CC BY
70
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том III 1972
№ 2
УДК 629.735.33.015.4:539.4.012.1.403
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ОДНОМЕРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН В СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЯХ
И. А. Ляховенко, А. С. Фонарев
Построена конечноразностная схема и описан алгоритм решения на основе метода С. К. Годунова задачи о распространении продольных волн в составных стержнях со скачкообразным изменением поперечного сечения и свойств материала. Проведены численные расчеты распространения волн при различных соотношениях физических и геометрических характеристик отсеков и различных законах изменения действующей силы по времени. Результаты сравнены с данными точных решений.
В связи с быстрым развитием ЭВМ, обладающих большой памятью и быстродействием, появилась возможность численного решения широкого класса волновых задач теории упругости и пластичности. В последнее время наибольшее распространение получили конечноразностные методы, например [1] и [2]. Следует отметить, что методика построения разностных схем в задачах упругости и газовой динамики имеет много общих черт вследствие качественного единообразия основных дифференциальных уравнений и их интегральных эквивалентов.
Одним из эффективных методов численного решения уравнений газовой динамики, подучившим в последнее время широкое распространение, является метод С. К. Годунова, предложенный в 1959 г. [3]. Метод дает возможность исследовать задачи с большим числом ударных волн и контактных разрывов, при этом расчет может быть проведен без специального выделения разрывов, единообразным способом.
В настоящей статье описывается применение метода Годунова для построения конечноразностной схемы и алгоритма решения задачи о распространении продольных волн в составных стержнях со скачкообразным изменением поперечного сечения и свойств материала. Подобные задачи решались ранее другими методами в работах [4]—[6]. Приведены численные расчеты распространения волн в стержнях при различных соотношениях физических и геометрических характеристик отсеков и различных законах изменения действующей силы по времени. Полученные результаты сравнены с данными точных решений.
Постановка задачи, основные уравнения и разностная схема. Рассмотрим составной стержень, состоящий из ряда отсеков, причем каждый отсек представляет собой однородный стержень с постоянными механическими характеристиками и постоянной площадью поперечного сечения. На торцевое сечение такого стержня действует заданная по времени осевая сила Р ((), другой конец свободен. Требуется определить величины напряжения а, усилия N. скорости V как функции времени t в произвольном сечении стержня х, если в начальный
момент задано распределение усилия и скорости в виде N (х, () | <=.0 =-/(-*);
V (х, () | <=0 = 9 (х), где / и> кусочно-непрерывные функции.
Уравнение движения и’уравнение совместности могут быть записаны в дивергентном виде: і
#к)
= 0;
■(4*)
+ дх~0’
(1)
где I = ЕР ¡а, у = 1//, ЕР—жесткость стержня на растяжение — сжатие, а—скорость звука в материале стержня. Величины I, ЕР, а, вообще говоря, могут быть различными для разных отсеков.
Приведем уравнения (1) к безразмерному виду. Для этого в качестве характерных размерных величин выберем длину /. всего стержня, скорость звука а0 в материале ОДНОГО из стержней, величину ¿0 — | где (ЕР)0— жесткость одного из
а0
стержней. Тогда безразмерные выражения для усилия, скорости, координаты и времени выразятся соответственно формулами:
ЛГ =
N
N
(ЕР)о /0 «о
X =
X
т
і
Ца0
У(1х-Ш^ = 0;
а уравнения (1) сохранят тот же самый вид, только размерные величины будут заменены безразмерными, с чертой, которую в дальнейшем опустим.
Для рассмотрения разрывных решений будем, следуя [3], исходить из эквивалентных системе (1) интегральных законов сохранения:
(2)
где интегрирование ведется по любому кусочно-гладкому контуру в плоскости xt. Каждый участок длиной 1к составного стержня разобьем на т* частей {к—номер участка) с постоянным шагом =/А/;пк, причем
к А
где М—общее число узлов разбиения стержня.
Аппроксимируем начальное распределение усилий и скоростей в стержне кусочно-постоянными функциями с постоянными значениями этих величин между узлами, узлы обозначим целыми номерами л = 0, 1, 2а слои длиной
13 1
между узлами—номерами —... лВ соответствии с этим величинам
V и N в узлах присвоим целые индексы, а их средним значениям на слое — дробные.
Проинтегрируем соотношения (2), выбирая в качестве контура интегрирования прямоугольник со сторонами Л* по оси х и т по оси < (т —шаг по времени); при этом будем считать, что подынтегральные величины постоянны внутри шага по х и внутри шага по <. В результате получим:
где верхние индексы соответствуют значениям величин в момент ^=4+'^ нижние—в момент 4-
Приведем соотношения (3) к следующему виду:
Здесь индексы я и А опущены, а величины а, /, у предполагаются постоянными внутри каждого участка. Величины N и V с целыми индексами будем определять, рассматривая на каждом узле задачу о распаде произвольного разрыва. Формулы, описывающие распад произвольного разрыва, представим в безразмерном виде (индексы пик опустим):
Для удовлетворения граничных условий добавим в рассматриваемую схему разбиения слева и справа еще по одному слою с индексами —и М + *
В этих слоях полуцелые значения V и М задаются так, чтобы на границах стержня в целых точках выполнялись заданные граничные условия:
Для обеспечения устойчивости счета следует шаг по времени выбирать в зависимости от шага по координате [3], удовлетворяя условию Куранта
Результаты численных расчетов. Для проверки сходимости и устойчивости численного метода были проведены расчеты на ЭВМ БЭСМ-6 некоторых задач, имеющих точные решения. Пусть в стержне постоянного сечения распространяется волна напряжения, вызванная постоянной силой, действующей на торцевое сечение с некоторого момента времени ¿ = 0 (при ¿<0 скорости и напряжения в стержне равны нулю). Решение этой задачи по изложенной конечноразностной схеме было получено при различных значениях коэффициента 0. Выяснилось, что выбор величины в сильно влияет на точность расчета при заданном числе счетных точек. На фиг. 1 показано распределение давления в стержне в различные моменты времени. Рассмотрены случаи: 1) М — 40, 0=0,8; 1,0; 2) М = 100, 6 = 0,5; 0,8; 0,9; 1,0; 3) М = 1000, 0 = 0,8; 1,0.
