CC BY
17
Численный метод решения систем линейных алгебраических уравнений
на основе метрического алгоритма
В.Н. Таран, Е.Ю. Бойко, А.М. Долженко Технологический институт (филиал) ДГТУ в г. Азове
Аннотация: В статье рассматриваются проблемы математического моделирования больших систем. Научная новизна работы заключается в реализации нового численного метода решения систем линейных алгебраических уравнений, основанного на целенаправленном хаотическом поиске, стохастических вычислениях и использовании облачных технологий. читателей.
Ключевые слова: системы линейных алгебраических уравнений, облачные технологии, самоорганизация, метрика.
1. Введение
Для решения прикладных задач и составления прогнозов в различных сферах деятельности в большинстве случаев используется математическое моделирование. Все математические модели в той или иной степени сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений. Так как при решении реальных задач в качестве входных данных используется огромное количество параметров, то системы становятся большими или сверхбольшими, что приводит к длительным и трудоемким вычислениям.
Для решения систем линейных уравнений вида A x=B существует множество методов. Их можно разделить на точные (позволяют найти решение за определенное количество шагов) и итерационные (позволяют найти решения в результате последовательных приближений). В отличие от точных методов, основным достоинством итерационных методов является том, что они могут применяться для решения больших систем. Наиболее распространенный метод решения таких задач - симплексный. Однако из-за громоздкости таблиц, содержащих большое количество неизвестных, и большого объема вычислительных работ, этот метод, как и многие другие, не всегда может применяться на практике. Другой метод решения таких систем
— метод декомпозиции (разложения), суть которого заключается в разложении исходной системы на подсистемы, для каждой из которых необходимо решать подзадачу меньшей размерности [1].
Но основная проблема заключается в том, что для решения сверхбольших систем требуется огромное количество времени и такая вычислительная мощность, которой пока еще не обладает ни один суперкомпьютер. Современные компьютерные технологии позволяют создавать сети с больших числом компьютеров, следовательно, появляется возможность для больших вычислений использовать облачные технологии. В последнее время технологии облачных вычислений приобретают большую популярность, а концепция CloudComputing является одной из самых востребованных мировых тенденций развития современных информационных технологий [2-6].
Авторы статьи предлагают использовать новый подход в решении систем линейных алгебраических уравнений, в основе которого лежит целенаправленных хаотический поиск, заключающийся в случайном переборе возможных решений, и использование облачных технологий.
2. Постановка задачи
Цель настоящей статьи - описать численный метод решения систем линейных алгебраических уравнений на основе метрического алгоритма.
В рамках проводимого исследования решены следующие задачи:
- разработан метрический алгоритм, позволяющий находить решения систем линейных алгебраических решений с заданной точностью;
- разработан численный метод решения систем линейных алгебраических уравнений, основанный на метрическом алгоритме;
- проведено программное кодирование данного алгоритма.
З.Описание метода
Необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений
вида:
,
где АЕ Еп X Е*\
Е- евклидово пространство, В £ Еп
Для решения этой задачи большой размерности п метод Крамера не применим. Действительно, точные методы решения применяют для систем уравнений порядка 1С4-, для итерационных - 10?. Среди приближенных методов наибольшее применение получили: метод Гаусса, метод отражений, метод простой итерации, метод Зейделя и т.д. Однако на практике очень часто приходится решать задачи, в которых размерность может достигать 10" и выше. В этих условиях традиционные методы не позволяют находить решения, т.к. требуются большие вычислительные ресурсы и время выполнения вычислений очень большое.
Поэтому в современном исполнении данная задача может быть решена с использованием множества компьютеров, объединенных в сеть, так называемых Grid-системах [7].Идея облачной самоорганизации заключается в том, что реализация алгоритма и все вычисления будут производиться не на одном дорогостоящем компьютере, а в облаке на множестве компьютеров (агентов), как показано на рис.1. Таким образом, задача «распараллеливается», т.е. каждому агенту системы «поручаются» отдельные вычисления, а затем в центре обработки результаты анализируются и определяется лучший [8-9].
