Д-аналог метода определения однопараметрической обобщенной обратной матрицы Дразина, основанный на каноническом представлении матрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

2015

УДК 521.643.8

Доклады БГУИР

№ 2 (88)

Д-АНАЛОГ МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОИ ОБОБЩЕННОЙ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ДРАЗИНА, ОСНОВАННЫЙ НА КАНОНИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ МАТРИЦЫ

Г А. АСЛАНЯН, С О. СИМОНЯН

Государственный инженерный университет Армении (Политехник) Теряна, 105, Ереван, 0009,Армения

Поступила в редакцию 5 февраля 2015

Введение

Пусть A(t) - однопараметрическая квадратная матрица порядка n с рангом r

d

(параметр t может быть временем, оператором Лапласа ( S--) или другим параметром), а

dt

индекс матрицы A(t) равен k = index(A(t)) ( k - наименьшее неотрицательное целое число, при котором rank(Ak+1(t)) = rank (Ak (t)) . Псевдообратной Дразина AD (t) к матрице A(t) по аналогии с числовыми матрицами назовем матрицу, которая удовлетворяет нижеприведенным равенствам [1]:

AD (t ) A(t ) AD (t ) = AD (t ),

A(t )AD (t) = AD (t) A(t ), (1)

Ak+1(t ) AD (t ) = Ak (t ).

Обобщенная обратная матрица Дразина находит применение в теории типа конечных цепей Маркова, в решении нестационарных линейных систем дифференциальных уравнений, в модели населения Лесли и ее обратной проекции, при решении рекуррентных уравнений [1], а также при решении алгебро-дифференциальных систем [2], часто встречающихся при моделировании энергоблоков ТЭС [3].

Если index(A(t)) = k > 0, тогда существует невырожденная матрица P(t) такая [1], что

A(t ) = P(t )

C (t) 0 0 N(t)

P ~\t ), (2)

где С(/) - невырожденная матрица, а N) - к -нильпотентная матрица, т.е. Мк) = 0 [4]. Более того, если Р(/), С(/) и N(/) матрицы, удовлетворяющие соотношению (2), то обобщенная обратная Дразина может быть представлена следующим образом:

"с-1(0 о"

AD (t ) = P(t )

Px(t). (3)

0 0

Разложение матрицы A(t ) (2) называется ее каноническим представлением.

Математический аппарат

Пусть - матрица с аналитическими элементами. Также пусть р > к - некая

целочисленная константа (которая всегда может быть выбрана равной п, если более малое значение не известно заранее) [1]. Если Ар(¿) = 0, то Л°(¿) = 0. Следовательно, будем считать, что Ар(^) Ф 0 .

Представим алгоритм вычисления однопараметрической обобщенной обратной Дразина, аналогичный предложенному в работе [1] для числовых матриц.

Шаг 1. Вычисляется нормальная эрмитова форма Ар (^) , т.е. НА„ (/) [4].

Г4 ]

Шаг 2. Составляется ряд столбцов <ару^)> из матрицы Ар(^), где у - индекс тех

строк/столбцов Нлр (/) , у которых элементы на диагонали не равны нулю.

Шаг 3. Вычисляется матрица I — НАр (/), где I - единичная матрица порядка п . Шаг 4. Составляется матрица Р^) из столбцов, вычисленных на шаге 2, добавляя к ним ненулевые столбцы матрицы I — Нлр (/) .

Шаг 5. Вычисляется обратная к матрице Р^), т.е. Р—1 (^) .

Шаг 6. Вычисляется произведение Т(^) = Р )А(^)Р(^) , которое будет иметь следующий

вид:

С (0 0 0 Ы(г)_

Шаг 7. Вычисляется обратная С—1 (^) .

Шаг 8. Вычисляется обобщенная обратная Дразина А°(^) используя формулу (3).

Теперь представим Д-аналог определения однопараметрической обобщенной обратной Дразина. При этом приведенный выше алгоритм в области дифференциальных преобразований [5] будет выглядеть следующим образом.

Шаг 1. Вычисляются следующие матричные дискреты:

А(К) = К| ^ , К = Т А(0 = ^Н, А(К)), (5)

К! о1 "=** —

Ар (К) = Ар—1(К )* А(К) = ]^Ар—1(1) А( К — I), (6)

I=0

Т (/) = Р—^) А($) РЦ) =

(4)

где К = 0, да - целочисленный аргумент; А(К) и Ар (К), К = 0, да - матричные дискреты матричных оригиналов А(/) и Ар(^) (прямые дифференциальные преобразования), Н -масштабный коэффициент; tv - центр аппроксимации, , 1х,,Н,А(К)) - обратное дифференциальное преобразование, восстанавливающее оригинал - матрицу А^), * - знак Т-умножения (свертка), а знак • это знак перехода из области оригиналов в область Д-

изображений и наоборот [6].

Шаг 2. Вычисляются дискреты нормальной эрмитовой формы Ар(К), т.е. Нлр (К) с помощью алгоритма, предложенного в работе [5].

