CC BY
32018
ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия С
УДК 537.5;621.3.032.26
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
НА КВАЗИСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ В УСТРОЙСТВАХ ПЛАЗМЕННОЙ ЭМИССИОННОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ
канд. техн. наук, доц. О.Н. ПЕТРОВИЧ, И.С. РУСЕЦКИЙ (Полоцкий государственный университет)
На основе метода декомпозиции расчетной области предложена технология построения квазиструктурированных сеток для разработки численных методов расчета электронно- и ионно-оптических систем. Представлены алгоритмы моделирования электромагнитных полей с наложением и без наложения расчетных областей для программной реализации с применением параллельных и последовательных вычислительных схем.
Ключевые слова: квазиструктурированные сетки, численное моделирование, методы расчета электронно-оптических систем, методы расчета ионно-оптических систем.
Введение. Компьютерное моделирование процессов формирования пучков заряженных частиц в устройствах плазменной эмиссионной электроники можно рассматривать как совокупность вычислительных задач по расчету электрического и магнитного полей, движения заряженных частиц, объемных зарядов частиц, положения и формы плазменной поверхности. При этом положение и форма плазменного эмиттера оказывают существенное влияние на характеристики пучка [1]. В связи с чем возникает необходимость проводить моделирование положения и формы плазменной поверхности, а также потока заряженных частиц с большей точностью. Точность решения указанных численных задач определяется результатами расчета электрического и магнитного полей.
Для описания стационарных полей используются уравнения Пуассона для скалярного j и векторного A потенциалов [2] с граничными условиями Дирихле:
V2j = ^-r, E = -gradj = -Vj, (1)
e0
V2A = -m0 j, в = rot A = Vx A, (2)
где £o - электрическая постоянная; mo - магнитная постоянная; p - объемная плотность заряда; j - плотность тока; E - напряженность электрического поля; B - магнитная индукция.
В области, свободной от токов, для описания магнитного поля можно использовать скалярный магнитный потенциал, который удовлетворяет уравнению Лапласа:
V2jm = 0, B = -Vjm . (3)
В пакете ELIS [3] численное решение уравнений (1)-(2) по расчету электрического поля, создаваемого системой электродов и объемным зарядом потока частиц, и собственного магнитного поля пучка проводилось методом конечных разностей на квадратной сетке с граничными условиями Дирихле [4].
В данной работе предложена технология построения квазиструктурированных сеток при разработке и программной реализации численных методов расчета электромагнитных полей, основанных на параллельных и последовательных вычислительных схемах.
Технология построения квазиструктурированных сеток для решения двумерных и трехмерных задач по расчету электромагнитных полей. С целью усовершенствования алгоритма расчета процессов в устройствах плазменной эмиссионной электроники применим метод декомпозиции расчетной области.
Для полей с аксиальной симметрией разобьем прямоугольную расчетную область в плоскости rz цилиндрической системы координат (рисунок 1) на три подобласти: внешнюю по отношению к пучку заряженных частиц, обозначенную цифрой 3, внутреннюю - 4 и приэмиттерную - 5. Покроем расчетную область равномерной квадратной макросеткой с шагом H . По результатам расчета электронно- или ионно-оптической системы на макросетке выделим внутреннюю и приэмиттерную области. Во внутренней области построим более мелкую внутреннюю квадратную сетку с шагом hv = H/nv, в приэмиттер-ной области еще более густую квадратную сетку с шагом he = Hjne, где nv и ne - заданные целые числа. Совокупность макросетки и подсеток образует квазиструктурированную сетку.
Численное моделирование полей будем проводить на квазиструктурированной сетке, расчет движения частиц пучка (траектории, объемный заряд) - на подсетке внутренней области, положение и форму плазменной поверхности будем находить, применяя подсетку приэмиттерной области.
1 - ускоряющий электрод, 2 - фокусирующий электрод Рисунок 1. - Квазиструктурированная сетка в расчетной области
В сеточной расчетной области дискретная аппроксимация частных производных в уравнениях (1)-(3) приводит к системе алгебраических уравнений для скалярного и векторного потенциалов поля и = {ф, А, фт} :
4
1
и 1 =—I и.^,,. + и ,,. +
+1,1
-1,1
21 +1 21
Щ. 1+1 +
21 -1
21
-ии-1 + Й2/и I,
и;,0 = 1 (и;+1,0 + Щ-1,0 + 4и;,1 + ¿,0 ) ,
(4)
(5)
где
¡, 1 - номера узлов; функция / = <{- —,-т 1,0
е„
сеточный шаг принимает одно из значений
Й = {Н, Й, Йе} в зависимости от того, в какой подобласти расположен узел.
