Численный анализ сингулярности напряжений в двумерных задачах классической и несимметричной теорий упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 4 (22)

УДК 539.3

Численный анализ сингулярности напряжений в двумерных задачах классической и несимметричной теорий упругости

В.В. Корепанова, Д.А. Ошмаринь

“Институт механики сплошных сред УрО РАН, 613001, Пермь, ул. Академика Королёва, 1 вПермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29

Рассмотрен вариант численного анализа характера поведения напряжений в окрестности различных типов особых точек в двумерных задачах классической и несимметричной теорий упругости. Проведено сравнение показателей сингулярности напряжений, полученных на основе моделей классической и несимметричной теорий упругости. Установлено, что характер поведения напряжений в окрестности вершины трещины совпадает для классической и несимметричной теорий упругости. Для других вариантов вырезов, а также в особых точках, где имеет место смена типа граничных условий или контакт различных материалов, показатели сингулярности напряжений, полученные в рамках классической и несимметричной теорий упругости, имеют количественные различия. Величина этих различий зависит от механических характеристик, определяющих моментное поведение материала.

Ключевые слова: сингулярность напряжений, несимметричная теория упругости, численный анализ.

1. Введение

В задачах классической теории упругости существуют сингулярные решения, связанные с наличием бесконечных напряжений в точках границы тела, где имеют место нарушение гладкости поверхности, смена типа краевых условий или контакт различных материалов. Точки тела, где возможны сингулярные решения, принято называть особыми точками. В работе [1] было показано, что решения линейной теории упругости в окрестности точек поверхности, где нарушается ее гладкость, имеют следующее асимптотическое представление:

а ~ ^ г ^-1 при г ^ 0 , (1.1)

к =1

с < Re Я1 < Re Я2 <... < Re Як <...

или более сложное с логарифмическими составляющими в случае кратных точек спектра ^к.

Здесь г — расстояние до точки поверхности, где нарушается ее гладкость; - функции углового распределения напряжений т, в плоском случае зави-

сящие от одной полярной угловой переменной ф, в пространственном — от двух сферических координат ф, 0; с=0 для двумерных и с=-0.5 для трехмерных задач. Таким образом, если имеются собственные значения с Re Хк < 1, то имеет место сингулярное решение, а величины дают количественную информацию о характере поведения напряжений вдоль направления к особой точке.

Для двумерных и трехмерных задач классической теории упругости рассмотрены различные варианты особых точек. Данной проблеме посвящены сотни работ. Достаточно полно результаты, достигнутые в этой области, приведены в обзорных работах [2, 3].

Наряду с исследованиями в рамках классической теории упругости задачи построения сингулярных решений рассматриваются и на основе различных вариантов упругих и неупругих моделей, в том числе моделей несимметричной теории упру(1) гости [4, 5].

В настоящей работе для двумерных задач несимметричной теории упругости рассматривается методика и результаты анализа характера сингулярности напряжений в окрестности различных вариантов особых точек границы.

© Корепанов В. В., Ошмарин Д. А., 2012

2. Методика численного анализа сингулярных решений

Согласно [1] в окрестности границы особых точек решение может быть представлено в виде линейной комбинации собственных решений для клина с углом у, образованного касательными к поверхности в особой точке однородного тела (рис. 1,а), или для составного клина с углами у! и у2, образованного касательными в особой точке к поверхности тела и к поверхности контакта материалов (рис. 1,б).

Рис. 1. Однородный (а) и составной (б) клинья

Рассмотрим основные положения, используемые в настоящей работе при численном анализе характера сингулярности напряжений. Исходя из представления решения в окрестности особых точек (1.1), можно сделать заключение, что в достаточно малой окрестности особой точки напряжения определяются членами ряда с Re ^к<1 при условии, что соответствующие >к отличны от нуля. Для целей данной работы будем рассматривать варианты, в которых характер сингулярного поведения напряжений в окрестности особых точек определяется одним слагаемым ряда (1.1), т.е. среди собственных значений Хк имеется только одно значение с Re < 1.

При определении численным методом характера сингулярности напряжений будем исходить из условия, что найдена окрестность особой точки, где напряжения вдоль прямой, проходящей через особую точку, с достаточной точностью описывается зависимостью:

(2.1)

где А — некоторая постоянная.

Тогда внутри этой окрестности в точках г,' ,г2',.. ги', расположенных на г-прямых (г=1,2...к), проходящих через особую точку при действительных собственных значениях с приемлемой точностью выполняются соотношения:

Я1 — 1 ~ /п

0±

_г

/п

1п

г I Л г.

