Currency assets portfolio modeling based on Black-Litterman model Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Формирование валютного портфеля активов на основе модели Блэка—Литтермана

Currency assets portfolio modeling based on Black-Litterman model

УДК 519.865.5

Скоков Александр Александрович

аспирант Российского экономического университета им. Г В. Плеханова (Москва) 117997, Москва, Стремянный пер., д. 36

Skokov Alexander Alexandrovich

117997, Moscow, Stremyanniy pereulok, 36

Модель Блэка—Литтермана позволяет инвестору учитывать свои прогнозы относительно доходности определенных активов при построении эффективного портфеля ценных бумаг на основе оптимизационной задачи Г. М. Марковица. Данная модель во многом решает проблемы недостаточной диверсификации и высокой чувствительности структуры портфеля к качеству входящих данных, связанные с применением оптимизационной модели Марковица, и позволяет формировать инвестиционные портфели с большей гибкостью и стабильностью.

В предложенной статье автор сводит воедино результаты исследований зарубежных авторов немногочисленных научных работ по модели Блэка-Литтермана и на их основе предлагает методику формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Описанная автором методика протестирована в реальных условиях финансового рынка США. Кроме того, в ходе тестирования автор предложил использовать в модели дополнительный параметр, регулирующий степень уверенности инвестора в собственном прогнозе, обеспечив тем самым более оптимальную настройку ковариационной матрицы стандартных ошибок прогнозов.

Предложенная автором модификация модели и результаты ее тестирования также нашли отражение в данной статье.

Black-Litterman model allows investor to take into consideration its forecasts regarding profitability of certain assets for the purposed of building-up an efficient securities' portfolio based on G. M. Markovitz optimization task. This model to a greater extent solves the problem of insufficient diversification and high sensitivity of the portfolio structure to the quality of incoming data, related to the implementation of Markovitz optimization model, and allows creation of more flexible and more stable investment portfolios.

In the article the author brings together the research results of foreign authors of not numerous research works devoted to Black-Litterman model, and based on them suggests a method of optimal securities' portfolio creation.

The method described by the author has been tested in the conditions of real financial market of USA. Besides, during its testing the author has suggested to implement an additional parameter which regulates the level of investor's trust to its own forecast, which provides more fine adjustment of co-variation matrix of constant errors of forecast.

The modification of the model suggested by the author and the results of its testing have been reflected in this article.

Ключевые слова: модель Блэка—Литтермана, управление портфелем ценных бумаг, прогноз доходности активов, ожидаемая доходность, оптимальное распределение активов, вектор равновесной доходности

Keywords: Black-Litterman model, portfolio management, asset return forecast, expected return, optimal asset allocation, market equilibrium returns

Введение

Развитие современной теории портфельной оптимизации отмечено не только рассветом финансовой экономики, но и совершенствованием количественных методов. Основоположником этой теории является Г. М. Марковиц, который в своей работе «Выбор портфеля» [1] представил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, а также привел методы построения таких портфелей при определенных условиях. Г. Марковиц утверждал, что риск и доходность в равной степени важны при формировании портфеля, при этом риск может быть уменьшен путем диверсификации (в зависимости от соотношения активов через дисперсию доходности портфеля). Таким образом, оптимизируя соотношение риск—доходность, можно получить множество оптимальных распределений активов в портфеле.

На практике модель Марковица часто выдает неприемлемые для большинства инвесторов результаты: экстремальные структуры портфелей с высокой концентрацией позиций в одних инструментах, финансируемых за счет короткой продажи остальных активов. Эти результаты во многом обусловлены нереалистичными предпосылками модели об отсутствии транзакционных издержек, эффективности рынков, нормальном распределении доходностей активов, точном знании инвестором истинных значений параметров и концентрации внимания модели, прежде всего, на ожидаемых доходностях активов без учета влияния характера распределения этих доходностей на изменчивость результирующих весов в эффективном портфеле.

В отличие от модели Марковица, модель, предложенная Ф. Блэком и Р. Литтерманом [2], представляет собой метод формирования эффективного портфеля ценных бумаг, который позволяет инвестору учесть свой персональный прогноз относительно соотношения доходности конкретных активов с их равновесной рыночной доходностью, построить новый вектор ожидаемой доходности и получить на его основе новые относительные веса бумаг в инвестиционном портфеле. Данная модель во многом решает проблемы недостаточной диверсификации и высокой чувствительности структуры портфеля к качеству входящих данных, связанные с применением оптимизационной модели Марковица, и позволяет формировать более оптимальные портфели, характеризующиеся большей гибкостью и стабильностью.