Для решения трехмерных задач электронной и ионной оптики построим пространственные квазиструктурированные сетки, применяя метод декомпозиции расчетной области. В декартовой системе координат {х, у, г} зададим расчетную область в форме параллелепипеда, в которой построим квазиструктурированную сетку, состоящую из макросетки и двух подсеток, ячейки которых геометрически подобны расчетной области. В цилиндрической системе координат сформируем расчетную область в форме цилиндра, а ячейки макросетки и подсеток образованы координатными линиями трех подобластей.
Решение системы алгебраических уравнений для скалярного и векторного потенциалов поля (4)-(5) находим методом итераций на квазиструктурированной сетке с наложением расчетных областей для построения последовательной вычислительной схемы или без наложения расчетных областей для проведения параллельных вычислений.
Алгоритмы численного моделирования электромагнитных полей на квазиструктурированных сетках
Алгоритм расчета электромагнитного поля на квазиструктурированной сетке с наложением расчетных областей. Для поля с аксиальной симметрией построим в расчетной области квазиструкту-рируемую сетку, состоящую из макросетки и вложенных подсеток в подобласти распространения электронного пучка и приэмиттерной подобласти. Уравнения Пуассона (1)-(2) для самосогласованного электронного поля и собственного магнитного поля пучка, уравнение Лапласа (3) для внешнего магнитного поля, созданного постоянными магнитами или обмотками с токами, находящимися за пределами расчетной области, представим системой алгебраических уравнений (4)-(5).
На первом этапе решение системы (4)-(5) находится на макросетке, заполняющей всю расчетную область. На следующем шаге проводится расчет потенциалов поля и на внутренней подсетке с учетом значений и в общих узлах макросетки и подсетки. Затем вычисляются значения потенциалов в приэмиттерной области в дополнительных узлах сетки, вложенной в предыдущую. Таким образом, при расчете полей во внутренней и приэмиттерной подобласти, используются значения потенциалов, полученные в узлах более крупных сеток на предыдущих этапах. При этом на границах подобластей применяются формулы Лагранжа для интерполяции значений потенциалов в узлах, расположенных между узлами более крупных сеток:
и 1 = (-и- + 9и; + 9и;+1 - и;+2),
'+т 16
2018 ВЕСТНИК ПОЛОЦКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. Серия С
и 1 =1 (3и' + 6иш - и+2) , (7)
'+2 8
и 1 = — (3ц + 6и^1 - и1-2). (8)
'-1 8
Изложенный алгоритм расчета электромагнитного поля предназначен для реализации посредством последовательной вычислительной схемы, для повышения сходимости которой используется метод прогонок переменных направлений.
Алгоритм расчета электромагнитного поля на квазиструктурированной сетке без наложения расчетных областей. Алгоритм расчета электромагнитного поля, основанный на методе декомпозиции расчетной области, был модифицирован с целью распараллеливания вычислений в подобластях. В этом случае, внешняя (3), внутренняя (4) и приэмиттерная (5) подобласти (рисунок 1) сопрягаются без наложения.
Решение вычислительной задачи (4)-(5) проводится в каждой подобласти независимо друг от друга с применением внутреннего итерационного процесса. На границе подобластей полученные решения сшиваются с учетом равенства нормальных производных потенциалов на границе. Для этого строится внешний итерационный процесс, с помощью которого находится решение уравнения Пуанкаре - Стеклова
Ц-(М=», <9>
_ „ (ди V (ди ^
где п - нормаль к границе подобластей, I — | и I — | - нормальные производные потенциала спра-
(дП) (дП)
ва и слева от границы, которые аппроксимируются трехточечными или четырехточечными схемами через значения потенциала в разных подобластях:
ди V = —3ц + 4ит - и'+2 ( ди ^ = ц-2 - 4ц-1 + 3ц дП) = 2Г (дП) = 2Г ,
диХ - 11ц + 18ц+— - 9ц+2 + 2ц+3 (ди^ -22и-3 + 9и-2 - 18и'- 1 + 11ц дП) = 6Г ^ дП) = 6Г .
