Численные эксперименты по методу идентификации линейных динамических систем при гармоническом сигнале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

doi: 10.18097/1994-0866-2015-0-9-76-82

ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО МЕТОДУ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ СИГНАЛЕ1

© Мижидон Арсалан Дугарович

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления

Россия, 670013, ул. Ключевская, 40в, e-mail: miarsdu@esstu.ru

© Мадаева Елена Андреевна

аспирант Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления

Россия, 670013, ул. Ключевская, 40в, e-mail: elenamadaeva@gmail.com

В работе представлена численная реализация метода идентификации линейных стационарных динамических систем по входному синусоидальному сигналу. Идентификация матрицы системы сводится к построению и решению матричного линейного алгебраического уравнения, построение которого основано на сопоставлении представления решений задачи Коши в виде экспоненциального матричного ряда и результатов измерений фазовых координат системы при входном синусоидальном сигнале. Для реализации численных экспериментов было составлено программное обеспечение на языке Фортран.

Ключевые слова: идентификация, активная идентификация, линейная система, задача Коши, фундаментальная матрица, матричная экспонента, интерполирование.

NUMERICAL EXPERIMENTS BY THE METHOD OF IDENTIFICATION OF LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS UNDER HARMONIC SIGNAL

Arsalan D. Mizhidon

DSc, Professor, Applied mathematics Department, East Siberian State University of Technology and Management

40v Kluchevskaya st., Ulan-Ude 670013, Russia

Elena A. Madaeva

Research Assistant, Applied mathematics Department, East Siberian State University of Technology and Management

40v Kluchevskaya st., Ulan-Ude 670013, Russia

The paper presents the numerical implementation of the method of identification of linear stationary dynamic systems on the input sinusoidal signal. Identification of the system matrix is reduced to constructing and solving a matrix linear algebraic equation. The construction of the equation is based on comparison of the representation of Cauchy problem solutions in the form of exponential matrix series and results of the system phase coordinates measurement under the input sinusoidal signal. For the implementation of numerical experiments it was compiled a software in Fortran.

Keywords: identification, active identification, linear system, Cauchy problem, fundamental matrix, matrix exponential, interpolation.

Введение

Одним из основных этапов, реализующих технологии математического моделирования, является создание и идентификация математической модели, исследуемого объекта. При этом различают идентификацию в широком смысле - структурная идентификация, и в узком смысле - параметрическая идентификация.

Так, в работе [1] был предложен подход к идентификации линейных стационарных динами-

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и республики Бурятия в рамках научного проекта№ 15-41-04020 рсибирьа.

ческих систем по результатам проведенных измерений фазовых координат системы на некотором промежутке времени. В статье [2], согласно данному подходу, был рассмотрен метод идентификации линейных динамических систем при синусоидальном воздействии.

В работе производится развитие метода, предложенного в [2] и проводится численный эксперимент идентификации некоторой линейной стационарной динамической системы по результатам измерений фазовых координат системы на некотором промежутке времени, при наложении на вход системы синусоидального сигнала.

1. Постановка задачи

Будем предполагать подачу на вход исследуемой системы некоторого тестового сигнала. В качестве тестового воздействия рассматривается некоторый синусоидальный сигнал ББт), где В = diag|61,Ъг,..,Ьп} - матрица амплитудных значений, со = (ю1,....,юи)Т - вектор частотных значений, накладываемый на вход х0 = (х10,х°,...,х°)Тисследуемого объекта (процесса). Производя замеры реакции объекта на возмущение в моменты времени t, были получены значения состояния системы в моменты t, х^) = (х^),х2^),...,хп^))Т , являющиеся функциями времени. Предполагается, что выходные переменные х^) = (х^),х2^),...,хп^))Т являются решением стационарной динамической линейной неоднородной задачи:

х = Ах + В8т(Ш), х(0) = х0. (1)

где х0 = (х10, х0,..., х0 )Т - начальное состояние объекта, А - п -мерная квадратная матрица.

Задача параметрической идентификации сводится к отысканию матрицы А, которая обеспечивает в некотором смысле близость решений задачи (1) и экспериментальных данных.

2. Идентификация системы по синусоидальному сигналу

Решение задачи (1), согласно формуле Коши [3], можно записать в виде:

t

х^) = Е^,х0 +1Е(t,т)В5т(ат^т , (2)

<0

где Е(t,т) - фундаментальная матрица.

