CC BY
16
001: 10.18721/1РМ.14205 УДК 532.529
ЧИСЛЕННЫЕ СЦЕНАРИИ ДИНАМИКИ НЕРАВНОМЕРНОГО ПО ШИРИНЕ СЛОЯ ГАЗОВЗВЕСИ, УСКОРЯЕМОГО ПРОХОДЯЩЕЙ УДАРНОЙ ВОЛНОЙ
Д.В. Садин
Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Российская Федерация
В работе изучены закономерности взаимодействия ударной волны со слоем газовзвеси, имеющим искривленные границы; при этом волна набегает на указанный слой. Использован гибридный метод крупных частиц. Проведенное исследование позволило обнаружить двумерные эффекты двойного преломления (эффекты фон Неймана), фокусировки или расхождения преломленной ударной волны, бароклинной неустойчивости на поверхности раздела газа и взвеси с образованием грибовидных или кольцевых вихревых структур. Выявлены особенности неравновесности течения, связанные с уменьшением интенсивности проходящей ударной волны и расщеплением начального раздела сред на два контактных разрыва: скачок пористости и контактный разрыв в газовой фазе.
Ключевые слова: гибридный метод крупных частиц, неравномерный слой газовзвеси, ударная волна, преломление
Ссылка при цитировании: Садин Д.В. Численные сценарии динамики неравномерного по ширине слоя газовзвеси, ускоряемого проходящей ударной волной // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2021. Т. 14. № 2. С. 53-64. DOI: 10.18721/ JPM.14205
Статья открытого доступа, распространяемая по лицензии СС BY-NC 4.0 (https://creative-commons.Org/licenses/by-nc/4.0/)
NUMERICAL DYNAMICS SCENARIOS OF A VARIABLE IN WIDTH GAS SUSPENSION LAYER ACCELERATED BY A PASSING SHOCK WAVE
D.V. Sadin
Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky, St. Petersburg, Russian Federation
The behavior of the interaction between a shock wave and a gas suspension layer with curved boundaries has been studied using the hybrid large-particle method, the wave running over the layer. The conducted research made it possible to reveal two-dimensional effects of double refraction (von Neumann effects), focusing or divergence of the refracted shock wave, and baroclinic instability at the gas-suspension interface with the formation of mushroom-shaped or ring-shaped vortex structures. The features of the flow nonequilibrium were brought out. These features were associated with a decrease in the intensity of the passing shock wave and the splitting of the initial separation of the media into two contact discontinuities: a jump in porosity and a contact discontinuity in the gas phase.
Keywords: hybrid large-particle method, gas suspension layer, shock wave, baroclinic instability
Citation: Sadin D.V., Numerical dynamics scenarios of a variable in width gas suspension layer accelerated by a passing shock wave, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 14 (2) (2021) 53-64. DOI: 10.18721/JPM.14205
This is an open access article under the CC BY-NC 4.0 license (https://creativecommons.org/ licenses/by-nc/4.0/)
Введение
Исследование распространения ударных волн в средах с неоднородностью (неравномерным распределением физико-химических и термодинамических параметров, в том числе с границами раздела сред) является актуальным в различных научных и технических приложениях. Эта проблема встречается при решении задач газодинамики, предполагающих изменения в пространстве показателя адиабаты, молекулярного веса или температуры. Явления взаимодействия ударных волн с неоднородностью отличаются сложной топологией отражения, преломления и дифракции ударных волн, а также развитием неустойчивости Рихтмайера — Мешкова [1 — 6].
В последние десятилетия усиливается интерес к изучению движения ударных волн в неоднородных релаксирующих многофазных средах (смеси газа с частицами, жидкости с пузырьками). Работы в этом направлении связаны с изучением ускорения облака газовзвеси в проходящей ударной волне [7, 8], дисперсией облака частиц [9, 10], деформацией границ и развитием неустойчивости [11, 12], разлета и истечения смеси газа и частиц [13, 14]. Наряду с общими качественными закономерностями, возникающими в неоднородных потоках «чистого» газа, наличие мелкодисперсных включений может приводить к неочевидным результатам, например образованию «аномальных» ударно-волновых структур на дозвуковом по несущему газу режиме течения [14, 15].
