ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОИСКА ОПТИМАЛЬНЫХ ДАТ ПОПАДАНИЯ В ЛУННУЮ ТОЧКУ ЛИБРАЦИИ L1, С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ НЕЦЕНТРАЛЬНОСТИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ И ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ СОЛНЦА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск №73

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 517.9:521+523.3:629.7

Численный метод поиска оптимальных дат попадания в лунную

точку либрации L1, с учетом влияния нецентральности гравитационного поля Земли и возмущающего ускорения Солнца

Окишев Ю.А.

Энгелъсский технологический институт - филиал Саратовского государственного технического университета имени Ю.А. Гагарина, пл. Свободы, 17, Энгелъс, 413100, Россия e-mail: y. okishev @ gmail. com

Аннотация

Рассматривается баллистический перелет космического аппарата (КА) с

низкой околоземной орбиты с двумя включениями химического ракетного

двигателя (ХРД) в точку либрации L1 системы "Земля - Луна". Приведен алгоритм

поиска оптимальной траектории двухимпульсного перелета в заданную дату

попадания в точку либрации с учетом возмущающего ускорения Земли, Луны,

Солнца, а также с учетом влияния нецентральности гравитационного поля Земли.

Описано решение краевой и оптимизационной задач поиска оптимальной

траектории. Численные решения получены методом Рунге-Кутты для системы

дифференциальных уравнений движения КА в экваториальной геоцентрической

системе координат, а также найдена оптимальная дата попадания в точку либрации.

Проведено сравнение результатов решения с ранее полученными данными.

Приведены оптимальные значения импульсов скорости, даты старта, положение

базовой орбиты, координаты точки старта для попадания в точку либрации Ь1 системы "Земля - Луна" в оптимальную дату.

Ключевые слова: математическое моделирование, баллистический анализ, метод Рунге-Кутты, точка либрации, Ь1, Земля - Луна.

В данной статье рассматривается двухимпульсный баллистический перелет космического аппарата (КА) с помощью химического ракетного двигателя (ХРД) с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ь1 системы "Земля - Луна". Предлагается найти оптимальную траекторию с учетом влияния нецентральности гравитационного поля Земли, вызванной второй зональной гармоникой, и возмущающего ускорения Солнца.

В качестве критерия оптимальности предлагается рассматривать значение суммарного импульса скорости. Задача проектно-баллистического анализа сводится к поиску минимального суммарного импульса скорости АУЕ и, как следствие, по формуле Циолковского (1), минимального потребного топлива для перелета. Такой подход является общепризнанным [1] для проведения баллистического анализа.

тт

1 - ехр-

^ J

(1)

где тт - масса топлива КА, т0- начальная масса КА, 1у- удельный импульс

тяги, который задается двигательной установкой КА

Будем рассматривать схему перелета с двумя включениями ХРД между некомпланарными орбитами, где первый импульс скорости АУ1 (2) реализует

то

переход КА на перелетный эллипс, лежащий в плоскости базовой орбиты. Второй импульс скорости АУ2 (3) происходит в апогее перелетного эллипса и реализует поворот плоскости орбиты на требуемый угол А/, а также переход на орбиту точки либрации Ь1 (рис 1). Для предварительного анализа используется методическая идея импульсной аппроксимации активных участков полета. Исходя из физических свойств коллинеарной точки либрации Ь1, очевидно, что точка Ь1 принадлежит радиус-вектору и плоскости орбиты Луны.

АУ = П. - У>, (2)

где УКАо - вектор скорости КА на опорной орбите необходимый для перехода на перелетный эллипс, У0 - вектор скорости КА на круговой опорной орбите

А^2 = Уц - У^ (3)

Для вычисления абсолютных значений воспользуемся теоремой косинусов:

АУ2 = VV2! + УКА„ - 2 ■ Уп ■ Ука,1 ■ СС8 А/, (4)

где Уп - вектор скорости точки либрации Ь1, УКАц - вектор скорости КА в

точке либрации Ь1, А/ - разница между наклонениями орбит.

Значение суммарного импульса скорости вычисляется по формуле: АУ,=АУ1 +АУ2. (5)

Рис.1 Схема двухимиульсиого перелета.

