Деформация слоя с цилиндрическим вырезом, подкрепленным податливым включением Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

180

тем

Проблематика транспортных сис-

УДК 624.04 М. В. Мишин

ДЕФОРМАЦИЯ СЛОЯ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВЫРЕЗОМ, ПОДКРЕПЛЕННЫМ ПОДАТЛИВЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ

Рассмотрена задача о деформации слоя с цилиндрическим вырезом, подкрепленным упруго деформируемым включением. Показана возможность сведения решения к двум бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, которые можно численно реализовывать.

слой, отверстие, податливое крепление, произвольная осесимметричная нагрузка. Введение

К настоящему времени данная задача изучена достаточно подробно в работах Д. Ю. Айзенберга и Г. С. Шапиро [1], В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко [3], а также в трудах зарубежных авторов: E. Stenberg, M. A. Sadowsky [6], E. L. Reiss [5]. В. З. Васильевым решена первая основная задача для слоя с вырезом [2]. Н. И. Невзоровым рассмотрена деформация плиты с упругим включением в виде оболочки [4]. И несмотря на такую популярность, задача до конца не изучена. Прежде всего отсутствуют исчерпывающие численные результаты по характеру объемного напряженно-деформированного состояния вблизи включения. Как следствие, в настоящее время нет соответствующей программы для ЭВМ, доступной для расчетов любому инженеру-пользователю.

1 Постановка задачи

Соответствующая расчетная схема, отвечающая варианту четного нагружения слоя относительно плоскости z = 0, представлена на рисунке 1.

Граничные условия задачи записываются следующим образом:

s z = 9i(r X T rz ■ —G=(r); z +t, a £ r <¥;

s z =592= r X Trz q2(r); z —t, a £ r <¥; (1)

s r = = X ^ rz 0; r a, 0 £ z <¥.

2007/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

181

Рис. 1. Расчетная схема для слоя с цилиндрическим вырезом

Здесь 2t - толщина слоя. Начало цилиндрической системы координат выбрано так, что срединная плоскость слоя совпадает с плоскостью z = 0 а ось z совпадает с осью выреза. Функции Pi(r), P2(r), q^(r), q^(r) предполагаются представимыми в виде интеграла Фурье-Бесселя, а f (z) - в виде тригонометрических рядов в промежутке —t £ z £+t.

2 Компоненты тензора напряжений и вектора полного перемещения

При построении элементарной части решения задачи (1) функции напряжений приняты в следующей форме:

y = B + Dz, j = D0 z, Ф = B + (D + D0) z.

Составляющие тензора напряжений и перемещения при этом определяются так:

S =— r “2 {B + [ D + (3 — 2v) D0 ] z}; аф = r-2 {B + [ D + (3 — 2v) D0 ] z}; u = (2mr )_1 {B + [ D + (3 — 2 v) D0 ] z}; (2)

w = C * + (2ц)"1 [ D — (1 — 2 v) D0 ] ln r.

*

Через C обозначена постоянная, определяемая характером закрепления слоя.

Так как в дальнейшем требуются только две постоянные, связанные со свободными членами рядов, определяющих функцию f (z), полагают

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2007/3

182

тем

Проблематика транспортных сис-

D + (3 - 2 v) D0 = 0, D = -(3 - 2v) D0.

Неэлементарная часть решения представлена в виде комбинаций интегральной и сумматорной составляющих:

¥

¥

У

= r j[C(g)shgz+r)dg+r j(An cosXnz+Bn sinXnz)Ki(1

¥

¥

ф = rj[C°(g)shgz+D°(g)chYz W^(У, r)dg+rj(A0cosKz+B0sin1nz)Ki(1nr)-

В итоге составляющие тензора напряжений с учетом элементарной формы (2) представляются следующим образом:

¥

sz = - j[C (g)shgz + C0 (g )gzchgz + D(g )chgz + D0 (g)gzshgz J Щ (g, r)gdg

+

+X{[AnK0(1 nr) + 2A°K0(1 nr) - AnrK1(1 nr)]ln cos1 n] + (3)

n=1

+[BnK0(1 nr) + 2B«K0(1 nr) - ВШ1 nrK1(1 nr)]1 n sin 1 nz};

