CC BY
14Радиолокационные системы
УДК 621.396
Чувствительность адаптивных алгоритмов подавления радиолокационных помех к ошибкам оценивания их корреляционных матриц
Кошелев В.И., Холопов И.С., Штрунова Е.С. Аннотация: Проанализирована эффективность адаптивных алгоритмов подавления пассивных и активных радиолокационных помех в условиях априорной неопределенности относительно их спектрально-корреляционных свойств. Показано, что выбор порядка адаптивного фильтра подавления пассивных помех во многом определяется объемом выборки, используемым для оценки корреляционной матрицы помех, непосредственно связанный с ошибками ее оценивания. Рекомендуется использовать адаптивные режекторные фильтры порядка не более 3, поскольку при дальнейшем увеличении порядка он начинает проигрывать неадаптивным фильтрам, синтезированным по минимаксному критерию. Показано, что эффективность адаптивного пространственного двухэтапного алгоритма защиты от активных шумовых помех имеет выигрыш до 2 дБ перед оптимальным алгоритмом в условиях априорной неопределенности.
Ключевые слова: коррелированные помехи, активные шумовые помехи, адаптивные режекторные фильтры.
Sensitivity of adaptive algorithms of suppression of radar-tracking clutters to errors estimation their correlation matrixes
Koshelev V.I., Kholopov I.S., Shtrunova E.S. Abstract: The efficiency of adaptive algorithms suppressions of passive and active radar-tracking clutters in the conditions of aprioristic uncertainty concerning their spectral-correlation properties is analysed. It is shown, that errors estimation a correlation matrix of a clutter impose restriction on use of adaptive filters at the small volume of sample which are taken away on an estimation. The recommendation to use adaptive band-elimination filters of an order no more than 3 as at its further increase the best suppression of clutters is provided with the filters calculated by minimax criterion is led. It is shown that the efficiency of the adaptive spatial two-stage algorithm for protection against the active noise clutters is 2 dB gain to the optimal algorithm of aprioristic uncertainty.
Key words: correlated clutters, active noise clutters, adaptive band-elimination filters.
Введение
Защита радиолокационных систем (РЛС) от преднамеренных помех рассматривается как одна из актуальных проблем современной радиолокации [1]. Практика применения средств радиоэлектронной борьбы показывает, что наибольшую эффективность подавления РЛС обеспечивают комбинированные маскирующие помехи: активные и пассивные.
Цель работы - исследование чувствительности адаптивных алгоритмов защиты РЛС от комбинированных маскирующих помех к ошибкам оценивания их корреляционной матрицы.
Статистическое описание сигналов и помех
В общем случае из антенной системы в приемное устройство импульсной РЛС с секторным сканированием поступает аддитивная смесь полезного сигнала, отраженного от воздушного объекта, комбинированных помех и собственного шума приемника. При наличии маскирующих помех и отсутствии имитирующих модель сигнала и(0 на входе приёмника РЛС можно представить выражением
"(О = gsS(t) + grPп(t) + gcPa(t) + "(О, (1)
где s(t) - полезный сигнал, отраженный от цели, р„(0 - коррелированная (пассивная) помеха, ра(0 - активная шумовая помеха (АШП), «(О - собственные шумы приемного устройства, для описания статистических свойств которых, как правило, используется модель белого гауссовского шума (БГШ), gs, ёп, ga - множители, принимающие значения {0, 1} и определяющие наличие либо отсутствие сигнала (помехи) в аддитивной смеси (1).
Полезный сигнал и коррелированные помехи являются узкополосными процессами. Как показано в [2], спектральная плотность мощности (СПМ) отражений от распределённых пассивных помех (подстилающая поверхность, облака дипольных отражателей, гидрометеоры) хорошо аппроксимируется гауссовской кривой:
/ = ехр{-2,8 [(/--/о)/А/]2}, (2)
а элементы корреляционной матрицы (КМ) рассчитываются по формуле
р(/, к\ = ехр{-л2[Л/Г(/ - к)]2/2,8}, (3) где /0 - рабочая частота радиолокатора, А/ -ширина спектра по уровню 0,5, А/Т - относительная ширина спектра. СПМ помех от сосредоточенных радиоотражающих местных предметов (трубы, опоры линий электропередач) хорошо аппроксимируется резонансной кривой
/ = {1 + [2/-/о)/А/]2}-1, (4)
а соответствующее (4) выражение для коэффициентов КМ имеет вид
р(/, к)р = ехр{-рАТ - к|}. (5)
В [3] отмечено, что спектр отражений от воздушной цели в большинстве случаев также удобно аппроксимировать резонансной кривой.
