Численное восстановление коэффициентапоглощения методом граничного управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95, 519.633.6.6

В. М. Филатова

ЧИСЛЕННОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ МЕТОДОМ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Предложен алгоритм численного решения обратной динамической задачи о восстановлении поглощения методом граничного управления. Поглощение определяется независимо от скорости звука, которая может быть произвольной гладкой положительной функцией. Приводятся результаты численного моделирования.

A numerical algorithm for solving inverse dynamical problem recovering an absorption by the boundary control method is developed. The absorption coefficient is determined independently of a speed of sound, which can be an arbitrary smooth positive function. The results of numerical experiments are represented.

Ключевые слова: многомерные обратные динамические задачи, метод граничного управления, численное решение обратных динамических задач.

Key words: multidimensional inverse dynamical problem, boundary control method, numerical solving inverse dynamical problems.

Прямая задача

Пусть D — ограниченная область в R2 с внешней границей Г. Рассмотрим начально-краевую (прямую) задачу для волнового уравнения

putt -Au + aut = 0, (1)

u\t=о = ut It=o = 0, (2)

uv \rx[o,T] = f 6 ^2(Г x [°, T]), (3)

где c(x) = 1 / -Jp(x) — скорость звука; ст(х) — коэффициент поглоще-

ния; uv — производная по нормали. Решение прямой задачи обозначим uf и назовем волной, возбужденной управлением f Волну uf (•, T) в момент времени t = T назовем финальным состоянием. Системе (1) — (3) сопоставим оператор реакции RT :L2 (Гх [0, T]) ^ L2 (Гх [0, T]), определяемый RT f = uf \Гх[0 Т] . Это ограниченный в L2(rх[0, T]) оператор [1].

Обратная задача

Рассмотрим обратную задачу восстановления ст(x) во всей области D по данным обратной задачи: оператору R2T , заданному при фиксированном T, T/2 > T = supX6D dist(x, Г), где расстояние рассматривается в смысле римановой метрики |dx| / c(x), c(x) остается неизвестной.

153

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 153-159.

154

Решение обратной динамической задачи основывается на методе граничного управления (ВС-метод) [2]. Используется одна из версий ВС-метода [3]. Настоящая статья является продолжением работ [4; 5].

Билинейные формы

Приведем известные результаты, используемые при решении задачи. Определим билинейную форму Q( /, 8):

Q (/, 8) = Г (Уи/ (х, Т), Уи8 (х, Т ))йх-Г р(х )и{ (х, Т )и(8 (х, Т )йх. (4)

» О

Оказывается, (4) определяются через данные обратной задачи:

Q (/, 8)= Г йгГ [-и8 (•, 2Т -/ і) + и/ (•, і)8(;2Т -і)]йі. (5)

•»г * о

Вывод (5) приведен в [6].

Введем билинейную форму 2(/, 8):

2(/, 8) = |Ох)и/ (х,Т)и8 (х,Т)йх. (6)

Пусть V — произвольное решение волнового уравнения

Рш -Дv -^ =0. (7)

Умножим (1) на V, а (7) на и/ и вычтем, проинтегрируем по О х [0, Т]:

|Ор(х)[vuf -и^ь](х, Т)йх + |Ост(х)vu/ (х, Т)йх = |0Т|г[V/-и^„](х, і)йГйі. Возьмем V (х, Ї) = и8 (х, 2Т - Ї), тогда

2(/, 8) = Г сти/(•, Т)и8 (•, Т)йх =

•< О

= -|о р[и/ (•, Т)и8 (•, Т) + и8 (•, Т)и/(•, Т)] йх + (8)

+£ йі|г [и8 {-,2Т - і)/(•, і) - и/(•, і)8(^, 2Т - *)] йх.

Задача граничного управления

Рассмотрим задачу граничного управления: по заданным функциям Ф є Н 1(О), у є 12(О) требуется найти управление /такое, что

и (•, Т) = Ф, (9)

и/ (•, Т) = у. (10)

Известно, что при достаточно больших Т: Т/2 > Т , задача (9) —(10)

плотно разрешима в пространстве управлений Н1 х I2 [5]. При решении задачи граничного управления воспользуемся формой (4), которая выражается через данные обратной задачи по формуле (5).

Пусть ф — произвольная гладкая гармоническая функция в ОиГ, а у = 0. Введем функционал Ф^): Ф(= |О (Уф(х, Т), Уы8 (х, Т))йх. Заметим, что Ф( 8) явно выражается через данные обратной задачи:

Ф( 8) = 1г ы8 (х, Т )ФvАГ.

