Численное Решение задачи ПАВ на основе новой математической формулировки химической композиционной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПАВ НА ОСНОВЕ НОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМУЛИРОВКИ ХИМИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИОННОЙ МОДЕЛИ

A.C. Бердышев, Б. Е. Бекбауов*, А. Т. Рахымова

Казахский национальный педагогический университет имени Абая, 050010, Алма-Ата, Казахстан Институт информационных и вычислительных технологий,

050010, Алма-Ата, Казахстан *Казахекий национальный университет имени аль-Фараби, 050010, Алма-Ата, Казахстан

УДК 553.9

В этой статье представлены результаты, полученные с помощью новой математической формулировки для химического композиционного моделирования пласта. Приведены сравнения результатов задачи заводнения поверхностно-активных веществ (ПАВ), полученных с применением новой математической формулировки, с аналогичными результатами симулятора UTCHEM.

Ключевые слова: химическая композиционная модель, поверхностно-активные вещества, пористость, адсорбция.

In this paper we study a new mathematical formulation for chemical compositional reservoir simulation, and provide a comparison of its results on surfactant flooding with those of UTCHEM simulator.

Key words: chemical compositional model, surfactant, porosity, adsorption.

Введение. Химическое заводнение является одним из самых многообещающих и широко используемых методов в повышении нефтеотдачи пластов. Коммерческая реализация данного вида заводнения оказывалась перед несколькими техническими, эксплуатационными и экономическими проблемами. Химическое заводнение далее подразделяется на нагнетание полимера, поверхностно-активных веществ (ПАВ), щелочи, мицеллы и „Щелочь-ПАВ-Полимер" (ASP). В процессе применения технологий „Щелочь-ПАВ-Полимер" ПАВ-химикаты, которые используются для уменьшения поверхностного натяжения между закачивающимися жидкостями, увеличивают мобильность (подвижность) нефти. Щелочь уменьшает адсорбцию ПАВ на поверхностях породы и образует ПАВ непосредственно в нефтяном пласте при взаимодействии щелочей с органическими кислотами нефти. Полимер повышает эффективность вытеснения (коэффициент охвата).

У многих композиционных моделей, исследованных в открытой литературе [1-9], имеются определенные ограничения применимости, такие как однокомпонентноеть, отсутствие смешиваемости, которая происходит во время нагнетания ПАВ. Математическая

Данная работа выполнена при финансовой поддержке научно-исследовательского проекта № 0128/ГФ4 МОП РК.

формулировка, разработанная в рамках этой работы, расширена путем усовершенствования существующей формулировки модели 11ТСНЕМ для использования в исследованиях химического заводнения, которая не имеет этих ограничений.

Основные уравнения, используемые в модели 11ТСНЕМ, которые описывают многофазный многокомпонентный поток в проницаемых средах, — это уравнения сохранения массы компоненты, уравнение давления (уравнение неразрывности) и уравнение сохранения энергии. Нестационарные члены в уравнениях сохранения компонентов, используемых в модели 11ТСНЕМ, учитывают сокращение объема пор, вызванного адсорбцией,

В процессе данного исследования было обнаружено, что этот обычно используемый подход оценивает влияние адсорбции на перенос компонента достаточно хорошо, но он не удовлетворяет уравнению сохранения массы или неразрывности. Поскольку уравнение сохранения полной массы получается в результате суммирования уравнений сохранения компонентов по всем компонентам, полученное уравнение тоже нарушает принцип сохранения массы, С использованием этих основных уравнений в течение последних лет были разработаны несколько снмуляторов для моделирования химических композиционных явлений в нефтяных резервуарах,

В настоящей работе мы представляем новый подход для моделирования сокращения объема пор за счет адсорбции, которая удовлетворяет уравнению непрерывности, В определенных ситуациях, таких как, например, существенное изменение эффективного размера пор, введенные нами улучшения в модели важны, чтобы точнее моделировать физические явления, происходящие в нефтяных пластах. Кроме того, этот новый подход моделирования влияния адсорбции на перенос компонента позволяет разработать новую математическую формулировку для последовательного неявного химического композиционного моделирования пласта.