Баллистический аиализ проходит в геоцеитрической экваториальиой декартовой системе коордииат.

Наклоиеиие иизкой околоземиой (базовой) орбиты примем за 51,6° (старт с космодрома "Байкоиур")

Для определеиия зиачеиий радиус-векторов и векторов скорости Луиы и Солица в произвольиый момеит времеии, а также их проекции иа оси x, y и z воспользуемся плаиетарием DE-403 производства JPL (Jet Propulsion Laboratory).

Из-за прецессии орбиты Луиы ее иаклоиеиие к плоскости экватора Земли меияется с периодичиостью 18,6 лет. Необходимо выбрать эпоху, когда иаклоиеиие орбиты Луиы максимальио, чтобы зиачеиие разиости иаклоиеиий базовой и Луииой орбиты А/ было мииимальиым, и, как следствие по (4), мииимальиое зиачеиие второго импульса скорости.

За дату рассматриваемой эпохи выбираем 01 яиваря 12 часов дия каждого рассматриваемого года. Найдем иаклоиеиие орбиты Луиы по формулам:

cos I

x .у - y .у

Луны УЛуны J Луны ХЛуны

Луны

а

Луны

(6)

О Луны = гЛуны Х У Луны . (7)

где о луны - вектор интеграла площадей орбиты Луны, хЛуны и уЛуны - проекции

радиус-вектора Луны ГЛ^ы на оси х и у соответственно, У^ и У^ - проекции

вектора скорости Луны VЛуны на оси х и у соответственно.

Наклонение орбиты Луны рассматривалось в период 2011 - 2030 года и рассчитывалось значение 01 января каждого года.

Таблица 1.

Зависимость наклонения орбиты Луны от рассматриваемой эпохи.

Год ¿Л , ° Луны " Год г» , ° Луны " Год г» , ° Луны "

2011 24,227 2018 20,075 2025 28,443

2012 22,513 2019 21,568 2026 28,258

2013 20,881 2020 23,253 2027 27,638

2014 19,526 2021 24,894 2028 26,584

2015 18,633 2022 26,327 2029 25,174

2016 18,396 2023 27,458 2030 23,544

2017 18,959 2024 28,195

. Как видно из Таблицы 1, наклонение орбиты Луны максимально и составляет 28,443° в 2025 году. Примем 2025 год за рассматриваемую эпоху, при этом будем считать, что в выбранную эпоху наклонение орбиты Луны не изменяется.

Дальнейший анализ будем проводить, зафиксировав дату попадания КА в точку либрации Ь1 системы "Земля-Луна".

Радиус-вектор точки либрации L1 Яи системы "Земля - Луна" будем высчитывать через коэффициент кп, который был рассчитан А.П. Маркеевым [2], умножая его на радиус-вектор Луны в любой момент времени:

ГЛуны ' кЫ •

(8)

В случае системы "Земля - Луна", кЬ1 = 0,849

Вектор скорости точки либрации L1 Уп(Ух£1,Уу£1,Уг£1) найдем из

равнобедренного треугольника (рис.2):

Рис.2. Положение радиус-векторов и векторов скорости Луны и точки

либрации L1.

Уы(Ухы,УУы ,у£п) = УЛуны

я

и

Луныг

(9)

Т.к. наклонение базовой орбиты I известно, найдем такой угол долготы восходящего узла П перелетной орбиты, чтобы радиус-вектор точки либрации L1, в момент попадания КА в точку либрации, принадлежал бы плоскости базовой орбиты. В этом случае плоскость перелета будет совпадать с плоскостью базовой орбиты. Долготу восходящего узла перелетной орбиты найдем из условия перпендикулярности вектора площадей и радиус-вектора и, следовательно, скалярное произведение орта внешней нормали (10) и радиуса-вектора точки

либрации яп(хп,уп,равно нулю (11):

а

0 - а = [а0,а0,аго] = [sin i sin Q,-cos Q sin i,cos г].

а

(10)

(RL1, а0) = 0; xL1 ■ sin i sin Q - yL1 ■ cos Q sin i + zL1 ■ cos i = 0.