В данном алгоритме используется так называемый перебор случайных возможных решений. На каждой итерации генерируется множество решений, из которых выбирается "лучшее" (близкое к истинному). Именно такие решения являются ценными для следующих итераций. Так, шаг за шагом,
система стремится к нахождению решения задачи с заранее установленной точности.
Рис. 1 - Структурная схема Данный алгоритм получил название метрический в связи с тем, что в его основу легло понятие метрики. Метрика - это функция, с помощью которой измеряется расстояние между решениями. Именно с помощью метрики определяется агент, который сгенерировал "лучшее" решение на данной итерации.
Метрика обладает следующими свойствами:
,
,
,
.
Опишем алгоритм, состоящий из шести шагов [10]. Пусть имеется М компьютеров. Шаг 1. Получение входных данных.
Каждый компьютер получает матрицу А при неизвестных. Шаг 2. Генерация случайных векторов.
На каждом компьютере генерируется предполагаемые решения -случайные векторы из п случайных чисел.
Шаг 3. Преобразование случайных векторов из пространства решений
в пространство сравнений.
На каждом из М компьютеров происходит умножение вектора 'Ц на
матрицу А. Таким образом, в результате умножения получаем следующие векторы:
.
Векторы Уъобразуют пространство сравнений, в котором, в частности, находится вектор В.
Шаг 4. Преобразование сдвига случайных векторов. Множество векторову подвергается преобразованию сдвига:
.
Шаг 5. Определение расстояния в пространстве сравнений. Определяется расстояние в евклидовом пространстве сравнений:
гДе бх11™*^ ~ проекция вектора на /7-ую координату евклидова пространства.
Шаг 6. Определение минимального расстояния в пространстве сравнений.
После получения расстояний в пространстве сравнений выбирается такой вектор 7±к>, который ближе всего к решению, т.е. ПЗШ^де] р^. Иными словами, является наименьшим из всехр^.р^,.. рм. Выбранный к.>соответствует вектору^к, который будет являться центром генерации в
следующей итерации. Переходим на шаг второй.
Далее процесс повторяется до тех пор, пока разность между вектором В и минимальным выбранным вектор на соответствующем шаге итерации
не станет меньше установленной величины £, то есть
Ж&1В-ЛГ1,
где х[ - решение задачи, | -норма евклидового пространства.
4. Практическая апробация алгоритма
Пусть заданы следующие параметры системы линейных алгебраических уравнений:
М=10, N=2, А = В = 0,05.
На первой итерации случайным образом сгенерировано 10 векторов (рис.2).
▼ -1-й ♦
• ♦ а *
-15 -10 -5 ^ С ) 5 10
Ж 1 л
Рис.2 - Генерация векторов на итерации №1 После проводимых вычислений значение метрики для вектора (0,25;1,03) минимально, поэтому агент, получивший это решение, становится центром генерации на следующем этапе (рис.3).
Рис.3 - Генерирование векторов на итерации №2
Таким образом происходят вычисления до тех пор, пока не будет £ 0.05.
На 10-ой итерации вектор принимает значение (1,014;1,987) (рис.4).
3,00
♦ ♦ ♦
* ▼ ♦ *
1,00 ♦ ♦
0,00
■1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00
Рис.4 - Итерация №10
Таким образом, после проведения вычислений найдено решение заданной системы линейных алгебраических уравнений: (1,014;1,987) с допустимой погрешностью £ 0,0 5.
5. Заключение
В статье представлен новый численный метод решения больших систем линейных алгебраических уравнений, основанный на метрическом алгоритме. Эффект самоорганизации и облачные технологии позволяют по-новому взглянуть на проблему решения прикладных задач в различных сферах деятельности, в том числе, в промышленности, экономике, образовании, в области управления проектами и разработки программного обеспечения.
Литература
1. Лэсдон Л. Д. Оптимизация больших систем. М.: Наука, 1975, 432 с.