Последовательные схемы очень подходят для задач химических композиционных течений, которые включают большое количество химических компонентов. Только формулировка 1МРЕС использовалась до настоящего времени для химического композиционного моделирования пласта, но нет никакой очевидной причины, почему последовательная формулировка также не может быть использована. Из-за явности для решения композиций размер временных шагов должен быть ограничен, чтобы стабилизировать общую процедуру. Напротив, предлагаемый нами последовательный метод решает как давление, так и композиции неявно и расслабляет ограничение на шаг по времени,

Чен и др. [10] представили численный подход на основе математической формулировки, которая решает и давление, и компоненты последовательно неявно. Система уравнений сохранения компонентов была решена неявно для полной концентрации каждого компонента. Хотя этот подход, как утверждают авторы, был последовательно неявным и расширен от метода 1МРЕС (неявный по давлению и явный по компоненту), используемые в модели [11] 11ТСНЕМ математические формулировки для основных уравнений не претерпели никаких изменений в их модели.

Хотя существующие последовательные формулировки для композиционных моделей могут быть применены к модели химического заводнения, они требуют существенного изменения в текущем алгоритме, используемом в спмуляторе 11ТСНЕМ, Новая математическая постановка, предложенная в этой работе, не требует полного изменения в алгоритме и позволяет применить последовательный подход решения для химического композиционного моделирования пласта.

Появление сложных методов повышения нефтеотдачи в области добычи нефти подчеркнуло потребность в сложных математических и вычислительных аппаратах, способных моделировать запутанные физические явления и резко изменяющиеся интерфейсы жидкости,

В настоящее время, даже если химические композиционные симуляторы нефтяных резервуаров существуют, обычно они являются слишком дорогими для высших учебных заведений и научно-исследовательских учреждений в таких странах как Казахстан, Покупка программного обеспечения, лицензирование и обслуживание могут стоить десятки тысяч долларов в год. Созданное в рамках данной работы программное обеспечение с открытым исходным кодом позволит пользователям изучать, изменять и улучшать программное обеспечение при необходимости.

Несомненно, разработанная в рамках данной работы компьютерная модель положительно влияет на развитие информационных технологий в нефтегазовой индустрии в национальном и международном масштабе.

Новое программное обеспечение моделирования течения многофазной многокомпонентной жидкости в пористых средах со сложными фазовыми поведениями, физико-химическими превращениями действительно для полного спектра условий, возникающих как при очистке подземных вод, так и при добыче углеводородов.

Новизна данной работы заключается в разработке новой математической формулировки уравнений сохранения массы и уравнения давления для последовательного химического композиционного моделирования. Простота последовательного алгоритма решения также является новым вкладом.

Используя разработанную модель, мы проводили численное исследование задачи нагнетания ПАВ, а также проводили сравнительный анализ полученных результатов с аналогичными результатами, полученными с помощью спмулятора 11ТСНЕМ,

Математическая модель. Существующие композиционные модели отличаются друг от друга выбором основных переменных. Химическая композиционная модель (ХКМ) является сложной задачей, которая требует решения нескольких уравнений одновременно для всех блоков сетки для всех компонентов в нефтяном резервуаре. Последовательные неявные схемы хорошо подходят для задач химических композиционных течений, которые включают множество химических компонентов, В модели 11ТСНЕМ основные уравнения (уравнения сохранения массы, уравнение давления и уравнение сохранения энергии) описывают неизотермический поток многофазной многокомпонентной жидкости, В процессе исследования выявлено, что хотя уравнения сохранения массы, используемые в модели иТСНЕМ, учитывают сокращения объема пор, вызванного адсорбцией, достаточно хорошо, они не удовлетворяют закону сохранения массы.

