CC BY
8
УДК 621.182
ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА И ГИДРОДИНАМИКИ ПРИ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В ПРОФИЛЬНО-ВИНТОВЫХ КАНАЛАХ
Е.К. ВАЧАГИНА, С.А. КОЛИН
В статье приведены методы и результаты численной реализации задачи течения вязкой ньютоновской жидкости в профильно винтовых каналах на основе математической модели, представленной в [1].
В статье приводится алгоритм и методика расчета задачи теплообмена при ламинарном течении вязкой жидкости в профильно-винтовых каналах, а также результаты численных исследований процессов гидродинамики и теплообмена.
Решение системы уравнений (1) - (3) осложнено наличием нелинейных членов:
grad t • V = aAU +
Ф
pC
(1)
p (grad V • V) + grad P — div T = 0,
(2)
div V = 0,
(3)
где р - плотность; а - температуропроводность; Cp - удельная теплоемкость; Ф -
диссипативная функция; ^ температура; V- вектор скорости; Р- давление; T0-тензор напряжений.
Поэтому алгоритм расчета (1)-(3) основан на использовании итерационных методов [2, 3]. Основная идея такого итерационного подхода состоит в разбиении
длины канала на слои путем введения сетки по q3:
= Ия3к+1 = Я3к + т*к+1, к = 0,...,к0 -1},
Ш *
Т
(4)
30 n 3k 0 о где q = 0,q 0 = l,
3k
На каждом таком слое q ищется поле температур t из (5), при этом используются значения гидродинамических полей, взятые с предыдущего слоя q 3-1 и граничное условие для температуры (6):
V іД- + V 2Д- + V 3Д- = а
dq1
dqi
dq'
1д
q1 dq1
1 dt I A d t q —- l + -
+
Ф
pcp
(5)
© Е.К. Вачагина, С.А. Колин Проблемы энергетики, 2003, № 3-4
где Ф = Т0 : D - диссипативная функция; символ «:» - двойное скалярное произведение;
дК
■■ еопзі.
(6)
Далее, с помощью полученной матрицы Ц, проводится уточнение
Зк
гидродинамических характеристик на этом же слое д , с помощью уточненных
значений полей вектора скорости вновь рассчитывается распределение Ц на этом же слое и т.д. до достижения необходимой степени точности результатов. Затем
3к+1 гг
осуществляется переход на новый слой д . Такая процедура расчета повторяется на каждом слое.
Гидродинамическая часть задачи решалась следующим образом.
Разложение Уп в (7) можно представить в виде (8)
V мУп = £Ск ук, к=1
(7)
Тйк
где ¥ - система базисных функций Галеркина.
уп=уп+ут,
(8)
где
С ~
У п =2С1 У
1=1 А
\ J
~ т (
Ут =1 а8 Я=1
ез;
1 2
1я_ ~2е— К(д ) ~2е-
у & в1 + у 6 Є2---------------- у ез
А
(9)
Здесь у~3,У~1е, у2е - скалярные функции, которые для обеспечения
—к
соленоидальности базисных функций у должны удовлетворять соотношениям:
~1е =
1_ Щ
1а 2 ,
д дч
1_ дЛ^
д1 дд1
(10)
После подстановки (8) и (9) в систему можно получить систему уравнений относительно коэффициентов разложения ая и сі
mm ~ n m ~
2 2 agafAgfk +22 agclBlgk + g=1f=1 1=1g=1
n n ~ n ~ m ~ ~ ___
+ 22 c1 cpCIpk + 2 c1 Dlk + 2 agEgk + Fk = 0, где k = 1,n;
1=1 p=1 1=1 g=1
mm ~ n m ~
2 2 agafAgfk + 2 2 agc£B£gk + g=1f=1 1=1g=1
n n ~ n ~ m ~ ~ ___
+ 22 c1 cpCIpk + 2 c1 Dlk + 2 agEgk + Fk = 0, где k = 1,m*
1=1 p=1 1=1 g=1
Нелинейная система уравнений (11) является основной для определения коэффициентов разложения ag и ci. Для ее решения используются различные
приближенные итерационные методы. Практическая реализация требует также выбора базисных функций, что в работе было сделано в виде сплайн-функций.
