CC BY
91
УДК 517.988.6, 519.62
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© Т. В. Жуковская, Е. А. Молоканова
Ключевые слова: вольтерров оператор; т -вольтерров оператор; функционально-дифференциальное уравнение; задача Коши; приближенное решение; численные методы. Рассматривается общий метод приближенного решения задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения эволюционного типа. На основании общего метода получены аналоги классических методов Эйлера и Рунге-Кутты для численного решения функционально-дифференциальных уравнений. Приведены условия сходимости методов.
Функционально-дифференциальные уравнения описывают многочисленные процессы в физике, технике, экономике, медицине и т. д. Найти "точное" решение таких уравнений можно только в исключительных случаях, поэтому особенно актуальной является задача приближенного решения функционально-дифференциальных уравнений. В работах [1-5] для линейного уравнения рассматриваются методы приближенного построения функции Коши, основанные на построении обратного оператора и аппроксимации ядра оператора ступенчатыми функциями. Ряд работ посвящен численным методам решений специальных типов функционально-дифференциальных уравнений [6-9]: с авторегулируемым запаздыванием, нейтрального типа, интегро-дифференциальным и др. В случае, когда решение дифференциального уравнения не продолжаемо на весь отрезок [a, b] и имеет вертикальную асимптоту, в [10, 11] предлагается модификация метода Эйлера для численного построения решения.
В настоящей работе предлагается общий подход к построению численных методов решения уравнения
x(t) = (Fx)(t), t £ [a,b].
Здесь оператор F : ACp[a,b] ^ Lp[a,b] является вольтерровым [12], т. е.
Vy £ [0,b — a] Vxi, x2 £ ACp[a, b]
(xi(t) = X2(t) Vt £ [a,a + 7]) ^ ((Fxi)(t) = (Fx2)(t) Vt £ [a,a + 7]).
Свойство вольтерровости оператора F позволяет рассматривать решение данного уравнения, определенное не на всем [a, b] , а на его части — отрезке [a,a + 7] , 7 £ (0, b — a), и определить понятие продолжения решения. Вот почему уравнение с вольтерровым оператором F называют эволюционным [13]. Предлагаемые численные методы решения такого уравнения используют специфику вольтеррового оператора F и являются эволюционными в том смысле, что значение решения вычисляются постепенно при все больших значениях аргументов. Таким свойством обладают, например, известные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (методы Эйлера, Рунге-Кутты, Адамса).
1. Метод Тонелли
На примере метода Тонелли, известного для обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [14]), удобно проследить основную идею многих эволюционных методов приближенного решения уравнений с последействием.
Рассмотрим задачу Коши
X(t) = (GHx)(t), t £ [a,b], x(a) = а. (1)
Здесь операторы H : ACp[a,b] ^ Lr[a,b], G : Lr[a,b] ^ Lp[a,b] вольтерровы. Разобьем
отрезок [a,b] на к равновеликих частей точками a, a + Tk, a + 2r^, b (тk = )■
Алгоритм состоит в замене оператора H оператором Hk : ACp[a,b] ^ Lr[a,b] ,
нxm = {(Hx)(0— Tk)• если t -a+Tk'
\ 0, если t<a + тк.
Вследствие т -вольтерровости оператора Hk решение Xk задачи
Xk(t) = (GHkXk)(t), t £ [a,b], Xk(a) = а, (2)
находится по формулам
t
xk(t) = а + f(G0)(s)ds, если t £ [a,a + Tk];
tr
Xk(t) = (xk)(a + iTk)+ f (GHkXk)(s)ds, (3)
a+irk
если t £ [a + iTk,a + (i + 1)Tk], i = 0, 1,...,k — 1.
Достаточные условия сходимости метода Тонелли предоставляет следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть операторы H : ACp[a, b] ^ Lr [a, b], G : Lr [a, b] ^ Lp[a, b] непрерывны, ограничены и хотя бы один из них является вполне непрерывным. Пусть, далее, для решений Xk задач (2) при любом к выполнено неравенство \\Xk\\acv < E < ж. Тогда последовательность {Xk} , построенная по формулам (3), компактна и ее предельные точки являются решениями задачи (1). Если, кроме того, решение X задачи (1) единственно, то Xk ^ X при к ^ ж .
