Численные методы решения задач математического анализа с применением информационных технологий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004

В. В. Богун, Ю. П. Поварёнков

Численные методы решения задач математического анализа с применением информационных технологий

В статье представлены алгоритмы численных методов золотой пропорции и дихотомии, используемые при решении задач математического анализа с точки зрения нахождения пределов числовых последовательностей и решении алгебраических уравнений. Представлено программное обеспечение в виде динамических расчетных проектов для дистанционной системы, позволяющее реализовать сравнительный анализ рассматриваемых численных методов решения математических задач.

Ключевые слова: численные методы, метод золотой пропорции, метод дихотомии, сравнительный анализ, динамические интернет-сайты.

V. V. Bogun, Ju. P. Povarionkov

Numerical Methods to Solve Problems of the Mathematical Analysis with Use of Information Technologies

Algorithms of numerical methods of the gold proportion and dichotomy used to solve problems of the mathematical analysis from the point of view of finding limits of numerical sequences and the solution of the algebraic equations are presented in the article. The software in the form of dynamic calculated projects for the remote system is presented and it allows to realize a comparative analysis of the considered numerical methods of solving mathematical problems.

Keywords: numerical methods, a method of a gold proportion, a dichotomy method, a comparative analysis, dynamic Internet sites.

Введение

В предлагаемой статье рассматриваются численные методы решения задач математического анализа, подразумевающие реализацию пошагового решения задачи с применением определенных расчетных алгоритмов, которые базируются на использовании комбинации линейных, разветвляющихся и циклических алгоритмов.

Применение численных алгоритмов при решении математических задач [5] обусловлено невозможностью в определенных случаях решения задачи аналитическими методами без использования пошаговых циклических алгоритмов в рамках одной итерации (например, решение определенных алгебраических уравнений или вычисление значений определенных «неберущихся» интегралов).

При решении подобных математических задач с применением численных методов, как правило, пользуются несколькими вычислительными алгоритмами, результаты расчетов по которым впоследствии сравниваются с целью определения либо более точных значений итоговых параметров задачи либо выявления оптимального алгоритма поиска необходимых значений итоговых параметров с целью минимизации количества расчетных итераций [4].

Проведение сравнительного анализа расчетных алгоритмов соответствующих численных методов необходимо осуществлять с применением информационных технологий с целью корректного и оперативного получения значений и определенных параметров задачи.

Нахождение предельных параметров числовых последовательностей

В рамках исследования осуществляется расчет значений минимальных номеров приближения к

2

а2п + а1п + а0 / _ . , .

пределу числовых последовательностей вида хп =-2- (для 8 > 0, а2 Ф 0, Ъ2 Ф 0,

Ъ2п + Ъ1п + Ь0

© Богун В. В., Поварёнков Ю. П., 2013

a2 b

< s) с использованием методов золотой пропорции и дихотомии с последующим проведе-

нием сравнительного анализа на основе применения разработанного автором программного обеспечения [2, 3].

Пределом рассматриваемых числовых последовательностей является отношение:

A = lim x = — .

n 7

2

В рамках рассматриваемой задачи необходимо реализовать расчет значений минимальных номеров ns числовых последовательностей {Хп } по заданным s > 0 таких, что для всех членов числовых

последовательностей со значениями номеров п > пе выполняется неравенство |xn — A| < s .

В качестве исследуемого объекта в данном случае выступает функция f (п) = |xn — A|:

a (b2 — a2b1 )n + a0b2 — a2b0 b2 (b2n2 + b]n + b0)

f (n)|:

a2n + a1n + a0

b2n + b1n + b0 b2

Рассмотрим логические основы реализации численных методов золотой пропорции и дихотомии для выполнения приближенных вычислений значений минимальных номеров пе для числовых по-

a2n + an + a0

следовательностей вида xn =——2—;-— (при s > 0, a2 Ф 0, b2 Ф 0,

a2 b

< s ) в зависимости

о2п2 + Ь1п + Ъ0У* 2 2

от различных числовых значений а в рамках рассматриваемого отрезка [пА0, пв0] с условием пА0 < пв0, на котором следует осуществлять нахождение значения минимального номера па, где пА0 и пв 0 - произвольные теоретические номера числовой последовательности.

Метод золотой пропорции

Суть золотой пропорции, изображенной на рис. 1, состоит в следующем: если разделить отрезок С на отрезки А и В таким образом, что это будет отражать золотую пропорцию, то А, деленное на В, будет равно С, деленному на А.

' 1,618033989.