(11)

Разделим правую и левую части уравнения (11) на sin i ■ VxL1 + Уп , получим

x

l1

Г~2 . 2~

v xl1 + yl1

■ sin Q

yl1

22 vxl1 + У l1

■ cos Q =

"l1

22 vxl1 + У l1

■ ctgi

(12)

Обозначим cosp =

Ун

22 Vxl1 + Уп

, а sinp =

x

l1

22 v xl1 + Уl1

При этом:

P =

arccos

yl1

V2 2 xl1 + Уы

если xl1 > 0

- arccos

У L1

\

V2 2 . xl1 + Уы

, если xL1 < 0

0, если xL1 = 0, yL1 > 0 п, если xL1 = 0, yL1 < 0

(13)

то уравнение (12) примет вид

sinp^ sin Q- cosp^ cos Q =

"l1

22 vxl1 + У l1

■ ctgi

(14)

После тригонометрических преобразований получаем:

cos(p+Q) =

L1

22 v xl1 + Уl1

■ ctgi

(15)

Q = ± arccos

L1

V2 , 2

xl1 + У l1

■ ctgi

p-

(16)

Как известно, наклонение орбиты и долгота восходящего узла определяют

положение плоскости орбиты в пространстве. С учетом выражения (16), существует

возможность построить две плоскости перелетной орбиты для попадания в точку либрации в заданную дату с соответствующими долготами восходящего узла (17).

Q1 = + arceos

-L1

V2 . 2

, xl1 + У l1

f

Q =- arceos

^L1

V2 2

xl1 + У l1

■ ctgi

■ ctgi

-9

9

(17)

Определим аргумент широты точки старта для каждого угла долготы восходящего узла.

Радиус-вектор точки старта Я0( х0, у0, г0) найдем из условия антиколлинеарности радиус-вектору точки либрации Ь1 ЯЬ1 (хп, уп, г£1).

R0(x0' Ус г0) = ■

rl1(xl1' уы» ^l1) ■ (re + h0)

rl1( xl1' У l1 ' Zl1)

(18)

где, ЯЕ = 6371км - экваториальный радиус Земли, Н0 - высота базовой орбиты. Запишем выражения для аргумента широты точки старта:

u = i

f

arceos

x0 ■ eos Q1 + y0 ■ sin Q1

V

re + h 0

если г0 > 0

f

U2 = i

arceos

f

x0 ■ eos Q1 + y0 ■ sin Q1

Л

V

re + h 0

, если г0 ^ 0

y

arceos

x0 ■ eos Q2 + y0 ■ sin Q

Л

(19)

V

re + h 0

f

- arceos

V

x0 ■ eos Q2 + y0 ■ sin Q

re + h 0 y

, если г0 > 0 Л

, если г0 ^ 0

В дальнейшем, первое решение и1) будем называть траекторией перелета из нисходящего узла орбиты, а решение (^2, и2) назовем траекторией перелета из

восходящего узла орбиты. Для простоты и компактности записи дальнейших

выражений, долготу восходящего узла и аргумент широты будем записывать, как Q и u соответственно, принимая во внимание, что существует два решения.

Найденные долготы восходящего узла орбиты, аргумент широты точки старта и начальный радиус-вектор будем использовать в начальном приближении. В дальнейшем, нам придется варьировать Q и u, находя начальный радиус-вектор, для попадания в лунную точку либрации L1.

Запишем матрицу перехода от перицентральной к экваториальной системе координат:

(cos«-cos Q-sin«-cos i ■ sin Q - sin «■cos Q-cos«-cos i ■ sin Q sin i ■ sin Q ^

B =

cos «■ sin Q + sin «■ cos i ■ cos Q - sin «■ sin Q + cos «■ cos i ■ cos Q - sin i ■ cos Q sin«- sin i cos«- sin i cos i

, (20)

где а - аргумент перицентра орбиты.

Положение КА в точке старта является перицентром перелетной орбиты, следовательно, в матрице (20) а = и.

Используя матрицу (20), можем выразить радиус-вектор точки старта КА как функцию углов г,и :

= (ЯЕ + Н 0) ■ Б(П, г, и )1, (21)

где Б(П, г, и)1 - первый столбец матрицы (20). Определим круговую скорость на базовой орбите:

V

кр

Me

re + h о

км3

где Me = 398600—2— гравитационный параметр Земли.