Для описания спектрально - корреляционных свойств помех, промежуточных между двумя крайними случаями аппроксимации (2), (3) и (4), (5), могут использоваться либо их весовая сумма, либо математический аппарат марковских га-связных моделей.
Известно [4], что в зоне Фраунгофера сигнал, принимаемый элементами фазированной антенной решетки (ФАР), повторяет форму углового спектра функции рассеивания. Экспериментально установлено [5], что элементы межканальной КМ преднамеренной АШП и отраженного от цели сигнала при пространственной обработке в РЛС с линейной ФАР соответствуют аппроксимации углового спектра гауссовской кривой
р(/, к)дши = ехр{-п2[АиЛа - к)]2/2,8} (6) и резонансной кривой
р(/, к)с = ехр{-яАиД^' - к|}, (7) где АисДх, АипДх - относительная ширина углового спектра сигнала и АШП соответственно, ^ - межэлементное расстояние по координате х; Аис,п = ЬЛс,п, Ь - линейный размер ФАР по координате х, ^с,п - длина волны сигнала и АШП соответственно.
Характеристики устройств подавления помех
Известно [1], что коэффициент подавления (КП) коррелированной помехи фильтром с вектором весовых коэффициентов (ВВК) W описывается величиной
кп = кп^) = WTW / WTRПШW (8) и принимает максимальное значение в том случае, когда W является собственным вектором КМ Rпш = Rп + II, соответствующим ее минимальному собственному значению, где Rп - КМ помехи, вычисляемая в зависимости от её происхождения по (3), (5) или (6), I - единичная КМ БГШ приёмника, 1 -отношение шум-помеха по мощности. Для характеристики эффективности подавления помех в РЛС также вводится коэффициент улучшения (КУ) отношения сигнал-(помеха+шум) (ОСПШ) т [6],
т = т^) = (1 + 1)wнRcW / wнRпшW, (9) где Rс - КМ сигнала, вычисляемая по формулам (5), (7).
Для подавления АШП оптимальный ВВК, определяющий амплитудно-фазовое распре-
деление на раскрыве "-элементной ФАР, будет являться собственным вектором, который соответствует максимальному собственному значению матричного произведения Rвх = Rпш-1Rc. Собственные числа и собственные векторы матрицы Rвх находятся из характеристического уравнения степени п и системы п линейных уравнений соответственно:
- р1} = 0, RвхW = рЖ, (10) где det{•} - определитель матрицы.
Практическая реализация алгоритма, основанного на решении уравнений (10) затруднительна ввиду большого объёма вычислительных операций, связанных с обращением КМ помехи [6]. Данные ограничения могут быть сняты при оптимизации обработки на основе двухэтапной процедуры. Минимаксное представление собственных чисел матриц на основе теоремы Куранта-Фишера [7] и представление оптимального вектора обработки Ж в виде произведения Ж = БИ
m opt( w)=
H н DH R с DH
HH DH R...DH'
позволяет разделить алгоритм на два этапа.
Этап 1. Определение п-мерной матрицы Б формирования нулей (ФН) диаграммы направленности (ДН) ФАР. Элементы Б находятся по формуле
<^к _ у _1, т +1 > к -1, г > к,
1, г = к, (11)
0, г < к,
D
i ,k
где Оу = ^ ехр(1у7) - элементы т-мерного вектора С ФН ДН, который соответствует собственному вектору минимального собственного значения т-мерной подматрицы Апш КМ помехи. Подматрица Апш образуется вычеркиванием п-т последних строк и столбцов КМ помехи.
