CC BY
7
Вычислительные технологии, 2020, том 25, № 5, с. 55-65. © ФИЦ ИВТ, 2020 ISSN 1560-7534
Computational Technologies, 2020, vol. 25, no. 5, pp. 55-65. © FRC ICT, 2020 elSSN 2313-691X
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
D01:10.25743/ICT.2020.25.5.005
Численное решение задачи о сжатии газа из покоя в покой
С. П. Баутин*, Ю.В. Николаев
Снежинский физико-технический институт национальный исследовательский ядерный
университет "МИФИ", Снежинск, Россия
*
Поступила 22 апреля 2020 г., доработана 24 июля 2020 г., принята в печать 3 августа 2020 г.
Представлены результаты численного решения математической модели перевода под действием двух поршней одномерного слоя газа из одного состояния покоя (начальный момент) в покой с большим значением плотности (финальный момент). Один из поршней движется со стороны оси или центра симметрии в сторону второго неподвижного поршня. Приводятся конкретные значения масс газа и его плотностей в финальный момент, сжатие которых возможно безударным способом. Траектория сжимающего поршня получена в виде табличной зависимости. Алгоритм численного решения реализован на основе метода характеристик и использует свойство решения, что на сжимающем поршне в финальный момент сжатия возникает особенность. В особой точке решение описывается формулами центрированной волны Римана, а в ее окрестности — обобщением центрированной волны Римана.
Ключевые слова: безударное сжатие газа, метод характеристик, одномерные течения.
Цитирование: Баутин С.П., Николаев Ю.В. Численное решение задачи о сжатии газа из покоя в покой. Вычислительные технологии. 2020; 25(5):55-65. D01:10.25743/ICT.2020.25.5.005.
Введение
Управляемый термоядерный синтез — практически неограниченный источник энергии, и уже несколько десятилетий ученые занимаются его изучением для случая, когда термоядерную реакцию хотят вызвать без использования энергии атомного взрыва. Для этого придумано и создано много типов мишеней, один из примеров приведен в работе [1]. Мишень является дейтериево-тритиевым цилиндром, находящимся внутри бериллиевого цилиндрического слоя. Энерговложение в бериллий приводит к росту давления, его расширению и последующему сжатию дейтериево-тритиевой смеси. В патенте [2] предложена мишень, в которой роль сжимающего поршня выполняют грани тетраэдра или треугольной призмы. Повышение устойчивости течений сжатия достигается за счет того, что грани сжимающего поршня выпуклы к центру тетраэдра или оси симметрии призмы.
В настоящей работе приводится численный расчет требуемого закона движения сжимающего поршня, реализующего сжатие мишени из работы [2]. Для этого расчета используется математическая модель идеального газа, течения которого описываются решением системы уравнений газовой динамики.
1. Постановка задачи
Имеется плоский (и = 0), цилиндричеекий (и = 1) или еферичеекий (и = 2) слой однородного политропного газа с уравнением состояния р = р1 в котором р — давление, р — плотность, 7 — показатель адиабаты (политропы). Считается, что все течения, возникающие в газе, будут одномерными и изэнтропическими. Термином "безударные" называются такие течения газа, в которых искомые течения могут отделяться как друг от друга, так и от известных течений только слабыми разрывами, но не ударными волнами.
Рассмотрена следующая конфигурация газовых течений: в начальный момент времени t0 газ однороден с плотностью р0, а скорость газа равна нулю. Это состояние 1 газа. Состояние газа в момент времени t* > to такое: газ однороден, его плотность равна некоторому р* > ро, при этом газ покоится. Это состояние 2, Требуется найти течения газа, возникающие при безударном переходе (сжатии) одномерного газового слоя из состояния 1 в состояние 2 под действием двух непроницаемых поршней, один из которых неподвижен. При этом газ находится левее неподвижного поршня, а поршень, производящий сжатие, движется вправо, сжимая цилиндрический или сферический слой изнутри, когда радиус поршня растет.
Одномерные изэнтропичеекие течения газа определяются функциями и = u(t, г) и с = c(t,r), которые являются решениями системы уравнений газовой динамики:
7 — 1 ( ии \
ct + исг +---— с иг +--=0,
2 2 V Т> (1)
ut +--ссг + ииг = 0.