Вследствие значительной трудоемкости экспериментов и получения количественных результатов эффективным методом исследования представляется математическое моделирование. Важной особенностью постановок задач для неравновесных течений гетерогенных сред является многомасштаб-ность решений. Если релаксационный масштаб (время релаксации фазы) существенно
меньше газодинамического масштаба времени распространения возмущения между узлами или ячейками сетки (условие Куранта — Фридрихса — Леви), то такие задачи относятся к жестким. Применение традиционных явных разностных схем расчета источниковых членов становится нецелесообразным из-за неприемлемо малого шага по времени, который ограничен характерным временным масштабом для быстрого компонента решения. Для преодоления указанной трудности численного интегрирования уравнений динамики газодисперсных сред предложены схемы с явной пространственной аппроксимацией производных и неявной схемой расчета источников (межфазных взаимодействий) [16 — 20]. Другой подход заключается в построении полностью неявных схем с их реализацией через векторную и скалярную прогонки [21 — 23].
На выбор разностной или конечно-объемной схемы оказывает влияние тип и свойства системы дифференциальных уравнений, например гиперболичность. Для двухскоростной и двухтемпературной формулировок с общим давлением или двумя давлениями, законы сохранения относятся для некоторых моделей к гиперболическому или составному типу, в зависимости от разности скоростей фаз [24 — 26]. Это накладывает ограничения на применимость дискретных моделей, опирающихся на характеристическое представление исходной системы уравнений, например схемы типа Годунова или сеточно-характеристические методы.
Модификация схем, применяемых в задачах вычислительной гидродинамики, для моделирования гетерогенных течений сталкивается в общем случае с проблемой неконсервативности (недивергентности) законов сохранения, ввиду действия силы Архимеда, обусловленной изменением трубки тока газа: рУа1 (р — давление газа, а1 — его объемная доля). Для устранения этой трудности в схемах,
требующих дивергентную запись дискретных законов сохранения, обычно используют искусственный прием: величину рУа1 переносят в правую часть законов сохранения и объединяют с источниковыми членами (межфазными взаимодействиями) [17].
Целями настоящей работы являются детальный численный анализ взаимодействия ударной волны с неравномерным по ширине слоем газовзвеси, учитывающий релаксационные процессы, а также проверка возможностей гибридного метода крупных частиц [20, 27] для решения данного класса задач.
Математическая модель и метод расчета
Рассмотрим законы сохранения калори-чески совершенного газа и твердых несжимаемых частиц в рамках взаимопроникающих континуумов [28] в формулировке [20]:
д
^ (Р1у1) + У(Р1у1у1) + а1УР = ,
д
д^ (Р2У 2 ) + У(Р2 V 2 V 2 ) + а2^Р = Г , д
^ (Р2е2 ) + У'(Р2е2 V ) = 0т ,
(1)
(р1Е1+р2к 2)+ + У-(Р1Е1У1 +Р2 к 2 V 2 ) + + У"[ Р (аlvl +а2 v 2 )] = -0т ,
р = р,°а (' = ъ 2), а1 +а2 = ^
Е = е, + V?/2, К2 = V2/2, Е2 = К 2 + е2 ,
где V - оператор Гамильтона; а., р., кг/м3, V., м/с, Е, е, Дж/кг, р, Па, — объемная доля, приведенная плотность, вектор скорости, полная и внутренняя энергии единицы массы '-й фазы, давление газа; Г , Н/м3, - вязкая
И1
составляющая силы межфазного взаимодей-
ствия; Q, Вт^м-3, — мощность теплообмена между газом и частицами в единице объема; а, с, — время; здесь и далее нижние индексы 1 и 2 относятся соответственно к параметрам несущей и дисперсной фаз, верхний индекс в виде кружка относится к истинным значениям плотности.
Замыкающими соотношениями системы (1) являются уравнения состояния идеального калорически совершенного газа и несжимаемых твердых частиц:
Р = (У, - ^РК е = сЛ е = с2т2, (у,, cv, с2 > р2 } =соп^
где Т, Т, К, - температуры несущей фазы и частиц; ур с, Дж/(ктК), - показатель адиабаты и удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; с2, Дж/(ктК) — удельная теплоемкость частиц.
Силовое и тепловое межфазные взаимодействия Г , Qт определяются из критери-Ц 1
альных соотношений [28].
