ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖёСТКОСТИ ПРИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.632:531.262

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖЕСТКОСТИ ПРИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

© 2010 г. В.В. Соболев, А.А. Молчанов

Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, пл. Страны Советов, 1, Ростов-на-Дону, 344023, matematika@rgashm. т

Rostov-on-Don State Academy of Agricultural Engineering, Strana Sovetov Sq., 1, Rostov-on-Don, 344023, [email protected]

Разработаны методы устойчивого решения задачи Сен-Венана о кручении стержня для произвольной ограниченной односвязной области сечения с жордановой границей. Методы основаны, на прямом решении граничных задач для гармонических функций в неклассической дискретной постановке с процедурой регуляризации. Опробование методов с использованием компьютерных программ показало достаточно высокую их эффективность и точность.

Ключевые слова: задача Сен-Венана, кручение стержня, краевые задачи, гармоническая функция, численные методы, компьютерная программа.

S.-Venant problem stable solution numerical methods were created for torsion shaft of arbitrary bounded unity-connected domain section with Jordan bound. These methods based on direct solution of the boundary problems for harmonic functions by non-classical discrete statement with regularization procedure. Testing of these methods with employment of computer programs demonstrates sufficiently high efficiency and precision of them.

Keywords: Saint-Venant's problem, torsion shaft, boundary problems, harmonics function, numerical methods, computer programme.

Рассматривается классическая задача Сен-Венана о кручении прямого призматического или цилиндрического стержня с поперечным сечением произвольной формы, скручиваемого моментами силы, приложенными к концам стержня [1-4]. Пусть поперечное сечение однородного по всей длине стержня представляет собой односвязную область D. За ось стержня принимается линия, соединяющая центры тяжести всех поперечных сечений.

Решение задачи Сен-Венана сводится к определению функции кручения ф(х, у) - гармонической функции в области сечения стержня D с условием на дф

границе Г области D

dv

= y cos(v, x) - xcos(v, y) .

г

Здесь д/ду - производная в направлении внешней нормали к границе области сечения; соб(у,х), соб(у,у) -направляющие косинусы нормали.

Жёсткость при кручении стержня выражается произведением N = /И модуля сдвига / на геометрическую жесткость при кручении

И = ц( х2 + у2 - х д-ф- у Фыу.

Л ду дх)

Здесь ^ = \у(х, у) - гармонически сопряжённая к ф функция, являющаяся решением краевой задачи Дирихле с условием

г=1X + У2).

(1)

Известны точные и приближённые решения задачи о кручении стержня для самых разнообразных сечений в форме эллипса, правильного треугольника, прямоугольника, кругового сектора, тавра, двутавра,

различных многоугольников и других, сводимых к указанным случаям подходящим конформным отображением [1- 4]. Численные решения краевых задач Дирихле или Неймана, в частности, задачи о кручении стержня, для произвольных областей, в том числе клиновидных, могут быть получены методом конформного отображения [4], сведением к интегральным уравнениям [4-6], а также с использованием хорошо известных вариационных методов [6] или получивших своё развитие в последние десятилетия новых методов решения дифференциальных уравнений в частных производных (сеточные и бессеточные, МКЭ, МГЭ, МКГЭ и др. [7, 8]). Специфика некоторых из этих методов (конформных отображений, сеточных, МКЭ, МКГЭ) требует учёта конкретного вида области сечения стержня и/или немалого объёма предварительной «ручной» работы для подготовки модели к обсчёту. В других методах затруднены оценки погрешности и/или учёт неустойчивости решения краевой задачи в дискретной постановке, когда граничные значения задаются в отдельных точках границы и притом, как это часто бывает в практических случаях, с некоторой погрешностью. Погрешности могут возникать по разным причинам. В одних случаях это инструментальные погрешности измерения, в других -погрешности интерполяции. Для рассматриваемой задачи кручения граничные значения в (1) не содержат инструментальных погрешностей, однако при интерполяции в межузловых точках границы возникают погрешности.