^ с a 1+У5

Символьная запись: — = — = ф =-

A В 2

Действительно, пусть = = X . Т A + В — A В —

Так как A + В = — , то есть--1--= —, то получим квадратное уравнение:

AAA

1 2

1 + — = X ^ X2 - X -1 = 0. X

Положительный действительный корень квадратного уравнения:

X i+У5

X = ф =-

2

1,618033989.

C A C 2

Получим равенства: ^ = B = Ф и B = Ф .

Метод золотой пропорции для нахождения значения минимального номера а исходной числовой последовательности на основании вышеуказанных исходных данных имеет следующую реализацию:

Рис. 1. Золотая пропорция

1. На искомом отрезке [пА0, пВ0 ] при соблюдении условий пА0 < пВ0 и |/(пА0 )>£> |/(пВ0) (по умолчанию значения пА0 и пВ 0 являются целыми числами) выбираются точки с абсциссами п^

n

GP D0

исходя из неравенств

ПА0 < nGP < nZ < ПВ0 И \f (nA0 ) > | f {nGP | > | f {nZ | > | f {(GP\

в соответ-

ствии с принципами золотой пропорции согласно следующим соотношениям:

n — n

- n I ВО АО _ n - ПВ0 nA0 nGp _ n , nB0 nA0 _ n - nB0 nA0 "ü 0 nA0^ _ 2 "B 0 ' 'lD0 nA0^ 'lB0 2

V

V

V

V

2. При наличии положительных дробных частей значения и п^Р0 округляются до ближайших больших целых чисел.

3. Если достигнута истинность выражения пВ0 — пА0 = 1, то итерации прекращаются, количество шагов

СР СР вР

итераций = 0, и в качестве минимального номера пЕ выбирается пЕ = пА0 в силу неравенства / (пА0 )>Н / (пв 0 ).

4. Если пВ0 — пА0 Ф 1, то осуществляется переход к следующей итерации.

Метод дихотомии

Суть дихотомии, или половинного деления, состоит в следующем: если разделить отрезок С на отрезки А и В таким образом, что это будет отражать дихотомию, то С, деленное на А, будет равно С, деленному

С С

на В, то есть А равно В: — = — = 2, или А = В.

А В

Если рассмотреть отрезок [пА0, пВ0 ] с условием пА0 < пВ0, на котором следует осуществлять нахождение значения минимального номера пе , где пА0 и пВ0 - произвольные теоретические номера последовательности, то метод золотой пропорции для нахождения значения минимального номера пе исходной числовой последовательности имеет следующую реализацию:

1. На искомом отрезке [пА0, пВ0 ] при соблюдении условий пА0 < пВ0 и |/(пА0 )>£> |/(пВ0)

(по умолчанию значения пА0 и пВ0 являются целыми числами) выбираются точки с абсциссами п^0

4D D0 ■

nA0 < nÜ0 _ Пт < nB0 и \f (nA0 ) > |f (PÜD0 | > |f (nD0 | > |f (n )b 0|

в соответст-

вии с принципом дихотомии согласно следующим соотношениям:

Пис\ П л

nD _n + ''B0 "A0

ü0 A0

-1 _ nB0--

nB0 nA0

- 1 nD _ П + i - ' ' nn " in 1

nB0 - nA 0

V

D0

A0

+1 _ nDn --

nB0 - nA0

+1.

V

V

2. При наличии положительных дробных частей значения пС0 и п^0 округляются до ближайших больших целых чисел.

и

3. Если достигнута истинность выражения пВ0 — пА0 < 2, то итерации прекращаются, количество шагов итераций ^ = 0 и в качестве минимального номера п£ выбирается п£ = пА0 в силу неравенства

\/(пА0 I (пв 0 ).

4. Если пВ0 — пА0 Ф 1, то осуществляется переход к следующей итерации.

Сравнительный анализ численных методов

Программная реализация описанных численных методов решения рассматриваемой задачи (методы золотой пропорции и дихотомии) осуществляется в виде разработанного автором динамического расчетного проекта в рамках соответствующей дистанционной системы [5], суть которого заключается в генерировании значений исходных данных и расчете значений необходимых параметров согласно определенным программным составляющим.

На рис. 2 представлены определенные составляющие рассматриваемого динамического расчетного проекта. На рис. 2А) отражены значения исходных данных для проекта, на рис. 2В) и 2С) показаны значения промежуточных результатов для «0»-го шага и итоговых результатов соответственно для метода золотой пропорции, тогда как на рис. 2Б) и 2Е) представлены значения промежуточных результатов для «0»-го шага и итоговых результатов соответственно для метода дихотомии.

