CC BY
24
УДК 517.958:535.4, 519.642.2 DOI 10.21685/2072-3040-2020-4-3
А. А. Цупак
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА НЕПЛОСКОМ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕМ ЭКРАНЕ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Цель работы - программная реализация параллельного алгоритма решения задачи дифракции электромагнитной волны на идеально проводящем неплоском экране.
Материалы и методы. Рассматривается векторное интегродифференциа-льное уравнение задачи дифракции; определяются базисные вектор-функции для решения задачи на неплоских параметрически заданных экранах. Для приближенного решения задачи используется метод Галеркина.
Результаты. Определены базисные вектор-функции на неплоских гладких параметризуемых экранах; программно реализован метод Галеркина, использован интерфейс MPI для параллельной реализации метода. Проведены вычислительные эксперименты и анализ эффективности параллелизации численного метода.
Выводы. Результаты вычислительных экспериментов подтверждают сходимость метода Галеркина и целесообразность использования параллельных алгоритмов для решения сложных векторных задач дифракции.
Ключевые слова: векторная задача дифракции, неплоские экраны, интегродифференциальные уравнения, метод Галеркина, параллельные алгоритмы.
A. A. Tsupak
A NUMERICAL METHOD AND A PARALLEL
ALGORITHM FOR SOLVING THE PROBLEM OF ELECTROMAGNETIC WAVE DIFFRACTION ON A NON-PLANAR PERFECTLY CONDUCTING SCREEN
Abstract.
Background. The purpose of the work is to develop and implement the parallel algorithm for numerical solving the problem of electromagnetic wave diffraction by non-planar perfectly conducting screens.
Materials and methods. Vector integro-differential equation of the diffraction problem is considered; basis vector functions on non-planar parameterized screens are introduced; the Galerkin method is used to find approximate solutions of the problem.
Results. The Galerkin method is implemented using the MPI interface; computational experiments are performed; efficiency of parallelization of the numerical method is analyzed.
'Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 18-01-00219A.
© Цупак А. А., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Conclusions. The results of numerical tests confirmed the convergence of the Galerkin method and usefulness of using parallel algorithms for solving complex vector scattering problems.
Keywords: vector problem of diffraction, non-planar screens, integro-differential equations, the Galerkin method, parallel algorithms.
Введение
Рассматривается векторная задача дифракции монохроматической электромагнитной волны на гладком бесконечно тонком идеально проводящем неплоском экране, которая сводится [1] к векторному сингулярному ин-тегродифференциальному уравнению по поверхности экрана.
В случае, когда экран расположен в поглощающем трехмерном
пространстве Ж , оператор интегродифференциального уравнения является эллиптическим [1] в подходящих пространствах, что влечет сходимость метода Галеркина с базисными функциями, удовлетворяющими условию аппроксимации [2].
Для решения задачи дифракции на плоских (или кусочно-плоских) экранах можно использовать базисные финитные вектор-функции типа RWG или rooftop [3-8]. В случае неплоских экранов эффективным с вычислительной точки зрения является подход, состоящий в приближении гладкого экрана кусочно-плоским [9]. Однако теоретическое обоснование такого подхода затруднительно, так как фактически происходит замена пространства решений на гладком экране пространством функций, заданных на кусочно-плоском экране с ребрами.
Цель данной работы - реализовать метод Галеркина для решения векторной задачи дифракции электромагнитной волны на неплоских параметрически заданных экранах Q .
Для определения базисных вектор-функций на неплоских экранах вводится равномерная прямоугольная сетка в области параметров D и задаются функции rooftop. Базисные функции на неплоском экране Q определяются как образы функций rooftop при действии естественного отображения касательных пространств dx : TD ^ TQ ; здесь x = x(t) : T ^ Q есть вектор функция, с помощью которой параметризуется экран Q .
Проведенные эксперименты показали, что метод Галеркина является достаточно требовательным к вычислительным ресурсам. Это обусловлено более сложным (в сравнении со случаем плоских экранов) алгоритмом вычисления матричных элементов, выражающихся через четырехкратные интегралы и дифференциальные операторы на экране (касательные дивергенцию и градиент). Это приводит к необходимости разработки параллельных алгоритмов для решения задачи за приемлемое время.
В статье описана идея параллельного алгоритма решения задачи дифракции; проведен обзор вычислительных экспериментов на многоядерном персональном компьютере, проведен анализ эффективности параллелизации численного метода, реализованного на языке C++ с использованием интерфейса MPI.
1. Интегродифференциальное уравнение задачи дифракции
Будем рассматривать гладкие ориентируемые ограниченные поверхно-
3
сти Q в Ж , заданные параметрически:
*(') = (Ь),Х2(Ь,¿2),¿2)). (1)
В качестве множества изменения параметров будем рассматривать
2
связную область Б с □ , представляющую собой, например, конечное объединение прямоугольников.