о

о о

о

о о

> <

Параметры неприятия риска

Ковариационная матрица доходностей

Веса раночной капитализации

Предполагаемая равновесная доходность

Прогнозы инвестора Уровень уверенности

Идентификация активов в соответствии с прогнозом

Ковариационная матрица доходностей Новый комбинированный вектор доходности

Оптимальные веса распределения активов в портфеле

Рис. 1. Процесс нахождения оптимальных весов распределения активов в портфеле на основе модели Блэка—Литтермана

К сожалению, в российской научной литературе информации по модели Блэка—Литтермана не так много. Среди зарубежных авторов можно выделить работы уже упомянутых Блэка и Литтермана [2-4], Литтермана и Хи [5] и Идзорека [6]. На основе проведенных исследований автором статьи была сформулирована и протестирована методика формирования оптимального портфеля активов.

Спецификация модели

Модель Блэка—Литтермана представляет собой комбинацию концепций CAPM (Capital Asset Pricing Model) Шарпа [7], задачи обратной оптимизации Шарпа [8] и оптимизационной модели Марковица [1].

В основе модели лежит метод построения ценных бумаг, который базируется на нахождении вектора равновесной доходности из весов рыночной капитализации инструментов путем решения обратной оптимизационной задачи Марковица и последующего комбинирования полученного результата с экспертным прогнозом доходностей составляющих портфель инструментов. Общая схема процесса представлена на рис. 1.

В общем виде модель Блэка—Литтермана представляет собой сложную среднюю взвешенную вектора предполагаемой доходности и вектора прогнозов доходностей и определяется по формуле:

E[R] = [(тХ)-1 + PTQ-1P]-1 [(тХ)-1 П + PTQ-1q] , (1)

где Е[Д] — новый комбинированный вектор доходности N х 1-вектор-столбец); т — масштабирующий фактор; X — ковариационная матрица доходностей N х ^матрица); Р — матрица, идентифицирующая активы, являющиеся предметом прогнозов инвестора (К х ^матрица либо 1 х ^вектор-столбец в частном случае одного прогноза); П — диагональная ковариационная матрица стандартных ошибок прогнозов, отражающая неопределенность прогнозов (К х К-матрица); П — вектор предполагаемой равновесной доходности N х 1-вектор-столбец); Q — прогнозный вектор (К х 1-вектор-столбец); К — количество прогнозов инвестора; N — количество активов в портфеле.

Вектор равновесной доходности в формуле (1) определяется через решение обратной оптимизационной задачи Марковица:

П = ^Х w„

(2)

где П — вектор предполагаемой равновесной доходности N х 1-вектор-столбец); X — параметр неприятия риска инвестором; X — ковариационная матрица доходностей N х ^матрица); wmkt — удельный вес каждого актива в общем объеме рынка N х 1-вектор-столбец).

Логика формулы (2) заключается в следующем: если предположить, что рынок является эффективным и матрица ковариаций известна, то нахождением П определяется, какую среднюю доходность ожидает получать средний участник рынка, если этот участник держит в своем портфеле активы в пропорциях

wmkt.

Ковариационная матрица доходностей активов из (1) определяется по формуле:

Х = QVQ

(3)

где О — прогнозный вектор (К х 1-вектор-столбец), отражающий средние ожидаемые доходности активов; V — диагональная матрица волатильностей доходностей активов.

Прогнозы, формирующие ветктор-столбец О, ставятся в соответствие конкретным активам с помощью матрицы Р. Каждый из прогнозов выражается в 1 х ^векторе-строке. Соответственно, К прогнозов формируют К х ^матрицу. В общем случае матрица Р имеет вид:

P

Pi,-

Pk, n

(4)

Существуют различные подходы к определению элементов матрицы Р [6; 9; 10], однако наиболее обоснованным представляется подход, когда элементы матрицы Р рассчитываются с учетом рыночной капитализации бумаг: относительный вес более доходного (менее доходного) актива определяется как доля капитализации всего актива в суммарной капитализации группы более доходных (менее доходных) активов из прогноза. Если же прогноз инвестора представлен в абсолютных величинах, то матрица Р приобретает вид единичной матрицы.