Равенства ы/ (•, Т) = ф, и* (•, Т) = 0 выполняются тогда и только тогда, когда управление / удовлетворяет уравнению и условиям [5]:

<2(/, 8) = Ф^), Ч? е Ь2(Г X [0, Т]). (11)

и/ (х, Т)| г = ф, и{ (х, Т)| г= 0. (12)

Схема решения обратной задачи

Коэффициент поглощения можно восстановить по такой схеме.

1. Для всевозможных гладких вплоть до границы гармонических

функций ф и у = 0 решается задача граничного управления (9) — (10), используя уравнение (11) и условия (12). Тем самым определяются

управления /ф такие, что и ф (х, Т) и ф(х), щф (х, Т) и 0.

2. Подставляя в (8) /ф1 для и/ и /ф2 для и8, получаем

1о ст(х)ф1ф2йх и ^ 1г [щ/ф2 (•, 2Т - *)/ф (•, *) - щ/ф1 (•, *)/ф2 (•, 2Т - *ЖГ^ (13)

Поскольку линейная оболочка, порожденная всевозможными произведениями ф1, ф2, плотна в I2 (О), можно использовать (13) для определения ст. Важная особенность процедуры решения обратной задачи в том, что оба шага алгоритма — решение линейных задач.

Численное решение прямой задачи

Прямая задача решалась методом конечных элементов. В области О строилась триангуляционная сетка Делоне. Использовалась кусочно-постоянная модель скорости звука и поглощения. Решение прямой задачи раскладывалось по кусочно-линейным базисным функциям МКЭ ф;х) = 5^, г, ] = 1,..., N :

Щ(х, *) и 2^1 ип (* )фи (х), (14)

где N — число узлов. Метод Галеркина сводит исходную прямую задачу к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

ми" + ки + Мсти' = в, (*) = |Г/(х, *)ф,йх, г = 1,..., N (15)

155

с нулевыми данными Коши

и (0 ) = и' (0 ) = 0 (16)

156

Решение задачи (15) — (16), отвечающее управлению / будем обозначать и/ (і), а вектор-функцию в правой части — Є/ (і). Постоянные

матрицы М, К (матрица масс и матрица жесткости) и Мст (матрица масс) вычисляются по формулам

Мц = Го рф, фjdx, Щ = стф, фjdx, К = |0(уф,, уф )йх. (17)

Система ОДУ (15) аппроксимировалась по явной схеме:

Ми' -2и'" + и'-2 + ки'-1 + М»и' -и'~2 =

Ді2 2Ді

где Ді — шаг по времени. Имеем СЛАУ для и] с А = М + Ді/2 М° и вектором правой части В = Ді2 Є*-1 + и*-1 (2 М -Ді2 К) + и*-2(-М + (Ді/ 2)Ма). Начальное приближение и0 = 0, и1 = Ді2 Є0 - 0 . Решение прямой задачи в граничных узлах обозначим (Я/(і)), = и{ (і), х, є Г .

Задача граничного управления в дискретном виде

Билинейная форма (5) при представлении решения в виде (14) запишется следующим образом:

Q( /, 8) - (ки/ (Т), и8 (Т)) - (Ми {(Т), и8 (Т)) =

= Ґ [-(Я8)і (2Т - і)Є/ (і) + (Я/)і (і)С8 (2Т - і)]йі. (18)

0

Задача граничного управления примет вид

и/ф (Т) = ф, (19)

и/ф (Т) = 0. (20)

Управление /ф будем искать в виде

/ф=2 1=1 С8, (21)

где 81, 82, —, 8ь є І2(Г х [0, Т]) — линейно-независимая система управлений; I — количество управлений. Тогда задача граничного управления (19) — (20) сводится к СЛАУ относительно ек:

Q(/ф, 8,) = 21=1 сМ8к, 8,) = ((Я8, )(Т), Сф^), (22)

и>' (х, Т)хєГ = ф(х)|[ег ' и/* (х, Т)|хєг =01хєг • (23)

Численное восстановление ст

Форма 2(/, 8) (8) в дискретной постановке принимает вид

= с=а*

2(/, 8) - и1 (Т)Мсти8 (Т) = -и1' (Т)Ми8 (Т) - и1 (Т)МЫ8' (Т) +

гг (24)

+ Г [(Я8)(2Т - і)С/(і) - (Я/)(і)С8(2Т - і)]йі.

* 0

Опишем схему восстановления поглощения в дискретном виде.