Для расчетов используется гибридный метод крупных частиц второго порядка аппроксимации по пространству и времени [27]. Регуляризация численного решения осуществлялась двумя способами. На первом этапе алгоритма в схему добавлялась искусственная диссипация с нелинейной коррекцией типа Христенсена. В отличие от линейной или квадратичной искусственной вязкости, предложенная численная вязкость не понижает порядка аппроксимации и стремится к нулю на сетках произвольного разрешения на гладких решениях. С учетом полученных предварительных значений искомых функций на втором этапе формировались дивергентные потоки путем гибридизации: взвешенной ограничителем квазилинейной комбинации центральной и противопоточ-ной аппроксимаций. При этом выполняются дискретные аналоги законов сохранения. Повышение порядка точности по времени осуществлялось двухшаговым методом Рун-ге — Кутты. Межфазные взаимодействия рассчитывались без расщепления на газоди-
намическую и релаксационную стадии безытерационной схемой за счет линеаризации и неявного учета линейной части источнико-вых членов.
Метод обладает рядом позитивных вычислительных свойств, к которым относится ^-устойчивость [18] (независимость шага по времени от размеров расчетной сетки и интенсивности межфазных взаимодействий). Схема является бездиссипативной на гладких решениях, демонстрирует монотонность и высокую разрешающую способность для структурно-сложных течений. Алгоритм отличается универсальностью решения расширенного класса задач с доминированием конвекции как гиперболического, так и составного типа [20, 27].
Шаг по времени определяется из условия Куранта — Фридрихса - Леви для «чистого» газа:
т = CFL-
h
(V I + an У
V п 1
max
Vn
где СБЬ - фиксированное число Куранта, ак - скорость звука по газовой фазе в точке
М )■
Постановка задач
Плоский канал 1 заполнен невозмущенным воздухом 2. Внутри канала имеется слой газовзвеси 3 с цилиндрическим утолщением 4 или выемкой 5 диаметром Б = 5 см (рис. 1). Слева направо движется ударная волна 6 постоянной интенсивности с числом Маха
M = 1,22. Рассматриваются варианты задач с цилиндрическим искривлением слоя газовзвеси на левой (при х = 3D) или правой (при х = 4D) его границе (рис. 1,a и b, соответственно).
В начальный момент времени фронт ударной волны расположен в плоскости х^ = 1,5D. Газовзвесь представляет собой неподвижную при t = 0 смесь воздуха (у: = 1,4) с монодисперсными несжимаемыми сферическими частицами плотностью р°2 = 2500 кг/м3, с объемной долей а2 = 0,001 и теплоемкостью c2 = 710 Дж/(ктК) в условиях термодинамического равновесия (T1 = T2 = 293,23 K) и при давлении p = 101325 Па.
На стенках заданы граничные условия отражения, а на входе (при х = 0) и выходе (при х = 9D) использованы мягкие краевые условия продолжения решения изнутри расчетной области. С целью исключения (минимизации) влияния ограниченности расчетной области на решение вблизи правой границы 8,5D < х < 9D (рис. 1) применялась сетка с возрастающим шагом. Задачи решались численно, гибридным методом крупных частиц с числом Куранта CFL = 0,4 до оси симметрии, на равномерной сетке с шагом h/D = = 0,0025 . Для однородности алгоритма в области «чистого» газа объемная концентрация частиц принята пренебрежимо малой (а2 = = 10-10).
Обсуждение результатов численных решений
Взаимодействие проходящей ударной волны и ограниченного слоя газовзвеси с
Рис. 1. Расчетные схемы задач с искривлением левой (а) или правой (Ь) границы слоя газовзвеси: 1 - плоский канал, заполненный невозмущенным воздухом (2); 3 - слой газовзвеси; 4 - цилиндрическое утолщение; 5 — выемка; 6 - ударная волна постоянной интенсивности
искривленными границами сопровождается рядом нелинейных физических явлений: распадом разрыва на поверхностях раздела сред, их деформацией, развитием неустойчивости и формированием вихревых структур.
В зависимости от разницы эффективного акустического импеданса
5Я = р+а+ -р-а-
ния (Ур*Ур ф 0), в окрестности искривленных контактных границ возникает вихревое движение смеси газа и частиц.
Еще один существенный фактор связан с неравновесностью динамики газовзвеси (различием скоростей и температур газа и частиц), которая характеризуется безразмер-
тМ тЫ
ными временами динамическои t1 у , t2 тепловой t1 (т\ t2(T) релаксациями фаз [18]:
и
(справа плюс и слева минус) от контакта газа и взвеси (в этом выражении
= 1 pid2 aw = 1 р2d2 aio.
1л , I-, ,
a = Vр/[(pl +P2 )а1
18 д1а2 D
18 д1а1 D
— эффективная скорость звука смеси газа 1 и частиц 2) реализуются конфигурации с двумя ударными волнами при ЬЯ > 0 или прошедшим скачком уплотнения и волной разрежения при ЬЯ < 0.