7 — 1
Здесь и = u(t, г) — скорость газа, ас = c(t, г) связана с плотность ю газа р соотношением с = р(1-1)/2 и является скоростью звука в газе.
Данная задача для случая безударного сжатия одномерного газового слоя при движении сжимающего поршня в сторону оси или центра симметрии будет называться сжатием снаружи. Задача рассмотрена в работе [3].
В работе [4] доказано существование решения задачи о сжатии из покоя в покой в случае, когда газ сжимается двумя поршнями, один из которых покоится в точке с г = rw > 0 ('lw" от англ, wall — стенка), а второй сжимает газ снаружи, т. е, координата второго поршня все время больше rw. Поставленная задача сведена к трем начально-краевым задачам для системы уравнений газовой динамики, и доказано существование локально-аналитических решений. Однако не получены конкретные значения для массы газа и значения плотности газа, до которой возможно сжатие безударным способом. Но установлено, что в финальный момент сжатия в решении возникнет особенность на сжимающем поршне и что решение в некоторой окрестности точки с особенностью описывается обобщением центрированной волны Римана для случая цилиндрических и сферических течений, а в самой особой точке (t*, г*) описывается формулами центрированной волны Римана для плоских течений:
7 — 1
С = Со--— и,
2
2 г — г* 2 (i-i)/2 v ;
и = -— --— + -— Оъ Со = рУо' J) .
7 +1 t — t* 7 +1
Там же указано, что, поскольку координата неподвижного поршня г = строго положительна, факт существования решения задачи сжатия из покоя в покой имеет место и при сжатии газового слоя изнутри.
Для системы уравнений (1) стандартным образом вводятся безразмерные переменные: f = ///о, где $ — безразмерное значение величины /, а /о — масштабное значение величины f. Используя физические характеристики газа в состоянии 1, получаем
с „ г
со ' Го '
Положим в качестве масштаба скорости и0 = с0, отсюда ¿0 = г0/и0 = г0/с0, и тогда
и ~ Ь и = —' £ = —.
Щ ¿0
В дальнейших расчетах, не ограничивая общности, принимаем, что плотность газа в первоначальном покое р0 равна единице и координата г = тр(1) сжимающего поршня в начальный момент также равна единице. Введение этих величин позволяет масштабировать остальные физические величины и, р, ¿. Расстояние г от центра симметрии до второго поршня (неподвижной стенки гт) является расчетной величиной и определяется при задании массы т сжимаемого газа.
Использованный в данной работе алгоритм основан на методе характеристик [5]. Рассчитывается характеристическая сетка, узлами которой являются точки пересечения характеристик С+- и С--семейств, а также вычисляются значения искомых функций в этих узлах. Характеристики определяются при аппроксимации решений обыкновенных дифференциальных уравнений
С- : ^ = иЦ, г) — сЦ, г), С+ : ^ = иЦ, г) + сЦ, г)
с соответствующими начальными условиями.
Вводятся инварианты Римана Я, Ь, вычисляемые по формулам
2 2
л = и +--с, Ь = и--с.
7 — 1 7 — 1
2. Алгоритм счета
Цель данной работы — модифицировать проверенный в [4, 6-11] алгоритм и выполнить расчет решения поставленной выше задачи о сжатии из покоя в покой, В частности, необходимо, используя известные свойства решения и метод характеристик, определить закон движения непроницаемого поршня, реализующего требуемое сжатие, и указать конкретные значения масс газа и финальные значения плотности газа, для которых возможно безударное сжатие.