Согласно указанным на рис. 2 результатам расчетов, выполненных с применением авторского программного обеспечения, можно сделать вывод, что при одинаковых значениях минимальных номеров пе количество шагов итераций $е для метода золотой пропорции меньше, чем для метода дихотомии, что характеризует метод золотой пропорции как более оптимальный алгоритм поиска и расчета значений минимальных номеров приближения к пределу числовых последовательностей.

Приближенные решения алгебраических уравнений

В рамках исследования осуществляется приближенное решение алгебраических уравнений вида I (х) = 0 с целью определения приближенного значения изолированного действительного корня хп на отрезке [а0, Ь0 ] с необходимой точностью £ с использованием методов золотой пропорции и дихотомии с последующим проведением сравнительного анализа на основе применения разработанного автором программного обеспечения [2, 3].

Рассмотрим логические основы реализации численных методов золотой пропорции и дихотомии для выполнения приближенных решений алгебраических уравнений вида I (х) = 0 с целью определения приближенного значения изолированного действительного корня в зависимости от различных числовых значений £ в рамках рассматриваемого отрезка [хА0, хВ0] с условиями хА0 < хВ0

и I(хА0 ) • I(хВ0 ) < 0, на котором следует осуществлять нахождение значения действительного корня хп, где хА0 и хВ0 - произвольные значения аргументов рассматриваемой функции.

Метод золотой пропорции

Метод золотой пропорции для нахождения приближенного значения действительного корня хп алгебраического уравнения вида I(х) = 0 на основании вышеуказанных исходных данных имеет следующую реализацию:

1. На искомом отрезке [хА0, хВ0 ] при соблюдении условий хА0 < хВ0 и I(хА0) • I(хВ0) < 0 выби-

СР СР СР СР

раются точки с абсциссами хс0 и х00, исходя из неравенства хА0 < хс0 < х00 < хВ0 в соответствии с принципами золотой пропорции согласно следующим соотношениям:

хОР = х . хВ0 — хА0 = х — хВ0 — хА0 хСР = х + хВ0 — хА0 = х — _хВ0 — хА0

"с 0 А0 2 В0 ~00 А0 ЛВ0 2

Ф Ф Ф Ф

Исходные данные для работы:

А)

Нахождение параметров расчетов по методу золотой пропорции:

В)

Итоговые результаты метода золотой пропорции:

С)

Нахождение параметров расчетов по методу дихотомии: Шаг 0: п°ао=7 псво = 5000 п°со = 2503 п°ш = 2505 |у(поС0)-а2/Ь2| = 0.0044 |у(п°00)-а2/Ъ2| = 0.0044

О)

Итоговые результаты метода дихотомии: Количество шагов = 11 Минимальный номер п°ер5 =135

Е)

Рис. 2. Реализация динамического расчетного проекта по исследованию числовых последовательностей

2. Осуществляется анализ полученных данных:

2Л.Если /{хАо)• /(х£р)< то хА1 = хАо и хВ1 = .

2.2.Если /(хС0)• /Хр0)< 0 , то ХА1 = хСр и хв1 = х3р .

2.3.Если /)• /(хво ) < 0 , то хА1 = и хВ1 = хВ0 .

3. Если достигнута истинность выражения |хВ0 — хА0| < 8, то итерации прекращаются, количество шагов итераций = 0 ив качестве приближенного решения уравнения выбирается абсцисса

хОР = хА0 + хВ0 Х8 — .

8 2

4. Если |хВ0 — хА0| > 8 , то осуществляется переход к следующей итерации. Метод дихотомии

Метод золотой пропорции для нахождения приближенного значения действительного корня хп алгебраического уравнения вида / (х) = 0, на основании вышеуказанных исходных данных имеет следующую реализацию:

1. На искомом отрезке [хА0,хВ0] при соблюдении условий хА0 < хВ0 и /(хА0)• /(хВ0)< 0 выбирается

точка с абсциссой исходя из неравенства хА0 < х^ < хВ0 в соответствии с принципами дихотомии сох + х

гласно следующему соотношению: х3 -В0.

0 2

2. Осуществляется анализ полученных данных:

2Л. Если /(хА0 )• /(х3 )< 0, то хА1 = хА0 и хВ1 = х3 .

2.2. Если /(х03 } /(хВ0) < 0 , то хА1 = и хВ1 = хВ0.

