CC BY
44
УДК 621.391
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОМЕРНЫХ АДАПТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ-ОРТОГОНАЛИЗАТОРОВ
A. Р. Бестугин,
канд. техн. наук, доцент
B. А. Шаталова,
канд. техн. наук, старший преподаватель Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Предложены адаптивные алгоритмы подстройки весовых коэффициентов многомерных фильтров-орто-гонализаторов, выполняющих ортогонализацию компонент входного векторного случайного процесса методами прямых вычислений. Получено аналитическое выражение совместной плотности распределения вероятностей выборочных оценок дисперсий выходных напряжений многомерных адаптивных фильтров-ортогона-лизаторов.
Ключевые слова — ортогонализация, адаптивный алгоритм, статистические характеристики.
Введение
Многомерные адаптивные фильтры-ортого-нализаторы осуществляют преобразование входных векторных случайных процессов (СП) £п, п = 0, ±1, ±2, ... с коррелированными компонентами в СП пп с некоррелированными компонентами и являются основной составной частью многомерных адаптивных выбеливающих фильтров [1]. Они также широко применяются при решении задач обнаружения, оценивания параметров, разрешения и распознавания образов объектов в качестве самостоятельных устройств [2].
Несмотря на множество работ, посвященных применению и реализации указанных фильтров, не рассмотренными [3] остались вопросы оценивания скорости сходимости адаптивных алгоритмов и вида плотностей распределения вероятностей (ПРВ) выборочных оценок весовых коэффициентов и дисперсий выходных напряжений фильтров-ортогонализаторов, формируемых на каждом шаге адаптации. Получено выражение [4], позволяющее определить скорость сходимости адаптивного алгоритма фильтра-ортогона-лизатора, подстройка весовых коэффициентов которого осуществляется по методу прямых вычислений. Решен также важный вопрос — нахождение ПРВ выборочных оценок весовых коэффициентов адаптивных фильтров-ортогонали-заторов [5].
Цель данной работы состоит в определении ПРВ выборочных дисперсий выходных напряжений адаптивных фильтров-ортогонализаторов.
Адаптивные многоканальные фильтры-ортогонализаторы
Фильтр-ортогонализатор осуществляет пространственную обработку в соответствии с выражением [1, 2, 4]
Ли = 4Л - нч„, (1)
где £п и Пп — ^-мерные комплексные векторы выборок входных и выходных напряжений ортого-нализатора, взятых в произвольный момент времени п; H - L х L нижняя треугольная матрица весовых коэффициентов Ъи с нулевой главной ди-аг°наль^ ни = гц/в^ здесь ги = щ^п*]; % = = М[пгг*] = М[|п|2]; М[-] означает операцию вычисления математического ожидания от выражения, стоящего в квадратных скобках; ^ и п — соответствующие элементы векторов £п и пп; означает комплексно сопряженную случайную величину, эрмитово сопряженную матрицу или вектор. Предполагается, что М[^п] = 0, 0 — нулевой вектор.
В случае гауссовой совместной ПРВ выборок вектора £п, когда неизвестна ковариационная матрица K^ = М[£п^], в процедуре (1) вместо истинных значений весовых коэффициентов Ни необходимо использовать их оценки максимального
правдоподобия, получаемые по р независимым выборкам СП £п и пп:
к = ¿и/ е 11; (2)
р , р Ги р ^1,«^1,« , ®II р П1,пП1,п • (3)
«=1 «=1
При практическом использовании алгоритмов целесообразнее применять итерационные алгоритмы вычисления оценок неизвестных пар ам ет-ров ги, а2и с помощью алгоритмов стохастической аппроксимации:
Пг (п + 1) = ги (п) - ц(п) \ги (п) - ^ (п)П1 (га)]; (4)
9II (п + 1) = 0 и (п) - Ц(га) [0 и (п) - П1 (п)ц* (га)]. (5)
Алгоритмы сходятся в среднеквадратическом, если последовательность чисел д(п) выбирается из условия
СО СО
ц(п) > 0, ^ ц(п) = о, ^ ц2 (п) <о. (6)
п=1 п=1
Применение оценок максимального правдоподобия в виде (2), (3) и процедур стохастической аппроксимации (4), (5) обеспечивает сходимость точно такую же, как и при использовании метода прямого обращения выборочной ковариационной матрицы К^ [2, 4].
В работах [2, 4] показано, что процедура (1) может выполняться с выбором ведущего элемента. Ее важным преимуществом является естественное ограничение величины весовых коэффициентов |Л;;| < 1; VI,]' е 1,L; Vi > ]'; упорядоченность по
Ч
дисперсиям выходных напряжений ортогонали-затора 8П > 822 > ••• > ^LL, что не всегда имеет место в исходной процедуре.