Поясним сказанное. Для численного моделирования границы Г области D на практике приходится ограничиваться выбором конечного, обычно не слишком большого (из-за ресурсных ограничений) числа m

точек (узлов сети) £ ,...,£т , расположенных на Г

или вблизи Г, достаточно полно и точно описывающих Г. При этом в точках границы Г, не совпадающих с узловыми, в качестве граничных значений краевой задачи по необходимости берутся так или иначе интерполированные, приближённые значения.

В простейшем случае кусочно-постоянной интерполяции оценить такую погрешность можно следующим образом. Пусть ^ - положительное число такое,

что граница Г покрывается системой замкнутых кругов радиусов § с центрами в узловых точках £ £ ,

расположенных на Г. В случае выпуклой или полигональной области сечения Б за § можно взять

§1 = 1max (считаем £ = £). Т°гда при

21< } <т 1

замене в точке £еГ точного граничного значения у(£) = |£|2 /2 на приближённое у*(£) = £|2/2, где ^ -

ближайшая к £ узловая точка, возникает погрешность, не превосходящая величины + 81/2)•

Здесь ^ - наибольшее из расстояний точек £,...,£ от начала координат. Действительно, для £ 6 Г имеем

*1Ф,

(2)

+ R

При практической реализации указанных выше методов за счёт погрешности в задании граничных значений, возникающей из-за дискретизации границы и накопления ошибок вычислительных схем, могут возникнуть неконтролируемые погрешности конечных результатов вычислений. Всё это требует применения процедур, повышающих устойчивость результатов относительно малых погрешностей в исходных данных.

В работе предложен новый устойчивый численный метод решения задачи кручения, пригодный для случая сечения произвольной формы. Краевая задача Дирихле решается прямым методом с помощью аппроксимации функции у многочленами по основным гармоническим многочленам. Устойчивость решения достигается применением процедуры регуляризации по Тихонову [9]. Метод позволяет дать оценку предельной погрешности в определении величины геометрической жесткости Н. Объём вычислений в предлагаемом методе в основном определяется порядком решаемой СЛАУ (равным 2п+1, где п - порядок ап-проксимационного гармонического многочлена у ), а

не количеством узловых значений неизвестной функции на границе области, как это характерно, например, для МГЭ. Как показывают численные эксперименты, для большого класса областей сечений достаточно высокая точность результатов достигается даже при сравнительно небольших порядках п. В то же время количество узлов граничной сети в нашем методе практически не лимитировано. Это позволяет получать достаточно точную оценку аппроксимации граничных значений гармоническим многочленом у

и на этой основе определять предельную абсолютную погрешность величины H. К достоинствам метода можно отнести также то, что он даёт простые аналитические представления для обеих гармонических функций р, ц как на границе области, так и внутри

неё. Это позволяет легко получать (контурным интегрированием) величину H, апостериорную оценку точности в определении H, а также строить поля значений функций р, ц и касательных напряжений

Tzx = рЮ(дц/dy - y), Tzy = /ив(-дц/ dx + x).

Постановка краевой задачи

Пусть D - ограниченная односвязная область с жордановой кусочно-гладкой границей Г без точек возврата; |(x, y) - гармоническая в D и непрерывная

в D = DиГ функция, удовлетворяющая граничному условию (1). Известно, что всякую гармоническую в односвязной области D функцию можно рассматривать как действительную или мнимую часть некоторой регулярной в D функции F(z), z = x + iy. Пусть

ц = ImF. Тогда для функции кручения имеем р = Re F.

Согласно теореме Уолша [10], регулярную в D и непрерывную в D функцию F можно аппроксимировать многочленом сколь угодно точно равномерно в D для Ve > 0 существует многочлен

n ,

Pn(z) = -ibk)z с действительными коэффици-

k=0

ентами ak, bk такой, что max|F(z)-Pn(z)| <e. От-

zeD

сюда имеем max_||(x, у) - Im Pn (x + /y)| < e . Соглас-

(x, у )eD

но принципу максимума модуля гармонической функции последнее неравенство будет выполнено, если max | ц(x, y) - Im Pn (x + iy)| < e .