Изложенный метод применим при естественных предположениях к решению уравнений со сосредоточенным запаздыванием
X(t) = f (t,X[h(t)}), t £ [a,b], x(£) = 0, если (£ [a,b],
и с распределенным запаздыванием
t
X(t) = f (t, j x(s) dsR(t, s)), t £ [a, b].
Перечисленные уравнения являются частным случаем уравнения
t
X(t) = f (t, A(t)x(a) + j K(t,s)X(s)ds), t£ [a,b]. (4)
Здесь функция f : [a,b] х R ^ R удовлетворяет условиям Каратеодори и обеспечивает непрерывность оператора Немыцкого
N : Lr[a, b] ^ Lp[a,b], (Ny)(t) = f (t,y(t)); A £ Lr[a,b];
а для K(t,s) выполнено
b
K(-,s) £ Lr[a,b], K(t, ■) £ Lq[a,b], (J\K(t, ■)\rdt)r £ Lp[a,b],
1 +1 p q
для его решения применим метод Тонелли
где Р +1 = 1. В этом случае уравнение (4) отвечает условиям теоремы 1 и, следовательно,
2. Метод Эйлера
Рассмотрим задачу
х(і) = (Гх)(і), і£ [а,Ь], х(а) = а. (5)
Будем предполагать, что вольтерровый оператор Г : АСр[а,Ь] ^ Ьр[а,Ь] допускает продолжение Т : Ьг[а,Ь] ^ Ьр[а,Ь], причем оператор Т также вольтерров. Разобьем отрезок
[а, Ь] точками а = ¿0 < ¿1 < ¿2 < ... <іи = Ь на к равновеликих частей с длинами ти = .
Обозначим через Ри : АСр[а,Ь] ^ Ьг[а,Ь] оператор, определяемый равенством
{х(а), при і £ [а, ¿1),
х(і1), при і£ [і1,і2),
х(гк-{), при ¿£ [¿и-1,Ь].
Метод заключается в замене задачи (5) задачей
хи(¿) = (ТРихи)(і), ¿£ [а, Ь], хи(а) = а. (6)
Решение "приближенной задачи"(6) находится по формулам
І
хі(і) = а + !(Та)(s)ds, при ¿£ [а,Ь1];
г
(х\(¿), если ¿£ [а, и],
х\(и) + /(ТРих\)^^, если і £ (и,и+1], при і £ ][а,і%+1 ^
ІІ
і = 1,2,..., к - 1.
Теорема 2. Пусть непрерывный оператор Т : Ьг [а,Ь] ^ Ьр[а,Ь] каждому ограниченному множеству Е С Ьг [а,Ь] ставит в соответствие ограниченное множество Т (Е) С Ьр[а,Ь]. Пусть, кроме того, при любом к = 1, 2,... для решений хи задач (6) выполнено общее априорное неравенство \\хи\\аср < М < ж. Тогда последовательность {хи}
компактна и ее предельные точки являются решениями задачи (5). Если же решение х задачи (5) единственно, то хи ^ х при к ^ ж .
Приведем в удобном для вычислений виде формулы приближенного метода. Будем обозначать
х0, при і £ [а, і1), хг = хи (іі), (Уг)(і)=> х1 при І£ [tl,t2),
Имеем
х-1, при і£ [іі-1,іі).