Совместная плотность распределения вероятностей выборочных дисперсий выходных напряжений адаптивных фильтров-ортогонализаторов
Совместная ПРВ элементов выборочной матрицы К^ гауссова СП ^ имеет вид
К,
ір-і
Р(К %) = -7
Г2
Ь(Ь-1)
(7)
Г(р)...Г(р-L + 1)
и является так называемой комплексной ПРВ Уишарта [5].
Определим совместную ПРВ выборочных оценок дисперсий 0ц, i е 1^ напряжений, формируемых на выходах фильтров-ортогонализаторов.
Найдем совместную ПРВ р(Н 0, (-> ^). Для этого прежде всего вычислим якобиан преобразова-
ния ]. Можно показать [5], что в случае входного комплексного гауссова СП ] равен квадрату опре-
Ь—1 ь
делителя Вандермонда: / = 2ь П О іі —її
І=1 1—І+1
Совместную ПРВ Но и (->^ найдем, заменяя в (7) К £ = II 0<:) 0, учитывая, что ІК^1 = 1Н0І0^
н п
= 1 и умножая полученный
результат на якобиан В результате получим
IP-L
С |в^ ехр|—ХИо<Э^Н 1 L(L—1) ^ і р
п2 П Г(Р_і)КІ
і=0
Х2^п1! (еа -0ц)2,
(8)
і=11=І+1
где с1 — коэффициент, выбираемый из условия нормировки:
Ь-1 Ь I
С1 / ••• /Р(Н[0>) П П ^и, о П^ІІ =1-(9)
І—1 I—І+1
І=1
Для того чтобы определить частное распределение © ), необходимо проинтегрировать (8) по элементам матрицы Н0 в пределах -1< Лу0 <1, VI > I, VI е 2,L:
р(0 л) =
к^ 1Н 0« ПН 0
где
1 -1
х ^^*21,0 ... ’
с2 = 2і І0п|Р ЬП П (0Іі - 0II )2
(10)
І—1 I—І+1
-ь(ь-1) і-} .
с2 П Г(Р-і)|0^
і—0
п
Возможны несколько вариантов вычисления данного интеграла. Первый основан на использовании экстремальных свойств собственных чисел ЛI и собственных векторов и 1 матрицы К^. Здесь будет рассмотрен второй вариант, базирующийся на представлении матрицы К ^ в виде суммы матриц ранга 1: К ^ = II о© о = ^ цН ;И;, где II; — матрица, у которой ¿-й столбец совпадает с ¿-м столбцом 11 ю матрицы II0, а остальные элементы равны нулю. Необходимо отметить, что
Ь-й еН о
II о является матрицей с ортогональными столбцами. Можно показать простым перемножением,
что К£ = II 0<5I0 = £ [=19 ¿¿Н¿II • = £ У ^¿оЬ¿0-
Это позволяет записать интеграл в (10) в виде
L 11
£ *_1^
р(0ц ) = СіС2 П / •••/expj-9;;ll;oKf ^¿0
¿=1-1 -1 х ГЇ^21,0"-^іі-1,0- (11)
Представим їїТо = [оТ, 1,/г£+1,;Нь,і] в виде
суммы двух векторов Ь = 1Т + їїТ, где 1Т = [0Т, 1,
0, ..., 0], = |от, 0,Л*+1>;/^,і]. Тогда полу-
чим, что
Ь;о 1 Ь;о = (1; + Ь; )* К, 1 (1; + Ь;) =
= (іГ11; ) + (ь;К^1]
+ (іт 1Ь;) + (і!^К^ 1Ь;). (12)
Заметим, что (1ТК-11;) = - і-й диагональ-
ный элемент матрицы К-1. С другой стороны, (Ь-К-*1;) означает, что в результате умножения К-11; выбирается і-й вектор-столбец Щ матрицы К-1, который затем умножается на вектор Ь*. Полученное скалярное произведение
Ь %=£ •= .+! можно преобразовать к виду
Ь^-1Ь;, если каждый элемент суммы одновременно умножить и разделить на hij и обозначить
dij = ■
С учетом введенных обозначений и сделанных
пояснений представим
-hj (2D^1 + 1)h i = k^n + hi K^h i. (13)
Тогда (11) приобретает следующий вид:
L 1 1
Р(0ц ) = С1С2 П/ •••/ЄХР {_0ikii - 0iihі Ki;Dh i
і=1-1
:dh21„.dhLL-1 = C1C2 П ЄХР H*ikii
i=1
11
</•••/exp{-9 a it-K^h i J dh21...dhU-1. (14)
1 -1
В соответствии с процедурой квадратного корня запишем К^-,1 = (К*)-1К-1, где К-1 — нижняя треугольная матрица, и сделаем замену переменных под знаком интеграла
_і і _- __1
2 2уш = 0г-К-1^ или Ь; = 2 20;;2Вдо- (15)
Тогда
-1 1 _- -1 2-^Уш = 0?К-^Ь; и dh; = 2~20-2К^УШ. (16)
Это означает, что
, -1,-і і
Акі = 2 2 0и2 ^ кіг^іго = г=і
1 Г /
= (20 ц)
dvir0 dV =
/ ,k1lr ^ avil0 =
Kllr r = i l l
il0
= 2 20..2иид.1 ио. (17)
Пределы интегрирования для каждого элемента 0, I е i + 1^, i е 1^-1 определяются из (15)
1,1 I
-ти =-22 02£к11г < Vно <
1 1
(18)
где щг — элемент матрицы H 0, находящийся на пересечении строки с номером «l» и столбца с номером «г». Поскольку H0 — верхняя треугольная матрица, У/г;г = 0, Vr є 1, — 1.