После спецификации матрицы Р появляется возможность посчитать дисперсию портфелей, соответ-

ствующих каждому из прогнозов. В соответствии с принципами среднедисперсионного анализа Марковица, искомые дисперсии будут равны ркXр^ , где pk — 1 х ^вектор-строка из матрицы P, который соответствует k-му прогнозу и имеет Е ковариационную матрицу доходностей. Дисперсии индивидуальных прогнозов являются важным источником информации относительно неопределенности прогнозов инвесторов и служат для определения уровня уверенности, приписываемого каждому из прогнозов.

Матрица точности прогнозов О, отражающая неопределенность прогнозов (или уровень уверенности), имеет следующий вид:

Q =

(Pi Zp[ )т 0 0 0 '•. 0 . 0 0 (PkXpk )tJ

(5)

Элементы матрицы О формируются из диагональных элементов ковариационной матрицы доходностей Е, скорректированных на масштабирующий фактор т. Тогда уверенность в отношении прогноза доходности каждого из активов будет обратно пропорциональна дисперсии этого актива. Таким образом, чем выше волатильность у доходности актива в прошлом, тем меньше уверенности в точности предсказания по этому активу на будущий период. Сам масштабирующий фактор изменяет величину элементов матрицы О, однако новый комбинированный вектор доходностей E[Л] остается одинаковым при любых значениях т, что напрямую следует из формулы (1).

В этом случае предлагаю вывести из формулы (1) параметр т, приравняв его к 1, и ввести в модель дополнительный параметр t, на который будут умножаться диагональные элементы матрицы О. Этот параметр должен служить своего рода регулятором степени уверенности в прогнозе: большее значение t будет означать меньшую уверенность инвестора в собственных прогнозах и наоборот.

После расчета E[Л] по формуле (1) структура оптимального портфеля находится по стандартной формуле решения задачи Марковица, где в качестве ожидаемых доходностей выступает E[Л]:

w = (iX)-1 E[R]

(6)

где w — результирующий вектор-столбец весов активов в оптимальном портфеле; X — параметр неприятия риска инвестором; Е — ковариационная матрица доходностей ^ х ^матрица); E[Л] — новый комбинированный вектор доходностей активов N х 1-вектор-столбец).

Ожидаемая доходность всего портфеля определяется по формуле:

e (гр )= ё wiri

(7)

где Е(гр) — ожидаемая доходность портфеля; ^ = 1;

¡=1

wi — удельный вес ¿-го актива в портфеле; г1 — доходность -го актива.

Следует отметить, что в случае отсутствия у инвестора прогнозов относительно будущей доходности модель Блэка—Литтермана предлагает держать портфель, содержащий финансовые инструменты в долях, пропорциональных их рыночной капитализации. Наличие в модели «рыночного» портфеля в качестве точки

отсчета обуславливает более высокую стабильность результирующих весов в оптимальном портфеле, поскольку сам «рыночный» портфель отличается чаще всего относительно устойчивой структурой, что является следствием небольшой вероятности резких колебаний относительно капитализации различных секторов рынка. Можно сказать, что «рыночный» портфель в модели является «точкой притяжения», от которой портфель сдвигается с заданной степенью свободы в сторону прогноза инвестора.

Исходные данные

Прежде чем приступить к характеристике исходных данных, следует обозначить основную цель тестирования, которая заключается в изучении влияния дополнительного параметра t, введенного в модель для регулирования степени уверенности в персональном прогнозе, на конечный результат оптимизации.

При этом использованы следующие принципы, в том числе:

• стремление к минимизации риска и максимальной ликвидности вложений;

• отсутствие определенных ориентиров на соотношение ожидаемой доходности к принимаемому риску.

В этом случае риск инвестиций может регулироваться посредством установления лимитов на размеры позиций в определенных инструментах и ограничений по объемам сделок с одним контрагентом.

В качестве возможных направлений для инвестирования долларовых активов выбраны кратко-, средне- и долгосрочные облигации казначейства США, долговые бумаги Федеральных агентств США, государственные облигации США, индексируемые с учетом инфляции, корпоративные облигации США с высоким кредитным рейтингом, а также акции американских компаний, инвестиции в которые будут осуществляться через покупку диверсифицированного портфеля, реплицирующего поведение индекса рынка акций США S&P 500, включающего акции 500 крупнейших американских компаний из разных секторов экономики.