І1
х1 = а + / (Туо)^^,
г
¿2
х2 = х1 + / (Тyl)(s)ds,
І1
(7)
хі = хі-1 + / (ТУі-1 )(,з)сІ,в. ІІ— 1
Пример 1. Найдем приближенное решение задачи
+ +2
х(Ь) = х2(-) — 4 + 1, Ье [0,1], х(0) = 0. (8)
Предварительно проверим выполнение условий теоремы 2. Оператор Т, определяемый равенством (Ту)(Ь) = у2(|) —14 + 1, переводит каждое ограниченное множество пространства 1^2р[а,Ъ] в ограниченное множество пространства Ьр[а,Ъ] и непрерывен [15]. Из результатов работы [16] следует однозначная разрешимость задачи (8). Сравним точное решение задачи (8) х = Ь с приближенным решением, найденным по формулам (7). Возьмем к = 10, т = 0,1, получим
0,1
і2
х1 = (—— + 1)dі = 0, 0999,
0,2
і2
х2 = 0, 0999 + (-— + 1)dі = 0,1993,
0,1
0,3
і2
хз = 0,1993 + (0, 09992 - — + 1)dі = 0, 3078,
0,2
1
Г ¿2
х10 = 0, 9034 + (0, 80432 - 4 + 1^і = 0, 9980.
0,9
Теперь применим формулу (7) к численному интегрированию задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
х(Ь) = /(Ь,х(Ь)), Ь <Е [а,Ь], х(а) = а.
Получим
І1
х1 =а Ч{
Ьг
Хг = Х—1 + J / (8,Хг-г)“8, I = 1, 2,..., к.
¿1—1
Если функция / : [а,Ь] х Я ^ Я непрерывна по совокупности аргументов, то для вычисления интегралов можно воспользоваться методом прямоугольников. Тогда
Хг = Хг-1 + Тк ■ /(г-1, Хг-1), г = 1,2,к.
Таким образом, в применении к обыкновенному дифференциальному уравнению предлагаемый метод аналогичен известному методу Эйлера.
Отметим, в заключение, что если для любого х Е АСр[а, Ь] функция (ТРкх)(Ь) кусочно
непрерывна на интервале (Ьг-1,Ьг), то интеграл в формуле (7) можно вычислить прибли-
женно методом прямоугольников. В этом случае получаем
Хг = Хг-1 + Тк ■ (Ту-Щ-г). (9)
3. Улучшенный метод Эйлера
В основе рассмотренных методов лежит идея замены задачи Коши (5) "приближенной задачей", эквивалентной уравнению с т -вольтерровым оператором. Эту идею применим для распространения методов Рунге-Кутты на решение функционально-дифференциальных уравнений. Выведем формулу улучшенного метода Эйлера (метода Рунге-Кутты второго порядка). Для приближенного решения задачи (5) заменим ее задачей
Хк(Ь) = (Т[Ркх + ТкТРкх])(Ь), Ь Е [а, Ь], х(а) = а. (10)
ь
Здесь оператор Тк : Ьр[а,Ь] ^ Ьг [а,Ь] определяется равенством (Тку)(Ь) = / Тк(Ь, 8)у(з)й8,
а
%(Ь,8) = ( 1 если [— ]тк + а -8< [—]тк + а + ^ ,
’ \ 0, в противном случае.
Задача (10) имеет единственное решение: при Ь Е [а, Ьх]
а+0,5тк Ь
уо(8) = а, уо(8) = а + J (Туо)(£)“£, 8Е [а,Ь{], Хк(Ь) = а + ^' (Туо)(8)“8;
аа
при Ь Е (Ьг,Ь2]
( ) = ( а, если 8 Е [а,Ьг], = ( у0(8), если 8 Е [а,Ьг],
\ Хк(Ьг), если 8 Е (Ьг,Ь2 ], \ Хк (Ьг), если8 Е (Ь1,Ь2],
{уо(8), если 8 Е[а,Ьг], *
ХкЫ + ^Т'^угШШ, если 8 Е (им Хк{Ь)= Хк;
Ь1 *1
при Ь Е (и,и+г]
уг-г(8), если 8Е [а, и],
уг ( 8 ) =
\ Хк (и), если 8Е (Ьг,Ьг+г],
уг-1 (8), если 8Е [а, и],
1~г(8) = I и+0,5тк (11)
' Хк(Ьг)+ / (Туг)а)“£, если 8Е (и,и+1],
Ьг
Хк (Ь) = Хк (и) + / (Туг)(8)“8.