(x, y)er

Таким образом, функции р, ц можно приближённо определить формулами

p(x, y) = Pn (x, y) = Re Pn (x+iy), |( x, y) = In (x, y) = ImPn (x + iy)

с некоторым номером n и коэффициентами ak, bk,

выбранными так, чтобы при заданном e > 0 выполнялось условие

1 / 2 2 An(X У)--\x + У

<s , (x, y) еГ,

(3)

Переходя к полярным координатам r = |z| = |x + iy\, в = Arg(x + iy), имеем

cpn (x, y) = a0 + nrk (ak cos кв + bk sin кв), (4) к=1

A

n ,

,(x,y) =-b0 + 2 rk(-bk cosкв + ak sin кв), (5)

к=1

и условие (3) принимает вид

n , . . 1 J

b0 +Sr (bk coske-ak sinкврк + — r

к=1

Для производных функций фп , уп (с учётом условий Коши-Римана) имеем

ф = ЁЖ« = £ ктк-1 (ак cos(k - 1)0 + bk sin(k -1)0),

дx до к=1

= = £ кгк-1 (-Ък со8(к-1)0 + ак sin(к-1)0).

ду дх к=1

Определение функции у

Как известно [9], задача разложения функции в ряд Фурье обладает свойством неустойчивости: при малых вариациях коэффициентов ряда его сумма может измениться сколь угодно сильно. Поэтому даже при незначительных погрешностях, допущенных в определении коэффициентов Ъ , а,..., Ъ , погрешности

в определении фи, у по формулам (4), (5) при больших п (особенно при т > 1) могут стать значительными. В связи с этим для повышения устойчивости решения задачи применим хорошо известную процедуру регуляризации по Тихонову [9].

Задавшись номером п, определим коэффициенты Ъ0,а1,...,Ъп в соответствие с условием (6) по методу регуляризующего функционала [9], т.е. так, чтобы квадратичная невязка граничного условия (1) по контуру Г была согласована с условием (6) и при этом высокие гармоники многочленов (4), (5) были «подавлены». Именно потребуем, чтобы было

М а = М а(Ъ0, а1, Ъ1,...,ап, Ъп) = < + аО.^ шш. Здесь

< = <[Уп ] = &(Ъ0' аЪ Ъ1,...,ап, Ъп ) =

= —1— ¡1 уп (те10) - — г2 | ds ; в качестве «стабилизато-

ДГ) АЧ 2 )

ра» [9] взят функционал П = П[у„] = 0(Ъ0,а1,Ъ1,...,Ъп) =

Здесь

1

¿Г) Г"" +l^

ds, ¿(Г) - длина границы Г;

ds - элемент длины дуги; а , а > 0, - параметр регуляризации, который необходимо определить.

Согласно теории некорректных задач [9], задача на минимум Ма на множестве всех функций у, удовлетворяющих при заданном до, 0 <80 < <[0], условию <х[уи ] <8о, имеет единственное решение, которое достигается в случае равенства <х[уи ] <8о . Это следует из того, что соответствующее множество функций у выпукло, а функционал у ] - квадра-

тический.

Записывая необходимые условия минимума

dM а

= 0,

dMа

= 0,

dMа

, , = 0 (к = 1,2,...,п), прихо-

дЪо дак дЪк

дим к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

п п

£а1Ак1 (а) + £ Ъ1Бк1 (а) = Ек (к = 1,...,п),

I=1 I=0

пп

£а1Б1к(а) + £ЪгБш (а) = Е* (к = 0,1,...,п).

I=1 I=0

(7)

Л,,(а) = (1 + а)Jrk+1 sinквsinlOds +

А

+ akl J rk+l- 2 cos(k -l )6ds,

А

B^ (а) = -(1 + а) J rk+l sin кв cos lOds -г

-akl J rk+l - 2 sin(k -l)6ds, г

B* (а) = (1 + а) J rk+l coskOcos lOds +

+ akl J rk+l - 2 cos(k -l )Ods, г

Ek =1J rk+2 sin kOds, E* =-- J rk+2coskOds .

г

2 i

•Г 2 Г

Симметричная матрица СЛАУ (7) является матрицей Грама системы линейно независимых функций, поэтому она положительно определённая и СЛАУ (7) имеет единственное решение.

Параметр регуляризации а> 0 найдём по методу невязки [9] из уравнения < (а) = 8 . Здесь

ст„(а) = <(Ъ0(а),а1(а),...,Ъп(а)), ^(а), ..., Ъп(а) - решение СЛАУ (7) при фиксированном а > 0.