Для всех рассматриваемых вариантов задач, на левой (Ь) и правой (Я) границах слоя значения 5Я составляют:
5ЯЬ = 238,423 кг/(м2-с), 8ЯЯ =-238,423 кг/(мЧ).
Физической причиной нестабильности и вихреобразования на контактных поверхностях является бароклинная неустойчивость
— несовпадение градиентов плотности и давления. Действительно, в односкоростном приближении (у = = у2) в начальный момент времени величина завихренности
ш = Уху = 0,
а транспортное уравнение для завихренности имеет вид
до / „ч
- + (у .у)° =
= + (»■¥) у-ш(у. у).
Следовательно, при t > 0, в случае разнонаправленных градиентов плотности и давле-
(т) = d 2plcp t1 =
a,
10
4^а2 D
-(т) = d2p2c2 a10
2 4^а, D '
где d — диаметр частицы, a — начальная скорость звука в несущей фазе.
Численные сценарии динамики пылевого слоя для взвеси мелких частиц. Рассмотрим подробнее указанные сценарии для мелких частиц диаметром d = 0,1 мкм и пылевого слоя с цилиндрической выемкой или утолщением слоя на левой (рис. 2) или правой (рис. 3) границе. Визуализация течений выполнена в виде численных шлирен-изобра-жений функции градиента приведенной плотности смеси s(Vp) [29]. Результаты приведены для четырех последовательных характерных моментов времени: распада разрыва на левой границе взвеси (рис. 2, a, e и рис. 3, a, e), прохождения скачка уплотнения внутри слоя (рис. 2, b, /и рис. 3, b, /), преломления ударной волны на правой границе (рис. 2, c, g и рис. 3, c, g) и развития неустойчивости с формированием вихревого движения на поверхностях раздела сред (рис. 2, d, h и рис. 3, d, h). Осевые и поперечные координаты отнесены к диаметру D начальной кривизны слоя: х' = x/D иy' = y/D. Время отсчи-тывается в безразмерном виде: t = a10 t/D.
Начало взаимодействия падающей ударной волны s1 сопровождается распадом разрыва на прямолинейных (рис. 3) или искривленных (рис. 2) поверхностях слоя пыли c Поскольку разница эффективного акустического импеданса &R. = 238,423 кг/(м2-с),
Рис. 2. Взаимодействие ударной волны с выемкой (а - d) или утолщением (е - К) левой границы слоя газовзвеси (й = 0,1 мкм). Даны численные шлирен-изображения функции градиента плотности смеси в последовательные безразмерные моменты времени: 1,51 (а), 1,85 (Ь), 2,54 (с), 13,73 1,17 (е), 1,85 (/); 3,09 ^), 13,73 (К).
Размер сетки сверху от оси симметрии — 3600 х 356; N — двойное преломление фон Неймана; с1, с2 — левая и правая поверхности слоя пыли; 51, я2, я', я', — ударные волны; г, г2 — волны разрежения; V — вихри
Рис. 3. Графики, аналогичные приведенным на рис. 2, но для правой границы слоя газовзвеси; кроме того, численные шлирен-изображения функции градиента плотности смеси даны частично в другие последовательные безразмерные моменты времени: 1,72 (а); 2,40 (Ь); 2,75 (с); 13,73 1,72 (е), 3,09 (/); 3,78 13,73 (К).
Г — область фокусировки поперечных ударных волн я^, V— срывные вихри
т. е. больше нуля, отражение происходит в виде прямолинейного я3 (рис. 3, а, е) или искривленного я3 - я'3 (рис. 2, а, е) скачков уплотнения. При взаимодействии с неоднородностью формируется волна разрежения г (рис. 2, а) или выпуклая ударная волна (рис.
2, е). В случае выемки слева (рис. 2, а) образуется проходящая ударная волна я2 и двойное преломление фон Неймана N или диск я'2 при утолщении слоя (рис. 2, е).
В последующие моменты времени изогнутый скачок уплотнения я2 - я'2 движется внутри слоя двухфазной среды (рис. 2, Ь, /) и при набегании на правую границу с2 распадается на прошедшую ударную волну я4 и отраженную волну разрежения г2 в противоположном направлении (рис. 2, с, g). Отличительными чертами распада разрыва на правой искривленной границе выступают расходящийся характер прошедшей через слой ударной волны я4 в случае цилиндрической выемки (рис. 3, с) или эффект фокусировки Г при отражении поперечных скачков уплотнения от оси симметрии я'4 (рис. 3, g).