Ьг
Теорема 3. Пусть непрерывный оператор Т : Ьг [а,Ь] ^ Ьр[а,Ь] каждому ограниченному множеству Е С Ьг [а,Ь] ставит в соответствие ограниченное множество Е С Ьр[а,Ь]. Пусть, кроме того, при любом к = 1, 2,... для решений Хк задач (10) выполнено общее априорное неравенство \\хк\\лор — М < ж. Тогда последовательность {Хк} компактна и ее предельные точки являются решениями задачи (5). Если же решение х задачи (5) единственно, то Хк ^ х при к ^ ж .
Применим формулу (11) для решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
Х(Ь) = /(Ь,х(Ь)), Ье [а,Ь], х(а) = а.
Получим
¿1 а+0,5т'
хг = а + ! /(8, а + ! /(£,а)“£)“8,
°г+1 ьг+'°,5>к
Хг+1 = Хг + J /(8,Хг + J /(£,Хг)“£)“,8.
г+1 Ьг+0,5тк
= Хг + / / (8,Хг + J / (t,xг
Ьг ¿г
Будем предполагать, что функция / : [а, Ь] х Я ^ Я непрерывна по совокупности аргументов. Для вычисления интегралов воспользуемся методом прямоугольников. Тогда
Хг+г = Хг + Тк ■ /(Ьг + 0, 5тк,хг + 0, 5тк/(Ьг,хг)).
Таким образом, для обыкновенных дифференциальных уравнений формула (11) является формулой улучшенного метода Эйлера.
Пусть для любого х Е АСР [а,Ь] функция (ТРкх)(Ь) кусочно непрерывна на интервале (и,и+\). В этом случае определенные интегралы в формуле (11) можно приближенно вычислить с помощью метода прямоугольников. Тогда решение задачи (10) запишется в виде
у0(8) = а, у0(8) = а + 0, 5тк(Ту0)(а), 8Е [а,Ьг],
Хг = а + Тк(Ту0)(а + 0, 5тк);
(8) = \ Уг-г(8), если 8 Е [a,tг],
\ Хг, если 8 Е (и,к+г],
уг-г(8), если 8Е [а,Ьг], (12)
уг(8 1 хг + 0, 5тк(Туг)(Ьг), если 8Е (Ьг,Ьг+г],
Хг+г = хг + Тк(Туг)(Ьг + 0, 5тк).
Пример 2. Применим формулы метода Эйлера и улучшенного метода Эйлера для численного решения задачи
Х(Ь) = 4у х ^2^ — 2, Ь £ [0,1], х(0) = 1.
Эта задача имеет единственное решение х = (Ь + 1)2. Вычисления будем производить по формулам (9) и (12), взяв к = 10, т = 0,1.
1. Метод Эйлера.
Ь£ [0; 0,1] хх = 1 + 0,1 (4л/1 — 2) = 1,2; t £ (0,1; 0,2] Х2 = 1,2 + 0,1 (4^1 — 2) = 1,4;
t £ (0,2; 0,3] Хз = 1,4 + 0,1 (4^1,2 — 2) = 1,638.
И т. д., полностью результаты счета приведены в табл. 1.
2. Улучшенный метод Эйлера.
Уо(з) = 1, уо(з) = 1 + 0,05 (4у/1 — 2) = 1,1; 5£ [0; 0,1],
Хх = 1 + 0,1 (4^/1Д — 2) ^ 1,2195;
Ух(в)^ 1,2195; у1(в) = 1,2195 + 0,05 (4л/1 — 2) = 1,3195; ¿£ [0,1; 0,2),
Х2 = 1,2195 + 0,1 (4^1! — 2)^ 1,4390;
У2(в) = 1, 4390; у2(в) = 1,4390 + 0,05 (4^/ 1,2195 — 2)^ 1,5598; й£ [0,2; 0,3),
уз = 1,4390 + 0,1 (4^1,3195 — 2) = 1,6985.