За доходность безрискового актива принимается доходность от операций по инвестированию на 1 день под ключевую ставку Комитета по открытым рынкам Федеральной резервной системы США с последующим реинвестированием средств на следующий день.

В качестве исторических данных выбраны данные за период с 1 января 2001 г. по 31 декабря 2010 г. с годовым шагом пересмотра стратегии с целью ре-балансировки портфеля.

Все расчеты произведены в программе MS Excel на основе данных агентства «Standard & Poor's» и аналитического портала «Bloomberg». Ввиду большого объема вычислений далее будут рассмотрены лишь основные результаты этих вычислений в графическом виде.

Тестирование результатов применения модели на фактических данных

Для нахождения «рыночных портфелей» и векторов равновесной доходности воспользуемся информацией о рыночной капитализации активов, представленной на рис. 2.

Из рис. 2 видно, что доминирующим в общей структуре рыночной капитализации активов США является рынок акций. Следовательно, можно предположить, что «рыночные» портфели, построенные из полного

о

С С

i=1

I«

ч о Ч

о

о о

> <

80

60

40

20

□ — индекс рынка акций в&Р 500

■ — казначейские облигации США, скорректированные на инфляцию

□ — облигации Федеральных агентств

США

□ — высококачественные

корпоративные облигации

□ — долгосрочные казначейские

облигации

□ — среднесрочные казначейские

облигации

3 — краткосрочные казначейские облигации

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Рис. 2. Структура рыночной капитализации активов США Источник: данные Standard & Poor's.

набора активов, будут более чем на 50% состоять из высоко рискованных инструментов (акций), что противоречит обозначенным выше принципам построения валютного портфеля. Для сокращения доли акций в портфеле необходимо будет либо существенно снижать склонность инвестора к риску, либо увеличивать степень следования инвестора собственным прогнозам. Это будет оказывать дестабилизирующее влияние на результирующие оптимальные веса в портфеле и искажать результаты модели. Поэтому от идеи составления оптимального портфеля по модели Блэка—Литтермана с учетом возможности инвестировать одновременно в долговые рынки и рынок акций следует отказаться, а значит, ограничимся только инструментами долговых рынков.

Предположим, что инвестор формирует валютный портфель из вышеперечисленных типов активов с применением модели Блэка—Литтермана в начале 2001 г., оценивая входящие в модель параметры на исторических данных за предыдущие 10 лет. Будущей динамики показателей активов (после 2001 г.) инвестор в этот момент не знает, впрочем как и не имеет индивидуального прогноза относительно будущей доходности выбранных активов.

В начальный момент времени, таким образом, будет получена структура портфеля, представленная на рис. 3. В связи с изменчивостью экономических взаимосвязей и принципов поведения цен активов каждый год производится переоценка параметров модели на исторических данных за последние 10 лет (таким образом, получается «плавающий» десятилетний период для оценки параметров модели). Переоценка параметров приводит к ребалансировке портфеля (а следовательно, и к транзакционным издержкам) для достижения новых оптимальных весов.

Проследим динамику показателей сформированного по таким принципам портфеля в 2001-2010 гг. (см. рис. 3).

Рыночные веса рассматриваемых активов в течение всего периода оставались достаточно стабильными. Это означает, что в случае отсутствия у инвестора прогноза доходностей инструментов получающийся портфель реплицировал бы рынок и требовал с течением времени лишь минимальных ребалансировок.

Динамика доходности сформированного портфеля представлена на рис. 4.

Из рис. 3 и 4 можно заключить, что стратегия простого следования структуры портфеля долям рыночной капитализации различных секторов долгового рынка позволила бы инвестору достичь высокой и относительно стабильной доходности при минимальной необходимости ребалансировки портфеля под управлением (что означает минимальные потери от транзакционных издержек). Доходность портфеля за 9 лет не опускалась бы ни разу ниже 2% годовых.

Посмотрим теперь, как повлияет на полученные результаты ввод собственного прогноза доходностей активов.