После замены границы винтового выступа ломаной линией,
соответствующей уравнению q1 = const и qJ = const, компоненты вектора
1 J
скорости V можно разложить в ряд:
1 N1 N2 ~ 1 ~ 2
V = 2 2 anJYnJ + anJZnJ + anJZnJ’
n=0 J=0
(12)
V2 = 2 2 AnJZnJ + ~n/4 + ^4 ,
n=0j=0
(13)
V = 2 2 cnjYnj + cnjZnj + cnjZnj, n=0j=0
N N 2
1
(14)
Здесь, как уже говорилось, в качестве базисных функций на конечных элементах были выбраны сплайны третьей степени:
Ynj = f1n (t1)f2j (t2 );
-1 = i > S1
r2 = —
"”J ^2
= — f1n (t1)f2J (t2);
Zni =~ f1n (t1)f2J (t2 ),
(15)
где t1 =-------q----—------(A* )n;
1 (h1)n (h1)n+1 1
t2 =
2 2 q - qj
(h2 ) j (hj ) j+1
(h2)j.
12 3 ~ ~ ~
значения V , V , V ; аПр ЬПр спу - значения
ЗУ1 ЗУ2 ЗУ3
'; аП1, ЬП1, сп
ъ1’ дq1 V ’ ПГ ПГ п
значения
ЗУ1 ЗУ2 ЗУ3
дq2 З/2 дс/2
Для замыкания решения и для определения неизвестных коэффициентов апу, Ъпу, спу разложения (12)-(14) подставляются в систему Галеркина, где в
12 3 12
качестве функций Ь , Ь , Ь используются функции и Znj.
Для решения уравнения энергии (3) использовался метод Фаэдо -Галеркина.
После представления уравнения переноса энергии в винтовой системе координат появляется возможность разложения * в ряд по базисным функциям:
N т. 1 о * = Е 8п (Я Ъ)УП (!1,Я2),
п=1
(16)
где Уп - полная и линейно независимая система функций; gn - коэффициенты разложения.
Тогда систему Галеркина для уравнения энергии можно получить из условия ортогональности невязки базисным функциям Уп
N
Е
п=1
дgn(q3)\\а3ТкТпя1йя1йя2 -gn(Я3)я|а
Зя о
а
1 З
Г 1ЗУп'
Я1 З/1
З/1
+
А З 2Гп (Я1)2 З(Я2)2
_ З¥п _ ЗУп | Л7.к 1., 1., 2 — СТ1~—1----0~2 2 К Я ,Я ,Я
З/1
= ГГ-Ф-7кя1,я1,я2, аРСР
или в общем виде
N
Е
п=1
Апк + gn (Я 3)Впк
Зя 3
= Ск,
(17)
где Апк =//ст37п7кя1,я1,я2;
а
Впк = и 1а
а |
1 З
Я1 З/1
З/1
З 2Уп
(Я1)2 З(Я2)2
ЗуЧ ЗуЧ | 1, 1, 2
— 01—-5—02—2-^ Я ,Я ,Я ;
З/1
З/
+
Ск =Я—YkqXdqXdq2.
пРр
Таким образом, решение уравнения переноса энергии сводится к поиску решения системы дифференциальных уравнений относительно неизвестных
3
функций gn (# ), которые совместно с начальными условиями образуют задачу Коши.
В качестве объекта численного исследования использовался мазут (вязкая ньютоновская жидкость).
Все расчеты проводились для условий нагревания жидкости.
На рис. 1 представлено поперечное сечение профильно-винтового канала. Полученная математическая модель и метод ее численной реализации
позволяют определять компоненты вектора скорости V (рис.2-4), поля температуры ^ (рис.5), локальных коэффициентов теплоотдачи и гидравлического сопротивления.
