (БК) и «базовая мелкозернистая» (БМ). На двух других образцах делаем следующую программу: сначала нагружаем их с более высокой скоростью деформирования, например, ¿2 = 5 • ¿1 до некоторой величины деформации (например, логарифмической деформации ¿* =0,5) и затем осуществляем скачкообразное понижение скорости деформации с ¿2 до ¿1 и продолжаем деформировать образцы. Так как в этих экспериментах скорость деформирования до момента скачка была выше, чем в первых двух, то согласно модели микроструктура второго из крупнозернистых образцов к моменту ¿ = ¿* будет трансформирована значительно сильнее, чем у первого образца к этому же моменту; микроструктура же мелкозернистых образцов существенно различаться не будет. В результате кривые деформирования в численных экспериментах со скачками (СК и СМ) будут выглядеть так, как показано на рис 4, а, б. Аналогичное поведение материала наблюдалось и в экспериментальных исследованиях [9, 10]. Этот эффект может быть использован для оценки границы области оптимальной СП.
Рис. 4. Поведение материала с различной начальной микроструктурой при скачкообразном изменении скорости деформации (а, б — расчет по модели, в — экспериментальные кривые из [10])
Таким образом, предлагаемая модель позволяет качественно правильно описывать характерные особенности поведения материалов при СПД и близких режимах деформирования не только в условиях монотонного изменения параметров процесса, но и при более сложных программах деформирования (скачкообразное изменение скорости деформации).
Список литературы
1. Кайбышев О.А. Пластичность и сверхпластичность металлов. М.: Металлургия, 1975. 280 с.
2. Padmanabhan K.A., Vasin R.A., Enikeev F.U. Superplastic flow: phenomenology and mechanics. Berlin: Springer Verlag, 2001. 430 p.
3. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности. Ч.1., Уфа: Гилем, 1998. 278 с.
4. Ghosh A.K. On the measurement of strain-rate sensitivity for deformation mechanism in conventional and ultra-fine grain alloys // Mater. Sc. Eng. A. 2007. V.463. P.36-40.
5. Enikeev F.U. On the superplastic flow under non-uniform stress-strain state // Mater. Sc. Eng. A. 2001. V.301. P.253-254.
6. Gao Cha,o Wang, Fu M.W. Maximum m superplasticity deformation for Ti-6Al-4V titanium alloy // J. Mater. Proc. Tech. 2007. V.192-193. P.555-560
7. Microstructural mechanisms during hot working of commercial grade Ti-6Al-4V with lamellar starting structure / T. Seshacharyulu [et al.] // Mater. Sc. Eng. 2002. A325. P.112-125.
8. Venugopal S., Sivaprasad P.V. Stability Criterion to optimise the process parameters and some applications to design industrial processes // Proceedings of the International Conference on Recent Advances in Material Processing Technology (RAMPT ‘05) / National Engineering College. Kovilpatti. India, 2005. P.41-56.
9. Ridley N., Bate P.S., Zhang B. Effect of strain rate path on cavitation in superplastic aluminium alloy // Mater. Sc. Eng. A. 2007. V.463, №1-2. P.224-230.
10. Mechanical behaviour of titanium alloy Ti-6Al-4V with unprepared microstructure under jumpwise variations of the strain rate in the superplastic state / S.S. Bhat-tacharya [et al.] // Mechanics of Solids. 2009. V.44, №6. P.951-958.
11. Ghosh A.K., Ra,j R. A model for the evolution of grain size distribution during superplastic deformation // Acta Metall. 1986. V.34, №3. P.447-456.
12. Ларин С.А., Перевезенцев В.Н. Динамическая рекристаллизация и неустойчивость пластического течения сверхпластических сплавов // ФММ. 1990. №9. С.14-22.
13. Superplastic behavior in a two-phase TiAl alloy / W.B. Lee [et al.] // Scripta Metallurgica et Materialia. 1993. V.29. P.1403-1408.
14. Guillard S., Thirukkonda M, Chaudhury P.K. Advances in the Science and Technology of Titanium Alloy Processing // TMS. Warrendale. PA. 1997. P.93-100.
15. Bylja O.I., Ermachenko A.G., Vasin R.A. The Influence of Simple and Complex Loading on Structure Changes in Two-Phase Titanium Alloy // Scripta Materialia. 1997. V.36, №8. P.949-954.
Быля Ольга Ивановна (olga.bylya@mail.ru), научный сотрудник, лаборатория упругости и пластичности, НИИ механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Васин Рудольф Алексеевич (prof.vasin@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. лабораторией, лаборатория упругости и пластичности, НИИ механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Behavior of alloys in superplastic and near to superplastics
regimes of deforming
O.I. Bylya, R.A. Vasin
Abstract. Optimal conditions for superplastic flow («regime of superplastic deforming») and specific behavior of materials if some of these conditions are not fulfilled («near to superplastic deforming») are discussed. The variant of mathematical model (for uniaxial loading) is proposed. It involves internal parameter (average grain size) which characterizes the transformation of microstructure during the process of deformation. Proposed model qualitatively correct describes stress-strain curves acquired in monotonic and strain rate jump tests in superplastic and near to superplastic regimes of deforming.
Keywords: superplasticity, mathematical model, transformation of microstructure, nonmonotonic loading.
Bylya Olga (olga.bylya@mail.ru), research scientist, laboratory of elasticity and plasticity, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.
Vasin Rudolf (prof.vasin@mail.ru), professor, head of the laboratory, laboratory of elasticity and plasticity, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.
Поступила 07.06.2011