Проинтегрировав правую часть уравнения (1), и используя разложения фундаментальной матрицы Е (^т) ввиде матричного ряда, функций Cos(at) и Бт(Ш) вряд Тейлора, было получено следующее итоговое выражение для решения неоднородной системы вида (1) [2]:

/ч 0 ,0 (А2х0 + а2СЖ-1Ъ+сту2 .,30

x(t) = х0 + Ах0t + --— + (А3х0 + А3СЖ Ъ +

2!

, ™, t3 (А2тх° + А2тСЦ?-1Ъ + (-1)т+1 CW2т-1Ъ) 2т

+АСШ)— +... + ^-^-г1т +

3! (2т)!

(А2т+1 х0 + A2а+1CW-1Ъ + (-1)т+1 ACW2 а-1Ъ)

(2т +1)!

t2 т+1 +... (3)

Здесь Ь = (Ь1,....,Ьп)Т, W = diag{ю1,ю2,...,юп}, аматрица С удовлетворяет уравнению:

A2CW-2 + С = Е .

С другой стороны, разложение решений системы (1) х(/) в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки t0 имеет вид:

х(0=х°. (4)

Сравним полученное выражение (3) с разложением решения неоднородной системы (1) х(/) в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки t0 = 0 (4). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в (3) и (4) [2]:

х(1)(0) = Ах0,

' х(2т) (0) = А2тх0 + А2тСЖ~1Ь + (-1)т+1СЖ2т~1Ь,

х(2т +1) (0) = А2т+1х0 + А2т+1СЖ ~1Ь + (-1)т+1 ACW 2т~1Ь = Ах(2т)(0). Отсюда получим следующую систему уравнений для нахождения матрицы А :

' Ах0 = х(1)(0), Ах(1)(0) = х(2)(0) - ЖЬ,

(5)

Ах(2т ^(0) = х (2т)(0) + (-1)тЖ 2т-1Ь, ^ Ах(2т)(0) = х(2т+1)(0).

Таким образом, для нахождения матрицы системы (1) получили матричное алгебраическое уравнение относительно матрицы А

АХ0 = X1 + Ж*, (6)

где матрицы X0 и X1 определяются следующим образом:

X0 =( х(0), х(1)(0)..., х( -1)(0)), X1 =( х(1)(0), х(2)(0),..., х(п )(0)),

Г(о, -ЖЬ,...,(-1)тЖ2т-'Ь), при п = 2т, т еИ;

Ж' =\,- -ч

(0,-ЖЬ,...,(-1)тЖ2тЧЬ,0), при п = 2т + 1, т еМ

Решив матричное алгебраическое уравнение (6), найдем

А = ( X1 + Ж *)(X0

Заметим, для построения матриц X0 и X1 будем использовать значения производных интерполяционных полиномов [1], вычисленные в точке t = 0.

В целом идентификация системы сводится к следующему:

1. проводится интерполирование входных данных [1];

2. строятся матрицы X0, X1, используя производные интерполяционных представлений, найденных на шаге 1, и по синусоидальному сигналу ББт (at) - матрица Ж *;

3. решается уравнение (6).

Т.к. матрицы X0 и X1 будут найдены с некоторой погрешностью, то вместе с матричным уравнением (6), восстанавливающим матрицу А, рассматривается система:

( А +д А) ( X0 +д X0) = ( X1 + Ж * +д X1 +дЖ *),

где дА, дX0, дX1 и дЖ* приращения соответствующих матриц. Тогда согласно [4] верно следующее утверждение об оценке относительной погрешности метода.

Утверждение. Пусть матрицы X0, X1, Ж * имеют приращения д X0, д X1 , дЖ * соответственно и выполнено условие:

^ дX0 X0 < 1, где ц = \ X0

(X 0)-

Тогда оценка относительной погрешности идентифицируемой матрицы А удовлетворяет неравенству:

(\ |д X1 +дЖ II II д X011 ^

д А

<

И

1 - ^ д X1 X0

X1 + Ж *

X0

Замечание. Для идентификации матрицы А системы (1) по уравнению (6) используются амплитудные и частотные характеристики входного сигнала. Из системы (5) можем получить матричное уравнение для нахождения матрицы системы (1), не включающее характеристики

входного сигнала [2], вида: АХ2 т = X2

где

X2т = ( х(0), х(2) (0)..., х(2и"2) (0)),

X2

= (х(1)(0),х(3)(0),...,х(2-1)(0)) .