На рис. 1 показаны зависимости отношения шум-АШП у = СнС/СнАпшС на выходе системы ФН от размерности вектора обработки С для линейной ФАР N=10 в условиях
действия 3 = 1..5 источников помех с одинаковым значением Дипйх = 0,01 при X = -30дБ и Дис^Х = 0,01, а на рис. 2 - при действии одного источника АШП для ДпхДх = 0,01...0,15.
Для подавления АШП достаточной размерностью при 3 = 1 и 3 = 2 является торХ = 2, 3 = 3 - торХ = 3. Применение размерности т > торХ нецелесообразно ввиду отсутствия существенных изменений отношения шум-АШП при увеличении т, поскольку при этом уменьшается размерность вектора формирования основного лепестка ДН, что приводит к ухудшению качества приёма полезного сигнала. При действии одного источника АШП расширение углового спектра АШП с 0,05 до 0,1 приводит к необходимости увеличения порядка ФН до 3, а с 0,1 до 0,15 - до 4.
Этап 2. Оптимизация (п-т)-мерного вектора формирования основного лепестка ДН Ь при определённой матрице Б. Данная оптимизация является разновидностью задачи со связями [8]. Максимальное собственное зна-
чение цдв определяется из характеристического уравнения
ёе1;{[В^пшО]-1[В^сВ]-Цдв1}=0, (12)
где [•] - операция вычеркивания т строк и столбцов, а вектор формирования основного лепестка ДН ФАР Ь, являющийся собственным вектором для этого собственного значения, - из системы п —т линейных уравнений [Б^пшВ]-1[ВнВДЬ=ЦдвЬ. (13) Коэффициент улучшения ОСПШ двух-этапного алгоритма примет вид
Ьн [Бн R с Б] Ь
m
(14)
Ь н [Бн R пш Б] Ь
Выражения (8), (9) и (14) позволяют рассчитать предельно достижимые значения КП и КУ при наличии априорной информации. При её отсутствии в соответствии с адаптивным байесовским подходом возможна замена неизвестной КМ Rпш её оценкой пш, что приводит к потерям в эффективности подавления помех.
Известно, что совместная плотность вероятности распределения элементов оценочной КМ подчиняется распределению Уишарта [8]
_
w(V| N, R) = С|R| 2 |y| x exp
N _ k _1 2 X
-2tr( R-1V)
(15)
где V = пш =(и - М{и})(и - М{и})т - оценочная КМ, ! - истинная КМ, к - размерность вектора выборок и входного процесса (при квадратурной обработке к = 2), С - нормирующий множитель,
-1-1
М кй-) к ( N +1 - / V 1
с _ О 2 „ 4 ПГ "Т1 J
Nk k (k _1) k
2 2 p 4 Ц Г
j=1
2
Г( х) = | е-Чх ~1йг - гамма-функция по Эйлеру.
о
Выполнив интегрирование (15) по всем элементам матрицы V, кроме принадлежащих первой диагонали, / - к| = 1, можно получить выражение для плотности вероятности распределения оценки межпериодного
коэффициента корреляции рп смеси (помеха + шум)
аддитивной
N _ 4
N _1
W(PпШ N, Р) =
2 N _3(1-
ц2) 2 (1 _Р2) 2
p( N _ 3)!
x
x £ (2РпшР)' Г2
s=0 s!
rN + s _ 1Л
V
2
Выполнив аналогичным образом интегрирование (15) по другим элементам оценочной матрицы, можно построить графики (рис. 3) зависимости среднеквадратической ошибки (СКО) элементов оценочной КМ а|/ - к| = сОш1 от длины N выборки, отводимой на оценивание. Зависимости получены для гауссовской аппроксимации СПМ помехи с элементами КМ, вычисляемыми по формуле (3).
Из приведённых на рис. 3 зависимостей видно, что СКО величины оцениваемого
элемента матрицы рпш (-, к) относительно истинного рпш(/, к) при фиксированной длине выборки N возрастает по мере удаления элемента от главной диагонали матрицы !!пш, что связано с уменьшением количества отсчетов выборки, участвующих в вычислении оценочного значения. Погрешность оценивания рпш (/, к) при фиксированном N тем меньше, чем меньше относительная ширина спектра помехи.