Для случаев выемки и утолщения слоя векторное произведение градиентов плотности смеси и давления УрхУр имеет противоположные направления, что вызывает образование разнонаправленных вихрей (рис. 2 и 3, с, g). В дальнейшем формируются грибовидные (рис. 2, К) или кольцевые (рис.
3, С) вихревые структуры t. Интересно отме-
тить появление мелких срывных завихрений в газовой фазе вниз по потоку по периферии (рис. 3, С) или в окрестности оси симметрии (рис. 3, К).
Динамика слоя для рассматриваемых вариантов задач показана на рис. 4 в виде траекторий заданных точек на границе раздела сред. Приняты следующие обозначения: сплошная и штриховая линии соответствуют траекториям левой и правой границы на оси симметрии (при у' = 0), а пунктирная и штрихпунктирная кривые — изменения во времени положений левой и правой контактной поверхности на стенке канала (при у' = 0,89).
Деформация границ пылевого слоя происходит со сжатием на оси симметрии для варианта взаимодействия с выемкой слева (рис. 4, а), а наличие цилиндрического утолщения, напротив, приводит к отставанию контактной поверхности в центре канала от движения взвеси на периферии (рис. 4, Ь). В случае начального искривления правого края слоя газовзвеси наблюдаются пересечение траекторий характерных точек (рис. 4, с и С). Например, правый край слоя вблизи стенки (штрихпунктирная линия) с течением времени отстает (рис. 4, с) или опережает (рис. 4, С) положения границ слоя на оси симметрии (сплошная и штриховая кривые).
Рассмотренные сценарии реализуются для мелких частиц газовзвеси, для которых
Рис. 4. Траектории левой и правой границ слоя газовзвеси (сплошная и штриховая линии, соответственно) на оси симметрии (у' = 0), а также на стенке канала (у' = 0,89) (пунктирная и штрихпунктирная линии, соответственно) для случаев выемки или утолщения соответственно левой (а и Ь), а также правой (с и С) границ
Ь)
х
3
с)
х
3 4
d) х, 6 7
, б)
3.0
2.0
1.0 0.5.
0.5 5(VP)
п ■.......... ч
U
Рис. 5. Взаимодействие ударной волны с выемкой левой границы слоя газовзвеси (^ = 10 мкм). Даны численные шлирен-изображения функции градиента плотности смеси (а - <) и профили относительной плотности смеси (е - К) на оси симметрии (сплошные кривые) и на стенке (пунктиры) в последовательные безразмерные моменты времени: 1,51 (а, е), 1,85 (Ь, Д 2,54 (с, g), 13,73 (<, h)
времена выравнивания скоростей и темпера- Вследствие значительных времен релак-тур фаз малы, т. е. саций фаз, равных
1 w104 = 2,551, i2M104 = 5,3 02;
tiT)104 = 8,303, 72{t)104 = 0,277,
и зоны релаксации являются подсеточными.
Численные сценарии динамики пылевого слоя для взвеси частиц большего размера.
Рассмотрим теперь взаимодействие ударной волны со слоем газовзвеси для частиц диаметром d = 10 мкм на примере задачи с начальным уменьшением ширины (выемкой) на левой поверхности.
Результаты расчетов в последовательные моменты времени представлены на рис. 5 как численные шлирен-изображения и как распределения плотности смеси, отнесенные к ее величине за ударной волной р' = p/p s.
t м = 2,551, t,w = 5,302;
t(T )= 8,303, t2(T )= 0,277,
динамика слоя газовзвеси имеет ряд существенных особенностей. При падении ударной волны 51 на левую границу дисперсной среды образуется проходящая ударная волна уменьшающейся интенсивности и отраженная слабая волна сжатия 53.
Поскольку газовая несущая фаза опережает увлекаемые ею дисперсные частицы, начальная поверхность между газом и дисперсной средой расщепляется на два контактных разрыва. Первый из них — это скачок пористости с', а второй — контактный разрыв в газовой фазе с|' (рис. 5, а, Ь и е,/). Аналогич-
ная ситуация возникает и на правой границе газовзвеси с разделом сред с'2 и интерфейсной поверхности газов с"2 (рис. 5, с и g).
Межфазное трение и теплообмен являются существенными факторами подавления вихрей малого масштаба. К моменту окончания счета слой деформируется со значительным сжатием на оси симметрии (рис. 5, g) и формируется крупное кольцевое газодисперсное вихревое образование (рис. 5, С).