После получения численного решения задачи сжатия из покоя в покой проводится его сравнение с решением задачи о сжатии конфигурации Мизеса [12]. В этой задаче для слоя одномерного политропного газа рассматривается следующая конфигурация газовых течений: пусть в момент времени £ = ¿0 газ покоится, т. е, его скороеть и равна нулю, газ однороден с плотностью р0. В конечный момент времени £ = ¿* > Ь0 плотность газа равна или больше некоторого любого наперед заданного значения р*,
превышающего ро- Требуется пайтп течения газа, возникающие под действием одного непроницаемого поршня при безударном переходе одномерного газового слоя из однородного состояния покоя с плотностью ро в однородное состояние с наперед заданным значением плотности р* > ро. Скорость газа может быть произвольной, что отличает ее от задачи сжатия из покоя в покой, В частности, необходимо указать закон движения поршня, под действием которого производится требуемое сжатие, В таком виде задача Мизеса сформулирована в работе [4],
Данная конфигурация течений рассмотрена Р. Мизееом [12] для случая плоских течений, В работе [4] продолжено исследование этой задачи для случая цилиндрически и сферически симметричных течений, доказано, что решение поставленной задачи существует и единственно в классе аналитических решений. Для этого поставленная задача Мизеса сводится к двум начально-краевым задачам для системы уравнений газовой динамики. Для обеих задач доказаны теоремы существования и единственности локально-аналитических решений, но не получены конкретные значения массы газа, сжатие которого возможно безударным способом, а также не установлены значения плотности газа р = р*, до которых возможно сжатие безударным способом.
Конфигурация течений сжатия из покоя в покой отличается от конфигурации Мизеса следующим, В обоих случаях получения требуемого сжатия в момент Ь = ¿* в течении возникнет особенность: в случае конфигурации Мизеса особенность будет на характеристике, отделяющей покоящийся газ от волны сжатия, а в конфигурации сжатия из покоя в покой особенность появляется на сжимающем поршне. Эта особенность в случае V = 0 описывается центрированной волной Римана, а при V = 1, 2 — обобщением центрированной волны Римана, Алгоритм расчета газовых течений учитывает установленную особенность и для ее раскрытия использует формулу (2),
Первоначально задаются значения массы т сжимаемого газа и плотности сжатого газа р*, приведенные ниже разультаты расчетов дают ответ о возможности безударного сжатия в случае этих значений массы и плотности. После выбора т, р* определяется координата неподвижной стенки г = гт, по которой находится (из формул объема и массы слоя газа) координата г = г/ сжимающего поршня в финальный момент сжатия t — .
т
р*
т
в случае V = 0 T'w = m +1, rf = T'w
в случае V = 1 г2 w m = — + 1, г2 = rf = г2 w
ж
2 г3 w 3т OÛ
в случае V = = 1- + 1, 4ж = г:
3т 4р*п
Для численных расчетов использован известный метод характеристик [5], На рисунке (а) показаны исследованные в данной работе области построения течений в конфигурации сжатия из покоя в покой. Для сравнения на рисунке ( б) приведены области течений в конфигурации Мизеса, масштабы переменных t, г соответствуют рисунку сжатия из покоя в покой,
В задаче сжатия из покоя в покой характеристическая сетка строится в обратном направлении изменения времени из точки A(tf,rf), Для этого на С"-характериетике АВ, отделяющей покоящийся сжатый газ в области 0 от течений сжатия, выбираются по точек (в них известны параметры газа), из которых выпускаются С+-характериетики, Из точки А (в этой точке особенность) выпускаются С"-характеристики в количестве П\ штук, и с использованием метода характеристик строится сетка в области 1. За-
Области построения течений в конфигурации из покоя в покой (а) и Мизеса (б) Regions of flow construction for rest to rest (a) and Mises (6) configuration
тем полученные С "-характеристики продолжаются до пересече ния с линией г = достраивается сетка в области 2 до тех пор, пока в точке пересечения очередной бихарактеристики не будет достигнута плотность р = 1. С этого момента (точка И) выпускается С+-характеристика ИЕ и на ней выбираются п2 точек, из которых выпускаются С"-характеристики до пересечения с продолжением С+-характеристик из областей 1 и 2 в прямом направлении изменения времени. Так строится сетка в области 3. Течения области 3 гладко примыкают к области 4 (здесь газ находится в покоящемся несжатом состоянии). Одновременно с построением характеристической сетки из точки А в обратном направлении изменения времени строится траектория сжимающего поршня АЕ. Из простых соображений понятно, что линия траектории сжимающего поршня лежит в области 3. Сетку в области 3 достаточно строить до пересечения с линией траектории движения поршня, что позволяет сократить объем компьютерных вычислений.