Общее уравнение сохранения композиционного баланса:

где пс — количество компоненты, пр — количество фаз, ф — пористость, р^ — плотность г-го компонента, К^а — абсолютная проницаемость, Ба — насыщенность а фазы,

д_ дЬ

Сг — общая концентрация, сга — концентрация г-го компонента в а фазе, — скорость фаз, — нсточник г-го компонента, кг — коэффициент радиоактивного распада, кгфрг (Е0=1 Басга + Сг) представляет радиоактивный распад.

Согласно математической формулировке, предлагаемой нами, пористость ф связана с начальной пористостью фд следующим соотношением:

Пс

ф = фд ( 1 - Сг) [1 + сг (Р1 - ря)]. г=1

Для слабо сжимаемых жидкостей плотность компоненты —г можно выразить в следующем виде:

—г = РгД [1 + С0 (Р1 - Рд)] , г = 1, . . . , Пс, где ргД — опорная плотность,

г

Сг ^ ^ Басга + Сг,1 г 1, • • • , Пс

а=1

Так как опорная плотность ргД постоянна для каждой компоненты, мы можем разделить обе части уравнения (1) на ргд. Используя безразмерную величину —г = рг/ргД, уравнение (1) запишем в следующем виде:

д (ф— сс ) Пр Пр _

-+ V ■ ф—г У^ (БаСга^ а) -V ■ У^ К га ■ V (ф—¿^аСга) = -кф—& +--- ,

а=1 а=1

г =1,...,Пс. (2)

Для скорости фильтрации используем обобщенный закон Дарси для каждой фазы

кк

га /г—, г—, \

Т а = - - ^Ра - ) ,

а = 1,... ,'Пр, (3)

где ра — давление, ^а^ г — гравитационный напор, кга — относительная проницаемость, — вязкость а фаз,

дР1

фд [1 + с/ (Р1 - Ря)] ^ (С, Сг) + фдСг—+

! ПР / Пс \ Пс ~

ф £ ( Ба~и а £[1+ С0 (Р1 - рд)] Сга) = £ —^ , (4)

а=1 \ г=1 / ) г=1

где фд — начальная пористость, с/ — сжимаемость породы, с0 — сжимаемость г-го компонента, Ба — насыщенность а фазы, Сг — общая концентрация, сга — концентрация г-го компонента а фазы, Т^а — скорость фазы, — источник/сток, рса1 = ра - р1 — капиллярное давление, рд — начальное давление, р1 — давление воды, р3 — давления породы, сг — общая сжимаемость, ^ — известная функция (тип источника), которая определяется с помощью значения из предыдущего шага по времени.

Уравнение для давления получаем, подставляя уравнение Дарси в уравнение сохранения массы (с учетом капиллярных эффектов):

dpi /= \

- V ' [kXrTcV'pij = V ■

k^^, (^racV'Pcai)

a=2

- V

k У^ (XracYa)Vz

+ Q, (5)

а=1

Пс ПР

где Лгас = \raYl ргсга — относительная мобильность, АгТс = ^ Агас — общая относитель-

г=1 а=1

ная мобильность и

<3 = -фк [1 + (Р1 - р5)] ^ (С,С) + V] —.

1=1ргк

Ниже приведены сравнения соответствующих членов (а) существующей и (б) разработанной математических формулировок,

га

ненной по массе: (а) j та = -ф^араКга • V (б) ^ ^ = -Кга • V (фБараша).

/ Пси \

2, Пористость: (а) ф = фк [1 + Сг (рл - ря)]; (б) ф = фк{ 1 - Е сА [1 + Сг (р1 - ря)]■

/ Пси \ ПР ПР

3, Общая концентрация: (а) с* =11 - ^ С 1 ^ БаС*а + С; (б) с» = ^ Басга + с».