2. Бойко Е.Ю. Облачные технологии в оценке оптимального плана//Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского
состава, сотрудников и студентов АТИ ДГТУ по итогам работы за 2012-2013 гг. Донской государственный технический университет, Азовский технологический институт. Азов, 2013. С. 45-48.
3. Пономарева Е.И. Совершенствование процесса обработки данных при помощи облачных вычислений // Инженерный вестник Дона, 2012, №1 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2012/628.
4. Воробьев С.П., В.В. Горобец. Исследование модели транзакционной системы с репликацией фрагментов базы данных, построенной по принципам облачной среды // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p1y2012/1149.
5. Moradi, M.Dezfuli, M.A.Safavi, A new time optimizing probabilistic load balancing algorithm in grid computing // Department of Computer and IT, Engineering, Amirkabir University of Technology, Tehran, Iran, 2010, vol. 1, pp. v1232-v1237.
6. Hewwit C. ORGs for Scalable, Robust, Privacy-Friendly Client Cloud Computing / Carl Hewwit // IEEE Internet Computing, vol. 12, no. 5. - NY, USA, Sep.-Oct. 2008. -Pp. 96-99. - DOI: 10.1109/MIC.2008.107.
7. Курейчик В.М., Таран А.Е., Ляпунова И.А Реализация муравьиного алгоритма на ГРИД-системе// Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. 2015. №4(60). С. 48-52.
8. Таран А.Н., Гусева Л.Л. Применение облачных информационных технологий к задачам межотраслевого баланса // Информационные технологии в экономических исследованиях: материалы научно-практической конференции. Ростов н/Д: ДГТУ,2013.- 141 с.
9.Таран В.Н., Бойко Е.Ю. Метрический подход к решению систем линейных алгебраических уравнений// Транспорт: наука, образование, производство, труды международной научно-практической конференции. 2016. С. 325-327.
10. Таран В.Н., Бойко Е.Ю., Долженко А.М. Программа для реализации метрического алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений. Свидетельство о регистрации программ ЭВМ от 06.02.2017 № 2017611577.
References
1. Ljesdon L.D. Optimizacija bol'shih system [Optimization of large systems]. M.: Nauka, 1975, 432 p.
2. Boyko E.Y. Nauchno-tehnicheskaja konferencija professorsko-prepodavatel'skogo sostava, sotrudnikov i studentov ATI DGTU po itogam raboty za 2012-2013 gg. Donskoj gosudarstvennyj tehnicheskij universitet, Azovskij tehnologicheskij institut. Azov, 2013.pp. 45-48.
3. Ponomareva E.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №1 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2012/628.
4. Vorob'ev S.P., V.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p1y2012/1149.
5. Moradi M., Dezfuli M.A., Safavi M.H. Department of Computer and IT, Engineering, Amirkabir University of Technology, Tehran, Iran, 2010, vol. 1, pp. v1232-v1237.
6. Hewwit C. IEEE Internet Computing, vol. 12, no. 5. -NY, USA, Sep.-Oct. 2008. -Pp. 96-99. - DOI: 10.1109/MIC.2008.107.
7. Kurejchik V.M., Taran A.E., Ljapunova I.A Vestnik Rostovskogo gosudarstvennogo universiteta putej soobshhenija. 2015. № 4 (60). рр. 48-52.
8. Taran A.N., Guseva L.L. Informacionnye tehnologii v jekonomicheskih issledovanijah: materialy nauchno-prakticheskoj konferencii. Rostov n/D: DGTU,2013.- 141 р.
9. Taran V.N., Boyko E.Y. Transport: nauka, obrazovanie, proizvodstvo, trudy mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. 2016. рр. 325-327.
10. Taran V.N., Boyko E.Y., Dolzhenko A.M. Programma dlja realizacii metricheskogo algoritma reshenija sistem linejnyh algebraicheskih uravnenij [A program for realizing the metric algorithm for solving systems of linear algebraic equations]. Svidetel'stvo o registracii programm JeVM ot 06.02.2017 №2017611577.
