Численные методы в оптимальное управление теплофизических процессов стерилизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

S. Franchino, R. Lauriola, A. Pacifico, M. R. Corbo, M. Sinigaglia // Food and Nutrition Sciences - 2012. - № 3 - P. 55-63.

22. Grover S. Probiotics for human health - new innovations and emerging trends [Text] / S. Grover, H. M. Rashmi, A. K. Srivastava, V. K. Batish // Gut Pathogens.-2012. - № 4:15 - P. 1-14.

23. Тарасенко H. А. Кратко о пребиотиках: история, классификация, получение, применение [Текст] / Н. А. Тарасенко, Е. В. Филиппова // Фундаментальные исследования. - 2014. - № 6-1. - С. 33-35.

24. Храмцов А. Г. Лактулоза и функциональное питание. Клиническое исследование продуктов, обогащенных лактулозой. Лактулоза и детское питание [Текст] / А. Г. Храмцов, В. Д. Харитонов, И. А. Евдокимов // Молочная пром-сть. -2002. - № 7. - С. 23-24.

25. Храмцов А. Г. Лактулоза и функциональное питание. Нормализация микрофлоры - основная задача в решении проблемы ухудшающегося здоров'я населения [Текст] / А. Г. Храмцов, В. Д. Харитонов, И. А. Евдокимов // Молочная пром-сть. - 2002. - № 5. - С. 41-42.

26. Храмцов А. Г. Лактулоза и функциональное питание. Развитие рынка функционального питания. История лактулозы [Текст] / А. Г. Храмцов, В. Д. Харитонов, И. А. Евдокимов // Молочная пром-сть. - 2002. - № 6. - С. 29-30.

27. Лактулоза. Назначение и использование [Текст] / В. Д. Харитонов, Ю. И. Филатов, Д. С. Мищенко и др. // Молочная пром-сть. - 2000. - № 7. - С. 1619.

28. Лечебно-профилактические свойства молочних продуктов, обогащенных лактулозой [Текст] / В. Е. Родоман, В. И. Максимов, В. В. Бондаренко и др. // Молочная пром-сть. - 2002. - № 2. - С. 39-40.

Стаття надшшла доредакци 20.04.2015

УДК 664.9

Федишин Я. I., к.ф.-м.н., професор ©

ЛНУВМтаБТ1мен1 С.З. Гжицъкого, Льв1в, Украгна Гембара Т. В., к.т.н., доцент (taras.gembara.@ gmail.com.)

ЛНУ «Льв1вська полтехтка», Льв1в, Украгна Федишин Т. Я., к.вет.н., доктор фшософп

ЧИСЕЛЬШ МЕТОДИ В ОПТИМАЛЬНОМУ УПРАВЛ1НН1 ТЕПЛОФ13ИЧНИМ ПРОЦЕСОМ СТЕРИЛ13АЦ11

Розроблено уточнену методику еизначення температурно-часоеих режим\в стерил!зацИ в автоклавах неперервног дп. Ii основу складае розв'язок задач! оптимального управления технолог1чним теплоф1зичним процесом стерилезацИ за допомогою чисельнихметод1в. При тому забезпечена розрахункова мкробеологечна безпека. Запропоноват алгоритми р1зницевих Memodie забезпечуютъ метмалънш витрати тепловог енергп, харчову щншстъ та органолептичм властивост1.

Ключовг слова: чиселъм методи, р1зницевий метод, оптим1зац1я, управл1ння, MÍHÍMÍ3ayiM, витрати тепла, харчова Ц1нтстъ, органолептичм властивост1, mernonpoeidHicmb, стерил1зац1я.

© Федишин Я. I., Гембара Т. В., Федишин Т. Я., 2015

127

УДК 664.9

Федишин Я. И., к.ф.-м.н., профессор

ЛНУВМБТ им. С.З. Гжицкого, Украина Гембара Т. В., к.т.н., доцент (taras.gembara. @ Gmail.com.)

