CC BY
51
ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
_____________________2010 г. Выпуск 4 (19). С. 11-14__________________
УДК 519.62
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ
Т. Д. Карминская, В. З. Ковалев, П. И. Ципорин, О. В. Архипова
Развитие информационного общества в Российской Федерации в соответствии с долгосрочной целевой программой «Информационное общество» на 2011-2020 гг.» предполагает переход сферы образования на качественно новый уровень за счет совершенствования качества деятельности системы образовательных учреждений (ОУ), в том числе за счет использования современных информационных технологий. Соответственно, эффективное внедрение современных технологий в образование является важным фактором создания новой образовательной системы, отвечающей возрастающим требованиям информационного общества и процессу реформирования традиционной системы, а также является существенным свойством повышения качества образовательного процесса.
Для решения стратегических и оперативных задач оптимизации качества деятельности субъектов сферы образования актуальной задачей становится разработка проблемноориентированного комплекса программ оптимизации деятельности системы образовательных учреждений. Такой комплекс программ должен базироваться на математической модели, увязывающей разнородные показатели в единый комплекс, а также, в следствие данных большой размерности, специализированном численном методе.
Как показано в [3], математическая модель оценки показателей системы ОУ в развернутом виде можно представить как:
В то же время на оснащение и оптимизацию деятельности системы ОУ выделяется финансирование, которое всегда является ограниченным. Таким образом, необходимо в условиях ограниченных ресурсов добиться оптимального распределения их таким образом, чтобы получить максимальное значение показателей качества системы ОУ.
Для перехода к оптимизационной математической модели введем в (1) штрафные функции, регулирующие поведение целевой функции по выделенным ресурсам (2):
Введение
Математическая модель оценки деятельности системы образовательных учреждений
(1)
М 3 М
Я
3 М
2 = £<]= ЯХ 1пу)Х%■)+(Бу — £<!>ш/х8щ»2
т=1 ) =1 т=1 ^ т ) =1 т=1
(Хт) — Хтт у ) Х (Ы -1)
■МЫ,
Чш)
+1
3 М
Бу - ^ ( ^ Ахт) Х &ту ),
^ у=1 т=1
Ат = х — х
‘-^ту ^ту.план ^ту .текущ?
(2)
Хтт) = т1П Х)
Хтах) = тах ху
где:
Я - общее число событий;
гт - число попаданий события Х;
Событие Х - отнесение показателя чпу к уровню качества К;
N - число уровней качества;
Чт) - качественные аналоги показателей;
хт]. - показатели деятельности ОУ;
Б^, - выделенные ресурсы (в руб.);
5пу - «весовые» стоимостные коэффициенты показателей (в руб.);
Лхт). - приращение показателя хту.
После введения в рассмотрение фиктивного времени Т математическая модель оценки деятельности системы образовательных учреждений принимает вид:
=/ (кикут (т),т),
(3)
2 (г)=я (кикут (г)).
Таким образом, в соответствии с (3) получаем интегральную оценку каждого ОУ по нескольким выбранным группам показателей, а также предложенную оптимизацию в зависимости от выделенных ресурсов.
В связи с тем, что возможное число показателей и образовательных учреждений для регионального уровня может составлять большое значение, в каждом из которых необходимо вычислить целевую функцию, необходимо применить специализированный численный метод.
В данной работе разработан и предложен блочный, двусторонний метод оптимизации (БДМ).
Структура метода (в терминах [1, 2]):
I.
II.
р: х«+1 = хп+Ь■[1—Ь■а■ Ях]п ■ /п(х(то);то+^-Ь);
Е: /п+1 = /(хп+1);
хП+2 = а0 ■ хп + < ■ хп+1 + Ь ■[1 — Ь ■аР ■ Ях]п+1-1 ■[в ■ /п+1(х(то + Ь)То + г( ■Ь) +
—1
Р:
+воР ■ /п(х(то);то +Уо ■Ь)];
Е: /п+2 = / (хп+2);
с хП+2 = «с" ■ Хп + «1С ■ Хп+1 + И ■ [1 - И ■ ■ Ях]п+1-1 ■ [в ■ Л+2(хОо + 2 ■ Л); ■■ + У2 ■ И) +
+в1с ■ /П+1(х(^о+ИУ;Тс+У1 ■И)+в ■ /п(хОо);^о +усо ■И)];
О: 7(хП+2) >< 2(хП+2).