3. Если достигнута истинность выражения |хВ0 — хА0| < 28 , то итерации прекращаются, количество шагов итераций = 0 ив качестве приближенного решения уравнения выбирается абсцисса

хОР = х3 = хА0 + хВ0 Хе ~ Х0 _ 2 '

4. Если |хВ0 — хА0| > 28 , то осуществляется переход к следующей итерации.

Сравнительный анализ численных методов

Программная реализация рассмотренных численных методов решения рассматриваемой задачи (методы золотой пропорции и дихотомии) осуществляется аналогичным образом в виде разработанного автором динамического расчетного проекта в рамках соответствующей дистанционной системы [1], суть которого заключается в генерировании значений исходных данных и расчете значений необходимых параметров согласно определенным программным составляющим.

На рис. 3 представлены определенные составляющие рассматриваемого динамического расчетного проекта. По аналогии с первой задачей на рис. 3А) отражены значения исходных данных для проекта, на рис. 3В) и 3С) показаны значения промежуточных результатов для «0»-го шага и итоговых результатов соответственно для метода золотой пропорции, тогда как на рис. 3Б) и 3Е) представлены значения промежуточных результатов для «0»-го шага и итоговых результатов соответственно для метода дихотомии.

Согласно указанным на рис. 3 результатам расчетов, выполненных с применением авторского программного обеспечения, можно сделать вывод, что при нахождении приближенного решения исходного алгебраического уравнения количество шагов итераций ¿8 для метода золотой пропорции меньше, чем

для метода дихотомии, при этом для первого метода приближенное значение корня уравнения х8 получается более точным, что характеризует метод золотой пропорции не только как более оптимальный алгоритм приближенного решения алгебраических уравнений, но и более точный и корректный по сравне-

нию с методом дихотомии.

Исходные данные для работы:

А)

Нахождега1е параметров расчетов, по методу золотой пропорщш:

В)

Итоговые результаты метода золотой пропорции:

С)

Нахождение параметров расчетов по методу дихотомии:

О)

Е)

Рис. 3. Реализация динамического расчетного проекта по приближенным решениям алгебраических уравнений

Таким образом, при рассмотрении двух задач математического анализа (нахождение предельных параметров числовых последовательностей и приближенные решения алгебраических уравнений), требующих применения численных методов решения (метода золотой пропорции и метода дихотомии), на основе проведенного с помощью разработанного автором программного обеспечения сравнительного анализа вычислительных процедур можно сделать вывод о целесообразности использования метода золотой пропорции как более оптимального и точного численного метода.

Библиографический список

1. Богун, В. В. Использование информационной динамической системы мониторинга дистанционных учебных проектов в обучении математике [Текст] / В. В. Богун. - Индиго, 2010. - 136 с.

2. Богун, В. В. Организация учебного процесса по математике с применением графического калькулятора [Текст] / В. В. Богун. - LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, 2012. - 380 с.

3. Богун, В. В., Смирнов, Е. И. Лабораторный практикум с графическим калькулятором [Текст] : учеб. пособие / В. В. Богун, Е. И. Смирнов. - Ярославль : Изд-во «Канцлер», 2010. - 272 с.

4. Исаков, В. Н. Элементы численных методов [Текст] : учеб. пособие для студ. [Текст] / В. Н. Исаков. - М. : Академия, 2003. - 192 с.

5. Кожухов, И. Б., Прокофьев, А. А. Справочник по математике [Текст] / И. Б. Кожухов, А. А. Прокофьев. -М. : «Лист», 1999. - 640 с.

Bibliograficheskij spisok

1. Bogun, V. V. Ispol'zovanie informacionnoj dinamicheskoj sistemy monitoringa distancionnyh uchebnyh proek-tov v obuchenii matematike [Tekst] / V. V. Bogun. - Indigo, 2010. - 136 s.

2. Bogun, V. V. Organizacija uchebnogo processa po matematike s primeneniem graficheskogo kal'kuljatora [Tekst] / V. V. Bogun. - LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, 2012. - 380 s.

3. Bogun, V. V., Smirnov, E. I. Laboratornyj praktikum s graficheskim kal'kuljatorom [Tekst] : ucheb. posobie / V. V. Bogun, E. I. Smirnov. - Jaroslavl' : Izd-vo «Kancler», 2010. - 272 s.

4. Isakov, V. N. Jelementy chislennyh metodov [Tekst] : ucheb. posobie dlja stud. [Tekst] / V. N. Isakov. - M. : Akademija, 2003. - 192 s.

5. Kozhuhov, I. B., Prokofev, A. A. Spravochnik po matematike [Tekst] / I. B. Kozhuhov, A. A. Prokofev. - M. : «List», 1999. - 640 s.