Предположим, что функции х^ е С(Б), а всюду в Б матрица Якоби ) = дх/Э^ имеет ранг, равный 2. Тогда О - гладкая поверхность с кусочно-гладкой границей дО, состоящей из конечного числа дуг, сходящихся под углами, отличными от нулевого. Введение регулярных координат по формуле (1) определяет и гладкое поле нормалей п на О.
Задача дифракции монохроматической электромагнитной волны
(Е,Н) = (Е, Н)е_1ЮГ сводится [1] к векторному интегродифференциальному уравнению:
-( + gradт divт)J О (х, у )и (у )dsy = Ео,т(х), х еО, (2)
О
здесь ке = - волновое число свободного пространства; Ео т - каса-
е1
eike\x— У\
тельная составляющая падающей электрической волны, О (х, у) = -
4п | х - у |
Операторы поверхностной (касательной) дивергенции и градиента определяются следующим образом [10, 11]:
divт и = д,иЭух, gradт ф = д,фЭух, (3)
здесь д,- - операция дифференцирования по параметру ; glJ - тензор, обратный к метрическому тензору gij = д,х • дух ; также опущен знак суммирования по индексам I, у. В случае плоского экрана (например,
1 2
1- ди ди , .дф дф ...
х1 = ¿1, х2 = ¿2, хз = 0) получим divт и = — + —-, gradтф = (—Ц—Ц0).
Оператор Б: Ж(о)^ Ж'(О) уравнения (2), рассматриваемый как
псевдодифференциальный оператор [12] в пространствах сечений векторных расслоений, является фредгольмовым оператором при ке Ф 0 и эллиптическим при 1тке > 0 [1].
2. Описание численного метода и параллельного алгоритма. Результаты расчетов
Метод Галеркина для уравнения
Би = и0, Б (О)^ Ж'(О), (4)
приводит к системе линейных алгебраических уравнений
(Би N, уг) = , 1 = и-N, (5)
здесь Г, ^ = | Гgds - полуторалинейная форма, непрерывная на паре про-О
странств Ж', Ж ; V,- - базисные вектор-функции;
N
и N (х) = 2 (Х)' Х - (6)
-=1
приближенное решение уравнения (4); с, - неизвестные коэффициенты.
Определим базисные вектор-функции на произвольном гладком параметризуемом экране О. В области параметров В = [0; 01] X [0; о^] с равномерной сеткой узлов
ак
= h1i1, = к2-2, % =-, -к = 0,...5пк,
пк
введем два набора конечных элементов
В12 = [V ^ + 2]х \ +1] (-1 = 0,...5 п - 2, -2 = 0,..., п -1), = ; М х в2; ^+2] (-1 = 0,..., п -1 -2 = а... п - 2)
и два набора скалярных финитных кусочно-линейных функций
№ )=^
i1i2
1-|t1 -tе Di1i2; ^ = 0, f й D1i2; Vi1i2
1-|f2 -f2,i2 I*-1, tе d22; 0, t й Dii .
Определим вектор-функции типа rooftop:
y0);.1 (t) = (vii1 (t),0,0), y0);.2(t) = (0,^¿(0,0). (7)
i1i2 \ 42 ) .1.2 \ .1.2 )
Такие функции подробно исследованы в [13], а в [7, 8] описано их применение для численного решения задачи дифракции на системе препятствий различной размерности. Таким образом, получено семейство
вектор-функций v0(t), удовлетворяющих [13] условию полноты в пространстве W(D) ( D - плоская область).
Теперь определим базисные функции в пространстве W(Q) сечений Q ^ TQ касательного расслоения TQ гладкой поверхности Q . Так как по предположению координаты на Q являются гладкими, то дифференциал
dx(t): TtD ^ TxQ
есть биекция.
Базисные функции v.. (x) в точках x = x(t) = x(ij, t2) неплоского
экрана определим как перенесенные дифференциалом dx вектор-функции типа rooftop:
у* (х(0) = dx V 0,к (¿1, ¿2), х(0 еО.
1112 1112
Число базисных функций при заданном разбиении равно N = («1 -1)«2 + (п2 -1)«1 ■
(8)
0 2
На рис. 1,а представлен график второй компоненты функций у^ (^) на прямоугольнике Б = (0; 2п) X (0; п) при числе разбиений «1 = «2 = 4 .
На рис. 1,б,в,г изображены соответственно первая, вторая и третья компонен-
2
ты базисной вектор-функции уц на единичной сфере.