с

Выразим вектор скорости КА на базовой орбите в точке схода с нее как функцию углов г, а,и :

У0 = Укр - Б(П,г,и)2, (23)

где Б(П,г,и)2 - второй столбец матрицы (20).

Найдем вектор начальной скорости УКА на гомановской перелетной орбите в точку либрации:

У

п12

2-мБ 2-мБ

ЯЕ + Н о Яб + Н о +

(24)

В экваториальной системе координат:

Г о ^

Ука1 = Б(П, г, и) -

При этом,

Уп12 V 0 У

(25)

Ука1 = Уо +АУ1,

(26)

где АУ 1(йУг, ¿Уп, (1УЬ)- первый импульс скорости. йУг, ^Уп, йУъ - радиальная, трансверсальная и нормальная компоненты вектора импульса скорости соответственно.

Вектор скорости КА в начальной точке перелетной орбиты в экваториальных осях - функция долготы восходящего узла орбиты старта, аргумента широты точки старта на базовой орбите и компонент импульса скорости КА в орбитальных осях точки старта базовой орбиты.

УК41 = Б(Я I, и )■

Г dУr Л Уо + dУn V dУг, ,

(27)

Если используется только трансверсальный импульс скорости, то (27) имеет более простое выражение:

УКЛ1 = Б(Я г, и)2 ■ (Уо + dУn).

(28)

Найдем время перелета в первом приближении:

К =п

1

(лЕ + Н о + Яп )

2 ■Мб

(29)

Запишем систему уравнений движения КА на перелетной орбите, с учетом гравитационного влияния Земли, Луны, Солнца, а также с учетом второй зональной гармоники.

dRí

dt

= У.

КА МЛуны ГЛуны а ) МЛуны ■ ^КА ГЛуны ^)) Мс ■ гс (t) Мс ■ (RкА - гс 0)) ,

dt

R

КА

ГЛуны (t)

(

^ - ГЛуны (t))

П3С) (

^ - Гс а))

(:0)

где RкА ( Хка , , г КА) - радиус-вектор КА, Уш (Ух

КА ,УУКА ,УгКА ) - вектор скорости

3 3

КА, Млуны = 4902,72гравитационный параметр Луны, мс = 1,3271244 1011 -

гравитационный параметр Солнца, гс (хс, ус, гс) - радиус-вектор Солнца и его

параметры, который определяется из планетария ББ-403, Фб - возмущающее ускорение, вызванное второй зональной гармоники. Стоит отметить, что радиусы-

3

3

векторы Луны и Солнца в экваториальной геоцентрической системе координат являются функцией времени.

Запишем систему (30) в проекциях на оси х,у,2 экваториальной геоцентрической системе координат:

йх„

= Ухь

йг

^ = Уу •

йг Уу ^;

й1 кл

йг йУх

= у7 ы •

кл

МЕХКЛ МЛуныХЛуны (г) МЛуны (ХКЛ ХЛуны ()) МсХС (г) Мс (ХК4 - ХС (г))

йг

Я

кл

+

3 МЕ ' 32 ' ЯЕ

2' Я

кл

ГЛуны (г )

С 5' г2

5 7 кл

Я 2

V Якл

(

ЯКЛ - Глупы (г))3

г3(г) (

Я

кл с

гс (г))

+

--I

йУу КЛ _ МЕУ КЛ МЛуны У Луны (г) МЛуны ( УК4 - У Луны (г)) МсУс (г) Мс ( У КЛ - Ус (г ))

йг

я 3

ГЛуны (г)

(

Я

Гп

КЛ Луны

( ))

Г3(г) (

Я

КЛ 'с

Гс (г))

+

3 ' МЕ ' 32 ' ЯЕ ' у КЛ

+ -

йУг

Е 2 * ХЕ

2' Я 5

2 С5' г2

КЛ

КЛ

Ме7

КЛ

М

Я2

V якл

Луны 7 Луны 1

--

(г) МЛуны (7кл - 7Луны (г)) Мс^с (г) Мс (7КЛ - 7с (г))

Гс

йг

Я3

Луны

(г)

(

Якл - ГЛуны (г))

Гс(г) (

Якл - Гс (г))

+

, (31)

+

3 ' МЕ ' 32 ' ЯЕ ' 7КЛ

2' Я

С 5' 72

кл

Я2

V Якл

где 32 = 0,0010826348 - коэффициент 2-ой зональной гармоники геопотенциала

Земли.