\ г=1 / а=1 а=1

Пс ПР

4, Для нахождения уравнения давления используется: (а) ^ ^ Басга = 1; (б) в предла-

г=1а=1

Пс / ПР \ Пс ПР

гаемой нами модели ^ I ^ Басга + Сг I = 1, то ^ ^ Басгаф1 в отличие от существующей

г=1 \а=1 / г=1а=1

модели,

Пс

5, Полная сжимаемость: (а) с = сг + [1 + сг (2р1 - ря - рк)] Е (с0Сг); (б) с4 =

г=1

Пси Пс

1 - Е Сг ^ Сг + [1 + Сг (2р1 - рз - рк)] Е (с0Сг) =1 =1

6, Источниковый член может быть выражен как известная функция с предыдуще

Пси П

го слоя по времени: (а) отсутствует; (б) ^ (с*,Сг) = (р1 - рк) т|

1 -Ее Ес°с,

с0

=i =i

^ t ncv

dt ( Ее, =i

Далее численно решаем математическую формулировку с использованием программного пакета S3GEAF,

Постановка задачи. Мы исследуем нагнетание ASP в пласт с размером 564 х 1323 х 470 футов для x, y и z соответственно (число сеток — 7х 18х89), Флюид состоит из следующих компонентов: вода, нефть, ПАВ, полимер, кальций, сода, хлор, алкоголь; пористость — 30 %, давление — 2000 фунтов на квадратный дюйм, проницаемость — 1648 мД, глубина — 3650 футов и начальная водонасыщенность — 0,3,

Дискретизация уравнений. Схема дискретизации, основанная на блочно-центрированном методе конечных разностей, используется для численного решения математической модели. Интегрируя уравнение (5) по контрольному объему Vbi,j,k, получим

[ dpi [ =

/ Ф^Сь^-dV- V ■ kXrTcVpidV=

r. _ np r. _ np r.

= V^ k^XracVpcaidV- V^ k^XracYaVzdV + QdV.

Vbi,j,k a=2 JVbi,j,k a=i JVbi,j,k

Предположим, что сеточные величины нестационарного члена и члена-источника, определенные в центре контрольного объема Уьг,з,к с границей дУы^^-, представляют собой средние интегральные значения соответствующих непрерывно распределенных величин. Применяя теорему Гаусса-Остроградского для остальных членов, получим