Для определения влияния погрешности оценки элементов КМ на КП (8) и КУ (9), (14) введём параметрическую модель оце-
ночной КМ пш . Параметром модели будет выступать СКО оценки коэффициента корреляции а.
Увеличение погрешности при оценке коэффициентов корреляции по мере удаления от главной диагонали, в соответствии с зависимостями рис. 3, предложено описывать функцией вида
аХ1у _ к?т(Хи _ к|)
Рпш ( j> k) + -
Р пш ( j> k )=-
Рпш ( j> k)
max
j ,k
Рпш ( j> k )+-
j - k|Sign(Xi/ - k|)
\j - kW
sign(xi/ - k|) =
' - функция знака.
Рпш ( у, к )
где пш (у, к) и Рпш(/, к) - элементы соответственно оценочной и истинной КМ, а - СКО коэффициента корреляции рпш (у, к) \у-к\ = 1, Ху-к| - |/-к|-й отсчёт случайной величины, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией,
[1 _ к|> о,
10, Х|у_к|< 0
Весовой множитель 1/рпш(/, к) учитывает увеличение СКО при увеличении номера диагонали |/-к|, а функция знака 81^(Ху-к|) позволяет обеспечить одинаковый знак случайной ошибки для всех диагоналей модели оценочной КМ.
Результаты анализа
Влияние ошибки оценивания элементов КМ а на эффективность подавления пассивных помех исследовалось для трёх устройств борьбы с коррелированными во времени помехами:
1) фильтра череспериодной компенсации (ЧПК) с элементами ВВК Wк = (-1)кр!/[к!(р-
к)!], к = 0, р -1, где р - порядок фильтра ЧПК;
2) оптимизированного режекторного фильтра (РФ) с фиксированным ВВК, выбранным по критерию минимакса для диапа-
зона изменения относительной ширины спектра помехи 0,02 £ А/Т £ 0,1;
3) адаптивного РФ с ВВК, являющимся собственным вектором, соответствующим минимальному собственному значению
КМ пш .
Результаты статистического моделирования показали, что уже при а > 10-4 адаптивный РФ, начиная с р = 4, уступает не менее 4 дБ по КП как оптимизированному РФ с фиксированным ВВК, выбранным по критерию минимакса, так и фильтру ЧПК аналогичного порядка. При а > 10-3 аналогичный проигрыш наблюдается при р = 3 (рис. 4).
С точки зрения выходного отношения сигнал-шум и времени, необходимого для получения оценки межканальной КМ АШП, при предъявлении одинаковых требований к её точности оценивание целесообразно проводить только по помеховой составляющей входной реализации. Поэтому оценку межканальной КМ АШП целесообразно проводить при работе РЛС в пассивном режиме, либо в активном режиме путём выбора временных и частотных интервалов, свободных от полезного сигнала и пассивных помех [2].
При исследовании чувствительности к ошибкам оценивания элементов КМ а пространственно коррелированных АШП рассматривались адаптивные пространственные алгоритмы защиты РЛС на основе ФАР: оптимальный (10) и двухэтапный (11)—(14).
На рис. 5 изображены зависимости КУ ОСПШ от размерности КМ п, построенные для параметров: ДппДх = 0,05; Ды^х = 0,01; 1 = -30 дБ для оптимального - 1; 3 и двухэтапного алгоритма - 2; 4 при аналитической и оценочной КМ
Из рис. 5 следует, что при аналитических исследованиях двухэтапный алгоритм проигрывает порядка 1-2 дБ оптимальному, в то время как в реальных условиях априорной неопределенности при оценивании КМ АШП, начиная с порядка матрицы п = 6, имеет выигрыш до 2 дБ.
Заключение
Как следует из полученных зависимостей, применение основанных на оптимизации вектора весовых коэффициентов адаптивных алгоритмов борьбы с пассивными радиолокационными помехами оправдано для режекторных фильтров с порядком не выше трёх. С целью минимизации вычислительных затрат на реализацию алгоритмов обнаружения сигналов на фоне пассивных помех в таких условиях предпочтительнее использование
оптимизированного режекторного фильтра с вектором весовых коэффициентов, выбранным по критерию минимакса.