Заключение
Методом численного моделирования изучены закономерности взаимодействия ударной волны при ее набегании на слой газовзвеси с искривленными границами. В зависимости от разницы эффективного акустического импеданса реализуются два типа распада разрыва на границе раздела сред: две ударные волны либо волна разрежения и ударная волна. Наличие утолщения или
сужения слоя газовзвеси приводит к формированию двумерных эффектов двойного преломления фон Неймана и фокусировки либо расхождения проходящей ударной волны. Несовпадение градиентов плотности и давления является причиной развития неустойчивости на поверхности раздела газа и взвеси и образования грибовидных или кольцевых вихревых структур. Фактор неравновесности течения при увеличении размера дисперсных частиц вносит существенные особенности: ударная волна внутри слоя газовзвеси движется со снижением ее интенсивности, а начальная поверхность между газом и дисперсной средой расщепляется на два контактных разрыва: скачок пористости и контактный разрыв в газовой фазе.
Результаты численного моделирования подтвердили надежность, большой запас устойчивости и высокую разрешающую способность гибридного метода крупных частиц.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abd-El-Fattah A.M., Henderson L.F. Shock waves at a fast-slow gas interface // Journal of Fluid Mechanics. 1978. Vol. 86. No. 1. Pp. 15-32.
2. Abd-El-Fattah A.M., Henderson L.F. Shock waves at a slow-fast gas interface // Journal of Fluid Mechanics. 1978. Vol. 89. No. 1. Pp. 79-95.
3. Войнович П.А., Жмакин А.И., Фурсенко А.А. Моделирование взаимодействия ударных волн в газах с пространственными неоднород-ностями параметров // Журнал технической физики. 1988. Т. 58. № 7. С. 1259-1267.
4. Георгиевский П.Ю., Левин В.А., Сутырин О.Г. Пространственные эффекты при взаимодействии ударной волны с продольным каналом газа пониженной плотности // Письма в Журнал технической физики. 2018. Т. 44. № 20. С. 5-13.
5. Ranjan D., Oakley J., Bonazza R. Shock-bubble interactions // Annual Review of Fluid Mechanics. 2011. Vol. 43. Pp. 117-140.
6. Wang M., Si T., Luo X. Experimental study on the interaction of planar shock wave with polygonal helium cylinders // Shock Waves. 2015. Vol. 25.
No. 4. Pp. 347-355.
7. Kiselev V.P., Kiselev S.P., Vorozhtsov E.V.
Interaction of a shock wave with a particle cloud of finite size // Shock Waves. 2006. Vol. 16. No. 1. Pp. 53-64.
8. Тукмаков Д.А. Численное исследование интенсивных ударных волн в запыленных средах с однородной и двухкомпонентной несущей фазой // Компьютерные исследования и моделирование. 2020. Т. 12. № 1. С. 141-154.
9. Дэвис С.Л., Диттман Т.Б., Якобс Дж.Б., Дон В.С. Дисперсия облака частиц в ударной волне. Влияние формы, угла поворота и геометрических параметров облака на динамику потока и дисперсию // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54. № 6. С. 45-59.
10. Волков К.Н., Емельянов В.Н., Карпенко А.Г., Тетерина И.В. Влияние двумерных эффектов на взаимодействие ударной волны с облаком частиц // Вычислительные методы и программирование. 2020. Т. 21. № 3. С. 207-224.
11. Георгиевский П.Ю., Левин В.А., Сутырин О.Г. Фокусировка ударной волны при взаимо-
действии ударной волны с цилиндрическим облаком пыли // Письма в Журнал технической физики. 2016. Т. 42. № 18. С. 17-24.
12. Садин Д.В., Давидчук В.А. Взаимодействие плоской ударной волны с областями различной формы и плотности в мелкодисперсной газовзвеси // Инженерно-физический журнал. 2020. Т. 93. № 2. С. 489-498.
13. Нигматулин Р.И., Губайдуллин Д.А., Тук-маков Д.А. Ударно-волновой разлет газовзвесей // Доклады Академии наук. 2016. Т. 466. № 4. С. 418-421.
14. Садин Д.В., Любарский С.Д., Гравченко Ю.А. Особенности недорасширенной импульсной импактной газодисперсной струи с высокой концентрацией частиц // Журнал технической физики. 2017. Т. 87. №1. С. 22-26.
15. Садин Д.В., Гузенков В.О., Любарский С.Д. Численное исследование структуры нестационарной двухфазной тонкодисперсной струи // Прикладная механика и техническая физика. 2005. Т. 46. № 2. С. 91-97.