В расчетах момент времени сжатия (координата I точки А) полагается равным 1. После того как течения сжатия и траектория сжимающего поршня построены до некоторого момента старта поршня £ = выполняется сдвиг координанты времени всех расчетных областей и траектории сжимающего поршня на величину так что новая координата старта поршня становится равной нулю. Этот сдвиг возможен, если учесть, что система уравнений (1) инвариантна относительно сдвига по времени.
Учитывая, что газ через неподвижную стенку г = гю не течет, а значит, его скорость на стенке равна нулю, из формул инвариантов Римана следует Я = —Ь, а значит, расчет с помощью формул метода характеристик изменения инварианта Ь вдоль бихарактеристики в области 2 определит изменение Я, из которых найдется значение плотности газа в точках сетки на линии г = г,ш.
В точке A(tf,гf), согласно установленному в [4] свойству решения, имеет место скачок плотности. В этой точке скорость газа и скорость звука в газе связаны соотношением
Сг
Пг = 2-- ,
7 — 1
где {сг} — разбиение отрезка от с* = Д7_1)/2 до нуля на п\ равных частей. Это и определяет число С~-характеристик, выпущенных из точки А.
Точность результатов вычислений зависит от входных параметров счета (разбиение расчетной области на ячейки — параметры п0, щ, п). В расчетах для каждого варианта входные данные подбирались отдельно опытным путем так, чтобы относительная погрешность масс 5т была менее 1 %, где
^ = 1т*_т°1 юо %,
т*
то, т* — массы сжатого газа до и после сжатия. Они вычисляются через координату г сжимающего поршня в момент старта Ь3 и в момент финиша Ьf соответственно:
для = 0 то = г» _ У" 1 ' 'в) т* = ( ' _ ) р^
для = 1 то = 2*(г1 _ г2), т* = - г})P*■
4 ■г3). 4 _ г})Р*
для = 2 то = -ж( г3 — 3 " V ' т* = = -ж(г3 -3 '
Так как сжатие производится непроницаемым поршнем, массы газа до и после сжатия должны совпадать. Но из-за погрешностей численного расчета наблюдается раз-
т
выполнены расчеты траектории сжимающего поршня и всего течения в целом. Работа, производимая сжимающим поршнем, рассчитывается по формуле
Ар = ! рёю,
V1
которая при численной аппроксимации и различных видах симметрии принимает следующий вид:
ДЛЯ V = 0 Ар = ^ ' г _ ^
I
, л П+1) +Р(и, П) 2 2
ДЛЯ V = 1 АР = -2-[Г1+1 _ г1
I
= 4^ Р(г*+Ь Г1+1)+Р^ь п) Г 3 3!
Р о / у о [ '+1 I
р( Ь+1, п+1) +р( и, п)
для, = 2 Ар = 4. £ ^ •+- [Г3+, _
3
I
Здесь (Г1) — координаты траектории сжимающего поршня, а р(Г1) — давление газа в этих точках.