T- =-2 r_1(1 -v) D0 +

*rz

¥

+j{c(g)+C°(g) chlz+C°(g)gzshgz + D(g) + D0(g) shlz + D0(g)gzc^W1(g,r)gdg-

o

¥

n=1

-S| К sin1nz- BK^V)-B°0(V) К osV};

s = - Br +

0

2007/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

183

¥

+г

-1

:+

¥

-г 1| {[C(y)+2(1-v)C°(y) shlz+C(y)yzchyz + Ду)+2(1-v)D0(y) chy

о

+D 0( y) yzshyz]Wl( y, г) yrd y +

¥

+г 1 H{ - A„ [*1(1 пг) + 1 nrK0(1 nr)] + n=1

+АП ё1 nrK0(1 пг) + (1 пг)2*1(1 nr) + 2(1 - v)K1(1 пг)]} cos1 n] +

¥

+г-' £{ - Bn [* (1 пг) +1 пгКо(1 пг)] +

n=1

+B0 [1 пгКо(1 пг) + (1 пг )2 *1(1 „г) + 2(1 - v) * (1 пг )]} sin 1 „z;

Z +

R 1 ¥

u(z)=---l—|{[с(у)+2(1-v)C)(y)+yzlD(y) shyz+[D(y)+2(1-v)D0(y) +yzC°(y) chyz}-

2— 2й'

+[D(y) + 2(1 - v)D0(y) + yzC0(y) chyzW1(y, г)dy

+

¥

+BnK 1(1 „г ) - B0(1 Л(1 „г ) + 2(1 -v) *1(1 „г )],

2- n=1

z +

¥

+—H[ A„K1(1 „г) - A (1 „гК0(1 „г)+2(1 - v) *1( 1 „г) s1 „z;

2- n=1

1 ¥

w(z) =----J{[c(y) - (1- 2v)C0(y) chyz+C0(y)yzsh(yz) + D(y) - (1- 2v)D0(y) shyz-

2-

+D0(y)yzch(yz)}W0(y, г)dy+

¥

-An (2( v - 1)K0(1пг) + V*1(1 пг)) - A„°K0(1 пг)]п1 „] -

2- п=1

¥

rX[ B„ ( 2( v-1) *0(1 „г) + 1 „г*1(1 „г))-B„0(1 °г 01 „z.

2- „=1

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2007/3

184

тем

Проблематика транспортных сис-

3 Построение и анализ системы разрешающих уравнений

При заданном спектре изменения параметра 1п соотношением sin 1 nt = 0 выполнение граничных условий (1) в касательных напряжениях на поверхности r = а приводит к таким зависимостям:

2(1 -v) D0 = 0,

K1(1na) An = A^0lnaKo(1 па);

K1(1 па) Bn = B^°1naKo(1na )■

(4)

Удовлетворение четырех граничных условий на плоских гранях слоя с учетом зависимостей (4) приводит к следующим уравнениям:

¥

z=t =-^\LC(g)shgt + C0 (y)ytchyt+D(y)chyt+D0 (y)ytshyt J W0 (y, r)ydу +

¥

+2 AHL2(1n. r)1ncos 1nt=P1( r);

n=1

¥

rz

= =J{[c(y)+C0(y) chyt+C0(y)g!Shyt+ D(y)+D(y) shyt+D(yyyhW1(y,r}{dy+

¥

+2 E2 (1 n, r)1n C0S1nt = <?1(r);

(5)

n=1

¥

z=-t = J[C(y)shyt + C0 (y)ytchyt - D(y)chyt - D0 (y )ytshyt J W0 (y, r)ydy +

¥

+2 ^ nL2 (1n ,r) C0S1 Д = P2 (r);

n=1

rz

¥

z=-t =|{^C(y)+C°(y) chyt+C°y)yshy- D(y)+D0(y) shl-D0(y)yChyW(У>r)yd{+

0

0

+2 B E2(1 n, r )1 n coS 1 nt = ^2( r).

n=1

2007/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

185

Для преобразования (5) используется представление функций в виде интеграла Фурье-Бесселя. В дополнение к использованным ранее разложениям применяется такое интегральное представление:

¥

ar-1 =J R(g)W1(g, r)gdg, a P r P ¥;

0

-1 ¥ -1

R(g) = [^i2(ga) + Ti2(ga)] Jar~=Wi(g,r)rdr 2{pg2[Ji2(ga) + iftga^ ,

a

a P g P ¥.

Грузовые функции в промежутке a P r P ¥ представлены так:

¥

Pm ( r ) = J Pm( g )W0( ^ r ) gd g;

0

¥

qm(r) = Jqm(g)Wi(g,r)gdg, m =1; 2.