ЛНУ «Львовская политехника», Украина Федишин Т. Я., к.вет.н., доктор философии

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ СТЕРИЛИЗАЦИИ

Разработана уточненная методика определения температурно-временных режимов стерилизации в автоклавах непрерывного действия. Ее основу составляет решение задачи оптимального управления технологическим теплофизическим процессом стерилизации с помощью численных методов. При этом обеспечена расчетная микробиологическая безопасность. Предложенные алгоритмы разностных методов обеспечивают минимальные затраты тепловой энергии, пищевую ценность и органолептические свойства.

Ключевые слова: численные методы, разностный метод, оптимизация, управление, минимизация, расходы тепла, пищевая ценность, органолептические свойства, теплопроводность, стерилизация.

UDC 664.9

Fedyshyn Y., Ph.D., professor

LNUVMBT them. S. Z. Gzhytsky, Lviv, Ukraine Hembara T., Ph.D., associate professor Lviv National University «Lviv Polytechnic», Lviv, Ukraine Fedyshyn T., Ph.D.

NUMERICAL METHODS IN OPTIMAL CONTROL OF THERMAL STERILIZATION PROCESS

A detailed method for determining the temperature and time regimes of sterilization in autoclaves continuous modes.Its basis is solving optimal control of thermal sterilization process using numerical methods. While the microbiological safety secured design. Algorithms of difference methods provide minimum heat energy consumption, nutritional value and organoleptic properties.

Key words: Numerical methods, difference method, optimization, control, minimization, costs of heat, nutritional value, organoleptic properties, thermal conductivity, sterilization.

Вступ. Для шженерних розрахунюв температурно-часових режим1в стерил1зацп м'ясних консерв1в розв'язано ряд задач математичного моделювання [1-3] наближеними анал1тичними методами, де враховано теплоф1зичш властивосп робочих середовищ стерил1зацшних апарат1в та м'ясних консерв1в, яю при точнш постановщ задач1 в певному д1апазош температур е нелшшними. Наприклад, для встановлення мшробюлопчно! безпеки продукту ефективною виявилась методика розрахунку концентрацп мшробних кл1тин, температури та тривалосп И шдтримування в елементарному об'ем1, який найпов1льн1ше нагр1ваеться. Проблема математичного програмного забезпечення альтернативних розрахунюв чисельними методами становить значний науково-практичний ¿нтерес, враховуючи, що ставляться шдвищеш вимоги до адекватност1 та вериф1кацп математичних моделей. На баз1 математично! модел1 та И реал1зацй' будуються алгоритми

128

управлшня, а саме температурно-часов1 режими стерил1зацш, тому актуальным завданням е розробка чисельних метод1в поряд ¿з анал1тичними.

Матер1али 1 методи. Чисельш методи розв'язування задач теплопровщносп, р1зницевий метод, математичне програмне забезпечення.

Результати дослщження. Для процесу стерил1зацп м'ясних консерв1в, що як правило, у стерил1зацшнш камер1 нагр1ваються нер1вном1рно (залежно вщ !хнього розташування) юнуе взаемозалежнють м1ж штенсивнютю нагр1вання консерв1в, на поверхш яких найнижчий та найвищий град1ент температуры. Тому можна умовно оцшити температурне поле на приклад! одше! консерви, уникнувши значною м1рою багатьох обчнслень. 3 метою розробкн чисельних метод1в розрахунку температурного поля розглянемо загальну постановку задача Для розподшу температури T в тш, що займае об'ем V, обмежене поверхнею X , баланс тепла Q виражаеться р1внянням

^ - ^ + рсШТ = 0, (,=1,2,3), (1)

дxj ш

дТ

де q, -потш тепла в напрямку х, Q=Q(Xi,f) - джерело тепла, рс- - змша тепла

дt

при змш температури T=T(xi,t), р, с - густина та теплоемнють мясопродукту. Записуючи вираз для потоюв тепла в напрямках х, = —Я-, де Я -

дх

коефщент теплопровщносп отримуемо р1вняння балансу (1) у вигляд1

д г 1 ^Т, ^ ШТ

(Я-—) + Q-рс— = о . (2)

ох, ох, ш

Р1вняння (2) описуе розподш температур в обласп з незалежними змшними х, t. Для виршення задач нестацюнарно! теплопровщносп до р1вняння (2) необхщно додати початков! умови, що характеризуют розподш температури в деякий початковий момент часу t0 \ граничш умови на меж1 обласп X, яю зводяться до двох основних тишв:

- задания температури Т (х,, t) на частиш меж1

Т - Т = 0 на Ег (3)

- задания потоку Ц на частиш по нормал1 до меж1 п

- т дТ _ „

цп - ц =-Л--ц = 0 на ^ „. (4)

дп

У раз1 стацюнарних процес1в теплопровщносп розподш температур не залежить вщ часу I р1вняння (2) спрощуеться до виду

(А^) + Q = 0 , (5)

ох, ох,

де _ _ Т=Т(х), Q=Q(Xi).

Формальний запис сукупносп р1внянь, що описують стацюнарну задачу теплопровщност1, можна представити у виглядк

129

A(T) = DT + Q = 0; D

дxi

Я

д_

дx

i у

В(Т) =

G1T - q = 0 на Е q;

дп

(6)

о2 = 1

02Т - Т = 0 на ЕТ;

У випадку м'ясопродукту в точнш постановщ задача теплопровщносл е нелшшною, бо коефщент теплопровщносл залежить вщ температуря. Це значно ускладнюе задачу, тому приймемо сталу величину Я, тсцц сшввщношення (5) буде лшшне

Я-

а 2т

+ Q( х) = о.

(7)

дхг дхг

При дослщженш процес1в теплопровщносл в двовим1рнш постановщ (х1 = х, х2 = у, Т = Т(х, у), ( = ((х, у)) отримаемо вщповщш р1вняння

Я

Гд2Т д2Тл

+

дх2 ду2

+ 2( х,у) = о

Т - Т = 0 на Ет

(8)

дТ _

Я — + q = 0 на ^ ^^ (, -частини меж1 обласп V).

дп

В одном1рнш задач! (х1 = х) отримаемо:

Я

а 2т ах 2

+ 2 = 0 (0 < х < Ь)

Т - Т = 0 ; х = 0 ; х = Ь

(9)

Я

ах

+ q = 0 ; х = 0; х = Ь

Серед чисельних метод1в розв'язання задач математично! ф1зики оберемо р1зницевий метод. Тод1 розглянута область апроксимуеться слковою областю, а значения похщних шуканих функцш замшюються р1зницевими виразами через значения цих функцш у вузлах с1тки. Дал1 для кожного вузла отково! обласп складаються вщповщш р1зницев1 аналоги вихщних функцюнальних р1внянь, складаються р1зницев1 аналоги заданих граничних умов \ завдання зводиться до розв'язку системи алгебра!чних р1внянь. Для р1зницево! аппроксимацп

функцш в одном1рнш задач! для функцп_Дх) в окол1 х+^х використаемо розклад в ряд Тейлора. Нехай_Дх) задана значениями /г = /(хг) (г = 0,1...п), Ах = хг+1 - хг.

130

Використовуючи тшьки два члени розкладу отримаемо:

f "Ах2 ,

/ш = f (х, + Ах) = f + /Лх + U,

де Q = 0 <в< 1

Г! f(i+1) _ fi л» Ах I

f =-7--f — i+е > аб0

Лх 2

f;= /м ~ f + о(Лх) (10)

Ах

il Ах

Похибка становить |о| < max| f \- -Таке представления похщно1 е

апроксимащею nepmoï похщно1 р1зницею вперед. 3 вщповщних м1ркувань отримаемо апроксимащю похщно1 р1зницею назад

/;=+о(Ах) (ii)

Лх

Для обчислень вищо1 точносп можна записати вирази в вузлах i-1,i+1

/w2 Ar3

fM = f, + + 0 <01 < 1 (12) 2 6 1

Ах2 ,Лх3

fi-1 = f - fit*+Л'^- - f — -и, , о <e2 < 1 (13)

26 3 р1знищ цих вираз1в отримаемо

f"=J 1+1 72 + 0(Лх2), (15)

f'= /м2/ + 0(Ах2) . (14)