3' 3 ' Я 2

Обозначим д =-2—-

2

Систему уравнения (31) целесообразно "обезразмерить". За единицу расстояния примем радиус начальной орбиты, за единицу скорости - круговую

скорость относительно Земли, соответствующую радиусу начальной орбиты.

3

3

5

3

3

3

3

UnitR = RP + Н0; имУ = л -^; ШиТ = ^^;

б 0 V ипШ ШйУ (32)

, (32)

= Мс . = МЛуны ^ Я = "

МсБ ; М ЛуныП ; ЯБ

/ ЛуныБ ' Б т т . ^ /

МР МР ипШ

где шит - безразмерная величина времени, мсб - безразмерная величина гравитационного потенциала Солнца, мЛуныБ - безразмерная величина

гравитационного потенциала Луны.

Дату старта определим как разность между датой попадания в точку либрации Ь1 Тк и временем перелета в сутках:

^ =—---—. (33)

ипНТ ипЫТ

Запишем значения радиус-векторов КА, Солнца и Луны и их компоненты в безразмерных величинах в экваториальной геоцентрической системе координат. При этом радиус-векторы Солнца и Луны является функцией безразмерного времени tб:

Х = ХКА . у = У КА . _ = г КА . л = Х + у 2 + _ 2 ХКАБ тт . п ; у КАБ тт . п ; г КАБ тт . п ; RКАБ V ХКАБ + У КАБ + г КАБ

ип^ ип^ ип^

х (. ) = Хс (t0б + tб) , х (. ) = ХЛуны (t0б + tб) ,

ХсБ (1б) тт • г, ; ХЛуныБ (1б) тт • г, ;

UnгtR UnгtR

у (, ) = Ус (^б + tб) , у (. ) = УЛуны (t0б + tб) ,

УсБ (1б) тт -^л ; УЛуныБ (1б) тт -^л ;

UnгtR UnгtR

„ (. ) = гс (t0б +tб) , _ (. ) = гЛуны (t0б + tб) ,

гсБ (1б) тт -^л ; г ЛуныБ (1б) тт -^л ;

ип^ ип^

^о о о /о о о

хсб ) + усб (tб) + г сБ ^б ); ГЛуныБ (tб ) д/ХЛуныБ ^ б ) + УЛуныБ (б ) + гЛуныБ ^ б ) ;

Запишем модуль разность векторов КА и Луны векторов КА и Солнца

RKA ГЛуны(t)

, а также разность

rka - rc (t)

в безразмерных величинах:

R - г

RKAE 'ЛуныБ (i6

(t6 )

' 'J ( X KAE XЛуныгЕ (t6 ))2 + (У KAE У ЛуныБ (t6 )) + (7KAE 7ЛуныБ (t6 ))2;

R

_V(XKAE - XCE (t6 ))2 + ( У KAE - Усе (t б ))2 + (z KAE - zCE (t б ))' •

(35)

KAE ГСЕ (t6 )

Запишем систему уравнений (31) в безразмерном виде:

dx KAE та, ; dt б " KAE ;

йУ KAE = уу . dt б ТУ KAE ;

dz KAE _ yz dt б KAE ;

dyXKAE X KAE

dt б R 3 RKAE

s x . E x KAE + R 5 ' RKAE f 5 • 7 2 5 7 KAE R 2 V RKAE

dy.У KAE У KAE

dt б R 3 RKAE

. SE У KAE + R5 ' RKAE f 5 • 7 2 5 7 KAE R 2 V RKAE

dyZ KAE 7 KAE

dt б R 3 RKAE

S 7 . E 7 KAE + R5 ' RKAE f 5 2 5 • 7 KAE R 2 V R KAE

г

з

ЛуныБ ^ б

(tб )

RKAE ГЛуныЕ (tб ) )

