Числовые характеристики ДНФ случайных частичных булевых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.68: 681.513.7

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДНФ СЛУЧАЙНЫХ ЧАСТИЧНЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

© Махина Г.А.

Таврический национальный университет им.В.И.Вернадского

факультет математики и информатики

пр-т Вернадского,4, г.Симферополь, Крым, Украина, 95007

e-mail: gmakb¡na@yandex.ru

Abstract. Partial boolean functions taking their values 0, 1 and — with a probability equal to 1/3 are considered. The lower and upper bounds on the length of minimum DNF representation of such functions are obtained in the paper.

Некоторые задачи распознавания образов сводятся к построению тупиковых, сокращенных или миниальных ДНФ частичных булевых функций (см. [2]). Информация о метрических свойствах таких функций может значительно ускорить поиск оптимальных решений. Обзоры по оценкам метрических параметров для почти всех функций алгебры логики можно найти в работах [1, 3, 4]. В статье [4] получена нижняя оценка среднего значения сложности тупиковой ДНФ частичной булевой функции. В данной работе рассматриваются частичные булевы функции /, принимающие каждое из значений 0, 1, — с вероятностью 1/3.

Пусть . 1 = {<7|.....<7.„} конечное множество, ф - функция, ставящая в соответствие каждому а Е А неотрицательное число ф(а). Будем обозначать через

среднее значение функции ф на множестве А.

Лемма 1. Пусть 0 > О и 6д - доля тех а £ А, для которых ф(а) > Оф. Тогда 5д < Доказательство.

Введение

1. Вспомогательные результаты и определения

ф = Ф(А) = -^2Ф(«>)

а: ф(а)>вф

откуда и получаем утверждение леммы.

Обозначим через а>(и) число ребер из F, содержащих вершину v.

Лемма 2. Пусть Н = (V, - гиперграф с п вершинами. Пусть ^ С £", < т, а У С V - множество всех вершин V, для, которых а>(г>) > 5. Пусть е > 0 таково, что |У| > (1-е)п. Тогда длина всякого градиентного покрытия, гиперграфа Н не превосходит

т пзе 1 + 6 п Н--111-.

5 т

Доказательство данной леммы можно найти в [4].

2. Оценки среднего значения и дисперсии интервалов

размерности к

Пусть функция / : Вп ->• {0,1,-} не каждом наборе с вероятностью 1/3 принимает каждое свое значение независимо. Обозначим класс таких функций через Р

1 п-

Интервалом функции будем считать грань куба, в которую не попал ни один ноль и которая содержит, по крайней мере, одну единицу.

Утверждение 1. Пусть г1к(/) - число интервалов размерности к функции / из класса Рп и пусть гк = ф- ч(Л- Тогда

Ч

(1)2п-к (22к - 1)

З2*

Доказательство. Пусть ^ = |1,. ] = 1. - множество всех граней размер-

ности к куба Вп.

Введем функцию:

{\. если I I Нр,

'' ' [О, если / С М; и / £ Nf и Мр

определенную на парах (I, /), где I е ^ и / е Рп.

Пусть Ф(I) - число функций / Е /',. таких, что <(/•./) = 1. Тогда

^ = ш) = ^ЕЕ<(/--/') = ¿г Е ф(/)-

Нетрудно подсчитать, что

ф(/)= (2^1) з2"-2".

Поэтому

(«)2«-Лз2"-2к (22* - 1) {1)2п-к (У -1)

%к ~ 32" — 32^ '

что и требовалось доказать. □

Утверждение 2. Пусть Dik(n) = J^fpp (h(f) ~ h(n))2 - дисперсия параметра

I Рп I J t п

ik(f). Тогда

^ (S Ejtü ^ ((§)* _ ^ _ 22Ч1 ((|)2J _ 1) + _

Доказательство. Пусть G™ - множество fc-мерных граней куба Вп.

Рассмотрим функцию е(/,/',/), определенную на тройках вида (1,1', f), где I, I' Е и/бР„ такую, что

, , „ f 1. если I U Г С Nf U iVf-, J <t Nf и Г <t Nr,

eil, I . J ) = < , , ^

[0, если / С iV;, Г С Nf~ и I U Г £ Nf U N).

