CC BY
18УДК 519.688
ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ, УЧИТЫВАЮЩИЙ ВОЗДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
НА ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ*
В. М. Садовский, О. В. Садовская, И. В. Смолехо
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: sadov@icm.krasn.ru; o_sadov@icm.krasn.ru; ismol@icm.krasn.ru
Жидкие кристаллы находят широкое применение в области отображения информации, в частности в аэрокосмической технике. Предлагается численный алгоритм для исследования воздействий электрического поля на жидкий кристалл. Алгоритм реализован в виде параллельной программы на языке Си с применением технологии CUDA.
Ключевые слова: жидкий кристалл, динамика, электрическое поле, уравнение Лапласа, метод прямых, преобразование Фурье, технология CUDA.
NUMERICAL ALGORITHM CONSIDERING THE INFLUENCE
OF ELECTRIC FIELD ON LIQUID CRYSTALS
V. M. Sadovskii, O. V. Sadovskaya, I. V. Smolekho
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: sadov@icm.krasn.ru; o_sadov@icm.krasn.ru; ismol@icm.krasn.ru
Liquid crystals are widely applied in the field of information visualization, particularly in aerospace engineering. Numerical algorithm to analyse the influence of electric field on a liquid crystal is proposed. The algorithm is realized as a parallel program in the C language using the CUDA technology.
Keywords: liquid crystal, dynamics, electric field, Laplace equation, method of straight lines, Fourier transform, CUDA technology.
Жидкий кристалл - это промежуточное агрегатное состояние вещества, в котором проявляются одновременно свойства упругости и текучести. Физические свойства жидких кристаллов описаны в [1]. В аэрокосмической технике жидкие кристаллы используются в качестве средства визуализации информации в дисплеях приборов. В данной работе предлагается алгоритм численного решения задачи о возмущении жидкокристаллического слоя электрическим полем.
Рассматривается протяженный в горизонтальном направлении слой жидкого кристалла толщины И под действием периодического электрического поля, создаваемого зарядами на пластинах-обкладках конденсатора. Во внешней части слоя потенциал ф электрического поля Е = - Уф удовлетворяет уравнению Лапласа Д ф = 0 при х2 < 0 и при х2 > И. Внутри слоя выполняется уравнение, учитывающее анизотропию среды: V • (е • Уф) = 0, где е - тензор диэлектрической проницаемости жидкого кристалла, зависящий от ориентации молекул.
С учетом периодичности можно рассматривать лишь часть слоя длиной I. На пластинах-обкладках электрический потенциал распределен равномерно:
+ 0 ф = ф =ф
при ф = ф~, — = 0ф = ф", — = 0;
дх1 дх1
при х2 = 0, х" ^ х1 < х" +1".
Здесь ф± - значения потенциала на границах жидкого кристалла извне (сверху и снизу относительно слоя), ф0 - заданная константа, х1± - координаты левых концов верхней и нижней обкладок конденсатора, расположенных несимметрично в пределах выделенной части слоя. На остальных частях границы, где жидкий кристалл граничит с воздухом, выполняются условия непрерывности электрического потенциала и нормальной составляющей вектора электрической индукции.
При наличии электрического поля молекулы жидкого кристалла испытывают действие объемных сил / = (Р • V) Е и моментов т = Р х Е, где Р = е0 % Е -вектор электрической поляризации, х = е - I - тензор диэлектрической восприимчивости, I - единичный тензор. Силы и моменты используются в качестве правых частей при решении уравнений акустического приближения жидкого кристалла [2].
Решение уравнения Лапласа во внешности слоя строится по методу прямых.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Комплексной программы фундаментальных исследований СО РАН № 11.2П "Интеграция и развитие" (проект № 0356-2016-0728).
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Уравнение внутри слоя решается итерационным методом с помощью рекуррентного пересчета по формуле:
е°Дф* =е0 Дф-У-(е-Уф).