Величину допустимой невязки 8 > 0 зададим с учётом требуемого уровня точности е> 0 аппроксимации функции у на Г: 80 = е2.

Обычным образом [9, с. 72] доказывается, что <п (а) -монотонно возрастающая функция и <п (а) при

а ^ ( , где <г(() = <[0] = —1— [ т4ds.

4ДГ) Г

Следовательно, уравнение невязки имеет (и притом единственное) решение а тогда и только тогда, когда выполняются условия

<п (0) < е2 <<((). (8)

Покажем, что при любом е > 0 условию <п(0) < е2

можно удовлетворить выбором достаточно большого п. Действительно, система основных гармонических многочленов Яе(/), 1ш(/) (к = 0,1,2,...) полна в гильбертовом пространстве гармонических в D и непрерывных в О функций g с нормой, определяемой

2 1?

равенством = —— | g ds для случая, когда D -

ДА)А

область типа Смирнова [11, с. 250-257], к которой относятся, в частности, все области (как в нашем случае) с кусочно-гладкими жордановыми границами. Ортогонализуем систему яе(2*), 1ш(г*) по Шмидту и

обозначим через g| (к = 0,1,2,...) полученную систему

гармонических многочленов. Отметим, что g| - мно-

( * *

гочлен от х, у степени ровно k. Пусть у = £ ак gk -

к=0

ряд Фурье для функции у, являющейся решением

2

задачи Дирихле с условием (1), и уп = 2 акg|c - час-

k=0

тичная сумма этого ряда. По норме гильбертова про-

странства имеем

у* ^ у при n ^ с

.. те. —1— J ~ г2 /22ds <s при достаточно большом п.

Дг)а

Но тогда для функции уп, минимизирующей функционал ст[у] на множестве всех гармонических многочленов степени не больше п, будем иметь

°~п (0) = \Wn " И12 = а[^п] ^ °Wn] < е. Требуемое доказано.

В случае гладкой границы Г из сходимости уп ^ у при n ^ œ по указанной норме вытекает равномерная сходимость р ^ р внутри D, если считать Re.F(0)=0 и ф (0) = о при любом п=1, 2,... [6,

с. 465-467]. Но тогда, согласно известной теореме Вейерштрасса [12, с. 17], внутри D имеет место рав-

номерная сходимость ^ при любом

dz dz

т

k=1, 2, ... , n, а значит, и равномерная сходимость

5 k

dxl dyk

Уп ^

ck

dxl cyk -l

у.

Определение геометрической жёсткости стержня

Примем приближённо за величину геометрической жёсткости при кручении Н значение интеграла

Нп = я( х2 + у2 + х ^ - у ^п ^.

D

Применяя формулу Грина, имеем

Hn = f (- x2y - x*Pn px + (xy2 - УФп )dy .

г

(9)

Отметим, что величина контурного интеграла (9) не зависит от выбора коэффициента а в формуле (4).

Формула (9) используется для приближённого вычисления величины жёсткости Н.

Для оценки погрешности при вычислении Н воспользуемся другой формой представления

Нп = Я(х2 + у2 - х 1

D V

cx

п -y^ dxdy.

СУ

Отсюда, учитывая граничные значения (1), приходим к равенству

(10)

Hn = 2 Wwndxdy - ii(x2 + y2 )dxdy.

D

\Х +

В

Пусть абсолютная погрешность аппроксимации функции у на контуре Г не превышает е:

шах|у£)-уп £) < е . Тогда

шах_|у(х,у)-уп(х,у)<е, и с использованием (10)

(х,у)еО

получаем оценку

АНп = |Н - Нп\ < 2//1 у- уп^у < 2е • £ (В) .

В

где £(В) - площадь области Б.