0

С учетом всех упомянутых интегральных представлений совокупность уравнений (5) преобразовывается к системе следующего вида:

¥

C(g)shft+C0(gyttdrft+Oy)chft+£% ^hj+^L/lr g£n ^^nt=P=

П=1

C(y)shit+Ci(gfitch{t- C(y)chft - lf(yyfahp^+Yl4,L2,0(K У£ ««V =Pi *

n=1

[C(g) + C0(g) chgt + C0(g)gtshgt + D(g) + D0(g)]shgt + D0(g)gtchg

+

¥

+

£ B0 e2,1( К, g)1»cos V=q*( у );

n=1

[C(g) + C0(g) chgt + C0(g)gtshgt - D(g) + D0(g) shgt - D0(g)gtchg

+

+£ B°n E2,1(1n, g )1ncos V=q*( у ).

n=1

(6)

Система по отношению к неизвестным C(g), C0(g), D(g), D0(g) является системой четырех алгебраических уравнений, решение которой достигается сравнительно просто и имеет вид:

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2007/3

186

тем

Проблематика транспортных сис-

с (g) = U (g) р( g) + cthyt [U (g) + V (g)] [0 (g)- Y (g, B»)];

D(g) = U *( g) [ P(g) - W( g, A°)] + thgt [U *( g) + F *( g)] Q(g);

C°(g) = V(g)P(g) - (gt)-1 [U(g) + V(g)][0(g) - Y(g, B„°)]; (7) D °(g) = V *( g) [ P (g) - W g, A°°)] + (gt )“1 [U *( g) + V *( g) ] Q (g).

Здесь использованы следующие обозначения:

U (g) = V (g) =

ch gt + gtshgt shgtchgt - gt ’ chgt

U (g) = V * (g) =

shgt + gtchgt shgtchgt + gt ’ shgt

shgtchgt - gt shgtchgt + gt

P (g) = 0,5 [ p°( g)+p2 (g)]; p (g) = °,5[ pi(g) - p2 (g)];

Q (g) = °,5 [ ?i*( g)+q2(g)]. 6 (g) = 0,5 [ q*( g) - ?2( g)];

¥

W(g, A°) = 2 A°Z2,°(1n,g)1и cos

n=1

¥

Y(g,B°) = 2B„°p2,l(In,g)1 n cos\nt.

n=1

Выполнение последнего из шести условий (1) приводит к уравнению:

а

r=a

= - Ba 2 +

¥

+a1 J{Cg)+2C(g) shz+C(g)ghz+ D(g) +2D(g) chp+D(ggfhW°(g,dgcatl+

+a

¥

n=1

(A°cos V+B° sin 1„z)P2(1nC)+1, 1

1+1„ a

K°(1na)

K1(1na)

■=f(z)•(8)

Для последующего преобразования (8) пользуются представлением функций в виде тригонометрических рядов в промежутке -1 £ z £ t: ¥¥

shgz = 2c n(g)sin 1 nz> chgz = co(g)+2 cn(g) cos 1 nz;

n=1 n=1

2°°7/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

187

¥

¥

gzchgz = ^ bn (g )sin 1 nz, gzsh gz = b0( g) + ^ b*( g )cos 1 nz; (9)

n=1

n=1

¥

f (z) = f0 +£ (fs,n sin 1 nz + fc,n sin 1 nz)-

n=1

Свободные члены и коэффициенты разложений (9) получаются в явном виде:

c0( g) = (gt )- shgt, b0( g) = (gt )_1( gt ■ chgt - shgt);

cn ( g) =

21 n cos 1 nt ■ sht

t (g2+i n) :

2 g cos 1 nt ■ sht t (g2+i 2) ’

2 g cos 1 nt t

(1 n - g2) shgt gt ■ chgt

(g2+1 n )2 +g2+1 n

В итоге после серии достаточно очевидных преобразований из (8) получаются три соотношения:

¥

B = aV1 J Q (g )Wq( g, a)d g-a2 fa (10)

0

¥

B°F2(1na) = afs„ - |{[c(g)+2C'0(g)] cn (g)+C0(g)b„ (g)}YaWo(gj a)dg ;(11)

A°F2(1na) = afcn -|{[Ag)+2^0(g)] cn(g)+£0(g)bn(g)}gaWo(g> a)dg . (12)

0

Правые части (11) и (12) раскрываются при помощи решения (7), которое содержит функции W(g, Д°) и Y(g, В*0), включающие в себя бесконечные ряды с неизвестными An и Bn .