Пусть Ф(/,/') - число функций ./' С /', таких, что / J /' С iV^ U iV^, / iV^- и I' £ iVj.

Если |/ П J'| = 2j, то

Ф(/./') = 32"-2fc+1+2J (22fc+1-2J - 22fc-2J+1 + l) = Ф,,

Если же 11 П V| = 0, то

Ф(/./') = *-'" (22^1)2 = Ф0

Преобразуем выражение для Dik(n):

I «I \\ n\ f£pn J

Подсчитаем S = Vp/¡.(/). Имеем:

fepn i,i'e&g j=o VJ/ v J/ v J/

\ \2 fe/\ / _ д / _ /.

к) ) \jj jj \k- j

Л1-^ — (п\(к\ j) \k—j) \k) \jj

Здесь было использовано равенство (") = ("к) Заметим, что

Ф0 = 32"-2к+1 (22* - I)2 2

'©2"-* (22" - 1

З2*

То ГД8.

_ 2 \Рп\ (гк(п))

Ф, - Ф0 = 32п-2к+1 (г2'+1 - 22'г+1 + 3* - 22к+1-* + 22к-*+1 - 1

I 02к+! \ ( Л\ _ I I _ 22к + 1 [ ( - | - 1 | + З^' - 1

V \ / /о\ 23

2/

С^тсюдэ^

(I) (г2'" ((1)" -1) - ((1)" -1) - х)

что и требовалось доказать. □

Теорема 1. Пусть Ф(п) —>• оо при п —>• оо. Тогда для почти всех функций /(хп) из класса Рп число к-мерных интервалов удовлетворяет неравенствам:

2п-к (-у-к _ |

ВС ^

п

2п-к I -у-1' _ |

'2п-к ^2к _ 1)

< Ы ^ у +ф(И)у з» 1 (2Л)

Доказательство. Воспользуемся неравенством Чебышева, положив О = Ф(п) (£) "• Необходимо показать, что £>г,^п'> —>■ 0 при п —>■ сю.

Заметим, что /)//,.(//) = —-3, где

2к+1 / / 34- _ Л _ 02Ч1 I /НУ _ Л « о 2-1

Величина а^ возрастает по так как

«ж _ 1 а*(а*-1)(1-Щ", > ^

а, 2 ^ \2/ ((1)^ - 1) - 2^+1 ((|)2' - 1) +32' - 1

Следовательно,

Отсюда < ф2^у —>■ 0 при п —^ сю, что и требовалось доказать. □

Следствие 1. У почти всех функций f(xn) из Рп пет интервалов размерности большей, нем [log2(nlog3//2 2)~|.

Положим k0 = [log2(nlog3//2 2)] и пусть Ф(п) = п Тогда

п

'feo+1<U + i/\ 32fc0+1 +nV 32fc0+1

Выражение в правой части стремится к нулю с ростом п. Следовательно, у почти всех функций f(xn) нет интервалов размерности [log2(nlog3//2 2)], а значит и интервалов большей размерности.

Следствие 2. Для почти всех функций

2п /2" , , 2" /2"

--Щ — < ^f <--1- Щ —

3 V3—1 — 3 V3

Заметим, что \Nf\ = /¡,(/). Тогда утверждение вытекает из Теоремы 1, если положить в ней Ф(п) = п.

Следствие 3. Пусть k\ = [log2 log3//2 п + log2 log2 log3//2 n~\, a QkAf) ~ число вершин ä G Nf, содержащихся хотя бы в одном, интервале функции f размерности, большей чем к\. Тогда у почти всех функций

Qkdf) < • 2",

где 5п —>• 0 при п —>• оо.