3. Результаты счета
В табл. 1 приведены входные данные расчетов и полученная погрешность расчетов. Здесь указаны номер варианта счета, параметры газа и, 7, р*, т. Параметры алгоритма счета: п0 — число-разбиение характеристики, отделяющей сжатый газ от течений сжатия; п\ — число разбиения "скачка" плотности для раскрытия особенности на поршне в момент сжатия (число С"-характеристик, выпущенных из точки (tf, rf)); п2 — число-разбиение характеристики, отделяющей еще несжатый газ от течений сжатия; — количество ячеек в рассчитанной характеристической сетке; Мр — количество точек
в рассчитанной траектории сжимающего поршня; 8т — полученная в расчетах относительная погрешность масс,
В табл. 2 приведены результаты расчетов задачи о сжатии из покоя в покой, а также для сравнения результаты расчетов решения задачи в конфигурации Мпзеса, В столбцах таблицы указаны: номер варианта счета (для сопоставления с вариантами в табл. 1;
Таблица 1. Варианты входных данных
№ V 7 р* т По П\ П2 NпеЛ Мр 5т
1 0 1.4 32 1 500 500 500 126 232 1228 0.69
2 1 1.4 32 1 1000 1000 1000 478 808 2356 0.68
3 2 1.4 32 1 500 500 500 126 513 1230 0.69
4 0 5/3 32 1 500 500 500 163 274 1275 0.78
5 1 5/3 32 1 1000 1000 1000 617 299 2449 0.78
6 2 5/3 32 1 500 500 500 163 576 1277 0.78
7 0 1.4 10 000 10 3000 3000 3000 5 280 230 7387 0.81
8 1 1.4 10 000 10 5000 5000 5000 14 374 388 12 245 0.98
9 2 1.4 10 000 10 3000 3000 3000 5 229 992 7405 0.82
10 0 5/3 10 000 10 5000 5000 5000 15 972 028 12 517 0.68
11 1 5/3 10 000 10 10 000 10 000 10 000 62 905 892 24 924 0.70
12 2 5/3 10 000 10 5000 5000 5000 15 834 265 12 542 0.71
13 0 1.4 100 000 100 5000 5000 5000 15 082 794 12 391 0.82
14 1 1.4 100 000 100 10 000 10 000 10 000 58 905 997 24 759 0.89
15 2 1.4 100 000 100 5000 5000 5000 14 784487 12 557 0.91
16 0 5/3 100 000 100 10 000 10 000 10 000 63 337 220 25 057 0.65
17 1 5/3 100 000 100 20 000 20 000 20 000 25 0278 685 50140 0.73
18 2 5/3 100 000 100 10 000 10 000 10 000 62 692 898 25 329 0.76
Таблица 2. Результаты расчетов
№ Гз г/ Ар tfM Ам
1 0.993083 1.23739 1.96875 5.381 1.00117 17.863
2 0.999456 0.18186 1.14384 5.369 0.14805 17.923
3 0.999448 0.09130 1.07181 5.381 0.7396 17.925
4 0.992008 1.18582 1.96875 8.209 1.00137 29.467
5 0.999381 0.17329 1.14384 8.190 0.14816 29.559
6 0.999382 0.08698 1.07181 8.208 0.074 29.566
7 0.918998 10.6950 10.999 695.865 10.0117 4217.1
8 0.992163 1.10142 2.04518 694.771 1.03693 4217.6
9 0.993461 0.53068 1.50179 695.929 0.50056 4217.7
10 0.932277 10.30054 10.999 4176.205 10.03012 23161.5
11 0.994395 1.06922 2.04585 4172.402 1.03799 23165.5
12 0.994297 0.51590 1.50179 4176.440 0.45187 23164.1
13 0.175415 104.60003 100.999 17 738.467 100.0113 118 928.6
14 0.926545 4.91011 5.72981 17 709.787 4.7292 118 932.2
15 0.921478 2.03397 2.91906 17741.717 1.9132 118 933.2
16 0.351232 101.74846 100.999 194 035.105 100.007 1 121980.7
17 0.940517 4.81978 5.72981 193 924.981 4.7259 1 121995.8
18 0.935584 1.99381 2.91906 194 042.944 1.5656 1 121998.5
г3 — координата старта поршня в момент времени Ьв = 0 (время старта — одно для всех вариантов) и (tf, rf) — точка финиша траектории поршня, сжимающего газ из покоя в покой, а Ар — работа поршня по сжатию; — фпнадьный момент сжатия и Ам — работа поршня в конфигурации Мнзеса, взяты из работ [9-11]),
Необходимо отметить, что траектория сжимающего поршня при построении в обратном направлении изменения времени из точки (tf, rf) "целится" в точку (0,1), но из-за погрешности вычислений попадает в некоторую точку (0, г3) при значении г3, отличном от 1, Однако получаемые значения г3 таковы, что для рассчитанной траектории ежит
меныпе 1 %. Выводы
1, При расчетах нигде не возникло пересечений характеристик одного семейства, что говорит об отсутствии ударных волн в полученных течениях сжатия. Следовательно, можно считать решенной численно задачу о безударном сжатии газа в требуемой конфигурации,
2, В дискретном виде получена траектория движения сжимающего поршня, реализующего требуемое сжатие из покоя в покой, и тем самым получены рекомендации
на и находится из простого аналитического выражения,