И т. д., полностью результаты вычислений приведены в табл. 1.
Таблица 1.
Решение задачи Х(Ь) = 4 у х ^2^ — 2 , t £ [0, 1] , х(0) = 1, методом Эйлера и улучшенным методом Эйлера
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Метод Эйлера 1,200 1,400 1,638 1,838 2,111 2,385 2,697 3,009 3,351 3,693
Улучш.
метод Эйлера 1,2195 1,4390 1,6985 1,9580 5 5 ,2 2, 2,5571 6 6 9 ,8 2, 1 6 3 ,2 3, 3,6155 3,9948
Точное решение 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61 4,00
ЛИТЕРАТУРА
1 . Азбелев Н.В., Смолин И.М., Цалюк З.Б. Об одном приближенном методе построения функции
Коши // Доклады АН СССР. 1960. Т. 135. № 3. С. 511-514.
2 . Жуковская ТВ, Жуковский Е.С. Формула для вычисления значений функции Коши //
Функц. дифференц. уравнения и их приложения. Пермь: Изд-во Пермского политехн. ин-та, 1988. С. 34.
3 . Жуковская Т.В. Интерполяция функции Коши // Вестник Тамбовского университета. Серия
Естественные и технические науки. Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 1. С. 110-111.
4 . Жуковская Т.В. Метод построения функции Коши уравнения с обобщенно вольтерровым опе-
ратором // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 1. С. 162-163.
5 . Юганова С.А. К вопросу о приближенном построении оператора Коши. Пермь, 1981. 11 с.
Деп. в ВИНИТИ, № 3820-81.
6 . Жуковская Т.В. О приближенных методах решения задачи Коши // Современ. методы теории
краев. задач. Воронеж: Изд-во Воронежского гос. ун-та, 2005. С. 59.
7. Жуковская ТВ, Жуковский Е.С. Численные методы решения функциональнодифференциальных уравнений // Функц. дифференц. уравнения. Пермь: Изд-во Пермского политехн. ин-та, 1988. С. 110-113.
8 . Жуковская Т.В, Жуковский Е.С. Об уравнении Риккати // Современные проблемы механики
и прикладной математики. Воронежская математическая школа. Воронеж, 1998. С.116.
9 . Драхлина Н.Ш. О сходимости одного приближенного метода решения функционально-
дифференциального уравнения // Краевые задачи. Пермь: Изд-во Перм. политех. ин-та, 1988. С. 82-87.
10 . Жуковский Е.С. О параметрическом задании решения дифференциального уравнения и его
приближенном нахождении // Известия ВУЗов. Математика. 1995. № 4 (407). С. 31-34.
11 . Жуковская Т.В, Молоканова Е.А., Стуров Д.Л. О вертикальных асимптотах интегральных
кривых обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского гос. техн. ун-та. Тамбов, 2011. Т. 17. № 3. С. 744-751.
12 . Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым
задачам математической физики // Бюл. Москов. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1-25.
13 . Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Рахматуллина Л.Ф. О линейном функционально-
дифференциальном уравнении эволюционного типа // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 11. С. 1915-1925.
14 . Мамедов Я.Д. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Баку: МААРИФ, 1974. 176 с.
15 . Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М: Едиториал УРСС, 2004.
896 с.
16 . Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость кра-
евых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 10. С. 1731-1749.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00645) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы».
Поступила в редакцию 28 сентября 2012 г.
Zhukovskaya T.V., Molokanova E.A. NUMERICAL METHODS FOR SOLUTION OF EVOLUTIONARY FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS
General method for construction of approximate solution to the Cauchy problem for evolutionary functional-differential equation is described. Analogs of the Euler method and the Runge-Kutta method for numerical methods of solution of evolutionary functional-differential equations are given on the basis of this method. Conditions for convergence of methods are presented.
Key words: Volterra operator; t-Volterra operator; functional-differential equation; Cauchy problem; approximate solution; numerical methods.
Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]
Молоканова Елена Анатольевна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]