т О loi Ах I pfff\

Похибка О в такому випадку буде |о| <——— max| f \- ц+1. А для друго1 похщно1 отримаемо

fi+1 ~ 2fi + fi-1 ^rVAv2

Лх

де |5|< — maxlf m'\. .. .. ii 12 1 ''-1,i +1

Таким же чином можна отримати вирази для похщних вищих порядюв, наприклад

f"l~ fi+2 ~ 2 fi+1 2fi-1 ~ fi-2 . (16) Ji~ 2Лх3 ' 1 ;

fm'~ fi+2 ~ 4fi+1 6fi ~ 4fi-1 fi-2 (17) Ji ~ Лх4 " ( )

131

Така методика може бути використана для побудови р1зницевих апроксимацш частинних похщних 1 в двовим1рному випадку, зокрема в окол1 вузла г, к для функцп Лх,у) можна записати:

,к 1 ./1-1, к

дх2 Ах2

Я7 ~ £М1 - 21г,к + /г.

к-1

ду2 Ау2

,к+1 + !г-1,к-1 1г-1,к+1 /г+1,к-1

(18)

(19)

(20)

дхду 4АхАу

Як приклад розглянемо розв'язк задач! теплопровщносп в одновим1рному випадку. Нехай потр1бно визначити функщю Т(х), що задовольняе (9), вщр1зок, на якому шукаеться функщя, розбиваеться певним числом р1вновщдалених точок з координатами х1 (I = 0,1...Ь), х0 = 0, хь = Ь, х1+1 - х1 = Ах. Для вс1х внутршшх

точок с1тки складаеться аналог вихщного диференщального р1вняння на основ! застосування формул кшцево-р1зницевого подання друго! похщно!. У типовому вузл1 х1 :

к(Т+1 - 2Т + Т_1>/ Ах2 = -0. ^ ^ (21)

Якщо на кшцях вщр1зка задаш значения температури Т I Ть, то в

першому 1 останньому вузлах р1вняння не складаються, а в другому 1 передостанньому р1вняннях вщом1 значения температури переносяться в праву частину

Ак2

-Т0 + 2Т -Т2 = 01 •—-;

к 2 (22) Аг

- Ть + 2ТЬ_1 - Ть_2 = —¡-

к

Система Ь-1 алгебра!чних р1внянь для Ь-1 невщомих значень Т1 в узлах сггково! обласп запишеться:

2Т1 - Т2 = 01Ах2/ к + Т0

- Т + 2Т2 - Т3 = 02 Ах2 / к

- Т2 + 2Т3 - Т4 = 03 Ах2 /к (23)

- Ть_2 + 2Ть_1 = 0^Ах2/ к + Ть

У матричному вигляд1 систему р1внянь можна записати

[К ]{<?} = {Я} , (24)

де - вектор {ф}Т = (Т, Т2.. ТЬ1), [К] - матриця системи

132

[К ] =

2 -1 0 0 0 -1 2 -10 0 0 -1 2 -10

•-1 2 -1

0 -1 2

(25)

{Я} - вектор правих частин системи

{Я} =

^Лх2/ к + Т0 02Дх2/к

О^Ах2/ к + Ть

(26)

Отже вихщна задача визначення невщомих функцш замшюеться заданиям системи р1внянь вщносно дискретних значень Т1 . . .Ть-1. Тобто метод дае значения функцш у вузлах слково! облает^ але не дае значения функцш м1ж точками, тобто диференщальне р1вняння апроксимуеться тшьки в обмеженому числ1 точок. Розглянемо випадок, при якому на одному з кшщв вщр!зка задано потш тепла

, с1Т _

Я-= —Ц при х=ь. (27)

ёх

Тод1 значение температури Ть виявляеться невщомим для визначення вс1х вузлових температур \ необхщно додати до системи (23) ще одне р1вняння, записавши в кшцевих р1зницях р1вняння (27) у вузл1 х=ь. Якщо апроксимувати похщну р1зницею назад, то р1вняння (27) набуде вигляду

(Ть - Ть_х)/Ах = -д /Я (28)

В таблиц! представлено для пор1вняння результата розрахунюв температурно-часових режим1в стерил!зацп з використанням р1зницевих метод1в та анал1тичного розрахункового методу за теплоф1зичними та геометричними даними [1]. Спостер1гаеться цшком задовшьна корелящя, що свщчить про вагому перспективу розширення облает! створення вщповщних шженерних методик розрахунку режим1в стерил!зацп.

