Численный метод формирования многоканального управления движением аэрокосмических аппаратов в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.782.015.7

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ МНОГОКАНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ АЭРОКОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ В АТМОСФЕРЕ

© 1999 г. Ю.Н. Лазарев

Самарский научный центр РАН

Рассматривается численный метод формирования многоканального номинального и командного управления движением аэрокосмических аппаратов в атмосфере на основе последовательной линеаризации. Приведены процедуры дифференцирования функционалов, конечномерной аппроксимации, учета ограничений на управление и режимы движения, а также способы формирования номинального и командного управления, обсуждены результаты математического моделирования.

Введение

Освоение космического пространства привело к необходимости разработки многоразовых космических транспортных систем на базе использования крылатых космических аппаратов. Определились три основные технические концепции создания многоразовых космических систем: ракетно-космические системы для выведения орбитальных многоразовых кораблей; многоразовые авиационно-космические системы, использующие дозвуковые самолеты-носители и реализующие горизонтальный старт и посадку; многоразовые воздушно-космические системы, реализующие гиперзвуковые скорости движения в атмосфере. Последней ступенью каждой системы является аэрокосмический аппарат (АА) - летательный аппарат многоразового применения, способный совершать управляемое движение, как в околоземном космическом пространстве, так и в атмосфере и располагающий достаточно большим максимальным значением аэродинамического качества (Ктах > 1) на гиперзвуковых скоростях движения в атмосфере.

Совершенствование наземных и бортовых вычислительных систем позволяет применять при решении задач управления движением АА в атмосфере все более сложные и универсальные численные методы, в частности, метод последовательной линеаризации - прямой метод поиска в пространстве управлений. Метод сводится к построению

минимизирующей последовательности управлений, требует выполнения большого объема вычислений и реализуется с помощью универсальных цифровых вычислительных машин.

1. Постановка задачи управления

Общая задача управления АА при движении в атмосфере заключается в определении параметров траектории и характеристик аппарата (задачи навигации и идентификации), а также формировании управления движением центра масс (задача наведения) и относительно центра масс (задачи ориентации и стабилизации). В процессе управления все эти задачи решаются одновременно. Навигационная информация является необходимой для решения задачи наведения, в результате решения которой формируются управляющие зависимости по каналам управления движением центра масс АА. Реализация этих зависимостей осуществляется в результате решения задач ориентации и стабилизации. При разработке систем управления движением АА задачи навигации и идентификации, наведения, ориентации и стабилизации рассматриваются отдельно. Из общей задачи управления выделим для дальнейшего рассмотрения задачу наведения, от решения которой во многом зависит степень использования возможностей АА при движении в атмосфере, точность управления и надежность выполнения маневров. Погрешности решения задач

навигации и идентификации, ориентации и стабилизации не должны заметно ухудшать качество управления траекторией. В статье под управлением будем понимать процесс формирования управления движением центра масс АА.

Решение задачи управления АА проводится в два этапа. На первом этапе, до начала движения, формируется номинальное (расчетное) управление, обеспечивающее достижение цели управления в соответствии с выбранными моделями движения. На втором этапе, во время движения, на основе номинального формируется командное (реальное) управление, обеспечивающее выполнение целевой задачи в реальных условиях. Как номинальное, так и командное управление движением АА формируются с учетом ограничений на управление, параметры траектории и характеристики конструкции.

Управление движением центра масс АА в атмосфере эффективно осуществляется путем изменения угла атаки, угла скоростного крена и тяги двигательной установки (ДУ). Небольшие значения угла скольжения и тяга двигателей ориентации не оказывают существенного влияния на траекторию движения в атмосфере.

Общая техническая постановка задачи управления формулируется следующим образом. Известны характеристики АА, начальные условия движения и цель управления. Требуется сформировать номинальное и командное управление движением в атмосфере по каналам угла атаки, угла скоростного крена и тяги ДУ с учетом ограничений на управление, режимы движения и параметры траектории и оптимизирующее выбранный критерий качества управления.