3, Расчеты показали, что на сжатие из покоя в покой требуется выполнить работу сжимающего поршня примерно в три раза меньше, чем при сжатии по конфигурации Мизеса, Меньшая величина работы объясняется тем, что в конфигурации сжатия из покоя в покой работа тратится только на сжатие, тогда как в конфигурации Мизеса — на сжатие и разгон газа (в финальный момент сжатия газ движется). При этом сжатие из покоя в покой проходит за большее время: больше примерно на 20 %, чем
при сжатии по конфигурации Мизеса, Общее время сжатия сопоставимо со временем
С+
ся газе. Время сжатия из покоя в покой больше, чем время сжатия по конфигурации Мизеса, потому что при втором сжатии момент времени получения итогового сжатия приходится на время прихода звуковой характеристики, отделяющей первоначально покоящийся газ от течений сжатия, А в первом случае сжатия момент времени получения итогового сжатия наступает после прихода звуковой характеристики, отделяющей первоначально покоящийся газ от течений сжатия,
4, Работа, затрачиваемая на сжатие, не зависит от вида симметрии течений (одинакова во всех трех случаях), что дает возможность при проведении практических экспериментов выбирать вид симметрии течений, наиболее удобный с точки зрения реализации практической физической установки,
5, Так как основное время сжатия занимает пробег характеристики по первоначально покоящемуся несжатому газу, а также в силу произвольности выбора плотности первоначально несжатого газа (в расчетах его плотность принималась за единицу) можно провести серию сжатий (из покоя в покой, затем из вновь полученного покоя в другой покой и т.д., все время увеличивая плотность), тем самым увеличив время, требуемое на сжатие (т.е. сделать сжатие медленней). Но тогда возникнет необходимость в нескольких циклах сжатия, что может привести к усложнению физического эксперимента.
6, В заключение отметим, что описанный выше счет проводился в обратном направлении изменения времени (построение как самой характеристической сетки, так и траектории движения сжимающего поршня). Такой прием позволил получить ответ на вопрос о наличии в газе безударных течений сжатия и восстановить траекторию поршня, реализующего требуемое сжатие. Однако для физических экспериментов может быть важнее численное построение математического эксперимента по сжатию газа из покоя в покой в прямом направлении изменения времени при уже известном численном законе движения сжимающего поршня.
Список литературы
[1] Долголева Г.В., Забродин A.B. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия. М.: Физматлит; 2004: 72.
[2] Патент 2432627, Российская Федерация, МПК G21B 1/19(2006.01). Мишень для получения термоядерных реакций / Баутин С.П. Заявка 2010113417/07 от 06.04.2010. Опубликовано 27.10.2011. Бюллетень Ш 30.
[3] Крайко А.Н. Вариационная задача об одномерном изэнтропическом сжатии идеального газа. Прикладная математика и механика. 1993; 57(5):35-51.
[4] Баутин С.П. Математическое моделирование сильного сжатия газа. Новосибирск: Наука; 2007: 312.
[5] Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука; 1978: 687.
[6] Николаев Ю.В. Численное решение задачи А.Н. Крайко. Вычислительные технологии. 2005; 10( 1) :90—102.
[7] Николаев Ю.В. О численном решении задачи безударного сильного сжатия одномерных слоев газа. Вычислительные технологии. 2001; 6(2):104—109.
[8] Баутин С.П., Николаев Ю.В. Об одном методе расчета безударного сильного сжатия одномерных слоев газа. Вычислительные технологии. 2000; 5( 1):3 12.
[9] Новаковский Н.С. Аналитическое и численное представление звуковых характеристик обобщенной центрированной волны. Математические структуры и моделирование. 2017; 2(42):94-104.
[10] Новаковский Н.С. Комбинированный метод расчета безударного сильного сжатия одномерных слоев газа в конфигурации Р. Мизеса. Математические структуры и моделирование. 2017; 1(41):92—101.
[11] Новаковский Н.С. Математическое моделирование сильного сжатия одномерных слоев газа в конфигурации Р. Мизеса. Математические структуры и моделирование. 2016; 3(39):93-109.
[12] Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. лит.; 1961: 588.