Подберем X рынка таким образом, чтобы получить порядок доходностей, являющийся правдоподобным для рынка казначейских облигаций США. Таким значением, к примеру, является Хрынка = 10. X инвестора установим равной 15, что будет означать в 1,5 раза меньшую склонность инвестора к риску по сравнению со среднерыночной.

Параметр t примем равным 500, что будет означать склонность держаться ближе к стабильному «рыночному» портфелю и лишь немного сдвигаться в направлении, указанном нашими прогнозами. Получим следующие результирующие веса в портфеле (см. рис. 5).

Веса активов в получившемся портфеле отличаются высокой стабильностью. Вместе с тем показатели доходности портфеля снизились по сравнению с рассмотренным выше «рыночным» портфелем. Средняя годовая доходность за 2001-2010 гг. (см. рис. 6) составила бы 4,46% (по сравнению с доходностью рынка 5,28%). Меньшая полученная доходность явилась следствием заданного повышенного неприятия инвестором риска по сравнению со среднерыночным, что привело к инвестированию около 27% портфеля в безрисковый и, соответственно, менее доходный актив.

Приведем склонность к риску инвестора в соответствие с рыночной и посмотрим на получившийся результат.

В случае повышения склонности к риску инвестора до среднерыночного уровня средняя доходность за период владения возрастает до 5,34%, что на 0,06% превышает среднюю доходность рыночного портфеля (см. рис. 7).

1« ч о

о

о о

> <

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

-----высококачественные корпоративные облигации

--— облигации Федеральных агентств США

----среднесрочные казначейские облигации

--краткосрочные казначейские облигации

....... — долгосрочные казначейские облигации

— казначейские облигации США, скорректированные на инфляцию

2009

Рис. 3. Динамика весов «рыночного» портфеля в модели Блэка—Литтермана

2001

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 — доходность портфеля ---— средняя за период

Рис. 4. Доходность «рыночного» портфеля долговых инструментов

Это говорит о том, что введение в модель собственного прогноза в большинстве случаев имело некоторую ценность по сравнению с его отсутствием. Снижение X привело к рекомендации «заемного» портфеля (см. рис. 8).

В этом случае модель рекомендует частично финансировать принятые позиции в средне- и долгосрочных облигациях за счет средств, занятых под процентную ставку денежного рынка. Вместе с возросшей доходностью полученный портфель потерял в ликвидности, показатели которой не учитываются при расчете оптимальности.

Вернем большую среднерыночную склонность к риску и попытаемся получить дополнительную доходность путем снижения параметра t. Таким образом, мы увеличиваем уверенность инвестора в собственном прогнозе, который, как уже было показано ранее, имеет положительную ценность. Так, для t = 100 получим по сравнению с аналогичным случаем для t = 500 средняя годовая доходность выросла на 0,14%. Вместе с этим возросла и изменчивость результирующих весов в оптимальном портфеле.

Необходимо отметить, что изменчивость результирующих оптимальных весов в модели в большой

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 -----высококачественные корпоративные облигации Год

— облигации Федеральных агентств США

----среднесрочные казначейские облигации

--краткосрочные казначейские облигации

........— долгосрочные казначейские облигации

— казначейские облигации США, скорректированые на инфляцию -------— операции overnight

Рис. 5. Динамика весов оптимального портфеля в модели Блэка—Литтермана при t = 500, X = 15

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 — доходность портфеля ----средняя за период

Рис. 6. Доходность оптимального портфеля в модели Блэка—Литтермана при t = 500, X = 15

степени обусловлена изменчивостью прогнозов инвестора относительно будущих доходностей. Делая прогноз на основании средней доходности актива за предыдущие 10 лет, мы тем самым получаем «сглаженные» прогнозы возможных реальных доходностей, поскольку средняя за десять периодов априори меняется в небольшой степени при добавлении нового одного из десяти значений и выбрасывании из расчетов старого.

Приемлемый с точки зрения изменчивости оптимальных весов результат достигается при t = 2000

(см. рис. 9). В этом случае средняя годовая доходность портфеля за период составит 5,06%, что выше аналогичного показателя для случая X = 15, t = 500 (см. рис. 5). Дополнительная доходность, несмотря на более высокий t, является результатом более точного прогнозирования.