(11)

Дадим оценку величины s . Пусть £ - произвольно фиксированная точка на Г и £ - ближайшая к £ узловая точка. Имеем

|i(£)-in (£|<k(£)-^(£j) + +|(£j)- in (£j + (£j)- in(£) < <S1 +s2 +s3 >

где si = Si (Rmx + Si / 2) - ранее установленная оценка (2),

52 = max |n £j )- ((j2 + v] )/ ],

1< j<ml I

53 = max max |yn (£ )-yn (£) - (апостериорные)

1<j<m |£-£j|<si J 1

оценки, которые при известных коэффициентах могут быть получены непосредственно с использованием формулы (5). Расчёт величины S] не вызывает затруднений. Дадим оценку величины S3. Пусть Д( = Re(£ - £ ), Д( = Im(£ - £j),

t = arg (£-£j), rj =|£j|, = arg£j. Тогда при

|£-£j| <S имеем (0<5<i): |£)-|=

¿Уп (£j +З81eit (£j +З81eit ^

= 38

£ krk-1 [- bk cos((k- 1)0j +1)+ ak sin ((k- 1)6>j +1)

C=1

<38i £ kr-4-1 д/ak + bk

k=1

Следовательно, s3 < K81, где

Kn = max t krk + bj .

1< j<mk=1

*

Итак, e < e* , где e*n =Si(R

max

+ K„ + ¿>1 / 2) + e2, и, следовательно, согласно (11), получаем AHn < An, где

*

A„ = 2e*S(D) . (15)

Практическая реализация метода

По описанному методу разработан программный комплекс в составе трёх программ [13]. Охарактеризуем некоторые особенности алгоритмов этих программ.

1. На границе Г области D задаётся система точек ^1,^2,...,Ст, образующих на Г достаточно плотную сеть узлов так, чтобы замкнутый многоугольник Dm с вершинами в этих точках достаточно точно аппроксимировал область D. Угловые точки границы Г, если таковые имеются, включены в данную систему точек.

2. Если исходная область D представляет собой полигон с вершинами A1,Aj,...,Ap , то задаются только их координаты. Однако, если число вершин p невелико, то для повышения точности квадратур заданное множество граничных точек пополняется допол-

п

<

нительными. Такое пополнение выполняется в автоматическом режиме путём добавления точек, равномерно распределённых внутри звеньев ломаной А1А2. ..АрЛ-[. Полное множество вершин (не зависимо от того, пополнялось оно или нет) обозначается

3. Все криволинейные интегралы по длине дуги на Г вычисляются приближённо по специальной, высокоточной квадратуре [14]. При этом используются граничные значения функции у только в узлах сети

4. Задаётся число в,в> 0. При заданном номере п и а = 0 находится решение СЛАУ (7) и, если условия (8) разрешимости уравнения невязки выполнены, то

итерационно решается уравнение а*(а) = в2 для параметра регуляризации.

5. Если при заданном в условия (7) не выполнены, порядок п многочлена уп увеличивается и все вычисления повторяются. Если увеличение п не приводит к желаемому результату, следует повысить точность аппроксимации границы области сечения В за счёт увеличения количества т и сгущения узловых точек полигона Вт.

6. Для полученного регуляризованного решения

*

СЛАУ (8) вычисляется апостериорная оценка в* точности аппроксимации функции у на границе Г и предельная абсолютная погрешность Д* геометрической жёсткости Н согласно (12). При этом для повышения точности расчёт в* выполняется по более плотному множеству узлов, нежели множество • Для этого на каждом звене [^у+1]

(/=1,...,т) ломаной ^ ^ берётся дополнительно

достаточно большое число (в нашей программе - до 400) равномерно распределённых точек, и величины -^тах' ' в 2, Кп рассчитываются для новой сети узлов. За окончательное решение принимается найденное путём подбора параметров т, п, в значение Нп с минимальной величиной предельной абсолютной погрешности Д* •

Опробование метода

Выполнено опробование метода расчётами для различных видов и размеров областей сечений. Ниже приведено описание модельных областей и некоторые результаты расчётов для них (табл. 1, 2). Для сравнения приводятся соответствующие приближённые значения величины Н, полученные по методу МГЭ (прямая формулировка [7]).