Окончательный вариант (14) с учетом (15)-(18) имеет вид
L(L—1) L _L-i L
р(<зn)=C32 4 Ц2 exp{-0aha} ГІ bux
i=1 /=i+1
^il L(L-1) L ^ L~l
X J exp |-|Viiof2-1} dvil0 = C32 4 П 0ii 2 x
exp {-0 ¡ha} п bii (k/k)
i=1
L(L—1)
4
l=i+1
x J exp|-|Vil012 2 1 }dVil0 =
-in
L(L—1) L L-i
= сзЛ 4 П®ii 2 zi(xi)exP{—9iik^ii
(19)
i=1
где c3 = C1C2; Zi (X; ) = П erf fcil/J*
l=i+l
1
і їй
erf(Х;
WV2) = (2я) 2 J expj-|V;Zo|22 1|dV;
il 0
— интеграл вероятностей.
Таким образом, плотность распределения (16) определяется формулой
Р(н ц) =
3L ç
______
L-1 L
= c1
2L П ^ 2 2 *5 Kç ) П П - 0« )2
Ç = 1 i=1 l = í + 1
L(L—1)
я 4 Г(р)...Г(р - L + 1)|(-)J :exp|-0 çç j
(20)
Область интегрирования конечна, так как V8ц G Kç различны с вероятностью 1 и упорядочены по величине_8П > 822 > ••• > 9££, так что а < 0ii < Pii, Vi G 1,L. Как следствие, V(a;, p; ] не перекрываются, т. е. V(a ;, Pi ПКв ] = 0.
гой стороны, trIC^ = tr \ > 8П. Вычисление интеграла в (9) при больших p и L представляет весьма сложную задачу.
Обращаясь к (20), замечаем, что V0й являются зависимыми случайными величинами, так как р((-)^) не может быть представлена в виде произведения ПРВ р(0ц), i g1,L. Зависимость p((-) ^) от матрицы заключается в коэффици-
ентах Uçn.
Заключение
В результате анализа адаптивных алгоритмов (2)-(5), реализующих процедуру ортогонализа-ции Грама—Шмидта, впервые получены выражение (8) для совместной плотности распределения выборочных значений весовых коэффициен-
тов и дисперсий выходных напряжений, формируемых на выходах фильтров-ортогонализаторов, а также формула (20) для совместной плотности распределения выборочных дисперсий выходных напряжений, формируемых на выходах фильт-ров-ортогонализаторов. Последняя отличается от известной многомерной плотности распределения выборочной ковариационной матрицы Уи-шарта (7). На основании (20) можно утверждать, что оценки дисперсий выходных напряжений адаптивных фильтров-ортогонализаторов являются зависимыми случайными величинами.
Скорость сходимости предложенных алгоритмов такая же, как у всех известных адаптивных алгоритмов, реализуемых методом прямых вычислений [2, 3].
Литература
1. Лексаченко В. А., Шаталов А. А. Синтез многомерного выбеливающего фильтра по методу Грама— Шмидта // Радиотехника и электроника. 1976. Т. 21. № 1. С. 112-119.
2. Давыдов В. С., Лукошкин А. П., Шаталов А. А., Ястребков А. Б. Радиолокация сложных целей. Разрешение и распознавание. — СПб.: Янис, 1993. — 280 с.
3. Haykin S. Adaptive Filter Theory. 4th edition. — Prentice Hall, 2002. — 936 p.
4. Шаталов А. А., Ястребков А. Б., Селезнев Б. Н. Быстродействующие алгоритмы адаптации многомерных адаптивных выбеливающих фильтров // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 29. № 1. С. 36-42.
5. Шаталов А. А., Авдеев А. Г. Многомерные адаптивные предпроцессоры и их статистические характеристики // Радиотехника. 2004. № 11. С. 12-19.