гсе (tб ) (

R

гсе (tб ))

KAE СЕ ^ б

- +

- 1

У KAE ^ ЛуныБ У ЛуныБ (t б ) № ЛуныБ ( У KAE У ЛуныБ (t б )) МсЕ У сЕ (t б ) №сЕ ( У KAE - Усе (tб ))

г

,3

Луны1Е ^ б

(tб )

(

RKAE ГЛуныЕ (tб ) )

гсе (tб ) (

R

гсе (tб ))

KAE СЕ ^ б

+

-1

ZKAE №ЛуныБ ZЛуныБ (tб ) №ЛуныБ ( ZKAE ^ЛуныьЕ (t б)) McE zcE (tб ) McE (ZKAE zcE (tб ))

Г

3

Луны1Е ^ б

(tб )

(

RKAE ГЛуныЕ (tб ) )

ГСЕ (tб ) (

R

гсе (tб ))

KAE СЕ ^ б

+

- 3

(36)

Систему уравнений (36) будем решать методом Рунге-Кутты на интервале

времени t6 е [t06; Tk ]. Запишем начальные значения положения и скорости КА в

UnitT

безразмерном виде. Начальные значения положения определим из уравнения (21).

3

3

(

3

3

3

3

При этом компоненты x, у и z начального положения соответствуют первой, второй и третьей строке матрицы (21), соответственно:

X

К

0 КЛБ

X

К

0 КЛБ

к0

у _ и3

У 0 КЛБ _

(37)

шия шия шия

Начальные значения скорости определим из уравнения (27) при условии, что йУг,йУп,йУь равны нулю. При этом проекции скорости на оси x, у и z соответствуют первой, второй и третьей строке матрицы (27) соответственно:

Ух,

_ УКЛ11 _ т/ _ УКЛ12

0КЛБ _ тт . ,, ; Уу0КЛБ _ Т7 . 17

итгУ итгУ

Уг

У

КЛ13

0 КЛБ

ИпИУ

(38)

Решая систему уравнений (36) методом Рунге-Кутты в численном виде в произвольный момент времени попадания в точку либрации, мы можем построить траекторию движения КА (рис.3). Очевидно, что используя начальные данные из условия гомановского перелета в поле притяжения одного гравитирующего тела, попасть в заданную точку не представляется возможным, а, следовательно, транспортная задача не решена.

и» !0° 100 .00 0 1

/

X -

а) Проекция КА и точки L1 в плоскости б) Проекция КА и точки L1 в плоскости X-Y X-Z

Рис.3 Проекции траектории КА и точки L1 системы "Земля - Луна" в

плоскости Х^ (а) и плоскости Х^ (б). Точками и линией отображена траектория

Для того чтобы обеспечить попадание КА в точку либрации L1 системы "Земля - Луна" и, соответственно, решить транспортную задачу необходимо решить краевую задачу. Определяем такие значения долготы восходящего узла, аргумента широты и первого трансверсального импульса скорости, которые обеспечивают попадание КА в точку либрации L1 в заданную дату попадания. При этом, поиск необходимых значений происходит в рамках решения системы уравнений (36).

По итогам решения краевой задачи мы можем определить компоненты скорости КА в точке либрации УКЛЬ1(УхКЛЬ1,УуКЛЬ1,УгКЛЬ1). Найдем второй импульс скорости исходя из разности векторов скорости точки L1 У£1(Ух£1,Уу£1,Уг£1) и скорости точки КА в точке либрации:

Решим оптимизационную задачу, целью которой является поиск оптимальной даты старта, и как следствие, оптимальных значений долготы восходящего узла, аргумента широты и первого трансверсального импульса скорости для нахождения минимального суммарного импульса скорости КА, необходимого для решения транспортной задачи. Для этого, варьируем время перелета в окрестности найденного гп из условия гомановского перелета. Для каждого нового значения времени перелета решаем методом Рунге-Кутты систему уравнений (36) и краевую

КА, квадратом - точка L1.