Отсюда следует, что соотношения (11) и (12) приводят к двум независимым бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. При написании таких систем переходят к новым совокупностям произвольных постоянных:

/ = A0 K1(1 na) .

cos 1 nt

В.

= Bn1 na

K1(1 na )

cos 1 nt

(13)

В итоге после подстановки (7) в (11), (12) и переходя к новым неизвестным с помощью (13), получают две бесконечные системы следующего вида:

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2007/3

188

тем

Проблематика транспортных сис-

¥

вп = Yb,„B, + b

i=1

¥

A = £«i ,nA + an

i=1

п = 1, 2, 3...; п = 1, 2, 3...

(14)

(15)

ft

i,n

ain

= -32(A,,a)4aK1(X„a)| (Xia)2 [(ga)2 + (Xia)2 J sh2gtd(ga) _

p F2 (Xna) о [(ga)2 + (Xna)2 J [ (ga)+4)2 (ga)J (shgtchgt - gt)

2

= 32(Xna)2aK1(1na) J (Xia)2 [(ga)2 + (Xia)2 J (ga)2 sh?gtd(ga)

P

tF2(Xna) о [(ga)2 + (Xna)2J [./[(ga)+//(ga)!(shgtchgt+gt)

= X„aK1(1„a) _ f +

bn Г7 \ л j aJsn +

F2(X na )cos X nt , 4(Xna)2K1(Xna)

ptF2(Xna )

¥

J

01-

(ga)2 - (Xna )2( Shgtchgt + gt) P( g )d (ga)

(ahgkhit-gt) J|-( ga)2 + (xna )2 +

8(X „a )4 Kx(X na) ptF2 (X„a)

¥ -

Q (g) sh 2 gld (ga)

J ^(ga)2 + (X„a)2J (shglchgl - gl);

a

= X „aK1(X „a) aJ

= ttt;—:---; : • aJc „

+

F2 (X na )c0S X nt

8(X„a)2 K1(X„a)J gaP (g) sh 2 gtd (ga)

~„~ / ~~1 v ~n~~ / Г____i-- VI/-- i ' vi-y__________+

PtF2(Xna) о [(ga)2 + (Xna)2 J (shglchgl + gl)

4Kl(Xa fJ ga [(ga)2 + (Xna)2 J+2ga(Xna) htchgt

PtF2(Xna)^l ё J shvtchvt + gt

shgtchgt+gt

(ga)

2

gt [(ga)2+(X„a)2 n

2007/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

189

Система (14) соответствует нагружению слоя, обратно симметричому относительно срединной плоскости z = 0, а (15) - симметричному нагружению.

Полученные системы являются регулярными, что было доказано в работе [2] В. З. Васильева.

В итоге решение сведено к двум не связанным между собой бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Однако в них фигурирует неизвестная функция f (z), определяющая нормальные напряжения, возникающие на поверхности контакта деформируемой породы и податливой крепи. Условием, используемым для отыскания f (z), является условие совместности радиальных перемещений поверхности цилиндрической выемки и радиальных перемещений рабочей поверхности слоя:

F(z) = u(z), -t £ z £+t. (16)

Связь между давлением на крепь и перемещением принимается известной и заданной в виде:

/■

¥

fo + ^^C/s,n 1nz+fc,n cos 1nz)

n=1

F (z) = y(1) •f (z) = y(1)

• <

>,0 £l P ¥,(17

)

где y(1) — некоторая заданная функция; f0, fsn и fcn - свободный член и коэффициенты разложения в ряд Фурье грузовой функции f (z).

Выпишем выражение для радиальных перемещений рабочей поверхности слоя:

u(z) =-^~ +—— f 2-r 2m 0

[c(g)+2(1 — v)C° (g)+gzD0 (g) shgz + [D(g)+2(1 — v)D0(g)+gzC°(g) chgz +

WJ(g, r)dg +

1 ¥

+^-Z[ BnK1 (l nr) — Bid nrKo(1 nr) + 2(1 - v) K (1 nr )] ] +

2- n=1

+T- S[ AnK 1( 1 nr) - Al(1 nrK0 (1 nr) + 2(1 — v)K1(1 nr)] cos1nz.