В самом деле, пусть Q'kl(f) - число вершин о. Е Nf, содержащихся хотя бы в одном интервале функции / размерности, равной k\ + 1. Ясно, что Qki(f) = Q'ki(f) — 2fel+1«fe1+i(/), но у почти всех функций

^ / 2» /. I I (2'-1,1'1 _ \ 1//2N

ik1+i(f(xn)) < ik1+i(n) 1 + Ф(n) -

Полагая Ф(п) = п, получим для произвольного е и достаточно больших п

<?*(/) < 2fel+1-—----L(l+e) < J2» (j) (1 +e) <

\ -21og3/2nlog2log3/2ii

/ о \ log3/2 n log2 log3/2 n

< (1 + e)nkl+l2" ( - J < log2 log3/2 n ■ 2r

где 8п —>■ 0 при п —>■ оо.

Следствие 4. Пусть к2 = [1°б2 1°6з/2 п\ > ~ число всех интервалов функции /. Тогда для почти всех функций /(хп)

22fc2 | \ ч / 02fc2+!

■<л-| g +u; j ) »+

где 6п —>• 0 прм п —>■ оо. Рассмотрим отношение

= 4+l(n) = (n-fc) (22fe+1) ik{n) 2(k + l) 32fc '

Ясно, что А/; —>• оо при fc < и Л^ —>■ 0 при к > к2. Для достаточно больших п имеем А*, > 1 при к < к2 и А^ < 1 при к > к2. Поэтому тах^ гк{п) достигается либо при к = к2 либо при к = к-, I 1.

Полагая в (2.1) Ф(п) = п, получим, что для почти всех функций f(xn) и к < [log2(nlog3/22)l

ik(n)( 1 - Sn) < ik(n) < ik(n)( 1 + Sn),

где Sn —>• 0 при n —>■ oo.

Суммируя эти неравенства по fc, 0 < fc < [log2(nlog3//2 2)] и учитывая, что Хк > пс, с > 0 при к < к2 и Хк < (log2 log3/2 n)-1 при к > к2, получим, что для почти всех функций

(Jk2(n) +ik2+1(n)) (1 - S'n) < i(f) < (Jk2(n) +ik2+1(n)) (l + O, где S'n —>• 0 при n —У oo.

Следствие 5. Для почти всех функций f(xn)

Вытекает из предыдущего следствия.

Следствие 6. Для почти всех функций f(xn) число .максимальных интервалов не превосходит n(1-°(1)) log2 log3/2 " 2«.

На рисунке 1 показана зависимость гп(к) от к. Из теоремы 1 вытекает, что для почти всех функций f(xn) параметр гп(к) зависит от к подобным же образом.

Следствие 7. Пусть Iм(f), l(f) - длины, a L(f), LK(f ) - сложности минимальной и кратчайшей д.н.ф. функции f. Тогда для почти всех функций f(xn)

¿M(/) = W + U Lk(f) = L(f)(l + 6'n), L(f)=nl(f)(l + %),

где Sn, S'n, S" —>• 0 при n —>• оо.

Рис. 1, Зависимость гп(к) от к.

В силу следствия 1 имеем: (п - riog2(nlog3/22)l)/(/) < (п - Г1оё2(п1оёз/22)1)^(/)) < L(f) < Lk(f) < nl(f). Отсюда и вытекает утверждение.

3. Нижняя ОЦЕНКА КРАТЧАЙШЕЙ Д.Н.Ф.

Из предшествующих результатов следует, что для получения асимптотических оценок параметров Iм(/), 1(f), L(f), Lh (/) достаточно найти асимптотическую оценку одного из этих параметров, например, 1(f).

Теорема 2. Для почти всех функций f(xn)

СП 2" f/r. с 2"

L(f) > --:-:-, 1(f) > --:-:-,

3 log3/2 п log2 log3/2 п 3 log3/2 п log2 log3/2 n

где 1/2 < с < 1.

Доказательство. Рассмотрим множество P't функций / G Рп, обладающих следующими свойствами:

1.

2. <?*,(/) < ?7Г(1+о(1))1"821(16З/2«2и.

Из следствий 1-3 вытекает, что lim^oo |Pr'|2-'2" = 1.