1) модель «Эллипс». В - внутренность эллипса с полуосями 5 и 2;

2) модель «Треугольник». В - правильный треугольник с высотой 3;

3) модель «Квадрат». В - квадрат со стороной 2;

4) модель «Шестиугольник». В - правильный шестиугольник со стороной 1;

5) модель «Круговой сектор». В - сектор круга радиуса 1 с углом раствора 120 ° (рис. 1);

6) модель «Улитка Паскаля». Граница области В -кривая х = (3008? + ео82г) / 2, у = (38т г + $т2г) / 2 («улитка Паскаля») (область на рис. 2 получена из В преобразованиями сдвига и поворота);

7) модель «Трапеция». В - равнобокая трапеция с углом при основании 63° (рис. 3);

8) модель «Уголок». В - шестиугольник с 5 прямыми углами; длина большей стороны 3, меньшей -1 (рис. 4);

9) модель «Тавр» (рис. 5).

О. 86к У 1 х

-°'55V О Jo. 45

Рис. 1

У 1.471

Г х

o fl. 742

-1.591

У 1.11

/ \ x

"7 o \

-2.00 -0.89 2.00

Рис. 2

Рис. 3

У / S x

o

Рис. 4

У 2.0

x

-4 0 o 4 0

-4. 0

Рис. 5

В табл. 1 2 используются обозначения: Н- точное 8Нп = 100H -Йп\/H - фактическая относитель-

значение; Hn - приближённое решение; Д - предель- „, _

n r r п г ная погрешность, %; н - приближённое решение по

ная абсолютная погрешность Н; Дб нп = \н - нп\ - методу МГЭ с к линейнЫми элементами. фактическая абсолютная погрешность Н;

Таблица 1

Приближённые значения геометрической жёсткости (модель «Эллипс», H =108,33; Й = 108,09)

p m а Hn Дп Д» йп H , %

30 30 - 0 Н2 =110,13 3,29 1,80 1,66

30 62 - 0 Н6 =107,15 2,52 1,18 1,09

30 122 - 0 Н12=106,83 1,70 1,50 1,38

30 122 0,01500 0,000603 Н12=106,95 2,36 1,38 1,28

64 64 - 0 Н2 =108,73 0,96 0,40 0,37

64 64 - 0 Н6 =108,73 0,96 0,40 0,37

64 64 - 0 Н2 =108,04 0,47 0,29 0,27

64 64 0,00400 0,000181 Н6 =108,07 0,58 0,26 0,24

100 00 - 0 Н6 =108,50 0,50 0,17 0,15

100 00 0,00010 0,000012 Н6 =108,50 0,50 0,17 0,15

100 52 - 0 Н6 =108,20 0,43 0,13 0,12

100 52 0,00010 0,000012 Н12 =108,49 0,26 0,16 0,16

200 200 - 0 Н3 =108,37 0,19 0,04 0,04

200 200 - 0 Н6 =108,37 0,19 0,04 0,04

200 200 - 0 Н12=108,37 0,19 0,04 0,04

200 200 0,00001 0,000005 Н12=108,35 0,16 0,02 0,02

Таблица 2

Погрешности вычисления геометрической жёсткости

Модель Р m s Hn Д п Д ф H п тп, % H H п

Треугольник 3 90 90 190 190 0,001 0,0004 0,0001 0,00001 H6 =3,1382 H6 =3,1363 Н6 =3,1221 Н28 =3,1216 0,0445 0,0226 0,0075 0,0045 0,0205 0,0186 0,0044 0,0039 0,66 0,60 0,14 0,12 3,1177 [1] н48 = 3,1026

Квадрат 4 100 100 200 200 0,00013 0,00005 0,0015 0,0001 Н8 =2,263 Н24 =2,262 Н8 =2,254 Н24 =2,252 0,065 0,015 0,057 0,003 0,010 0,009 0,001 0,001 0,44 0,40 0,04 0,04 2,253 [2] Й48 = 2,229

Шестиугольник 6 60 180 180 - Н10=1,0405 Н20=1,0360 Н28=1,0360 0,0609 0,0127 0,0069 - - - Й48 = 1,0328 Й56 = 1,0334

Круговой сектор 47 59 59 63 94 177 0,0002 Н24 =0,1441 Н18 =0,1441 Н26 =0,1440 0,0020 0,0019 0,0014 - - 0,1480 [2] Й„ = 0,1440 Й59 = 0,1442

Улитка Паскаля 90 90 180 0,007 0,0015 Н14=11,675 Н24=11,679 0,645 0,149 0,008 0,004 0,07 0,03 11,683 [5] н48 = 1 1,554

Трапеция 4 56 120 190 - Н8 =4,519 Нм=4,457 Н17=4,448 0,498 0,205 0,148 - - - H32 = 4,359 Й9 = 4,402

Уголок 6 168 - Н28=1,587 * - - - н56 = 1,562

Тавр 8 168 184 - Н24= 33,90 Н26= 33,74 * * - - 21,74 [3] Й ,2 = 30,85

* - неинформативная оценка.