16. Садин Д.В. Метод расчета волновых гетерогенных течений с интенсивным межфазным взаимодействием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. № 6. С. 1033-1039.
17. Saurel R., Abgrall R. A multiphase Godunov method for compressible multifluid and multiphase flows // Journal of Computational Physics. 1999. Vol. 150. No. 2. Pp. 425-467.
18. Садин Д.В. О жесткости систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движения гетерогенных сред // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 11. С. 43-53.
19. Saurel R., Petitpas F., Berry R.A. Simple and efficient relaxation methods for interfaces separating compressible fluids, cavitating flows and shocks in multiphase mixtures // Journal of Computational Physics. 2009. Vol. 228. No. 5. Pp. 1678-1712.
20. Садин Д.В. TVD-схема для жестких задач волновой динамики гетерогенных сред негиперболического неконсервативного типа // Журнал вычислительной математики
и математической физики. 2016. Т. 56. № 12. С. 2098-2109.
21. Frepoli C., Mahaffy J.H., Ohkawa K. Notes on the implementation of a fully-implicit numerical scheme for a two-phase three-field flow model // Nuclear Engineering and Design. 2003. Vol. 225. No. 12. Pp. 191-217.
22. Nascimento J.C.S., Santos A., Pires A.P. A fully-implicit solution for the single-pressure two-fluid model with sharp discontinuities // Computers and Fluids. 2018. Vol. 175. No. 15. Pp. 214-229.
23. Булович С.В. Неявный экономичный алгоритм численного интегрирования системы уравнений для описания состояния многофазного потока с общим давлением // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2020. Т. 13. № 4. С. 47-60.
24. Клебанов Л.А., Крошилин А.Е., Нигматулин Б.И., Нигматулин Р.И. О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши для системы дифференциальных уравнений двухскоростного движения двухфазных сред // Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. № 1. С. 83-95.
25. Drew D.A. Mathematical modelling of two-phase flow // Annual Review of Fluid Mechanics. 1983. Vol. 15. Pp. 261-291.
26. Hudson J., Harris D. A high resolution scheme for Eulerian gas-solid two-phase isentrop-ic flow // Journal of Computational Physics. 2006. Vol. 216. No. 2. Pp. 494-525.
27. Садин Д.В. Модификация метода крупных частиц до схемы второго порядка точности по пространству и времени для ударно-волновых течений газовзвеси // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2019. Т. 12. № 2. С. 112-122.
28. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1987.
29. Quirk J.J., Karni S. On the dynamics of a shock-bubble interaction // Journal of Fluid Mechanics. 1996. Vol. 318. 10 July. Pp. 129-163.
Статья поступила в редакцию 30.03.2021, принята к публикации 20.04.2021.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
САДИН Дмитрий Викторович — доктор технических наук, профессор Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Российская Федерация.
197198, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Ждановская ул., 13 sadin@yandex.ru
REFERENCES
1. Abd-El-Fattah A.M., Henderson L.F., Shock waves at a fast-slow gas interface, Journal of Fluid Mechanics. 86 (1) (1978) 15-32.
2. Abd-El-Fattah A.M., Henderson L.F., Shock waves at a slow-fast gas interface, Journal of Fluid Mechanics. 89 (1) (1978) 79-95.
3. Voinovich P.A., Zhmakin A.I., Fursenko A.A., Numerical simulation of the interaction of shock waves in spatially inhomogeneous gases, Sov. Phys. Tech. Phys. 33 (1988) 748-753.
4. Georgievskiy P.Yu., Levin V.A., Sutyrin O.G., Spatial effects of interaction of a shock with a lateral low-density gas channel, Technical Physics Letters. 44 (10) (2018) 905-908.
5. Ranjan D., Oakley J., Bonazza R., Shock-bubble interactions, Annual Review of Fluid Mechanics. 43 (2011) 117-140.
6. Wang M., Si T. & Luo X., Experimental study on the interaction of planar shock wave with polygonal helium cylinders, Shock Waves. 25 (4) (2015) 347-355.
7. Kiselev V.P., Kiselev S.P., Vorozhtsov E.V.,
Interaction of a shock wave with a particle cloud of finite size, Shock Waves. 16 (1) (2006) 53-64.
8. Tukmakov D.A., Numerical study of intense shock waves in dusty media with a homogeneous and two-component carrier phase, Computer Research and Modeling. 12 (1) (2020) 141-154 (in Russian).