АУ2 _ Уы - У К

(39)

задачу. Таким образом, получаем несколько решений для попаданий в заданную дату в точку либрации Ь1 со своими значениями долготы восходящего узла, аргумента широты и первого импульса скорости. Находим такое время перелета, для которого суммарный импульс скорости минимален. На рис. 4 приведено решение оптимизационной задачи для одной из дат попадания в точку либрации и способов перелета - зависимость суммарного импульса скорости от времени перелета.

З.З^Ю3

О

г

£ и З.ЗхЮ3

а

и

и о 3.73x10^

г2

= 3.76Х103

1

= 3.74x1а3

X

и

3.72Х103

\

\ ч

Ч

3—с

3.5 4

Врзмя перелета, сутки

4.5

Рис.4 Зависимость суммарного импульса скорости от времени перелета.

В итоге, применяя описанный алгоритм для каждой даты попадания в точку либрации Ь1 системы "Земля-Луна" в выбранную эпоху, для обоих решений -перелета из окрестности восходящего и нисходящего узла орбиты, можно определить значение минимального суммарного импульса скорости, значения минимального первого и второго импульса скорости, оптимального времени перелета и координаты точки старта (долгота восходящего узла орбиты и аргумент широты) на базовой орбите КА.

Для определения оптимального значения суммарного импульса скорости большое значение имеет выбор даты попадания в точку либрации и схема перелета

(из окрестности восходящего или нисходящего узла орбиты). Ранее [3] были получены результаты решения без учета влияния второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца. Стоит отметить, что перелет из окрестности восходящего узла орбиты (О 2, и 2) является более предпочтительным, с точки зрения энергетики перелета.

Приведем ранее полученные результаты математического моделирования перелета в точку либрации Ь1 в таблице 2. Результатами решения будем считать: значения второго импульса скорости, оптимального времени перелета, долготы восходящего узла базовой орбиты, аргумента широты точки старта, суммарного импульса скорости и модуль радиус-вектора Луны в зависимости от даты попадания в точку либрации Ь1 системы "Земля-Луна" для старта из окрестности восходящего узла орбиты.

Таблица 2.

Результаты математического моделирования перелета в лунную точку либрации Ь1 без учета второй зональной гармоники Земли и возмущающего

ускорения Солнца при старте из окрестности восходящего узла орбиты.

Дата попадания с начала эпохи, дни АУ2, м/с т0Р,, дней О о и , Ау, м/с и Луны э 108 м

90 873,741 3,527 -129,531 -23,199 3958 3,596

92 802,393 3,523 -89,992 -34,544 3889 3,670

94 726,620 3,643 -56,42 -36,751 3817 3,776

96 679,608 3,81 -32,793 -29,919 3773 3,882

98 655,950 3,973 -16,509 -17,831 3751 3,967

100 644,094 4,11 -3,72 -3,705 3740 4,025

101 640,510 4,167 2,231 3,5 3737 4,043

102 638,228 4,213 8,25 10,563 3735 4,056

102.5 637,669 4,233 11,366 13,985 3735 4,06

103 637,607 4,25 14,6 17,305 3735 4,062

103.5 638,159 4,263 17,988 20,498 3735 4,063

104 639,467 4,277 21,57 23,523 3737 4,062

106 655,593 4,297 38,756 33,316 3753 4,039

108 697,085 4,26 62,599 37,308 3793 3,983

110 769,007 4,153 -266,269+360 33,423 3863 3,892

112 870,575 3,957 -230,792+360 22,170 3961 3,777

114 894,654 3,803 -194,74+360 5,29 3971 3,662

116 868,553 3,693 -158,396+360 -11,709 3977 3,585

118 791,648 3,497 -118,296+360 -27,129 3952 3,578

120 732,629 3,483 -78,794+360 -36,203 3903 3,644

Как видно, минимальное значение суммарного импульса скорости достигается, когда Луна находится районе своего апоцентра.

Рассмотрим изменение положения Солнца в течение года (рис.5).

Рис.5 Расстояние до Солнца в зависимости от даты с начала рассматриваемой

эпохи.

Предлагается провести баллистический анализ в окрестностях максимальных (рис.6) и минимальных значений (рис.7) расстояния до Солнца. При этом проанализируем расстояние до Луны в рассматриваемых датах.