Уьфясг- I Т ■ k:\rTcVp1dS=

дЬ / г,з,к ¿дУы,,к

Т ■ к У^ ХасУ'Рса^Б- ® ■ кУ2 XrаcYаVzdS+ ( УьЯ

Жы,^ а=2 -'дУы^и а=1 4 ' 3

Далее, последнее уравнение может быть аппроксимировано в точке (г,],к) в виде

п+1 _ п

(Уьфв.сг)г,з,к—^--

Аух к

ух- Л

Л

Ах

Ахх к

А

гТс

(р, П+1 — Р П+1 \р1г+1,з,к р1г,з,к

Аух к

ух- Л Л

г+1/2,3,к

Лгтс) (р1П++1,к- -

А к

ху

Аг

гТс

г,з+1/2,к

I

г,3,к+1/2

Пр

£

а=2

х

Ахх к

~аУ

гТс

П+1 р П+1 \р1г,],к - р1г-1

3,к

г-1/2,з,к

Лгтс) (р^+к- РЧ+-1,к

г,3-1/2,к

(р П+1 — р П+1 \р1г,3,к+1 р1г,],

3,к

АхУк Л 1 (Р п+1 р П+1

Аг

г,3,к-1/2

Аух к л

дХЛг

Рс

1г+13,к рса1г^,к

+

+

Аух к л

^хЛгас

г+1/2,3,к Р

г-1/2,3,к

Ахх к

А

Ахх к Л

~аУ

Лтас] (р,

г,3+1/2,к

ПП

са1г,з+1,к рса1г,з,к

Р П Р П \рса1%,з,к рса1г,3-1,к

гас I \Уса1г,з,к гса1г,з

г,з-1/2,к

+

+

А к

ху

1\^Лгас

А хук

ху л

Лгас I \Рса

Аг

{р са 1г,з,к+1 - рса1г,з,к) -

г,3,к+1/2

(р са1г 3 к рса1г 3 к— 1/

г, 3, к-1/2

£

а=1

Ауг к

~аХЛг

г+1,],к

— г,

г,3,к

г+1/2,],к

П

АуА Л (~П _ п

Лгас Га I \гг,],к гг-1^,к

г-1/2,],к

+

+

к а 1 / п п

Лгас7а I ^ гг,]+1,к - гг,],к

г,]+1/2,к

к а 1 / п п

л Лгас7а I \гг,3,к - гг,]-1,к

У г,]-1/2,к

+

А к

^хул

X Лгас7а

Аг

П П

гг,],к+1 гг,3,к

г,3,к+1/2

А к

ху

X Лгас7а

Аг

П П

г г,],к гг,],к-1

г,3,к-1/2

+ Уь<3

г,3,к

А

гр _ I Аугк , \ __^ ( Аугк ,

Тхг+1/2^к = I ~лХЛгТс ==Ь ( "дХЛг ,

/ г+1/2,],к а=1 \ / г+1/2,],к

1гас

2

= Ах^,^ + Ах^к Лгасг+1/2,3,к =

\Ауг к\ \Ауг к)

\ / г + 1,з,к \ / г,3,к

пр 2( АуХ к) \АуХ к) пР

/ у ЕЕ\ Т =\ Лгасг+1/2,],к =

а=1 \Аугк) ^Хг+1,],к + \Аугк) ^Хг,],к а=1

V / г,],к V / г+1^,к

_ I Аугк \ _ ^ ( Аухк ,

Тхг-1/2,],к = [ ~лХЛгтЧ = I ~Кх

/ г-1/2,],к а=1 V / г-1/2,],к

Пр 2 Ауг к Ауг к

V / г-1,],к\ / г,],к Л = 1

/ ; ЕЕ\ Т =\ Лгас%—1/2,],к — / у Ьб

а=1 \Аугк) ^Хг-1,],к + \Аугк) ^Хг,],к а=1

V / г,],к V / г-1,],к

Т

у

уг,з+1/2,к

Ахх к

а

Л

гТс

( Аххк л 1 ~ Л

г,3+1/2,к а=1 Пр

£

Ау

2 I Ахх к

г,з+1/2.,к

Ахх к ) г,3+1,к \ / г,з,к

а=1

Аххк ) Ауг,з+1,к г,3,к

+ ( Аххк

хх'ь I Ауг,3,к

г,3+1,к

Лгасг,3+1/2,к ^ ] ^

а=1

Т

у

уг,3-1/2,к

Ахх к

А

Л

гТс

( Аххк л 1 — Лг

1,3-1/2,к а=1

Ау

£

2 I Ахх к

г,3-1/2,к

Ахх к ) г,3- 1 ,к г,3,к

= 1 \Аххк) Ауг,3-1,к + \Аххк

г,3,к г,3- 1 ,к

Лгасг,3-1/2,к ^ ] ^ Ауг,3,к а=1

Тхг,3,к+1/2

А хук

ху

"Л.

Дг

гТс

А хук

1 — Лг

г,3,к+1/2 а=1 Пр

£

г

г,3,к+1/2

2 А хук А хук

г,3,к+1\ / г,3,к

а=1 А хук

г

г,3,к

г,3,к+1

Л

+ ( Ахук) Агг,3,к

г,3,к+1

гасг,3,к+1/2

£

а=1

ев,

Тхг,3,к-1/2

и обозначим

А хук

ху

"Л.

г

гТс

А хук 1 — Л

г,3,к-1/2 а=1 Пр

£

г

г,3,к-1/2

2 А хук А хук

г,3,к-1\ / г,3,к

а=1 I Ахук

г,3,к

Агг,3,к-1 + ( Ахук

ху

Л

г

гасг,3,к-1/2

г,3,к-1

г,3,к

£ к,

а=1

Тг

г,3,к

(уьфпсь)г,3,к

АЬ '

С учетом введенных обозначений, полученное дискретное уравнение для давления пишется в виде