Рассматриваемая задача управления имеет следующую математическую формулировку. Задана математическая модель движения в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений

X = Г(х,и) (1)

с начальным условием

х(0) = х0, (2)

где г=&,...Л) - вектор-функция пра-

вых частей размерности п,

X = (х1,...,хп) - вектор фазовых координат размерности п ,

и = (и1,..., иг) - вектор управляющих воздействий размерности г.

Требуется определить управление и(1)

на отрезке времени [0,Т] для системы (1) с начальным условием (2), удовлетворяющее ограничениям на управление

и(1) е и, иф е и

при всех 1 е [0,Т], (3)

ограничениям на функционалы

ЩиЮ] £ 0^ = 1,2,...,т) (4)

и минимизирующее функционал

Ро[и(1)] . (5)

Функционалы ^ (] = 1,2,...,т) рассматриваются как неявные зависимости управляющих воздействий и(1) , поэтому в общем случае запись Ц[и(1)] выражает принципиальную возможность вычислить ^ по известной зависимости и(1).

2. Метод последовательной линеаризации

Метод последовательной линеаризации предназначен для формирования приближенно-оптимального управления при наличии ограничений на функционалы задачи и управляющие зависимости. Метод является типичным методом спуска в пространстве управлений и сводится к построению минимизирующей последовательности управлений. Подробное описание метода последовательной линеаризации, а также вопросов, связанных с его численной реализацией, приведены в [1]. Модификации метода, разработки по его применению в задачах формирования управления движением АА в атмосфере и результаты решения конкретных задач описаны в [2-6].

Метод последовательной линеаризации состоит в построении последовательности

итераций улучшения управления. Сначала задается начальное приближение опорного

управления и(0 , которое затем последовательно улучшается в процессе поиска с целью удовлетворения всем условиям задачи (3)

- (5). При этом на каждой итерации вычисляется малое конечное приращение 8и^)

опорного управления , позволяющее перейти к новому улучшенному управлению

u(t) + 8и^).

Если имеется некоторое опорное управление и(0, то расчет приращения 5u(t)

осуществляется следующим образом.

1. Интегрируется система (1) с опорным

управлением и(^. Вычисляется опорное решение x(t) и функционалы задачи

У = 0,1,..., m).

2. Для опорного закона движения

вычисляются функциональные

производные ю^^) от функционалов ^ по управлению u(t):

(. _ЭFj[u(t)]

Ю (t) _ Эи(^ , (j _ 0,1,...,m). (6)

3. Вводится малая окрестность 8и опорного управления u(t) . При этом должны выполняться следующие условия:

во-первых, окрестность §и опорного

управления u(t) должна входить в допустимую область изменения управления Ц, то есть и^) + 8Ц(Ч) е и;

во-вторых, в окрестности 8и приращения функционалов AFj (j _ 0,1,..., т) должны с достаточной точностью описываться формулами первого порядка

Т

А^ » 8Fj [8u(t)] _} ю(j) (t)8u(t)dt;

0

в-третьих, окрестность 8и должна быть не слишком малой, чтобы обеспечить

быстроту процесса перехода от начального приближения опорного управления к искомому, удовлетворяющему условиям задачи (3)

- (5).

4. Определяется приращение 8и^) , являющееся решением линейного приближения исходной задачи (3) - (5) в окрестности

опорного закона движения {11(1),х(1)}. в

соответствии с этим 8и должно удовлетворять следующим условиям:

8и^) е 8и при всех ! е [0,Т], (7)

\ы ( )] + д. [ды (г)] =

т

= \ы(г)] + ]ю(‘)(г)ды(г)Л < 0 >

0

у _ 1,...,т), (8)

Т

т1п 8F0 [8u(t)] _ тт } ю(0)(t)8u(t)dt (9)

8и(Ч) 0 8и(Ч) 0 К ’

5. Проверяется выполнение условий окончания поиска. Если полученное улучшенное управление и^) + 8и(!) удовлетворяет всем условиям исходной задачи (3) - (5), то поиск искомого управления считается законченным. Если условия не выполняются, то выполняется следующая итерация улучшения управления, начиная с пункта 1. В качестве опорного принимается улучшенное управление и^) + 8Ц(1) .