а

/п

. (2.2)

Здесь /*! — расстояние от особой точки; ст' — напряжения в соответствующих точках г\.

Численный анализ поведения напряжений в окрестности особых точек проводится на основе метода конечных элементов. Для обеспечения достаточной точности вычисления напряжений ст' используется анализ асимптотики поведения напряжений в точках т\ в зависимости от степени

дискретизации расчетной области.

Найденный вариант дискретизации исследуемой области используется для анализа характера поведения напряжений на основе модели несимметричной теории упругости. В рассматриваемом варианте этой модели [6] тензор деформации и тензор изгиба-кручения имеют вид

у = Уи - Е- ю, X = V©

(2.3)

Физические уравнения для изотропного тела определяются соотношениями:

~ ~^~(А) (~ ^ ~ о = 20 у + 2 а у + Л111 у I ~,

ц X^) + X(А) + Р1 ^X^ё . (2.4)

В уравнениях (2.3)—(2.4) X — вектор удельной плотности объемных сил; У — вектор удельной плотности объемных моментов; и — вектор пере-

вектор поворота; у и х — тензо-

ры деформаций и изгиба-кручения; <т и ц — тензоры напряжений и моментных напряжений; G, X — постоянные Ламе; а, в, ц, е — физические постоянные материала в рамках моментной теории

упругости; Е — тензор Леви-Чивиты третьего

V Г у

Л

л

г

п-1

V ап у

г

V п у

а

б

ранга; (-}(8) — операция симметрирования; (• /А) — операция альтернирования; У(■) — набла-оператор; !,(■) — первый инвариант тензора. В

отличие от классической теории, тензоры у и а являются несимметричными.

Описание алгоритма метода конечных элементов, используемого в настоящей работе при решении двумерных задач несимметричной теории упругости, приведено в работах [7, 8]. При расчетах для двумерных задач были востребованы следующие физические характеристики классической и моментной теорий упругости [9]:

О = 1.033 х 109 Н/м2, а = 1.148 х 1(0 Н/м2,

П = 4.1 Н, е = 0.131 Н. Значения коэффициента Пуассона приводятся при описании конкретных задач.

3. Примеры вычислений показателей сингулярности напряжений

В настоящем разделе будут рассмотрены задачи с различными типами особых точек. На рис. 2,а приведена пластина с вырезами, вершины которых являются точками нарушения гладкости поверхности. На торцевых поверхностях пластины задаются нормальные или сдвиговые усилия. Для этих задач информация о характере поведения напряжений в окрестности особых точек может быть получена на основе анализа собственных решений для плоских клиньев с углом раствора у, на гранях которых заданы нулевые граничные условия в напряжениях. Размеры а, Ь, I определяются следующими соотношениями: Ь/а=1, Ь/1=10.

а

б

Рис.2. Задача со свободной границей (а); дискретизация расчетной области (б)

Цг)

0,580 г

1,000Е-02 1.000Е-03 Е000Е-04 1.000Е-05

б

Рис.3. Зависимости показателей сингулярности напряжений от расстояния до особой точки при у=360° (а) и у=250° (б)

Частным случаем выреза при у=360° является трещина. Здесь сингулярные решения определяются кратными собственными значениями ^=0.5 и ^2=0.5, где одно собственное значение соответствует симметричному, а второе — несимметричному напряженному состоянию. При 257°< у <360° имеются два различных собственных значения меньше единицы, также соответствующие симметричному и несимметричному относительно оси у=0 напряженному состоянию, а при 180°< у <257° одно значение ^ < 1, соответствующее симметричному напряженному состоянию.

На рис. 3,а (для задачи с трещиной) и рис. 3,б (для задачи с вырезом) приведены найденные по формуле (2.2) зависимости собственных значений от расстояния г до вершины выреза. Здесь Ас и А™ — собственные значения, найденные соответственно в рамках классической и несимметричной теорий упругости.

В рассматриваемых численных экспериментах необходима демонстрация погрешности конечноэлементного решения, которая оценивалась на основе анализа асимптотики решения при увеличении числа элементов. Для найденных вариантов дискретизации расчетной области на конечные элементы (рис. 2,б) отличие собственных значений для классической модели теории упругости, найденных на основе рассматриваемой численной процедуры, от значений, полученных из аналитического решения, составляет не более 0.08 %.

Результаты, приведенные на рис 3,а, подтверждают ранее полученные результаты [10] о том, что характер сингулярности напряжений в вершине трещины для классической и несимметричной теорий упругости совпадает. Однако при у, отличных от 360°, имеет место небольшое количественное различие в показателях А1. В частности, при у=250° и вышеприведенных значениях упругих постоянных это различие составляет 4 %.