Как видно из табл. 1, 2 с увеличением числа узлов т на границе и порядка п гармонического многочлена, а также уменьшением е точность решений, как правило, увеличивается. Для полигональных областей достаточно высокая точность достигается даже без

регуляризации (т.е. при «, = 0 - методом наименьших квадратов). Для областей с криволинейными границами, когда дополнительно сгенерированные узлы не лежат точно на границе, применение процедуры регуляризации повышает точность.

Для невыпуклых областей с угловыми граничными точками, при которых внутренние углы больше 180 ° (см. модели «Уголок», «Тавр»), расчёт предельных погрешностей a приводит к величинам, которые не несут полезной информации, что несколько снижает ценность метода. Однако и в этих случаях приближённые значения Hn близки к результатам, получаемым по методу ГЭ.

В сопоставимых условиях при одинаковых порядках СЛАУ, решаемых нашим методом и методом ГЭ, величины нп и H2 +1 получаются близкими, однако

для выпуклых областей или областей с гладкими границами наш метод точнее. Высокая точность результатов, полученных в моделях с известными решениями, даёт основание считать метод надёжным. Степень доверия к полученному приближённо значению H оценивается по расчётной величине д : интервал

(н - A ■ H + A ) гарантированно покрывает истинное

V n n' n n J

значение H. Метод позволяет получать величину H с использованием значений функции р только на границе области сечения без привлечения значений её частных производных. Метод прост, не требует больших затрат времени для подготовки модели к обсчёту, достаточно эффективен и обеспечивает приемлемую, и притом контролируемую, точность решения задачи Сен-Венана для широкого класса областей: выпуклых или с гладкими границами. По затратам машинного времени он сопоставим с МГЭ, несколько уступая последнему, в основном за счёт применения процедуры регуляризации; без её применения быстродействие практически такое же: проигрывая методу ГЭ во времени подсчёта каждого элемента матрицы СЛАУ за счёт использования в квадратурах большего числа граничных точек, наш метод выигрывает за счёт симметричности матрицы.

Метод может найти применение в инженерной практике для исследования зависимости крутильной жёсткости стержня от геометрических параметров и конфигурации его области сечения.

Литература

1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.,

1975. 576 с.

2. ГеккелерИ.В. Статика упругого тела. Л.; М., 1934. 287 с.

3. Новацкий В. Теория упругости. М., 1975. 872 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи мате-

матической теории упругости. М., 1966. 708 с.

5. Пожарский Д.А. Смешанная задача теории упругости

для составного плоского клина // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 5. С. 36-38.

6. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической

физике. М., 1970. 512 с.

7. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных

элементов. М., 1987. 524 с.

8. Громадка Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных

элементов в инженерных задачах. М., 1990. 303 с.

9. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некоррект-

ных задач. М., 1979. 288 с.

10. Walsh J.L. Über die Entwicklung einer analytischen Function nach Polynomen // München. Math. Ann. 1926/27. № 96. P. 430-436.

11. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических

функций. М.; Л., 1950. 338 с.

12. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций ком-

плексного переменного. М., 1966. 628 с.

13. Соболев В.В. Программы численного решения задачи

Сен-Венана о кручении стержня произвольного сечения (программный комплекс для ЭВМ). Ростов н/Д, РГАСХМ. Зарегистрир. ФГУП. М., 2008. 22 с. 23.12.08, № 50200802492.

14. Соболев В.В., Ищенко Н.В. Численное интегрирование:

методические указания к лабораторной работе с использованием ЭВМ. Ростов н/Д, 1999. 28 с.

Поступила в редакцию

11 июня 2009 г.