3. Численный эксперимент

Рассмотрим идентификацию линейной системы по заданному точному значению решений. Для этого в качестве идентифицируемой системы вида (1), рассмотрим систему, которая в реальном представлении описывается следующей системой дифференциальных уравнений с заданным начальным условием:

(7)

' х,(') > (3 -4 0 2 1 ' *!(') ^ ' Sin(t) > ' 4.97"

х2(' ) 4 -5 -2 4 х2(' ) &п(2') , х(0)= 4.32

+

хз(' ) 0 0 3 -2 хз(') 2Sin(') 1.86

V х4(' ) у V 0 0 2 -1, V х4(' ) V ч 2 Sin(2') J V156 .

Для задачи Коши (7) решение имеет вид: ( (1,5 + ') в' +(1,25 + ') е^

(1+') в' +(1+') в-'

(1,5 +') в'

(1 +') в'

' х,(') >

х2(' )

хз(')

V х4(' ) V

Г-1.5 3.5 0 -1.28V 5т(') '

0 4 -0.6 -1.68 )

-1 1 0.48 -0.64 Sin(2')

0 2 0.08 -1.44 й ^(2')

(8)

Используя точное аналитическое представление решения (8) вычислим производные до 4-го порядка включительно. Значение функции и производные при ' = 0 представлены в таблице 1.

Таблица 1

) хз (0) х» х(2) (0) х(3) (0) х(4)(0)

1 4.97 0.75 4.37 7.75 -14.23

2 4.32 0.8 4.72 10.8 -20.88

3 1.86 2.46 5.06 1.66 -3.74

4 1.56 2.16 6.76 3.36 -16.04

Из таблицы 1 и неоднородной части системы (7) можем записать значения матриц X0 и

X1 + Ж *:

' 4.97 0.75 4.37 7.75 > ' 0.75 3.37 7.75 -13.23"

X0 = 4.32 0.8 4.72 10.8 0.8 2.72 10.8 -12.88

, X1 + Ж =

1.86 2.46 5.06 1.66 2.46 3.06 1.66 -1.74

ч 1.56 2.16 6.76 3.36 у ч 2.16 2.76 3.36 -0.04 ,

Используя (6) матрицу А получим вида:

(3 -3.999999 0 1.999999 >

4 -5 -2 4

А =

0 0 3 -2

V 0 0 2 -1 V

Данная матрица совпадает с исходной матрицей системы (7), так как для идентификации использовались производные до 4го порядка точных аналитических решений (8) (таблица 1).

Таблица 2

t Х^ ) х2^) х3^) Х4^ )

0.0 4.97 4.32 1.86 1.56

0.2 5.216815 4.587393 2.455224 2.130642

0.4 5.688296 5.110366 3.264548 2.984807

0.6 6.419644 5.926847 4.302613 4.118829

0.8 7.439683 7.050904 5.596578 5.5214

1 8.784953 8.48708 7.197332 7.189164

1.2 10.5163 10.24986 9.190789 9.144857

1.4 12.73632 12.38612 11.70842 11.45601

1.6 15.60607 14.99818 14.93652 14.25236

1.8 19.35987 18.26511 19.12431 17.74054

Рассмотрим задачу идентификации матрицы согласно изложенному методу. Для этого, используя дискретные данные решения системы (7) (таблица 2), найдем интерполяционные полиномы Лагранжа [1] и их производные (таблица 3).

Ниже, в таблице 3 приведены производные до 4-го порядка интерполяционных полиномов при t = 0:

Таблица 3

] Р (°) р(1)(0) р(2)(0) р(3)(0) Р(4)(0)

1 4.97 0.750057 4.368569 7.77105 -14.45088

2 4.32 0.79996 4.720996 10.78604 -20.75801

3 1.86 2.460005 5.059994 1.658043 -3.692948

4 1.56 2.159965 6.760901 3.347021 -15.91548

X0 =

Здесь р((0) обозначает производную 7 -го порядка полинома Лагранжа, составленного по табличным значениям Ху ^) (таблица 2) при t = 0 для всех 7, у = 1,4 [1].