—Т Р П+1 _ Т Р П+1 _ Т Р П+1 +

Тхг+1/2,3,кр1г+1,3,к Туг,3+1/2,кР1г,3+1,к 1 хг,3,к+1/2р1г,3,к+1 +

+ Тхг+1/2,3,к + Тхг-1/2,3,к + Туг,3+1/2,к + Туг,3-1/2,к + Тхг,3,к+1/2 + Тхг,3,к-1/2 + Тг,3,к

Р П+1

Р1г,3,к

_Т р п+1 _ Т Р П+1 _ Т Р П+1 _

Тхг-1/2,3,кр1г-1,3,к Т уг,3-1/2,кр1г,3—1,к Т хг,3,к-1/2р1г,3,к-1 =

Пр

Тг,3,кр1п,3,к + ^ ] { [аб {рса1г+1,3,к - рса1п,3,к) - ^б (рса1п,3,к - рса1П-1,3,к)] +

а=2

+ [сб {рса1ц7+1,к рса1щ,к) ^б (рса1 П7,к рса1П7-1,к)] +

+ [еб (рса1г,7,к+1 - рса1п,7,к) - (РсаЦ^,к - рса1п,7,к-1^} -

{ [а б (гг+1,^',к гг,7,к) Ъб (.гг,3,к гП-1,7,к)] +

а=1

+ [сб (гг,^+1,к - гг,7,к) - [гг,3,к - гП,7-1,к)] +

+ [е'б (7+- ^¿к) - /^ (7- ^к-О]} + ( и«?)

V / г,7.

где

/ ___ Таг+1,7,к + 1аг,7,к ,/ _ , _ , 'Уаг—1,7,к + 1аг,7,к

а а ааТаг+1/2,7,к аа 2 ' Ъ а Ъа^аг-1/2,7,к Ъа 2 '

/ ___ Таг,7+1,к + 1аг,7,к у _ , _ , 'Уаг,7 — 1,к + 1аг,7,к

С а СаТаг,7+1/2,к Са 2 ' ^ а ^а^/аг,7-1/2,к &а 2 ,

/ ___ 7аг,7,к+1 + 1аг,7,к ___ 1аг,7,к-1 + 1аг,7,к

е а еаТаг,7,к+1/2 еа 2 ' / а /а1аг,7,к-1/2 /а 2 '

Также его можно выразить в следующем виде:

_р гп П+1 гр гп П+1 гр гп П+1

Г хг+

+

Г Г, П+1 _Т П+1 _ гр П+1 |

- хг+1/2,7,кр1г+1,7,к гУг,7+1/2,кр1г,7+1,к г :^г,7,к+1/2р1г,7,к+1+

Рхг+1/2,7,к + Рхг-1/2,7,к + Туг,7+1/2,к + ТУг,7-1/2,к + Ргг,7,к+1/2 + Рхг,7,к-1/2 + рг,7,к

„ П+1 /Т! П+1 /Т! П+1 _ ГТ1 П ,

рхг-1/2,7,кр1г-1,7,к ГУг,7-1/2,кр1г,7-1,к ргг,7,к-1/2р1г,7,к-1 = рг,7,кр1 г,7,к +

р П+1 р1г,7,к

р Пр Пр

абрсб 1П+1,7,к + ^^ ЪбрсбН-1,7,к + ^ Сбрсб и,7+1,к + ¿ьрсб 1П,7-1,к +

=2 =2 =

Пр Пр Пр

+

ебрсб 1П,7,к+1 + ^^ /рс6и,7,к-1 - ^^ убрсб 17 =2 =2 =2

р Пр Пр Пр

а б^¿к + ^^ Ъ б21-1,7^ + ^^ С бг1,7+1,к + ^^ ^ б^к +

=1 =1 =1 =1

Пр Пр Пр Т /

+ е бгП,7,к+1 + ^^ / бгП7,к-1 - ^^ у бгП,7,^ + ( ^ь«?

„П , \ £/ П _ \ / П

5гг,7,к-1 / .У бгг,7,к . , --,..,■

г,7,к

=1 =1 =1

где уб = аб + Ъб + сб + 4 + еб + у'ь = а^ + + ¿6 + ^б + е^ + /.

