Численный метод прогнозирования температуры с помощью уравнения Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА

Н, М, Япарова, Т. П, Гаврилова

Южно-Уральский государственный университет (НИУ), 454080, Челябинск

УДК 519.6, 517.9

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10090

В работе рассматривается обратная граничная задача для уравнения параболического типа с начальными и граничными условиями, известными на части границы, связанная с задачей определения температуры на одной из границ и внутри линейного объекта по результатам измерения температурных функций, проводимых вблизи другой границы. С помощью преобразования Лапласа задача сводится к интегральному уравнению, характеризующему прямую зависимость неизвестной граничной функции от исходных данных. В работе предложен численный метод решения интегрального уравнения, основанный на методе регуляризации с апостериорным выбором параметров регуляризации. Решение этого уравнения послужило основой для прогнозирования температуры внутри всего линейного объекта. С целью проверки эффективности предложенного подхода и получения экспериментальных оценок погрешностей был осуществлен вычислительный эксперимент, результаты которого представлены в работе и свидетельствуют о достаточной точности полученных численных решений. Ключевые слова: параболическое уравнение, обратная граничная задача, преобразование Лапласа, численные методы, вычислительный эксперимент.

Введение

Развитие современных технологий в металлургии, машиностроении, химической промышленности неразрывно связано с исследованием сущности процессов теплообмена. Математические модели теплоперепоса представлены обратными задачами для уравнений параболического типа с начальными условиями и граничными условиями, известными на части границы. Исследованию методов решения обратных граничных задач, посвящены работы многих исследователей [1]- [7].

В работе предложена интегральная модель теплопереноса, полученная с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа, и численный метод определения температуры на одной из границ и внутри линейного объекта по результатам изменения температурных функций на другой границе и вблизи нее.

В данной работе для построения численного решения разработан метод, основанный на схеме Лаврентьева с апостериорным выбором параметров регуляризации. Устойчивость вычислительной схемы достигается за счет согласования параметров регуляризации с шагами дискретизации. С целью получения экспериментальных оценок погрешностей и оценки эффективности предложенного подхода к решению обратной граничной задачи проведен вычислительный эксперимент, результаты которого представлены в работе.

1 Постановка задачи

Рассмотрим обратную задачу линейного теплопереноса

щ = аихх, х € (0,/), Ь > 0, (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации прикладных научных исследований в рамках базовой части Государственного задания «Разработка, исследование и реализация алгоритмов обработки данных динамических измерений пространственно-распределенных объектов», техническое задание 8.9692.2017/8.9 от 17.02.2017.

!ЯВ.\ 978-5-901548-42-4

u(0,t) = <p(t), и(х0,t) = g(t), t > 0, (2)

и(х, 0) = C, х e [0,I], (3)

х0

ничное значение функции

u(I, t) = ^(t), (4)

и затем, используя ф(t), найти температурные значения во внутренних точках линейного объекта.

Основываясь па физических предпосылках математической модели, полагаем, что g(t), <p(t) e C2+v [0, T] при всех T > 0 и г/ e (0,1) . Также существуют постоянные Co, Ci, C2 > 0 и Po, Pi, P2 > 0 такие, что 1и(х, i)| < C0eA>(®+i) 5 lip(t)l < C1 e^1* и fy(t)l < C2e^2t выполнены для x e [0, l] и при всех t e [0, <x). При этом функции ^(t), ф(€) и g(t) удовлетворяют условиям Дирихле для любого t e [0, T] при всех T > 0. Существование и единственность решения и(х, t) e Н2,1((0,1) х (0,T)) nC([0,1] х [0, T]) задачи (1)-(4) обоснованы в [1], [5].

Существенная особенность рассматриваемой задачи заключается в том, что результаты измерений, полученные в процессе эксперимента, содержат отклонения от истинных значений. Представим эту ситуацию следующим образом. Вместо go и ^>o известны некоторые приближенные значения gg и ipg и уровень погрешности 6 > 0 такой, что max {|| — tp0\\, ||ga — go У} < 5. В данной задаче требуется по , gs, 6 найти граничное значение функции

иЧ(1, t) = $4(t)

и, основываясь на полученных результатах, определить температуру и^(х, t) вдоль всего линейного объекта.

2 Интегральная модель теплообмена и численный метод решения задачи теплообмена

Для получения интегрального уравнения, связывающего исходные данные и и(I, Ь) = ф(Ь), найдем решение следующей прямой задачи, полагая, что искомая функция ф(€) нам известна:

и = аихх, х € (0,I), Ь > 0, (5)

и(0,г) = 1р(г), и(I, г) = ф(г), г> о, (6)

и(х, 0) = С, х € [0,1]. (7)

Исходя из свойств функций и следуя результатам, представленным в работе [8], применим прямое пре-

и(х, )

, „ ¿-качт-^ {ЖПХЛ -п2ъ2а f . . п ъ а _ ,

(х, t) = sm^-j- je I2 fy р(т)е i2 T dr+

¿ка ^^ „sn+1 ■ (кпх \ -п2ъ2а t ff' A2q _

( — 1) п)e '2 f J ф(т)е '2 Tdr+

n=1

22

1 \2П— 1)71 X т-д .