Шаг 3. Вычисляются дискреты столбцов \ар ] (К)> матрицы Ар (К), где ] - индекс

тех строк/столбцов Н (К), у которых элементы на диагонали не равны нулю при некотором

к е 0, К.

Шаг 4. Вычисляются дискреты матрицы [I — НАР ](К).

Шаг 5. Составляются матричные дискреты Р(К) из дискрет-столбцов, вычисленных на шаге 3 и ненулевых столбцов матричных дискрет [I — НАР ](К) .

Шаг 6. Вычисляются матричные дискреты Р( 1)(К) с помощью алгоритма, предложенного в [7] (заметим, что Р(—1)(К) - К -я матричная дискрета обратной матрицы Р—1(г), а не обратная матрица К -й матричной дискреты Р(К) ).

Шаг 7. Вычисляются матричные дискреты

Т (К) = Р(—1)( К ) * А( К ) * Р(К ) =

С(К) о о N (К)

(7)

Шаг 8. Вычисляются матричные дискреты С( :)(К) с помощью предложенного в

работе алгоритма [7].

Шаг 9. Вычисляются матричные дискреты псевдообратной Дразина

С(—1)( К ) о" 0 0

Таким образом, имея матричные дискреты (8), в соответсвии с некоторым обратным дифференциальным преобразованием К(*) можно восстановить оригинал обобщенной

обратной матрицы Дразина А° (г) .

А° (К) = Р( К )■

* Р(—1)( К).

(8)

Пример

Пусть имеется параметрическая матрица А(^) =

21 0 0 — г г г г — г — г

Так как индекс матрицы неизвестен, выберем р = п = 3. Вычислим матричные дискреты (6) при = 1, Н = 1, К = 4 :

" 8 0 0" " 16 0 0" " 16 0 0"

А3(0)= — 8 0 0 , А3(1) = —16 0 0 ,А3(2)= —16 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

, А3(К) = [0], К > 3.

Дискреты нормальной эрмитовой формы Ар(К), т.е. НлР (К) будут равны [5]:

Н4р (0) =

1 0 0 000 000

, Н (К) = [0], К > 1.

Следовательно, первый столбец матричного дискрета Р(К) будет равен первому столбцу матричного дискрета А р (К) . Вычисляется шаг 4:

[I — Н4Р ](0) =

0 0 0 0 1 0 0 0 1

НАР (К) = [01 К > 1.

Следовательно, матричные дискреты Р( К), К = 0 , да будут равны:

Р(0) =

" 8 0 0" " 16 0 0" " 16 0 0"

— 8 1 0 , Р(1) = —16 0 0 , Р(2) = —16 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

, Р(К) = [01 К > 3.

Вычисляются матричные дискреты Р( 1)(К) с помощью алгоритма, предложенного в [5]:

Р(—1)(0) =

" 1 1 " 1

0 0 0 0 0 0

8 , Р(—1)(1) = 4 , Р(—1)(2) = 4

1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

, Р(—1)( к ) = [01 К > 3.

Вычисляются матричные дискреты (7):

Т (0) =

о___0 1 1 —1 —1

Т (1) =

_0___0 1 1 —1 —1

Т(К) = [01 К > 2.

Следовательно, С(0) = [2], С(1) = [2], С(К) = [0], К > 2. Вычисляются матричные дискреты

С(—1)(К) С(—1)(0) =

С(—1)(1) =

С(—1)(2) =

С(—1)(3) =

Отсюда матричные дискреты псевдообратной Дразина будут выглядеть так:

(0) =

1

0 0

0 0 2

0 0 0

1

(1) =

2 0

00

00 00

(2) =

1

00

00 00

(3) =

1

2 0

00

00 00

Используя обратные дифференциально-падеевские преобразования [5], для оригинала обобщенной обратной матрицы Дразина получим:

2

2

1

1

1

2

0

Ad (t) =

— 00 2t 1

0 0 2t

0 0 0

, который точно удовлетворяет условиям (1).

Заключение

Предложен достаточно простой численно-аналитический метод определения обобщенной обратной однопараметрической матрицы Дразина. Метод легко реализуем средствами современных информационных технологий [8], и может использоваться при моделировании ТЭС.

Список литературы

1. Campbell S. L., Meyer C.D. Generalized Inverses of Linear Transformations. Philadelphia, 2008.

2. Орлова И.В, // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2006. №4. С. 125-134.

3. Логинов А.А., Таиров Э.А., Чистяков В.Ф. // Труды XI межд Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", т. 4. Иркутск, 1998. С. 119-122.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1967.

5. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Прикладная теория дифференциальных преобразований. Ереван, 2010.

6. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. Киев, 1984.

7. Симонян С.О., Тамазян М.Д. // Вестник ГИУА. Серия «Информационные технологии, электроника, радиотехника». 2012. № 1. С. 35-41.

8. StroustrupB. The C++ Programming Language, 4th Edition. Boston, 2013.