Дискретизация системы уравнения баланса массы для каждого химического компонента получается подобным образом.

Численный метод. В используемом нами численном методе временная дискретизация основана на схеме Эйлера с разностями назад, в то время как пространственная дискретизация осуществляется на основе блочно-центрированных конечных разностей с гармонически усредненными коэффициентами (например, коэффициент проницаемости).

▼

Рис. 1. Область вычисления

Тщательным выбором основных неизвестных последовательный подход решения используется дня решения системы связанных уравнений дня этой модели. Последовательный подход разбивает связанную систему нелинейных основных уравнений этой модели па отдельные уравнения и решает каждое из этих уравнений по отдельности и неявно. Этот подход расширен от 1МРЕС (неявного по давлению и явного по составу) подхода решения, используемого в иТСНЕМ дня композиционного моделирования химического заводнения. 1МРЕС метод решает уравнение дня давления неявно и уравнения дня компонентов явно. Из-за явности решения уравнений дня компонентов размер временных шагов должен быть ограничен, чтобы стабилизировать общую процедуру. В противоположность этому используемый здесь подход представляет собой последовательный подход, который решает и давление, и композиции неявно. Следовательно, этот подход расслабляет ограничение па шаг по времени. Итерации по методу Ныотопа-Рафсопа дня каждого из уравнений давления и состава ограничены максимальными изменениями в этих переменных по итерации, и размер шага по времени определяется автоматически максимальными изменениями по временному шагу. Включены члены межблочного потока (например, дня подвижности) и закачки/добычи с разностями против потока. Система линейных алгебраических уравнений решается уменьшенной шириной полосы прямым Б4 методом или итерационным методом ОКТНОМ1Х/СМ11Е8, Неявная схема дня каждого из уравнений давления и сохранения компонентов и неявное вычисление забойного давления добавляют устойчивость и сохраняют заданные пользователем расходы и ограничения.

Метод последовательного решения выполняется в следующем порядке:

1) Решение уравнения давления неявно.

2) Решение системы уравнений транспорта неявно дня полной концентрации каждого компонента.

3) Использование модели химического равновесия дня получения эффективной солености.

Рис. 2. Зависимость сродного давления от суммарного нагнетенного объема пор

Рис. 3. Зависимость иасыщениостей нефти и воды от суммарного нагнетенного объема пор

4) Использование расчета испарения для получения насыщенности фазы и концентрации компонентов в каждой фазе.

5) Вычисление межфазпых натяжений, чисел защемления, пасыщеппостей остаточных фаз, относительных фазовых пропицаемостей, плотностей фаз, вязкостей, факторов сокращения мобильности и т. д.

6) Возвращение к шагу 1, чтобы повторить данную процедуру до тех пор, пока конечное состояние не будет достигнуто.

Результаты исследования. В общем, система основных уравнений математической модели химического композиционного моделирования пласта не может быть решена с помощью аналитических методов. Вместо этого численная модель разработана в форме, которая поддается решению компьютерами. Так как аналитического решения дня рассматриваемой химической композиционной задачи не имеется, верификация полученных результатов достигалась путем сравнения с аналогичными результатами, полученными с применением симулятора иТСНЕМ. Сравнения показывают, что результаты, полученные из 1МРЕС реализации повой предложенной формулировки, схожи с результатами, полученными с использованием симулятора иТСНЕМ.

ЭМЕ

Рис. 4. Зависимость насыщенности микроэмульсии от суммарного нагнетенного объема пор

ДОвв^Т

Ру

Рис. 5. Зависимость относительного объема адсорбированного ПАВ (мл на мл объема пор) от

суммарного нагнетенного объема пор

Сравнение численных результатов, полученных с помощью существующей и повой формулировок, приведено па рис. 2-5 дня нагнетенного объема пор в диапазоне 0-1,0 РУ дня соответствующих переменных.