0 2
Рис. 1. Функция (() е [0;1] на Б (а); первая (б), вторая (в) и третья (г) компоненты базисной вектор-функции у21 на единичной сфере
Расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений (5) представим в блочном виде:
S =
( S11
>12 f1' ч821 822 f2, Элементы столбца правой части вычисляются по формулам:
fk) = /E0,yk \ = J E0(x(0)• yk.2(x(0K/g(0di,
(9)
D
12
2
где £(0 = det£у(V) = )£22^)-£12^)• Элементы блоков основной матрицы таковы:
к1Г =1 . , V
'JiJi \ jl j2' V2
= j ((gapaaVij2(oapx)avx+^Avjt))• ^xtvjgitjdt, (ю)
Dk
12
здесь
Av
jt) = j G(x(t),x(s))vljih(x(s))4g{s)ds. (ll)
В1 .
Л12
Для заполнения матрицы системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) требуется много времени, особенно при большом числе базисных функций, необходимом для получения приближенных решений задачи с приемлемой точностью.
Эффективным оказывается простейший параллельный алгоритм заполнения матрицы СЛАУ. Пусть N - порядок матрицы, а М - число процессов. Будем заполнять и хранить на р -м процессе (р = 0,...,М — 1) горизонтальные блоки расширенной матрицы S размера Np X ^ +1). Здесь число Np строк р -го блока равно [N / р] ([ ] - операция вычисления целой части), если р Ф М — 1, а NM—1 = N — (М —1)[N / р].
В табл. 1 приведены сведения о времени (в секундах) заполнения матрицы СЛАУ при различном значении N порядка матрицы и числа М задействованных процессов. Вычисления проводились на суперкомпьютере «Ломоносов-2» Центра коллективного пользования сверхвысокопроизводительными вычислительными ресурсами Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова [14].
Таблица 1
Число разбиений «1 = «2 8 16 32 64
Порядок матрицы N 112 480 1984 8064
Число процессов М 4 3.4 31 380 5649
8 1.6 15 190 2824
16 0.739 7.5 94 1400
32 0.29 3.4 46 700
64 0.08 1.6 23 358
Для решения СЛАУ предложена простейшая параллельная реализация метода Гаусса. На к -м шаге метода (к - номер ведущей строки) осуществляется:
- определение номера рк процесса, на котором хранится ведущая строка;
- преобразование ведущей строки (деление ее на ведущий элемент) на Рк -м процессе;
- рассылка преобразованной ведущей строки от рк -го процесса всем остальным процессам;
- выполнение всеми процессами процедуры исключения Жордана -Гаусса.
В табл. 2 представлены данные о зависимости времени решения СЛАУ методом Гаусса от порядка М матрицы и числа процессов N .
Таблица 2
Порядок матрицы N 112 480 1984 8064
Число процессов М 4 0,0007 0,031 2,4 288
8 0,0008 0,018 1,8 163
16 0,4 0,34 0,9 82
32 0,82 0,77 1 56
64 2,31 1,7 2 36
Применение параллельного алгоритма для решения СЛАУ методом Гаусса оказалось эффективным при достаточно больших значениях порядка матрицы (более тысячи). При малых же происходит существенное замедление вычислений: сказываются относительно большие затраты времени на обработку межпроцессорного обмена данными в сравнении со временем, необходимым для выполнения арифметических операций.
На рис. 2 представлены графики приближенных решений задачи дифракции плоской электромагнитной волны Е0 (х) = (0, е7кеХ1,0) на единичной сфере П = ^1(0) с центром в начале координат (диаметр сферы равен 2 м). Волновое число поглощающего пространства ке = 1 + 7 • 0.001, что соответствует электромагнитной волне с длиной волны Х = 2п м и круговой
частотой 3 • 108 Гц.
Особенности поведения векторного решения задачи отображены на рис. 3, где, помимо модуля | и N |, решения при N = 32512 представлены мо-
1 2 3
дули всех его компонент UN, UN, UN.
Заключение
Рассмотрена векторная задача дифракции электромагнитной волны на неплоском идеально проводящем экране. Сформулирован метод Галеркина решения сингулярного интегродифференциального уравнения по поверхности экрана. На гладких неплоских параметризованных экранах определены базисные вектор-функции. Предложена и программно реализована параллельная версия метода Галеркина. Выполнены вычислительные тесты, иллюстрирующие сходимость метода, правильность и эффективность его параллельной реализации.
Работа выполнена с использованием оборудования Центра коллективного пользования сверхвысокопроизводительными вычислительными ресурсами Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
10.048
г 0.059
а) n1 = 8, N = 112
б) n1 = 16,N = 480
10.056
в) п1 = 32,N = 1984
Рис. 2. Модуль приближенных решений и N интегродифференциального уравнения на единичной сфере
г) I u N
Рис. 3. Решение задачи на единичной сфере при п = 128, N = 32512
Библиографический список
1. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - Москва : ИПРЖ «Радиотехника», 1998. - 176 с.