9. Davis S.L., Dittmann T.B., Jacobs G.B., Don W.S., Dispersion of a cloud of particles by a moving shock: effects of the shape, angle of rotation, and aspect ratio, J. Appl. Mech. Tech. Phys. 54 (6) (2013) 900-912.
10. Volkov K.N., Emel'yanov V.N., Karpenko A.G., Teterina I.V., Simulation of unsteady gas-particle flow induced by the shock wave interaction with a particle layer, Numerical Methods and Pro-
gramming. 21 (1) (2020) 96-114.
11. Georgievskiy P.Yu., Levin V.A., Sutyrin O.G., Shock focusing upon interaction of a shock with a cylindrical dust cloud, Technical Physics Letters. 42 (9) (2016) 936-939.
12. Sadin D.V., Davidchuk V.A., Interaction of a plane shock wave with regions of varying shape and density in a finely divided gas suspension, J. Eng. Phys. Thermophys. 93 (2) (2020) 474-483.
13. Nigmatulin R.I., Gubajdullin D.A., Tukmakov D.A., Shock-wave dispersion of gas-particle mixtures, Doklady Physics. 61 (2) (2016) 70-73.
14. Sadin D.V., Lyubarskii S.D., Gravchenko Yu.A., Features of an underexpanded pulsed impact gas-dispersed jet with a high particle concentration, Technical Physics. 62 (1) (2017) 18-23.
15. Sadin D.V., Guzenkov V.O., Lyubarskii S.D., Numerical study of the structure of a finely disperse unsteady two-phase jet, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 46 (2) (2005) 224-229.
16. Sadin D.V., A method for computing heterogeneous wave flows with intense phase interaction, Computational Mathematics and Mathematical Physics. 38 (6) (1998) 987-993.
17. Saurel R., Abgrall R., A multiphase Godu-nov method for compressible multifluid and multiphase flows, Journal of Computational Physics. 150 (2) (1999) 425-467.
18. Sadin D.V., On stiff systems of partial differential equations for motion of heterogeneous media, Mathematical Models and Computer Simulations. 14 (11) (2002) 43-53 (in Russian).
19. Saurel R., Petitpas F., Berry R.A., Simple and efficient relaxation methods for interfaces separating compressible fluids, cavitating flows and shocks in multiphase mixtures, Journal of Computational Physics. 228 (5) (2009) 1678-1712.
20. Sadin D.V., TVD scheme for stiff problems of wave dynamics of heterogeneous media of non-hyperbolic nonconservative type, Computational Mathematics and Mathematical Physics. 56 (12) (2016) 2068-2078.
21. Frepoli C., Mahaffy J.H., Ohkawa K., Notes on the implementation of a fully-implicit numerical scheme for a two-phase three-field flow model, Nuclear Engineering and Design. 225 (12) (2003) 191-217.
22. Nascimento J.C.S., Santos A., Pires A.P.,
A fully-implicit solution for the single-pressure two-fluid model with sharp discontinuities, Computers and Fluids. 175 (15) (2018) 214-229.
23. Bulovich S.V., An implicit economical algorithm for numerical integration of the equation system describing a multiphase flow state with common pressure, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 13 (4) (2020) 47-60.
24. Klebanov L.A., Kroshilin A.E., Nigmatulin B.I., Nigmatulin R.I., On hyperbolicity, stability and correctness of the Cauchy problem for a differ-
ential equations system of the two-speed motion of two-phase media, Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 46 (1) (1982) 83-95 (in Russian).
25. Drew D.A., Mathematical modelling of two-phase flow, Annual Review of Fluid Mechanics. 15 (1983) 261-291.
26. Hudson J., Harris D., A high resolution scheme for Eulerian gas-solid two-phase isentrop-ic flow, Journal of Computational Physics. 216 (2) (2006) 494-525.
27. Sadin D.V., A modification of the large-particle method to a scheme having the second order of accuracy in space and time for shockwave flows in a gas suspension, Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software (Bulletin SUSU MMCS). 12 (2) (2019) 112-122 (in Russian).
28. Nigmatulin R.I., Dynamics of multiphase media, Vol. 1, 2; Hemisphere Publ. Corp., New York, United States, 1990.
29. Quirk J.J., Karni S., On the dynamics of a shock-bubble interaction, Journal of Fluid Mechanics. 318 (10 July) (1996) 129-163.
Received 30.03.2021, accepted 20.04.2021.
THE AUTHOR
SADIN Dmitriy V.
Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky
13, Zhdanovskaya St., St. Petersburg, 197198, Russian Federation
sadin@yandex.ru
© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2021