Рис.6а. Расстояние до Солнца в окрестности минимального значения в

зависимости от даты с начала рассматриваемой эпохи.

Рис. 6б. Расстояние до Луны в зависимости от даты с начала рассматриваемой эпохи в окрестности минимального значения расстояния до Солнца.

Рис.7а. Расстояние до Солнца в окрестности максимального значения в

зависимости от даты с начала рассматриваемой эпохи.

4.1x10a

S

i 4x10a o 3.9x10a

в 13x10a —

o

H в

'¿ 3.7x10

рч

З.бк 10a

170 173 176 179 1S2 185 ISS 191 194 197 200 Дата с начала рассматриваемой эпохи, дни

Рис. 76. Расстояние до Луны в зависимости от даты с начала рассматриваемой

эпохи в окрестности максимального значения расстояния до Солнца. Найдем значения суммарного импульса скорости, значения первого и второго импульса скорости, время перелета, долготу восходящего узла базовой орбиты, аргумент широты точки старта на базовой орбите при перелете из окрестности восходящего узла орбиты с учетом влияния второй зональной гармоники и возмущающего ускорения Солнца на интервале дат [-10;8] и [180; 188] дней с начала рассматриваемой эпохи. Значения приведем в таблице 3.

Таблица 3.

Результаты математического моделирования перелета в лунную точку либрации L1 с учетом влияния второй зональной гармоники и возмущающего

ускорения Солнца.

Дата попадания с начала эпохи, дни кУ2, м/с ÁV1, м/с Topt, дней о u , AVZ, м/с

-10 645,193 3098 4,013 -7,786 9,364 3744

-8 629,909 3099 4,187 4,226 4,652 3729

-7 627,781 3099 4,25 10,267 11,472 3727

-6 630,24 3099 4,29 16,725 18,004 3729

-4 651,927 3097 4,287 32,339 29,416 3749

-2 698,825 3095 4,183 54,444 36,239 3793

0 770,142 3092 4,02 -274,902 35,16 3863

2 851,413 3943 3,857 -238,881 25,681 3943

4 933,67 3090 3,7 -202,076 10,258 4023

6 858,368 3088 3,84 -163,303 -6,986 3946

8 847,128 3089 3,743 -132,064 -22,091 3936

180 675,082 3095 3,763 -16,545 -16,323 3770

182 649,038 3098 3,953 -3,352 -1,648 3747

184 634,01 3099 4,137 8,897 12,466 3733

185 631,685 3099 4,21 15,416 18,938 3731

186 634,053 3099 4,267 22,619 24,811 3733

188 657,853 3097 4,3 40,633 33,843 3755

Проведя анализ баллистического перелета, максимально приближенного к реальным условиям, можем сделать вывод, что оптимальной датой попадания КА в точку либрации Ь1 систем "Земля - Луна" при старте с низкой околоземной орбиты высотой 300 км является 24 декабря 2024 года в 12:00. Наклонение и долгота восходящего узла базовой орбиты равны I = 51,6° и ^ = 10,267°. Суммарный импульс

скорости равен АУХ = 3727м / с, первый и второй импульс скорости равны Ау = 3099м/с и АУ1 = 627,781м/с соответственно. Координаты точки старта на базовой орбите в экваториальной геоцентрической системе координат: Хка0=6286154,3 м, Ука0=1976130,821 м, 2ка0=1039795,634 м. Дата старта КА с базовой орбиты при которой реализуется оптимальный перелет в точку либрации -6:00 20 декабря 2024г.

За счет выбора даты, который учитывает положение Солнца, возможно снизить значение суммарного импульса скорости на, примерно, 8 м/с.

Библиографической список

1. Константинов М.С. Механика космического полета: учеб. для втузов / М. С. Константинов, Е. Ф. Каменков, Б. П. Перелыгин, В. К. Безвербый, В. П. Мишин; под. ред. В. П. Мишина. М.: Машиностроение, 1989. 407 с.

2. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механики и космодинамике.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", М., 1978, 312 с.

3. Окишев Ю.А. Основные подходы к численному моделированию частной задачи трех тел для баллистического анализа перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку Ь1 системы «Земля-Луна» / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев// Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. №1(69). С. 56-61.