В соответствии таблице 3 значения матриц X0 и X1 представляются следующим образом:

(4.97 0.750057 4.368569 7.771051^ 4.32 0.799960 4.720996 10.78604 1.86 2.460005 5.059994 1.658043 1.56 2.159965 6.760901 3.347021у (0.750057 4.368569 7.771051 -14.45088 ^ 0.79996 4.720996 10.78604 -20.75801 2.460005 5.059994 1.658043 -3.692948 2.159965 6.760901 3.347021 -15.91548

ч

Матрицу А согласно формуле (6) получим в виде:

( 3.08 -4.096548 -0.030396 2.040963^ 3.994221 -4.993414 -1.995434 3.994701 -0.006458 -0.007625 3.001408 -2.002228 -0.03089 -0.036105 2.012262 -1.016214

X1 =

Ар =

Таблица 4

) ) хъ(^ ) Х4С)

0.0 4.970001 4.320001 1.860001 1.560001

0.2 5.216816 4.587394 2.455225 2.130643

0.4 5.688297 5.110367 3.264549 2.984808

0.6 6.419645 5.926848 4.302614 4.118830

0.8 7.439682 7.050903 5.596577 5.521399

1 8.784952 8.487079 7.197331 7.189163

1.2 10.5163 10.24986 9.190788 9.144856

1.4 12.73632 12.38612 11.70841 11.45601

1.6 15.60607 14.99818 14.93652 14.25236

1.8 19.35987 18.26511 19.12431 17.74054

Если же сделать допущение, что экспериментальные данные получены с некоторой погрешностью г (таблица 4), тогда согласно предлагаемому подходу матрица Ае найдется в виде:

' 3.25413 -4.297418 -0.095888 2.128447 Л 4.165789 -5.194152 -2.060879 4.082123

Ав =

Е 0.16514 -0.193144 2.935939 -1.914778 ч 0.140825 -0.164804 1.946753 -0.928708у Решения системы с матрицей Ае представлены в таблице 5.

_ Таблица 5

? х^) х2(*) Хэ(^) х„(')

0.0 4.970001 4.320001 1.860001 1.560001

0.2 5.216794 4.587374 2.455211 2.130626

0.4 5.687912 5.110089 3.264316 2.9846

0.6 6.417365 5.925244 4.301182 4.117638

0.8 7.432735 7.046525 5.59192 5.518198

1 8.76395 8.470778 7.183947 7.177012

1.2 10.47498 10.21771 9.163688 9.120893

1.4 12.6654 12.33016 11.66056 11.41404

1.6 15.49595 14.90804 14.86079 14.18464

1.8 19.20583 18.13332 19.01645 17.64201

Таким образом, отклонение точных решений (таблицы 2) от решений (таблицы 5) имеют незначительную погрешность, вызванную способом нахождения производных и точностью табличных данных.

Заключение

Рассмотрена численная реализация метода идентификации линейных стационарных динамических систем по результатам проведенных измерений фазовых координат системы на некотором промежутке времени при входном синусоидальном сигнале. Идентификация согласно изложенному подходу позволяет восстановить исходную систему по заданным решениям некоторой задачи Коши. В общем случае, производя идентификацию по табличным данным некоторой Задачи Коши, получили отклонения, связанные с точностью табличных данных и выбранного метода интерполяции полиномами Лагранжа.

Литература

1. Мижидон А. Д., Мадаева Е. А. Об одном подходе к идентификации линейных динамических систем // Вестник ВСГУТУ. - 2014. - № 3. - С. 5-12.

2. Мижидон А. Д., Мадаева Е. А. Метод идентификации линейных динамических систем по входному синусоидальному воздействию // Научный вестник НГТУ. - 2015. - № 1. - С. 62-75.

3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1974. - 331 с.

4. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. - 457 с.

References

1. Mizhidon A. D., Madaeva E. A. Ob odnom podkhode k identifikatsii lineinykh dinamicheskikh system [One approach to the identification of linear dynamic systems]. Vestnik Vostochno-Sibirskogo gosudarstvennogo universiteta tekhnologii i upravleniya - Bulletin of East Siberian State University of Technology and Management. 2014. No. 3. Pp. 5-12.

2. Mizhidon A. D., Madaeva E. A. Metod identifikatsii lineinykh dinamicheskikh sistem po vkhodnomu sinusoidal'nomu vozdeistviyu [The method of linear dynamic system identification by input sinusoidal action]. Nauchnyi vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo universiteta - Science Bulletin of Novosibirsk State Technological University. 2015. No. 1. Pp. 62-75.

3. Pontryagin L. S. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya [Ordinary differential equations]. Moscow: Nauka, 1974. 331 p.

4. Kabanikhin S.I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and Ill-Posed Problems]. Novosibirsk: Siberian Scientific publ., 2009, 457 p.