Такой подход создает возможность для автономной аппроксимации уравнения Пуассона в различных подобластях и параллельного нахождения сеточных решений. Для сшивки сеточных решений, полученных в неперекрывающихся подобластях на квазиструктурированной сетке, находятся значения потенциалов полей на границе подобластей:
ц = — (4ц-1 + 4ц+1 - Ц+2 - Ц -2), (12)
6
ц = -1 (18и'+1 - 9ц+2 + 2ц+3 + 2Ц'-3 - 9ц_2 + 18ц-1). (13)
На границах сеток для интерполяции значений потенциалов применяются формулы Лагранжа (6)-(8).
На рисунке 2 приведены результаты численных расчетов электрического поля в осесимметричной электронно-оптической системе на квазиструктурированной сетке без наложения расчетных областей.
Технологии численных решений двумерных задач по расчету электрического и магнитного полей получили дальнейшее развитие при разработке алгоритмов моделирования трехмерных плоских и цилиндрических задач. 3Б-алгоритмы построены на конечноразностной аппроксимации уравнений для скалярных потенциалов электрического и магнитного полей в трехмерной постановке в цилиндрической и декартовой системах координат:
д2и 1 ди 1 д2и д2и
э7+7э7+7дё2+э7 =1, ( )
д 2и д 2и д2и
Э^д/^ / . (15)
На рисунке 3 представлены результаты расчета электрического поля в электронно-оптической системе, формирующей ленточный пучок.
Рисунок 2. - Распределение скалярного потенциала Рисунок 3. - Распределение скалярного потенциала электрического поля на квазиструктурированной электрического поля в электронно-оптической
сетке без наложения расчетных областей системе, формирующей ленточный пучок
Заключение. Предложена технология проведения численных расчетов устройств плазменной эмиссионной электроники, основанная на методе декомпозиции расчетной области, которая позволяет решать задачу по расчету электрического и магнитного полей на квазиструктурированной сетке, что повышает точность расчета характеристик пучка заряженных частиц.
Приводятся алгоритмы построения квазиструктурированных сеток для решения двумерных осе-симметричных и трехмерных плоских и цилиндрических задач по расчету электромагнитных полей. Разработаны методы численного моделирования электромагнитных полей с наложением и без наложения расчетных областей, основанные на параллельных и последовательных вычислительных схемах.
Работа выполнена при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект № Ф17-122).
ЛИТЕРАТУРА
1. Петрович, О.Н. Моделирование влияния параметров электродной структуры и эмитирующей плазмы на характеристики формируемого остросфокусированного электронного пучка / О.Н. Петрович,
A.Ф. Стекольников // Прикладная физика. - 2004. - № 1. - С. 65-72.
2. Ландау, Л.Д. Краткий курс теоретической физики. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М. : Наука, 1969. -Кн. 1 : Механика. Электродинамика. - 271 с.
3. Петрович, О.Н. Программный комплекс ELIS для моделирования ЭОС ПИЭЛ / О.Н. Петрович,
B.А. Груздев // Прикладная физика. - 2012. - № 2. - С. 79-85.
4. Петрович, О.Н. Моделирование электронно-оптических систем с плазменным эмиттером : дис. ... канд. техн. наук : 05.13.18 / О.Н. Петрович ; Полоцкий государственный университет, 2012. - 199 л.
Поступила 30.03.2018
NUMERICAL METHODS OF CALCULATION OF ELECTROMAGNETIC FIELDS ON QUASI-STRUCTURED GRIDS IN DEVICES OF PLASMA EMISSION ELECTRONICS
O. PETROVICH, I. RUSETSKI
On the basis of the decomposition method of the computational domain a technology for constructing quasi-structured grids is proposed. This technology is used for developing of numerical methods for calculating electron- and ion-optical systems. The algorithms for modeling electromagnetic fields with overlapping and without overlapping computational domains, which are applied for software with using parallel and sequential computational schemes, are offered.
Keywords: quasi-structured grids, numerical simulation, methods for calculating electron-optical systems, methods for calculating ion-optical systems.