В условиях действия активных шумовых помех адаптивный двухэтапный алгоритм при числе элементов фазированной антенной
решетки более 6 имеет большую устойчивость к ошибкам оценивания межканальной корреляционной матрицы помехи, что свидетельствует о возможности снижения требования к точности оценки. Применение двухэтапного алгоритма подавления АШП позволяет снизить вычислительные затраты [9] и требования к точности представления элементов вектора обработки, что даёт возможность его практической реализации.
Литература
1. Куприянов А.И., Сахаров А.В. Теоретические основы радиоэлектронной борьбы. М.: Вузовская книга, 2007. 356 с.
2. Бакулев П.А., Степин В.М. Методы и устройства селекции движущихся целей. М.: Радио и связь, 1986. 283 с.
3. Edrington T.S. The Amplitude Statistic of Aircraft Radar Echoes // IEEE Trans. Military Electronics MIL-9. 1965. No. 1. pp. 10-16.
4. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с.
5. Денисов В.П., Дубинин Д.В. Фазовые радиопеленгаторы. Томск: ТГУСУР, 2002. 251 с.
6. Кошелев В.И., Попов Д.И. Синтез систем когерентно-весовой обработки сигналов на фоне коррелированных помех // Радиотехника и электроника. 1984, Т. 29. № 4. С. 789-792.
7. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 272 с.
8. Фомин Я.А., Тарловский Г.Р. Статистическая теория распознавания образов. М.: Радио и связь, 1986. 264 с.
9. Кошелев В.И., Штрунова Е.С. Оценка вычислительных затрат при реализации алгоритма защиты радиолокационных систем от активных шумовых помех // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. 2011, № 2. С. 39-41.
References
1. KupriyanovA.I., SakharovA.V. Teoreticheskie osnovy radioelektronnoy borby [Theoretical of electronic warfare], Moskva: Vuzovskaya kniga, 2007, 356 p.
2. Bakulev P.A., Stepin V.M. Metody i ustroystva selektsii dvizhushchikhsya tseley [Methods and devices of moving-target selections], Moskva: Radio i svyaz, 1986, 283 p.
3. Edrington T.S. IEEE Trans. Military Electronics MIL-9, 1965, 1, pp. 10-16.
соответственно
4. Vinogradova M.B., Rudenko O.V., Suhorukov A.P. Teoriya voln [Theory of waves], Moskva: Nauka, 1979, 384 p.
5. Denisov V.P., Dubinin D.V. Fazovye radiopelengatory [Phase radio direction finders], Tomsk: TGUSUR, 2002, 251 p.
6. Koshelev V.I, Popov D.I. Radiotekhnika i elektronika, 1984, 29, 4, pp. 789-792.
7. Lankaster P. Teoriya matrits [The theory of matrixes], Moskva: Nauka, 1982, 272 p.
8. Fomin Ya.A., Tarlovskiy G.R. Statisticheskaya teoriya raspoznavaniya obrazov [The statistical theory of fashions recognitions], Moskva: Radio i svyaz', 1986, 264 p.
9. Koshelev V.I, Shtrunova E.S. Radiotekhni-cheskie i telekommunikatsionnye sistemy, 2011, 2, pp. 39-41.
Поступила 02 августа 2012 г.
Информация об авторах
Кошелев Виталий Иванович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой радиотехнических систем ФГБОУ ВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет».
E-mail: koshelev v.i@rsreu.ru.
Холопов Иван Сергеевич - кандидат технических наук, доцент ФГБОУ ВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет».
E-mail: kholopov.i.s@rsreu.ru.
Штрунова Екатерина Сергеевна - аспирант ФГБОУ ВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет».
E-mail: shtrunova.e.s@rsreu.ru.
Адрес: 390005, г. Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
Koshelev Vitaliy Ivanovich - the doctor of technical sciences, the professor, the head of the department of radio engineering systems. "Ryazan state radio engineering university".
Kholopov Ivan Sergeevich - the candidate of technical sciences, the reader of the chair of radio engineering systems. "Ryazan state radio engineering university".
Shtrunova Ekaterina Sergeevna - the post-graduate student of the chair of radio engineering systems. "Ryazan state radio engineering university".
Address: 390005, Ryazan, Gagarina St., 59/1.