В соответствии с этой формулой анизотропная среда на каждом шаге заменяется однородной и изотропной средой с диэлектрической проницаемостью е°, с распределенными внутри нее зарядами. Правая часть вычисляется на предыдущем приближении электрического потенциала, величина е° выбирается из соображений наискорейшей сходимости итераций. Условие окончания итерационного процесса: ||ф - ф|| < 5 ||ф|| с заданной погрешностью 5. Решение соответствующего дискретного уравнения Лапласа относительно нового приближения потенциала ф* строится с помощью разложения Фурье. При нахождении коэффициентов разложения применяется метод трехточечной прогонки. Сначала вычисляется частное решение неоднородной системы уравнений с однородными граничными условиями, а потом - два решения однородной системы. Общее решение исходной системы является линейной комбинацией этих частных решений. Необходимые коэффициенты, через которые электрический потенциал определяется во внешности слоя, находятся из граничных условий на обкладках конденсатора и условий склейки решений на свободной границе жидкого кристалла. В итоге получается замкнутая система уравнений для определения коэффициентов, которая решается методом ЬИ-разложения.
При численной реализации алгоритма, учитывая линейность задачи относительно потенциала электрического поля и то, что электрический потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной, в качестве значений ф± берется ф0+ = 1 и ф0- = 0. Затем полученное решение умножается на размерный коэффициент, отвечающий заданной разности потенциалов на обкладках конденсатора.
Параллельная программа, реализующая данный вычислительный алгоритм, находится в стадии отладки и верификации. Используется технология СИБЛ для вычислительных систем с графическими ускорителями. Этапы алгоритма выполняются последовательно, распараллеливание вычислений производится внутри каждого из этапов. В программе содержатся модули, реализующие метод прямых с применением трехточечной прогонки, преобразования Фурье и метода решения СЛАУ с помощью ЬИ-разложения,
а также реализующие итерационный метод решения уравнения для потенциала с помощью рекуррентного соотношения. В дальнейшем планируется встроить эту программу в разработанный ранее программный комплекс для математической модели, описывающей термомеханические свойства жидких кристаллов [3; 4].
На рисунке приведены результаты расчетов, выполненных для жидкого кристалла 5ЦБ размером 200 мкм х 40 мкм [5]. В первом случае пластины конденсатора расположены симметрично, имеют одинаковую длину l ± = 100 мкм, координата левого конца Xj± = 50 мкм (рис. 1а). Во втором случае пластины несимметричны, l + = 50 мкм и x1+ = 50 мкм для верхней пластины, Г = 20 мкм и х1- = 150 мкм для нижней пластины (рис. 1, б). Угол наклона молекул жидкого кристалла к оси абсцисс 6 = 60 , диэлектрические проницаемости в направлении молекул и в поперечном направлении отличаются в 5 раз: е1 = е" /5. Горизонтальными линиями показаны границы жидкокристаллического слоя.
Предложенный параллельный вычислительный алгоритм позволит моделировать поведение жидких кристаллов под воздействием электрического поля.
Библиографические ссылки
1. Blinov L. M. Structure and Properties of Liquid Crystals. Heidelberg. New York - Dordrecht - London : Springer, 2011. 439 p.
2. Садовский В. М., Садовская О. В. Об акустическом приближении термомеханической модели жидкого кристалла // Физическая мезомеханика. 2013. Т. 16, № 3. С. 55-62.
3. Sadovskaya O. V. Numerical simulation of the dynamics of a liquid crystal in the case of plane strain using GPUs // AIP Conf. Proc. 2014. Vol. 1629. P. 303-310.
4. Смолехо И. В. Параллельная реализация алгоритма для описания термоупругих волн в жидких кристаллах // Молодой ученый. 2015. № 11 (91). С. 107-112.
5. Skarp K., Lagerwall S. T., Stebler B. Measurement of hydrodynamic parameters for nematic 5CB // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1980. Vol. 60, № 3. P. 215-236.
References
1. Blinov L. M. Structure and Properties of Liquid Crystals. Heidelberg. New York - Dordrecht - London : Springer, 2011, 439 p.
2. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. On the acoustic approximation of thermomechanical description of a liquid crystal. Phys. Mesomech. 2013. Vol. 16, № 4. P. 312-318.
3. Sadovskaya O.V. Numerical simulation of the dynamics of a liquid crystal in the case of plane strain using GPUs. AIP Conf. Proc. 2014. Vol. 1629. P. 303-310.
4. Smolekho I.V. [Parallel implementation of the algorithm for description of thermoelastic waves in liquid
crystals]. Young Scientist. 2015. № 11 (91). P. 107-112. (In Russ.)
5. Skarp K., Lagerwall S. T., Stebler B. Measurement of hydrodynamic parameters for nematic 5CB. Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1980. Vol. 60, № 3. P. 215-236.
© Садовский В. М., Садовская О. В., Смолехо И. В., 2017