Рис. 1. Поперечное сечение профильно-винтового канала:
У-Р, Л-Ь, В-Е, и1-и2, - радиальные сечения; М-К - кольцевое сечение
^/У|---------------------------------
V О И 1,0
Рис.2. Распределение осевой составляющей вектора скорости в радиальных сечениях: 1- сечение У-Р; 2- сечение и1-и2; 3- сечения Л-Ь и В-Е;
У-среднее значение скорости течения; К- радиус канала
Рис.3. Распределение окружной составляющей вектора скорости в радиальных сечениях: обозначения согласно рис.2
Уг/У
0,01
1,0
-0,01
-0,02
2 , —-- 11
Л\ 11 1 1'
' 1 0 1 1 1 1 1 1 и 11 Т
II
Ут/У
0,01
ф
2тг
-0,01
-0,02
3
4 й
А \ /' V ) ' П/ / 1 1 1 1
5 ^ у
1,0*
а) б)
Рис.4. Распределение радиальной составляющей вектора скорости в кольцевых (а) и радиальных (б) сечениях профильно-винтового канала:
1- кольцевое сечение для q1=R/3; 2- кольцевое сечение F-F; 3- радиальное сечение BE; 4- радиальное сечение VF; 5- радиальное сечение AL
Рис.5. Распределение температуры в поперечном сечении профильно-винтового канала для тепловых граничных условий первого рода: а,б - радиальное и кольцевое сечения;
1- 8/Б=3,84, Ь/Б=0,7; 2- 8/Б=1,9, Ь/Б=0,7; 3- 8/Б=0,8, Ь/Б=0,7
Были произведены расчеты распределения кинетической энергии потока
вязкой ньютоновской жидкости (Е = РУ2) в сечениях профильно-винтового
2
канала (рис.6).
/ V Ж\ \\д
/ \\\ \\> ^Л\\ \ VУ
\\\ \ \ \ \\'
/ \\ \ . V \\'
/ VЧ \ \\ \ "‘«■х \ ч\
V 0 ¥ 1,0
Рис.6. Распределение кинетической энергии потока вязкой ньютоновской жидкости: обозначения согласно рис.2; Е- среднее значение кинетической энергии потока жидкости
Был также проведен расчет для идентичных условий течения распределения второго инварианта скорости деформации в пристенных слоях профильно-винтового канала (рис.7), диссипативной функции Ф (рис.8) и работы
поверхностных девиаторных сил = ШуТ° • V.
12, с------------------.-----------------
8-Ю*
М Р К
Рис.7. Распределение второго инварианта тензора скоростей деформации
Рис. 8. Распределение диссипации энергии в потоке вязкой ньютоновской жидкости: а- кольцевое сечение; б- радиальное сечение VF; в- радиальное сечение ЛЬ;
Ф - диссипативная функция
Использование профильно-винтовых каналов для интенсификации конвективного теплообмена при ламинарных течениях вязких жидкостей позволяет получить более заполненный профиль вектора скорости,
соответственно увеличить значения локальных коэффициентов теплоотдачи и значительно уменьшить длину начального теплового участка.
Показано, что причиной высокой эффективности применения профильновинтовых каналов является перераспределение кинетической энергии потока жидкости в канале, при этом максимум кинетической энергии смещается в пристенные области течения. Как следствие, происходит уменьшение гидравлического сопротивления и затрат мощности на прокачку рабочего тела при одновременном значительном увеличении коэффициентов теплоотдачи.
Summary
Article deals with the problems of numerical simulation of newtonian fluid flow in
helical curved channels on mathematical model developed in [1].
Литература
1. Колин С.А., Вачагина Е.К., Назмеев Ю.Г. Математическая модель течения вязкой ньютоновской жидкости в профильно-винтовых каналах. //Изв. ВУЗов.- Проблемы энергетики.- №3-4
2. Бернштейн С.Н. Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа // Собр. Сочинений.- М.: Изд. АН СССР.-1960.-Т.3.
3. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов.- М.: Наука, 1966.
4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.- М.:Наука, 1973.
5. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.-М.:Наука, 1976.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.- М.: Наука, 1968.
7. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций.-М.: Наука, 1980.