\ \ \ \

а

Мг)

б

Рис.4. Задача со смешанными граничными условиями (а); зависимость показателей сингулярности напряжений от расстояния до особой точки (б)

Численные исследования характера сингулярности напряжений в окрестности точек границы, где меняется тип граничных условий, выполнено на примере задачи для пластины при плоско деформированном состоянии (рис. 4,а).

На рис. 4,б приведена зависимость собственных значений А1 от расстояния г до особой точки, полученных при использовании моделей классической и несимметричной теорий упругости. Результаты приведены для коэффициента Пуассона при "=0.3, Ь/а=1 и угле у=90°. Размер г соответствует расстоянию от точки с координатами (а,0) вдоль оси у=0. В этом случае собственное значение А1, найденное на основе соотношения (2.2) при "=0.3, равно 0.711 для у=90°.

В данном случае показатели А1™, определяющие характер асимптотики напряжений в окрестности угловой точки, где имеет место смена типа краевых условий, отличаются от значений А1с для угла у=90° в пределах 2 %.

!!!!!! ІІІІ ► 2а

VI, °1 у/// ^ ^2

ІІІІ ||щ§

Ь Ь

а

Рис.5. Задача, где имеет место контакт различных материалов (а); зависимость показателей сингулярности напряжений от расстояния до особой точки (б)

Вариант особой точки границы, где имеет место контакт различных материалов, рассмотрен на примере составной пластины, представленной на рис. 5,а. Здесь "^^0.3, С1/С2=100, Ь/а=2, г - расстояние от точки с координатами (0,0) вдоль поверхности соединения двух материалов. На рис. 5,б приведены результаты расчетов А1с и А1™ в зависимости от расстояния г до особой точки. В данном случае различие А1с и А1™ составляет 3 %.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (11-01-96022), по соглашению №8220 между Министерством образования РФ, УрО РАН и ИМСС УрО РАН в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 г., в рамках программы Президиума РАН 12-П-1018 «Исследование механических процессов в деформируемых материалах и конструкциях с учетом физических и химических явлений».

Список литературы

1. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Моск. матем. об-ва. 1967. Т. 16. С. 209-292.

2. Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity - I: Removal, interpretation, and analysis // Appl. Mech. Rev. 2004. Vol. 57, №. 4. P. 251-297.

3. Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity - II: Asymptotic identification // Appl. Mech. Rev. 2004. Vol. 57, №. 4. P. 385-439.

4. Muki R, Sternberg E. The Influence of Couple-stresses on Singular Stress Concentrations in Elastic

Solids // Z. angew. Math. Phys. 1965. Vol. 76. P. 611-648.

5. Cowin S.C. Singular Stress Concentrations in Plane Cosserat Elasticity // Z. angew. Math. Phys. 1969. Vol. 20. P. 979-982.

6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

7. Корепанов В.В., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Численное исследование двумерных задач несимметричной теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 2. С. 6З-70.

8. Korepanov V. V., Matveenko V.P., Shardakov I.N. Finite element analysis of two- and threedimensional static problems in the asymmetric theory of elasticity as a basis for the design of experiments // Acta Mechanica. 2012. Vol. 22З. № 8. P. 17З9-1750.

9. Lakes R.S. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized con-tinua // Continuum models for materials with microstructure / ed. H. Muhlhaus. 1995. P. 1-22.

10. Yavari A., Sarkani S., Moyer E.T. On Fractal Cracks in Micropolar Elastic Solids // Journal of Applied Mechanics. 2002. Vol. 69. P. 45-54.

Numerical analysis of stress singularity in twodimensional problems of the classical and asymmetric theories of elasticity

V. V. Korepanova, D. A. Oshmarinb

a Institute of continuous media mechanics UB RAS, Akademik Korolev St., 1, 614013 Perm b Perm National Research Polytechnic University, Komsomolsky Pr., 29 , 614990 Perm

A variant of the numerical analysis of stress behavior in the vicinity of various singular points is considered for two-dimensional problems in the classical and asymmetric theories of elasticity. A comparison between the stress singularity indices determined in the framework of the classical and asymmetric theories of elasticity has been made. It shows that the character of stress behavior in the vicinity of the crack tip obtained by the classical and asymmetric theories of elasticity is the same. For other variants of notches and at points of contact of dissimilar materials or a change in the type of the boundary conditions, the stress singularity indices obtained by the classical and asymmetric theory of elasticity show quantitative differences, which depend on the mechanical characteristics responsible for couple stress effects in materials.

Keywords: stress singularity, asymmetric theory of elasticity, numeric analysis.