Покажем, что для всякой функции / G P't любое покрытие множества Nf интервалами имеет мощность, большую 31(lg ^ i»g ^тг ^ самом деле, из свойств (1) и

(2) вытекает, что по меньшей мере ^(1 — о(1)) вершин множества Nf покрываются

лишь интервалами размерности не большей, чем к\ = |"1с^2 1с^3/2 п+1с^2 log2 1с^3/2 п\. С^тсюдэ^

1(/)>ШфУ1>

З1(^3/2П к^2к^3/2п

□

4. Верхняя оценка кратчайшей д.н.ф.

Оценим сверху длину кратчайшей д.н.ф. для почти всех функций / Е /',,. Пусть Рп(а) - множество всех функций / £ Р„, таких, что /(5) = 1. Очевидно, Рп(&) = З2"-1. Пусть сЗк(а) - множество А:-мерных граней куба Вп, содержащих

вершину а. Обозначим через /) число ^-мерных интервалов функции /, содержащих вершину а. Пусть

Щ(п) = 3-2"+1

/еРп( 5)

/>'*(/') = 3 • 1 ]Г (Ук(а, /) — Ук(п)). /еРп(а)

Утверждение 3.

= СО (I) '

Доказательство. Аналогично тому, как это делалось при доказательстве утверждения 1, получаем, что

%(п) = з-2П+1 £ ф(/).

где Ф(I) - число функций / С /',. таких, что I С Nf.

Если I Е //¿'(<>). то Ф(/) = З2"-2" 22"-1 = З2"-1 '. Отсюда

/■ \ /о\ 2к-1

йк(п) = [ к

Покажем теперь, что БУк(п) < 3_2"+1 ^ Ф(/,/'), где Ф(1,1') - число функций / Е Рп, для которых грани 1,1' из ^(5) являются интервалами функции /, а суммирование ведется по всем парам граней I, I' таким, что I П I' Ф {5}, I, I' Е &к(а). В самом деле,

Вук(п)= (з-2"+1 £ /) ) - У'1(П).

/еРп(а)

Оценим сверху ^/ерп(3) vl(a; /)■ 11 б 1УД Pi Q видеть, что

№/)= Е Е e(J'J''/)'

где ((/ . /'. /) = 1, если J U J' С Ж/, и е(/, /', /) = 0, если / J /' Ж/. Поэтому

Е Е Е е(/,/',/) = Е<адп

IeG™(5) f£Pn(a) U'

где суммирование ведется по всевозможным упорядоченным парам граней I, V из

GE4S).

Разобьем последнюю сумму на две Si и S2, где

sl= е $(J'J')' Е $(J'J')-

/п/'={5} /n/V{5}

Если I П Г = {а}, то имеем Ф( /. /') = з2"-2^^1 22^+1-2 = 32" 1 2. Отсюда

получаем

0 СуУ-^ (0

Теперь видно, что

Dvk(n) = 3-2n+1(Si + S2) - v2k(n) < З2"-1^.

Оценим S2 ■

Пусть грани 1,1' Е Gk(a) пересекаются по грани размерности j. Тогда Ф(/.Л = * 1 (ff ' Имеем:

Положим cij = (^.Zf) (|) ■ Отношение

%+i_ (k^j)2 (¡f % (j + l)(n-2k + j + l)

меньше 1, если j < [log2 log3^2 n\, и больше 1, если к > j > [log2 log3^2 n\. Поэтому

ШЧГ)-

Таким образом, получаем

UJ 3 t( )

и

Dvk(n) < Щп) —

□

Следствие. Если k < k\ — 1 = |~log2 log3/2 n + log2 log2 log3/2 n] — 1, mo Dvk(n) < cloga"vl(n), где с - константа.

Утверждение 4. Пусть 1 < к < к\ — 1. Тогда доля 5п тех функций / Е Рп{а)> для которых \vkioc, /) — щ(п) | > ^^^(п), не превосходит

Доказательство, На основании неравенства Чебышева доля <5П функций / Е Рп(а), для которых /) — > 0 должна удовлетворять неравенству 5п < .