2. Kress, R. Linear integral equations / R. Kress. - Berlin : Springer-Verlag, 1989.
3. Rao, S. M. Electromagnetic Scattering by Surface of Arbitrary Shape / S. M. Rao, D. R. Wilton, A. W. Glisson // IEEE Trans. Antennas Propagation. - 1982. - Vol. Ap-30, № 3. - P. 40930-418.
4. Hanninen, I. Singularity subtraction integral formulae for surface integral equations with RWG, rooftop and hybrid basis functions / I. Hanninen, M. Taskinen and J. Sarvas // Prog. Electromagn. Res. PIER. - 2006. - Vol. 63. - P. 243-278.
5. Смирнов, Ю. Г. О сходимости методов Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах, и решении уравнения электрического поля // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. -Т. 47, № 1. - С. 133-143.
6. Антонов, А. В. Разработка web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархических параллельных алгоритмов и ГРИД-технологий / А. В. Антонов, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 4. -С. 60-67.
7. Смирнов, Ю. Г. Решение задачи электромагнитной волны на экранах сложной формы / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, М. А. Максимова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2012. - № 4. - С. 59-72.
8. Смирнов, Ю. Г. Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на системе тел и экранов / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, А. А. Цупак, М. А. Максимова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3. - С. 114-134.
9. Daeva, S. G. Numerical Simulation of Scattering of Acoustic Waves by Inelastic Bodies using Hypersingular Boundary Equation / S. G. Daeva, A. V. Setukha // AIP Conference Proceedings. - 2015. - Vol. 1648. - P. 39004-1.
10. Wandzura, S. Electric current basis functions for curved surface / S. Wandzura // Electromagnetics. - 1992. - Vol. 12. - P. 77-97.
11. Дубровин, Б. А. Современная геометрия / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. - Москва : Наука, 1982. - 372 с.
12. Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей / М. С. Агранович. -Москва : МЦНМО, 2013. - 378 с.
13. Медведик, М. Ю. Применение функций крышек для решения задачи дифракции электромагнитных волн на экранах сложной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 3 (23). - С. 84-98.
14. Supercomputer Lomonosov-2: Large Scale, Deep Monitoring and Fine Analytics for the User Community / V. l. Voevodin, A. Antonov, D. Nikitenko, P. Shvets, S. Sobolev, I. Sidorov, K. Stefanov, Vad. Voevodin, S. Zhumatiy // Supercomputing Frontiers and Innovations. - 2019. - № 6 (2). - P. 4-11.
References
1. Il'inskiy A. S., Smirnov Yu. G. Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh tonkikh ekranakh [Diffraction of electromagnetic waves on thin conducting screens]. Moscow: IPRZh «Radiotekhnika», 1998, 176 p. [In Russian]
2. Kress R. Linear integral equations. Berlin: Springer-Verlag, 1989.
3. Rao S. M., Wilton D. R., Glisson A. W. IEEE Trans. Antennas Propagation. 1982, vol. Ap-30, no. 3, pp. 40930-418.
4. Hanninen I., Taskinen M., Sarvas J. Prog. Electromagn. Res. PIER. 2006, vol. 63, pp. 243-278.
5. Smirnov Yu. G. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of computational mathematics and mathematical physics]. 2007, vol. 47, no. 1, pp. 133143. [In Russian]
6. Antonov A. V., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh za-vedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2007, no. 4, pp. 60-67. [In Russian]
7. Smirnov Yu. G., Medvedik M. Yu., Maksimova M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 4, pp. 59-72. [In Russian]
8. Smirnov Yu. G., Medvedik M. Yu., Tsupak A. A., Maksimova M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 3, pp. 114134. [In Russian]
9. Daeva S. G., Setukha A. V. AIP Conference Proceedings. 2015, vol. 1648, pp. 39004-1.
10. Wandzura S. Electromagnetics. 1992, vol. 12, pp. 77-97.
11. Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Sovremennaya geometriya [Modern geometry]. Moscow: Nauka, 1982, 372 p. [In Russian]
12. Agranovich M. S. Sobolevskie prostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskie zadachi v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey [The Sobolev spaces, their generalizations and elliptic problems in domains with smooth and Lipschitz boundaries]. Moscow: MTsNMO, 2013, 378 p. [In Russian]
13. Medvedik M. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 3 (23), pp. 84-98. [In Russian]
14. Voevodin V., Antonov A., Nikitenko D., Shvets P., Sobolev S., Sidorov I., Stefanov K., Voevodin Vad., Zhumatiy S. Supercomputing Frontiers and Innovations. 2019, no. 6 (2), pp. 4-11.
Цупак Алексей Александрович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: altsupak@yandex.ru
Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, subdepartment of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Образец цитирования:
Цупак, А. А. Численный метод и параллельный алгоритм решения задачи дифракции электромагнитной волны на неплоском идеально проводящем экране / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 4 (56). - С. 32-41. -DOI 10.21685/2072-3040-2020-4-3.