Отметим, что математическая модель и численный симулятор, разработанные в этой работе, могут быть также использованы дня изучения перемещения загрязняющих веществ и ремедиации загрязненных водоносных слоев поверхностно-активными вещества-

Заключение. Математическая формулировка, разработанная в рамках данной работы, расширена от существующей формулировки иТСНЕМ дня использования в исследованиях химического заводнения. Также было выполнено сравнение с симулятором иТСНЕМ, Сравнительные исследования показывают, что результаты, полученные из реализации 1МРЕС повой предложенной формулировки, находятся в хорошем согласии с иТСНЕМ, В рамках данной исследовательской работы через ее приложение к вышеупо-

мянутому численному эксперименту и сравнениям с результатами UTCHEM доказано, что новая разработанная формулировка является применимой и точной.

Сравнение производительности спмулятора химического заводнения, основанного на описанной в этой статье формулировке, с симулятором UTCHEM для различных физических задач и конкретных случаев планируется на будущее.

Список литературы

1. Baehr A. L. and corapcioglu M. Y. Ground water Contamination by Petroleum Products: 2. Numerical Solution // Water Resour. Res., 1987. N 23(10). P. 201.

2. Mayer A. S. and Miller C. T. A Compositional Model for Simulating Multiphase Flow, Transport and Mass Transfer in Groundwater Systems / Paper presented at the Eighth International Conference on Computational Methods in Water Resources. 1990, June 11-15. Venice, Italy.

3. Sleep В. E. and Sykes J. F. Compositional Simulation of Groundwater Contamination by Organic Compounds: 1. Model Development and Verification // Water Resour. Res. 1993. N 29(6). P. 1697-1708.

4. Abriola L. M. and Pinder G. F. Two-Dimensional Numerical Simulation of Subsurface Contamination by Organic Compounds — A Multiphase Approach / Proc. of Specialty Conference on Computer Applications in Water Resources, ASCE, 1985b.

5. Abriola L. M. and Pinder G. F. A Multiphase Approach to the Modeling of Porous Media Contamination by Organic Compounds: 2. Numerical Simulation // Water Resources Res. 1985a. N 21(1). P. 19.

6. Faust J. C., Guswa J. H. and Mercer J. W. Simulation of Three-Dimensional Flow of Immiscible Fluids within and Below the Saturated Zone // Water Resour. Res. 1989. N 25(12). P. 2449.

7. Letniowski F. W. and Forsyth P. A. à Control Volume Finite Element Approach for Three-Dimensional NAPL Groundwater Contamination / Dept. of Computer Science, May 1990. Report No. CS90-21, University of Waterloo, Ontario, Canada.

8. Sleep В. E., Sykes J. F. Numerical Simulation of Three-Phase Multi-Dimensional Flow in Porous Media. Computational Methods in Subsurface Hydrology, G. Gambolati et al. (eds.), SpringerVerlag: Berlin, 1990.

9. Kalurachchi J. J. and Parker J. C. Modeling Multicomponent Organic Chemical Transport in Three-Phase Porous Media // J. of Contaminant Transport. 1990. N 5. P. 349.

10. Chen Z., Ma Y. and Chen G. A sequential numerical chemical compositional simulator // Transport in Porous Media. 2007. N 68. P. 389-411.

11. Delshad XL. Pope G. A., Sepehrnoori K. UTCHEM Version 9.0 / Technical Documentation, Center for Petroleum and Geosvstems Engineering. July 2000. The University of Texas at Austin, Texas.

Бердышев Абдумаувлен Сулейманович — д-р физ.-мат. наук, проф., главн. науч. сотр. Института информационных и вычислительных технологий МОИ РК, e-mail: [email protected] Бекбауов Бахберген Ермекбаевич — PhD доктор, преподаватель Казахского национального университета им. Аль-Фараби, e-mail: [email protected] Рахьшова Айгерим Турлыбаевна — магистр ест,ест,венных наук, младш. науч. сотр. Института информационных и вычислительных технологий МОИ РК, e-mail: [email protected]

Дата поступления — 07.07.2015