Е^ -^^<8>

П=1

Так как решение задачи (1)-(4) требуется построить в ограниченной области [0,1] х [0, Т], а для построения численного решения применяют, как правило, сетку с конечным числом узлов, то, используя идею, представленную в [4], аппроксимируем точное решение задачи (5)—(7) конечным рядом. Учитывая, что функция и(хо, ^ = д(€) известна, получаем, что решение задачи (1)-(4) сводится к решению следующего интегрального уравнения:

Аф = [ км(г - т)ф(т)ат = к(г), (9)

о

где

KN(Ъ — г) = ¿^Ъ — 1)П+1п™ () ^(i-T),

П=1

2ка

I2

N

- т) = —2_^п —¡—)е 1

2 2

( — )

П=1

Чг) = д(г) - /(г) -( ьм(г - т)<р(т)ат Jo

N

/ о =

ТГ '

1 . (2п - 1)-кх0 -(2^-1)2А4

^ ^ 2п - 1

I

-е ¡2

Численные решения уравнения (9) получаем, используя вычислительную схему, основанную на методе регуляризации, идея которого предложена в [8]. Согласно этому подходу, регуляризованное решение поставленной задачи определяется из уравнения

Аф + аф = (г).

При этом должны соблюдаться условия \\Аф - Из(¿)|| < 6, где

(Ю)

Ы (ъ) = дь(г) - (г - т(т) ¿т ■)0

Параметр а выбираем апостериорно, используя итерационный процесс и идею, предложенную в [9]. Для этого аппроксимируем интегралы, входящие в уравнение (9), суммами, используя метод правых прямоугольников. Из полученной при этом системы алгебраических уравнений находим . После построения вычисляем абсолютную погрешность Аф, определяемую формулой

Д^ = \№ - Ф\\ ■ (11)

Значение параметра а определяем, исходя из условия минимальности (11).

3 Результаты вычислительного эксперимента

На рисунках и в таблице представлены результаты вычислительного эксперимента для тестовых функций ^(ь)= ф(г)=0, 5(е1'ы - 1) .

На рис. 1 представлены графики тестовой функций ф(1) и приближенного численного решения уравнения (10). Также представлен график функции погрешности, вычисляемой по формуле Аф^) = \ф£ - ф(€)\.

0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

Д (I)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t

Рис. 1: а Результаты численного решения интегрального уравнения (11): б график функции погрешности

Аф (Ъ)

а

Рис. 2: Результаты численных решений прямой задачи (5)—(7): о — для тестовой функции ф(Ь)] б— на основе ф" (£), найденного из уравнения (11)

Таблица 1: Экспериментальные оценки погрешностей

Погрешность исходных данных 5 Абсолютная погрешность Д^ Относительная погрешность е^

ОД 0,1961 0,0923

0,05 0,1894 0,0885

0,03 0,1802 0,0821

На рис. 2 построена поверхность и(х,€), соответствующая решению прямой задачи (5)-(7) и поверхность £), соответствующая приближенному решению обратной задачи.

На основании полученных результатов эксперимента можно сделать следующие выводы. Предложенный метод решения задачи линейного теплообмена позволяет получать регулярнзованные решения с удовлетворительной точностью. При этом уровень погрешности исходных данных оказывает влияние на величину уклонения приближенного решения от тестовых функций ф(Ь).

Список литературы

[1] Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

[2] Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. 264 с.

[3] Кабанихин С.II. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. научи, изд-во, 2009. 457 с.

[4] Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 287 с.

[5] Апарцин А.С., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т. 1972. Вып. 1. С. 248 258.

[6] Васин В.В. Регулярный алгоритм аппроксимации негладких решений для интегральных уравнений Фредгольма первого рода /'/' Выч. технологии. 2010. Т. 15. № 2. С. 15 23.

[7] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. СПб.: Лань, 2009. 608 с.

[8] Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973. 71 с.

[9] Леонов A.C. О квазиоптимальном выборе параметра регуляризации в методе Лаврентьева // Сиб. ма-тем. журн. 1993. Т.34, № 4. С. 695-703.

Япарова Наталья Михайловна — к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедры вычислительной математики и высокопроизводительных вычислений, Южно-Уральский государственный университет (национальный);

e-mail: iaparovanm@susu.ru; Гаврилова Татьяна Петровна — старший преподаватель кафедры вычислительной математики и высокопроизводительных вычислений, Южно-Уральский государственный университет (национальный);

e-mail: gavrilovatp@susu.ru. Дата поступления — 31 мая 2019 г.