3.Способ дифференцирования функционалов

Основным инструментом теоретического анализа задач оптимального управления и разработки численных методов их приближенного решения является способ вычисления производных (6) от входящих в постановку задачи функционалов по управлению. На информации о значениях функциональных производных основан переход к улучшенному управлению при выполнении итерации метода последовательной линеаризации.

Существует процедура [1] дифференцирования функционалов, определенных на траекториях управляемой системы, вида

T

F[u(t)] = J 0[x(t), u(t)]dt, (10)

о

F[u(t)] = F[x(t')], (11)

где ф - заданная достаточно гладкая функция своих аргументов;

t' - заданная точка на [0,T].

Функционалы вида (10), (11) называются дифференцируемыми в смысле Фреше.

Часто встречающиеся в задачах управления функционалы вида

F[u(t)] = max F[x(t),u(t)] (12)

T

F[u(t)] = J|F[x(t),u(t)]|dt (13) о

не имеют производных Фреше и дифференцируемы по направления в функциональном пространстве (по Гато) [1]. При численном решении задач функционалы, дифференцируемые по Гато, заменяются одним или аппроксимируются несколькими функционалами, дифференцируемыми по Фреше.

Способ дифференцирования функционалов вида (10), (11) сводится к расчету по следующим соотношениям.

Элементы матрицы w(t) частных производных m функционалов по r управляющим воздействиям размерности r X m вычисляются по формуле

w(t) = fu(t)y(t) +фu > (14)

где fu(t) = fu[x(t),u(t)] сопряженная

матрица размерности r X n частных производных правых частей уравнений (1) по u ;

ф u - матрица размерности r X m частных производных функций ф по u .

Элементы матрицы сопряженных переменных у размерности n X m являются решением сопряженной системы дифференциальных уравнений:

y = -f,(t)y(t) - Y(t)> (15)

где fx(t) = fxlx(t),u(t) - сопряженная матрица размерности n X n частных производных правых частей уравнений (1) по фазовым координатам x ;

¥(1) - матрица размерности п X т .

Для функционалов вида (10) ¥(1) = ФХ(1) , где ФХ - сопряженная матрица размерности п X т частных производных функций ф по фазовым координатам х . Система уравнений (15) интегрируется справа налево с граничным условием у(Т) = 0.

Для функционалов вида (11) ¥(1) = 0,

ф и = 0, а система (15) интегрируется справа налево с граничным условием У(1) = ФХ(1) , причем у(1) = 0 при 1 < і < Т.

В задачах формирования управления движением АА в атмосфере большое значение имеют функционалы вида ї

Р[и(і)] = ]ф[х(1),и(1)](К , (16)

0

с помощью которых задаются ограничения на фазовые координаты и режимы движения в любой точке траектории.

Для этих функционалов элементы матрицы функциональных производных и сопряженных переменных вычисляются в соответствии с (14) и (15), причем ¥(1) = Ф х(1). Система (15) интегрируется справа налево с граничным условием У(1) = 0, причем

У(1) ° 0 при 1' < 1 < Т.

4. Конечномерная аппроксимация задачи

Численная реализация метода последовательной линеаризации осуществляется с использованием конечномерной аппроксимации, которая позволяет процесс улучшения управления свести к последовательному решению стандартных задач линейного программирования, математический аппарат которого позволяет эффективно решать задачи с ограничениями.

При выполнении итерации улучшения управления методом последовательной линеаризации исходная задача преобразуется в конечномерную вследствие замены дифференциальных уравнений движения (1) конеч-

но-разностными при их численном интегрировании. В процессе численного интегрирования на отрезке времени [0,Т] располагаются точки ^ (1 _ 1,2,...,N - узлы, которым соответствует вся необходимая информация для решения линейного приближения задачи (7) - (9).

После расположения узлов ^ в этих точках вычисляются значения фазовых координат х1, сопряженных переменных у 1 и функциональных производных ю1 , а также фиксируются значения управляющих зависимостей и1. В дальнейшем эти величины используются при аппроксимации зависимостей от времени фазовых координат, сопряженных переменных, функциональных производных и управляющих воздействий. Таким образом непрерывная задача (7) - (9) преобразуется в конечномерную, пригодную для численного решения.