Висновки. Розроблено чисельний р1зницевий метод оцшки ефективносп температурно-часового режиму стерил1зацп м'ясних консерв1в за летальнютю мшрофлори, квал1метричними характеристиками та витратами теплово! енергп на стерил!защю, що дае змогу отримувати готовий продукт при мшмальних енерговитратах з прогнозованими яюсними показниками. Як вихщш даш використано розроблеш рашше результати розрахунюв аналничними методами. Також зроблене пор1вняння ефективносп альтернативних чисельних метод1в. Результати можуть бути використаш для вщповщного математичного програмного забезпечення шженерних розрахунюв у технолог!! стерил!зац!!.

133

Таблиця

Розрахунков1 температурно-часов1 режими стерил1зацн

Темпера- Час Харчова цшшсть Коефщент Зменшення

тура стерил1- консерв1в (в1дносна ОЦ1НКИ прямих витрат

стерил1- зацп б1олог1чна ц1нн1сть за органолеп- тепла на нагрта-

зацп t , хв. лабшьшстю 61лк1в до тичних ння 1 кг консер-

(похибка%) (похибка%) ферментатив-ного властиво-стей в1в у МДж

Тс °с пдрол1зу) у с УС

112 (1,5) 108(2,1) 1168 1975 7,83

113(1,5) 107(2,1) 1214 2010 7,02

114(1,4) 105(2,0 1252 2133 6,97

115(1,3) 103(2,0) 1321 2464 6,02

116(1,3) 99(1,9) 1321 2528 5,78

117(1,3) 96(1,9) 1420 2688 4,65

118(1,3) 94(1,9) 1482 2920 3,8

119(1,2) 92(1,8) 1544 3179 2,34

120(1,2) 90(1,8) 1616 3473 1,02

Лггература

1. Федишин Я. I., Гембара Т. В., Федишин Т. Я. Дискретне математичне моделювання теплоф1зичного процесу стерил1зацп i3 застосуванням модифшованих бюф1зичних характеристик термостшкосп та летальносп // Науковий вюник ЛНУВМ та БТ iM. С. 3. Гжицького - 2012. - Том 14, №2, Частина 3. - с. 276-281.

2. Бурдо О. Г., Федишин Т. Я, Гембара Т. В., Демюв Т. М. Використання закону Аррешуса для теплоф1зичного розрахунку процесу стерил1зацп м'ясних консерв1в // Науков1 пращ Одесько! держ. академ. харч. технол. - 2001. - Вип. 22. -С.152-159.

3. Гембара Т. В., Федишин Я. I., Федишин Т. Я. Управлшня тепловою обробкою м'яса за параметрами бюлопчно! цшносп // Науковий вюник ЛДАВМ iM. С. 3. Гжицького. - Льв1в - 2003. - Т.5, №1. - С. 149-152.

Стаття надшшла доредакци 29.04.2015

УДК 539.621.548.

Щж Б. Р., д.т.н., професор © E-mail: tsizhb@.ukr.net

Лъегесъкий нацгоналънийутеерситет ветеринарног медицины та б1отехнолог1й iмет С. 3. Гжицького, Льв1в, Украгна Утверситет Казимира Великого в Бидгощ1, Полъща

Р1ДКОКРИСТАЛ1ЧН1 МОДУЛЯТОРИ СВ1ТЛА 3 ОРГАН1ЧНОЮ ФОТОКЕРОВАНОЮ МАТРИЦЕЮ

Представленi резулътати тдбору матер\ал\в, технолог1й i топологИ' тонкопл1вкових структур для р1дкокристал1чних модулятор1в св1тла з фотокерованими матрицями. Показано, як за допомогою оптим^зацИ складу, конструкци i еластиеостей тонкопл1вкових складових св1тлокерованих р1дкокристал1чних mpaHcnapanmie можна суттеео покращити ixni po6oni характеристики, зокрема, cnpocmumu i прискорити процеси записуеання i

© Щж Б. Р., 2015

134