1. Рассчитываем сеточные «гармонические функции» ф*, * = 1,..., ]

(] — количество граничных узлов) из дискретного аналога задачи Неймана для уравнения Лапласа Кф(*) = С(*), где вектора С(*) — произвольные линейно-независимые граничные вектора.

2. Определяем некоторую линейно-независимую систему управлений 81, g2,•••, 8і є і2(Г х [0, Т]).

3. Для каждой ф( *) решаем задачу граничного управления (19) — (20)

и/ф0)(Т) = ф(Л, и^(Т) = 0, ] = 1,...,].

Искомое управление /ф( ( представляем в виде (21). Задача граничного

управления сводится к нахождению коэффициентов разложения Ск из системы линейных уравнений (22) и условий (23).

4. Запишем билинейную форму Е(/, 8) (6) в дискретном виде

Ч/, 8) = 2,2и (Т)и-(Т)1ост(х)У,(х)у (х)йх =(и/, Ми). Подставляя сюда / = /ф(, (, 8 = /ф(* >, получим систему уравнений

2~ = 121= 1сткф|р)ф(,) ІДк У,(х)у(х)йх = Д/фрр), /*,,), ^, Я = 1, •••, ], (25)

где правая часть вычисляется исходя из (24):

2(^ /ф(„)и/ф(Я) (2Т-і)Скр) (і)-и/ф4і)/ (2Т-і)]<й.

Таким образом, получили систему линейных уравнений (25) (размерности Тг х ](] +1)/2, где Тг — количество треугольников) относительно

Стк, к = 1, Тг . Система линейных уравнений (22) решалась псевдообращением, а решение в (25) отыскивалось с помощью минимизации функционала с учетом априорных ограничений на ст к.

Численные эксперименты

В среде МЛТЬЛВ был разработан комплекс функций, позволяющий проводить численные эксперименты.

Область О — круг радиусом г = 1. В численных экспериментах Т < 1 (Т — время заполнения), далее полагаем Т = 2.

Использовалась следующая триангуляционная сетка: количество узлов сетки N = 8385, количество граничных узлов ] = 256, количество треугольников Тг = 16512. В качестве 8, взяты функции:

157

8, = 8вр(х і) = 58(х)кр(і) в =1..., S, р =1..., P, х є^ (27)

158

Рис. 1. Функция Рикера

L:

►

где Нр (і) — функция Рикера (частота / = 10 Гц), смещенная на шаг рДі (рис. 1), 53 (х) — «сеточная» дельтафункция для граничного узла с номером в, где

Г1, в = і,

5Ч (х,-) = [ 1 S = 256; Р = 100.

^ ^ [0, в * У;

Модель скорости звука с(х) имеет вид, показанный на рисунке 2. Модель поглощения и результат восстановления даны на рисунке 3.

Рис. 2. Модель скорости звука (c(x) > 0)

L

I

L

I

>

б

в

Рис. 3. Модель поглощения и результат восстановления: а — модель поглощения; б — реконструкция поглощения; в — реконструкция поглощения с информацией на границе области

приносит глубокую благодарность научному руководителю Л. Н. Пестову за помощь при проведении научных исследований.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проектам № 12-01-00260а.

Список литературы

1. Lions J.-L. ControleOptimale de Systemes Gouvernes par des Equationsaux Deriveespartielles. Paris, 1968.

2. Belishev M. I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method) / / Inverse Problems.1997. 13. R1 — R45.

а

3. Pestov L. N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary // Journal of inverse and ill-posed problems. 1999. Vol. 7, N. 5. P. 481—486.

4. Pestov L., Bolgova V., Kazarina O. Numerical recovering a density by BC-me-thod // Inverse Problems and Imaging. 2011. Vol. 4, N. 4. P. 703 — 712.

5. Pestov L. N, Bolgova V. M, Danilin A. N. Numerical recovering of a speed of sound by the BC-method in 3D //Acoustical Imaging. Springer. 2012. Vol. 31, N. 8, P. 508.

6. Pestov L. N. Inverse problem of determining absorption coefficient in the wave equation by BC method // Journal of inverse and ill-posed problems. 2012. Vol. 20, N. 1. P. 103—110.

Об авторе

Виктория Михайловна Филатова — науч. сотр., Балтийский федеральный университет им. И. Канта.

E-mail: ViFilatova @kantiana. ru

Author

Viktoriia Filatova — researcher, I. Kant Baltic Federal University.

E-mail: ViFilatova @kantiana.ru

159