В результате конечномерной аппроксимации на каждой итерации улучшения управления условия (7) - (9) представляются в форме стандартной задачи линейного программирования. Для этого все используемые зависимости, представленные конечным набором значений в узлах, аппроксимируются по определенному правилу.

Процедура расчета итерации улучшения опорного управления при кусочно-линейной аппроксимации зависимостей формируется на основании следующих соотношений.

Управление и(0 представляет собой вектор-функцию размерности г . Пусть каждый компонент и(к) (к _ 1,2,..., г) опорного управления и(^ аппроксимирован кусочно-линейной функцией со значениями и1(к)

в узловых точках ^ (1 _ 1,2,..., N . В дальнейшем индекс "к" не будет указываться, и под управлением и(0 будем понимать или

вектор-функцию размерности г или ее к -й компонент.

Тогда к -й компонент управления и^),

представленный в классе кусочно-линейных функций, в каждый момент времени ! может быть рассчитан по формуле

и(!) _ и + Т+Н-и (! - tl),

4+1 ti

^ < t < ^ , (1 _ 1,...,^ - 1)) .

Возмущение 8и^) каждого к -того компонента управления u(t) , представленное в том же классе функций, имеет вид

8u(t) _ 8и, + ^ ^(t - ti),

4+1 ti

tl £ t £ , (1 _ 1,...,^ _ 1)),

где 8и1, 8и1+1 - постоянные величины,

представляющие собой вариации непрерывного кусочно-линейного управления в узловых точках.

При этих допущениях условия (7) - (9) приводятся к следующей задаче линейного программирования относительно неизвестных 8их,..., 8и1Ч:

8и_<8и1 <8и+ (1 _ 1,2,...,N), (17)

N

+ Х8и1Ь, < 0 (j _ 1,2,...,т), (18)

1_1

т1п £ 8и1Ь1(0), (19)

8и1 1_1

где Fj - значения функционалов, вычисленные для опорного закона движения {11(1),х(1)};

8и+, 8и_ - малые заданные величины.

Коэффициенты вычисляются по интегральным соотношениям [2]. Если известны значения функциональных производных

юа) в узлах ^ (1 _ 1,2,...,N , то, используя кусочно-линейную аппроксимацию зависимостей ю(j)(t), можно получить формулы

для вычисления коэффициентов в узлах аппроксимации [3].

В зависимости от сложности или этапа

решения задачи узлы аппроксимации могут располагаться равномерно по времени, равномерно по специальным функциям или в соответствии с методами, обеспечивающими оптимальное распределение [2-6].

5. Учет ограничений на управление

В задачах управления движением АА в атмосфере учитываются ограничения на величину и скорость изменения управляющих воздействий. На каждой итерации поиска методом последовательной линеаризации после вычисления улучшенных значений управления и1 выполняются следующие операции.

Сначала последовательно проверяется, начиная с первого узла, выполнение неравенств: и1т1п < и1 < и1тах (1 _ . В

узлах, в которых эти ограничения не выполняются, значения управляющих зависимостей

заменяются на и . или и . Затем пос-

1тт 1тах

ледовательно проверяется, начиная с интервала между первым и вторым узлом, выполнение неравенств:

• • и1т1п < (и 1+1 и^/^ ^)| < и1тах

(1 _ 1,...,N _ 1).

• •

Значения и соответствуют

Штт Штах

интервалу (1,1 + 1). На интервалах, на которых эти ограничения не выполняются, производится замена значений управляющих зависимостей в конце интервала.

Если и1+1 — и1 > 0 , то

и1+1 _ и1 + Штах^ _ ^ или

и1+1 _ и1 + Uimin(ti+l _ ti) .

Если и1+1 — и1 < 0, то

и1+1 _ и1 _ Uimax(ti+l _ ^ или

и1+1 _ и1 _ Uimin(ti+l _ ti) .