Положив 0 = ¡'^"l, получаем требуемое утверждение. □

Утверждение 5. Пусть f £ Рп и bk(f) - число тех вершин а Е iV/, для которая; /) — > ^g1 nVk(n). Пусть S'n - доля тез; функций, у которых

h(f) < ^2". Тогда 5' > 1 - г^.

1 V J / — Л п — log2 и

Доказательство. Оценим среднее Ък(п) = 3

Обозначим через Ф(й) - число функций таких, что а Е iV/ и /) - vk(n) | > Тогда 6fc(n) = З-2" SaeB« Ф(й). Заметим, что

Ф(5) = ¿„З2"-1 < clog2"32"~1. Отсюда получаем &&(/) < clog2"2".

В силу леммы 1 доля тех функций / Е Рп, для которых bk(f) > 1о^2"2" не превосходит logc п. Значит, доля тех функций /, для которых &&(/) < 1о^2"2", больше, чем 1 — logc п, что и требовалось доказать. □

Теорема 3. Для почти всех функций / Е Рп существует д.н.ф. D длины 1(D) < . с2" и сложности L(D) < . с"2"

^ — l°g3/2n — »°6з/2п

Доказательство. Рассмотрим подмножество С Рп всех функций f(xn), обладающих следующими свойствами:

1. Ityf^ + n^/f;

4 ,

2. 6fc(/) < ^2" для всех к < h - 2;

3. ikl-2(f) = L%)2n'kl+ J(1 + <*»), где 6п ->■ 0 при n ->■ оо.

1 -1|

32

Из следствия 4 и утверждения 5 вытекает, что почти все функции обладают

свойствами 1 и 2.

Свяжем теперь с каждой функцией / Е гиперграф Hf = (V,E), в котором V = Nf, a E совпадает с множеством всех интервалов функции f. Пусть F - множество всех интервалов размерности к = flog2 log3/2 п + log2 log2 log3/2 n\ — 2, a Y -

множество тех а Е Nf, для которых Vk(ct, /) > Vk{n) — щг^ ■ Положим б = 31о^2". Ясно, что условия Леммы 2 выполняются. Поэтому длина всякого градиентного покрытия гиперграфа Н не превосходит

х + l£g|n 2п + 2п-к1+2(1 + ln (3е2^-2(! + 6')) ^ fcl2«-*i+2 ~

п log 3/2п

Отсюда и вытекает утвер^ждение теоремы. СП

Таким образом, у почти всех функций f(xn) из класса Рп длина кратчайшей д.н.ф. удовлетворяет неравенствам

п9П пОп

-СЛ-< uf) <

3 logg/2 п 10g2 logg/2 п logg/2 П

Заключение

В работе получены нижние и верхние оценки кратчайших днф почти всех частичных булевых функций, принимающих каждое из значений 0,1, — с вероятностью 1/3.

Автор выражает признательность проф. Сапоженко А. А. за постановку задачи

и внимание к работе.

список литературы

1. Васильев Ю.Л., Глаголев В.В. Метрические свойства дизъюнктивных нормальных форм. Сб. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1974, С. 99206.

2. Журавлев ЮЖ. Об отделимости подмножеств вершин n-мерного единичного куба // Труды .M11A1I. 1958 г., том LI, С 143-157.

3. Сапоженко А.А. Дизъюнктивные нормальные формы. - М.: Изд-во Московского университета, 1975.

4. Сапоженко А.А., Чухров И.П. Минимизация булевых функций в Kjiciccc дизъюнктивных нормальных форм // Итоги науки и техники, Теория вероятностей, мат. статистика, теоретическая кибернетика, т. 25, М.: ВИНИТИ, 1987, С 68-116.

5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. - М.: Физ-матлит, 2004 г. 416 с.

6. Сапоженко А.А. Проблема Дедекинда и метод граничных функционалов. - М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2005. 124 с.

7. O'Connor L. A new lower bound on the expected size of irredundant forms for Boolean functions // Information Processing Letters, Volume 53, Number 6, 24 March 1995, pp. 347-353(7).

Статья поступила в редакцию 30.04-2008