Расчеты показали, что в случае постоянной внешней силы при 0=1 результаты численного решения не зависят от числа счетных точек М и совпадают с точным решением (сплошная линия на фиг. 1). Уменьшение 0 приводит к падению точности расчета. Как видно из приведенных графиков, фронт волны (ступенчатый в начальный момент) по мере продвижения по стержню размывается, причем количество счетных точек, которые определяют фронт, с течением времени увеличивается. При фиксированном значении 0<1 точность повышается с уменьшением шага по х (с увеличением числа счетных точек М). При 0>1 счет неустойчив.
^1/2 — N$¡2 _|_ ^1/2 *1/2 + ^3/2 *3/2 . ^1/2 + ^3/2 *1/2 + *3/2
= Vl^2 ~ ^3/2 -1- ^1/2-А/2 + ^3/2-4/2
•А/2 + Л/2 Л/2 +/з/2
N !=Р(0. V
2 2 2
£ — І________і — І
2 2 2 2
N
t = 0,12
t= 0J6
t= 0J2
и — '•Sy \
lß~- \
\
1
\
0 OJ X
t = 0.12 ,^I-r
ч 1 '0 = 1,0
N о,а
\ \
\ \
\ ч
Л
0 = 0,5-Oß 0/
'Л
в = 0,5~ ¥~ OJ-
0=10
0,1
N 1
\ К М = 40 100 1000
к N -Oß
Ч" J \
V..
0,3 0,4 Oß 0,7 0,8 0,9 iß X
к і„ 3^ \ % "в~1,0
\
\
о= OJ- Oß- Oß- ?
\\ íAN ч
ßfi 0,5
e^7j' чг, в=1, 0
Oß Oß %
к
в= 0,5 к
Oß Oß л ч V,
0,7 Oß 0,9
Фиг. 1
Фиг. 2
Таким образом, расчеты следует проводить, полагая 0 = 1. Отметим, что независимость точности численного решения при 0 = 1 от числа точек Л/ наблюдается только в случае действия постоянной по времени внешней силы. Очевидно, для переменной по времени внешней силы точность решения будет зависеть от числа счетных точек.
В случае составного стержня, имеющего различные скорости звука на каждом участке, для улучшения точности расчета следует выбирать шаг по .«-координате так, чтобы шаг по времени (при 0=1) был одинаковым для всех участков. Приведем численные результаты в сравнении с полученным графоаналитическим методом [4] точным решением задачи о распространении упругой
волны в составном стержне, нагруженном постоянной силой конечной продолжительности. На диаграмме (фиг. 2) в плоскости xt представлена картина движения и взаимодействия фронтов (падающих и отраженных) волн в трехступенчатом стержне, геометрические параметры которого приведены там же. Плоскость xt фронтами волн разделяется на области с постоянными значениями скоростей и усилий. С течением времени число этих областей увеличивается, размеры областей, вообще говоря, уменьшаются. Численный расчет в точности совпадает с результатами графо-аналитического решения до тех пор, пока минимальный размер области больше, чем шаг разностной схемы.
На фиг. 3 представлена диаграмма распределения усилий и скоростей в двухступенчатом стержне при действии на него кусочно-постоянной силы. В областях плоскости xt с постоянными значениями усилий и скоростей указаны числовые величины N и V.
На фиг. 4 представлены эпюры распределения усилия по длине трехступенчатого стержня для двух вариантов соотношения величин i в различные моменты времени при задании P(t) в виде одной полуволны синусоиды. Продолжительность действия P(t) была принята в расчете для обоих вариантов одинаковой и равной 1,5.
Расчет I варианта показал, что для принятой продолжительности действия силы P(t) амплитуда и форма синусоидальной волны силы сжатия мало меняются по мере продвижения волны по длине трехступенчатого стержня. И лишь при значительных различиях в жесткостях (точнее в значениях величины I) отдельных участков составного стержня амплитуда и форма силы претерпевают существенные изменения в процессе движения волны по составному стержню (II вариант).
Изложенный метод численного расчета без существенных изменений может быть применен к решению одномерных задач более сложного типа (например, к стержням с кусочно-непрерывным изменением жесткостных и массовых характеристик). .
ЛИТЕРАТУРА
1. Bertholf L. D. Numerical solution for two-dimensional elastic wave propagation in finite bars. J. of Appl. Mech. (Transactions of the asme, sériés E), 1968, No 3.
2. Дятловицкий JI. И. К решению плоской динамической задачи теории упругости методом конечных разностей. „Прикладная механика“, т. И, вып. 10, 1966.
3. Годунов С. К. Разностный метод расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. „Матем. сб.“, т. 47, № 3, 1959.
4. Ляховенко И. А. Упруго-пластические продольные волны в составных стержнях. Труды ЦАГИ, вып. 998, 1965.
5. Rosenfeld R. L., MiklowitzJ. Elastic wave propagation in rods of arbitrary gross section. J. of Appl. Mech. (Transactions of the asme, sériés E), 1965, No 2.
6. Ф p e н к и н a И. H„ Харитонова A. H. Распространение упругих волн в ступенчатом стержне с сосредоточенными массами. »Инженерный журнал“, т. 5, № 4, 1965.
Рукопись поступила 19/VII 1971 г.