6. Учет ограничений на максимальные значения параметров

При формировании управления движением АА в атмосфере одновременно учитываются ограничения на несколько функционалов вида (12). Процедуры аппроксимации

[I] этих функционалов основаны на замене одного функционала (12) несколькими вида

(II). Чтобы не увеличивать число функционалов, предлагается заменять каждый из функционалов вида (12) одним функционалом вида (11).

На каждой итерации улучшения управления для т1 < т функционалов вида (12)

фиксируются моменты времени ^ (11 _ 1,...,т1), соответствующие узлам

п(11), в которых функционалы достигают экстремальных значений. Функционалы рассматриваются как функционалы вида (11). Решается задача линейного программирования относительно 8и1.

В задачах с одним функционалом вида (12), который явно зависит от управления, дополнительно в узлах п _1, п, п +1 принимается:

8ип—1 _ 8ип _ 8ип+1 _ К8Ц8ЩП^п) ,

где К > 1 - коэффициент увеличения малой окрестности опорного управления. Вследствие этого увеличивается скорость изменения функционала и учитывается возможное изменение номера контролируемого узла на следующей итерации поиска.

7. Формирование номинального управления

Номинальное управление формируется в условиях практически неограниченного времени, поэтому вычислительный алгоритм может содержать заранее не определенное число операций. При этом учитываются ограничения на управление, терминальные условия, текущие параметры траектории и может решаться задача оптимизации.

Использование метода последовательной линеаризации сводится к выбору исходного управления, конечномерной аппроксимации задачи, вычислению функционалов и их производных по управлению, решению задачи линейного про-

граммирования и формированию улучшенного управления, которое принимается в качестве номинального, если удовлетворяются все условия задачи. В противном случае процедура повторяется, в качестве опорного управления принимается улучшенное. Полученное номинальное управление является функцией времени.

При формировании номинального управления можно использовать приемы повышения эффективности поиска: временное “замораживание” расположения узлов аппроксимации; раздельный поиск управления по каждому из каналов; временное снятие контроля за изменением одного или нескольких функционалов; изменение размеров области допустимых значений приращений управляющих зависимостей; прерывание процесса поиска, возврат к результатам, полученным ранее, изменение параметров вычислительного алгоритма и продолжение поиска.

8. Формирование командного управления

Командное управление формируется в реальном времени, поэтому вычислительный алгоритм содержит заранее определенное число операций. Командное управление тем больше отличается от номинального, чем больше реальные условия движения не совпадают с условиями моделирования при формировании номинального.

Работоспособность командного управления в условиях априорной неопределенности возмущающих воздействий обеспечивается наличием обратной связи. Применение многошагового управления [7] позволяет при использовании на каждом отдельном шаге метода, формирующего управление как функцию времени, осуществлять в целом обратную связь, регулярно замыкая систему управления. Командное управление формируется к концу каждого шага по результатам прогнозирования движения аппарата на основе информации, имеющейся к его началу. При прогнозировании используется информация о значениях фазовых координат, параметров аппарата, характеристик атмосферы и сформированное ранее управление.

При использовании метода последовательной линеаризации на каждом шаге выполняются те же операции, что и при формировании номинального управления, однако число итераций улучшения управления определяется заранее. В качестве исходного принимается управление, сформи-

рованное на предыдущем шаге (на первом шаге принимается номинальное управление).

9. Математическое моделирование

Математическое моделирование проводилось на всех стадиях разработки численного метода формирования управления движением АА и выполнило три основные задачи. Во-первых, математическое моделирование явилось необходимым этапом при разработке самого численного метода. Это связано с необходимостью как отработки и совершенствования вычислительных процедур в процессе решения конкретных задач, так и выработки рекомендаций для выбора численных значений параметров этих процедур.

Во-вторых, на результатах математического моделирования основывалось подтверждение работоспособности и эффективности разработанного метода формирования многоканального номинального и командного управления движением АА в атмосфере. Математическое моделирование позволило отработать методику применения численного метода для различных классов задач.