где а, ар, ас, ар2 , «р, «ор, «2", «\, «о", в2Р, в, вор, ^2", в!", во", ^, /Р, УС, /2", /С, Го" - коэффициенты метода,
И - шаг интегрирования,
■ - фиктивное время.
Для предложенного блочного, двустороннего метода оптимизации коэффициенты а, ар, аС, «2Р,«, «ор, «2, «С, «оС, вр , в\, воР, в2, в1С, во", Ур , ГР, Уо, /2", ГС, Го" подобраны из условия (при сохранении А-устойчивости) постоянства матрицы G = [1 - И ■ а ■ ях ] -1 и двусто-
ронности процедур «Р» и «С» в блоке вычислений 1-11. Блочная, двусторонняя конструкция метода позволяет существенно снизить затраты времени на расчет при заданной точности, так как используется общая наиболее трудозатратная матрица О во всех элементах конструкции - «Р», «С».
Отметим, что при определенных коэффициентах а, ар, аС ,«р,«р ,«р,«2 ,«1С ,«С,
вр, вр, вор, вс, вс, вс ,Ур,У\ ,Уо,Ус ,Ус ,Ус предложенный метод на задачах оптимизации сводится к методам Марквардта, Левенберга-Марквардта, но при этом теряется свойство блочности и двусторонности вычислений.
Вычислительные свойства БДМ подтверждены тестированием на «задаче Розенброка»: 2 (х) = 2 ■ х12 + х1 ■ х2 + х22 (таблица 1, рисунок 1).
Таблица 1. Сравнение БДМ и метода Марквардта
Математические операции Количество вычислений (метод Макрвардта) Количество вычислений (БДМ) Трудозатратность расчета элемента
Вычисление градиента 6 6 ~ а ■ п2
Матрица Гессе 6 4 ~ Ь ■ п
Обращение матриц 6 4 ~ С ■ П
Время расчета, о. е. 1 о,63
С ростом размерности задачи эффективность предложенного метода будет возрастать.
О 0.5 , 1
Рис. 1. Сравнение БДМ и метода Марквардта при поиске минимума функции / (х) = 2 ■ х12 + х1 ■ х2 + х22
Вывод
Оригинальный подход к оптимизации распределения ресурсов при оснащении системы образовательных учреждений, предложенный в работе, позволяет на объективной основе в режиме реального времени оптимизировать показатели качества деятельности отдельных ОУ, тем самым повышая качество оснащения системы в целом. В основе предложенного подхода лежит использование комплексной системы показателей, математической модели оценки показателей деятельности системы образовательных учреждений, учитывающей взаимные влияния показателей отдельных ОУ на систему в целом, и специализированного численного метода, учитывающего структурные и вычислительные особенности математической модели. Предложенный метод существенно выигрывает по времени счета у стандартных методов второго порядка, таких как метод Марквардта, Левенберга-Марквардта, Гира. Прирост в скорости счета получен за счет использования в расчетах единой матрицы G в одном блоке вычислений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hall G. Stability analysis of predictor-corrector algorithms of Adams type. SIAM J. Numer. Anal. - 494-505. - 1974.
2. Hull Т. Е., Creemer A. L. Efficiency of predictor-corrector schemes. J. Ass. comput. Mach., 10. - 291-301. - 1963.
3. Карминская, Т. Д. Математическая модель оценки обобщенных показателей качества деятельности системы образовательных учреждений [Текст] / Т. Д. Карминская, В. З. Ковалев, П. И. Ципорин, О. В. Архипова // Вестник Югорского государственного университета. - Ханты-Мансийск, 2010.