Таким образом, при использовании модели Блэка— Литтермана инвестор путем точной настройки параметров модели может самостоятельно осуществлять выбор между дополнительной доходностью, изменчивостью оптимальных весов в портфеле и риском,

о

о о

> <

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 — доходность портфеля ----средняя за период

2009

Рис. 7. Доходность оптимального портфеля в модели Блэка—Литтермана при t = 500, X = 10

в ч о Et

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 -----высококачественные корпоративные облигации

— облигации Федеральных агентств США

----среднесрочные казначейские облигации

--краткосрочные казначейские облигации

....... — долгосрочные казначейские облигации

— казначейские облигации США, скорректированные на инфляцию -------— операции overnight

Рис. 8. Динамика весов оптимального портфеля в модели Блэка—Литтермана при t = 500, X = 10

чего не позволяют р-модели (диагональная модель Шарпа, рыночная модель, модель САРМ) и модель Марковица. В последних структура «касательного» портфеля определяется единственным образом, какой бы диспропорциональной она ни была. Снижение

риска и волатильности весов возможно лишь за счет увеличения доли инвестиций в безрисковый актив. Структуру покупаемого при этом рискового «касательного» портфеля на основе применяемой методики изменить нельзя.

С

о

С С

> <

«

ч о П

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 -----высококачественные корпоративные облигации

— облигации Федеральных агентств США

----среднесрочные казначейские облигации

--краткосрочные казначейские облигации

........— долгосрочные казначейские облигации

— казначейские облигации США, скорректированные на инфляцию -------— операции overnight

2009

Рис. 9. Динамика весов оптимального портфеля в модели Блэка—Литтермана при í = 100, X = 15

Заключение

Тестирование результатов применения модели на фактических данных показало, что модель Блэка— Литтермана выдает достаточно стабильные результаты по доходности и изменчивости весов, одновременно предлагая высокодиверсифицированные портфели.

Вместе с тем, эта модель обладает рядом недостатков, которые необходимо учитывать при формировании портфеля. Например, в случае высокой коррелированности доходностей отдельных активов прогноз ожидаемой доходности одного из активов влечет иногда существенный пересмотр весов всех остальных активов в портфеле. В результате возрастает риск нестабильности результирующих весов инвестиционного портфеля, их высокой изменчивости в зависимости от формулирования прогноза и его точности. Также в исследованиях зарубежных специалистов было показано, что в случаях отсутствия прогноза инвестора относительно доходности какого-либо актива и при наличии прогноза «доходность актива совпадает с его равновесной доходностью» модель выдает две разные структуры портфеля, что на первый взгляд противоречит здравому смыслу. В этой связи инвестору важно выражать свое мнение относительно доходности каждого из активов (использовать «полную», квадратную матрицу прогнозов) и отражать свою уверенность в отношении каждого из прогнозов путем оптимальной настройки

ковариационной матрицы стандартных ошибок прогнозов.

Литература

1. Markowitz H. M. Portfolio Selection // The Journal of Finance. 1952. March. Р. 77-91.

2. Black F., Litterman R. Asset Allocation: Combining Investors Views with Market Equilibrium. Fixed Income Research, Goldman, Sachs S Company. 199Q. September. P. 2251.

3. Black F., Litterman R. Global Asset Allocation with Equities, Bonds, and Currencies // Fixed Income Research, Goldman, Sachs & Company. 1991. October. P. 3Q-49.

4. Black F., Litterman R. Global Portfolio Optimization // Financial Analysts Journal. 1992. September/October. Р. 2В-4З.

5. He G., Litterman R. The Intuition Behind Black-Litterman Model Portfolios // Investment Management Research, Goldman, Sachs & Company. 1999. December. P. 36-5б.

6. Idzorek T. A step-by-step guide to the Black-Litterman model. 2QQ4. P. 3-11.

7. Лобанов А. А., Чугунов А. В. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. М.: Альпина, 2QQ3. 7В5 с.

В. Sharpe W. F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium // Journal of Finance. 19б4. September. Р. 425-442.

9. Bevan A., Winkelmann К. Using the Black-Litterman Global Asset Allocation Model: Three Years of Practical Experience // Fixed Income Research, Goldman, Sachs & Company. 199В. December. P. 1В-З4.

1Q. Litterman R., Winkelmann K. Estimating Covariance Matrices // Risk Management Series, Goldman Sachs & Company. 199В. January. P. 19-47.