В-третьих, в процессе математического моделирования решены новые задачи управления движением АА в атмосфере. Этот результат использования разработанного численного метода имеет самостоятельное значение, поскольку полученные результаты свидетельствуют о больших возможностях АА при совершении сложных маневров, в том числе и при возникновении нештатных ситуаций.

Результаты решения конкретных задач формирования номинального и командного управления движением АА при спуске в атмосфере, при возникновении нештатной ситуации на траектории выведения АА на орбиту спутника Земли, а также при изменении наклонения плоскости орбиты АА в атмосфере с использованием численного метода на основе последовательной линеаризации приведены в [3-6]. Во всех задачах аэродинамические характеристики и плотность атмосферы задавались таблично. Модель движения учитывала нецентральность поля тяготения Земли и ее вращение вокруг собственной оси. В описание результатов решения включены сведения, характеризующие физическую сторону полученных конечных результатов, а также данные о ходе решения, характеризующие эффективность используемых численных методов и алгоритмов.

При проведении численного моделирования решались два типа задач. К первому типу относятся задачи формирования номинального управления, имеющие известное решение. На сравнении результатов, полученных с использованием численного метода на основе последовательной линеаризации, с известными решениями тех же задач, полученными с помощью принципа максимума, построено, в первом приближении, доказательство практической применимости разработанного метода.

Ко второму типу относятся новые, более сложные задачи формирования номинального и командного управления. Доказательство эффективности разработанного численного метода и способов формирования номинального командного управления основывается на результатах решения различных конкретных задач, содержащих ограничения на фазовые координаты, режимы движения и управление.

Заключение

Результаты решения задач управления, сравнение их с результатами решения тех же задач с использованием принципа максимума, а также результаты решения новых задач позволяют сделать вывод о работоспособности и эффективности разработанного численного метода на основе последовательной линеаризации при решении задач формирования управления движением АА в атмосфере.

Достоинствами метода являются малая чувствительность к исходному управлению, возможность учета разнообразных ограничений, возможность контроля за процессом поиска и влияния на него, относительная простота перенастройки вычислительных процедур при изменении условий задачи, в том числе при появлении дополнитель-

ных ограничений. Практика применения численного метода на основе последовательной линеаризации позволяет охарактеризовать его как универсальный подход к решению широкого круга задач управления движением АА в атмосфере.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

2. Голубев Ю. Ф., Хайруллин Р.З. К решению задач оптимального управления при входе в атмосферу // Космические исследования. 1987. Т.25. Вып. 1. С.37.

3. Лазарев Ю.Н. Решение задач формирования программ управления движением в атмосфере аэрокосмических аппаратов на основе последовательной линеаризации // Космические исследования. 1994. Т.32. Вып.4-5. С.83.

4. Лазарев Ю.Н. Управление движением аэрокосмического аппарата в атмосфере на основе метода последовательной линеаризации // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 1996. N 2. С.134.

5. Лазарев Ю.Н. Области достижимости и управление движением в атмосфере аэрокосмического аппарата в нештатной ситуации // Космические исследования. 1996. Т.34. Вып.4. С.434.

6. Балакин В.Л., Лазарев Ю.Н., Филиппов Е.А. Оптимизация управления аэрокосмическим аппаратом при изменении в атмосфере наклонения плоскости орбиты // Космические исследования. 1996. Т.34. Вып.2. С.190.

7. ОхоцимскийД.Е., Голубев Ю. Ф., Сихарулидзе Ю.Г. Алгоритмы управления космическим аппаратом при входе в атмосферу. М.: Наука, 1975.

NUMERICAL METHOD TO FORM MULTI-CHANNEL CONTROL FOR AEROSPACE VEHICLES MOTION IN ATMOSPHERE

© 1999 Yu.N. Lazarev

Samara Science Centre of Russian Academy of Sciences

A numerical method to form multi-channel nominal and commanding control for aerospace vehicles motion in atmosphere is considered in this paper. The method is based on sequential linearization. Methods of functionals differentiation, finite-dimensional approximation, registration of control limitations and motion modes, and the ways to form nominal and commanding control are presented. The results of mathematical simulation are also discussed in this paper.