2- n=1

Условие (17) дает следующие зависимости:

B = 2f)-rV(1 n X Al = fc ,n

—-y(1 n )

(1 — v) K1(1 „a),

rD = f -wPJ

n }s (1—vKV)

(18)

Или, переходя к новым совокупностям произвольных постоянных:

—-У(1 n )

(1 — v)COS(1 nt^

—-y(1 n Я na

(1 — v) cos(1 nt)

(19)

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2007/3

190

тем

Проблематика транспортных сис-

С учетом выражения (10) получаем в явном виде выражение для B:

-1-1

B =

1 +

(1 + v)

V

¥

- f Q(У )Wo( У, a) d У-. t i

Величина V = XE • Eq 1 является своего рода относительной податливостью; X — безразмерный параметр, вытекающий из решения Ламе,

(1— Vo)-

or/po

Здесь t — толщина е^енк Таким образ ют решение ме процесса. о.8о Нами была тывать давление

w 2m о.оо

-------при про

- Р0 -0.20

фициента Пуассона V.

На рисунке 2 приведено р зи отверстия при V = 0,3

-1.20

Г3,2Р0 Гпри —£ г £ br 1

p(г) _ | 0 при г f b .

е допуска-сходимости

я подсчи-оверхности

V и коэф-

ьных напряжений вбли-

2.2 2.4 2.6 2.8

2007/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

191

-0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.0

Рис. 2. Распред

при различны

0.2

Рассмотрим разли график изменения давл Видно, что с уве. пряжения уменьшаютс зоне действия нагрузки Давление на креп вая два крайних случа подкрепления вообще ■ чивается в 10 раз.

Искажение щши уменьшается c увели крепления (V = 0) равн

1.0

z/a

отверстия ти крепи

сунке 3 приведен х данных. я радиальные на-£ r /a £ 2, т. е. в

кости. Рассматри-и ослабление без [е при z = 0 увели-

ления, напротив, солютно жесткого

Рис. 3. Давление на крепь различной жесткости

-0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 о..,,

0.0

poa

ISSN 1815-588 X. Изв<

Z=10

Z=1

2007/3

192

тем

Проблематика транспортных сис-

Рис. 4. Искажение цилиндрической поверхности ослабления вследствие радиальных перемещений при различной жесткости крепления

2007/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

193

4 Основные результаты и выводы

1. Задача для слоя с цилиндрическим вырезом, подкрепленным податливым включением, сведена к двум бесконечным системам линейных алгебраических уравнений.

2. Проведено исследование полученной системы на регулярность. Показана возможность сведения ее к регулярной при помощи введения новых совокупностей неизвестных.

3. Обоснована возможность применения метода последовательных приближений для численной реализации задачи при сходимости процесса.

4. Составлена программа, которая на базе современных персональных компьютеров позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние слоя с цилиндрическим ослаблением на ЭВМ.

Библиографический список

1. О передаче давления через слой, имеющий цилиндрическое отверстие / Д. Ю. Айзенберг, Г. С. Шапиро // Инж. сб. - 1950. - №7. - C. 58.

2. Первая основная задача для слоя с круговым отверстием / В. З. Васильев, Е. И. Агуф // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1980. - С. 68-77.

3. Точное решение задачи о распределении напряжений около кругового отверстия в упругом слое / В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитко // Прикладная механика. - 1968. -Т. 4. - Вып. 10. - С. 38-45.

4. Осесимметричная деформация плит с упругим включением : автореф. дис. ... канд. техн. наук / Н. И. Невзоров. - Л., 1990. - 24 с.

5. Extention of an Infinite Plate with a Circular Hole / E. L. Reiss // J. Soc. Industr. and Appl. Math. - 1963. - Vol. 11. - No.4. - Р. 855-865.

6. Three dimensional stress concentration in the theory of elasticity / Sternberg E. // Appl. Mech. Revs. - 1958. - №11. - P. 1-4.

УДК 658:332.7 Е. А. Тарасевич

О ВЫБОРЕ СТРАТЕГИЧЕСКОЙ ЛИНИИ ОРГАНИЗАЦИИ С УЧЕТОМ ФАКТОРА ВЛИЯНИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ РЕСУРСОВ ОРГАНИЗАЦИИ НА КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬ

В промышленно развитых странах наступление нового тысячелетия совпадает с началом периода серьезных социальных изменений - переходом к постиндустриальному обществу. Этот период стимулирует внимание к необходимости более эффективного управления интеллектуальными ресурсами организации, которые на данном этапе начинают играть превалирующую роль по сравнению с материальными.

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2007/3