Вычислительные технологии, 2020, том 25, № 5, с. 55-65. © ФИЦ ИВТ, 2020 ISSN 1560-7534
Computational Technologies, 2020, vol. 25, no. 5, pp. 55-65. © FRC ICT, 2020 elSSN 2313-691X
COMPUTATIONAL TECHNOLOGIES
DOI: 10.25743/ICT.2020.25.5.005
Numerical solution of the problem of the gas compression from rest to rest
Bautin Sergey P.*, Nikolaev Iurji V.
Snezhinsk Institute of Physics and Technology National Research Nuclear University "MEPhI", Snezhinsk,
Russia
*
Received April 22, 2020, revised June 24, 2020, accepted August 3, 2020
Abstract
There is a flat, cylindrical or spherical layer homogeneous polvtropic gas. One-dimensional and isentropic flows described by solutions of a system of gas dynamics. Let the gas be homogeneous at the initial moment of time with the density 1, and the gas velocity equal to 0 (state 1). At the final point in time the gas is again homogeneous with density large then 0 and rests (state 2). Purpose: It is need to find the gas flows that occur when a one-dimensional gas layer is shock-free compressed from the state 1 to the state 2.
Methodology. In fl] was prove the existence of a solution to the problem of compression from rest to rest. To do this, the task is reduced to three initial boundary value problems. For this task the existence and uniqueness theorems of the solution are proved. In the proof of the theorems in particular, it is found that the solution has a feature on the compression piston in the final moment of compression, which at the point itself is described by the centered formula Riemann waves, and in its vicinity a generalization of the centered Riemann wave. Thus in theorems received a positive answer to the question about the existence of a solution (it can be written out in the form of an infinite series) in some area. However, theorems was not give answer about size of the solution area: no specific mass and density values were specified gas that can be compressed in the appropriate shock-free manner. In [2], the problem was solved numerically for the case of shock-free compression one-dimensional gas layer when the compression piston moves from the outside towards the axis or center symmetries.
Findings. In the current work, the problem is numerically solved for the case of compression by a moving piston from inside to external stationary wall. The solution is obtained using its known properties and the method of characteristics. When numerical constructing there were no intersections of characteristics of the same family, which allows us to assert that the absence of shock waves in compression-induced flows. For specific mass values and the gas density trajectory of the compression piston was obtained in the form of table dependencies.
Keywords: shock-free compressed of the gas, method of characteristics, one-dimensional flow. Citation: Bautin S.P., Nikolaev I.V. Numerical solution of the problem of the gas compression from rest to rest. Computational Technologies. 2020; 25(5):55-65. D01:10.25743/ICT.2020.25.5.005. (In Russ.)
References
1. Dolgoleva G.V., Zabrodin A.V. Kumulyatsiya energii v sloistykh sistemakh i realizatsiya bezudarnogo szhatiya [Cumulation of energy in layered systems and implementation of shock-free compression]. Moscow: Fizmatlit; 2004: 72. (In Russ.)
2. Invention RU 2432627, Int. CI G21B 1/19(2006.01). Mishen' dlya polucheniya termoyadernykh reaktsiy [Target for producing thermonuclear reactions] / Bautin S.P. Application 2010113417/07 from 06.04.2010. Publication 27.10.2011. Bulletin No. 30. (In Russ.)
3. Krayko A.N. Variational problem of the one-dimensional isentropic compression of an ideal gas. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1993; 57(5):35-51. (In Russ.)
4. Bautin S.P. Matematicheskoe modelirovanie sil'nogo szhatiya gaza [Mathematical Modelling of Strong Gas Compression]. Novosibirsk: Nauka; 2007: 312. (In Russ.)
5. Rozhdestvenskiiy B.L., Yanenko N.N. Sistemy kvazilineynykh uravneniy i ikh prilozheniya k gazovoy dinamike [Systems of quasilinear equations and their applications to gas dynamics]. Moscow: Nauka; 1978: 687. (In Russ.)
6. Nikolaev Yu.V. About numerical solution of A.N. Kraiko problem. Computational Technologies. 2005; 10(1):90-102. (In Russ.)
7. Nikolaev Yu.V. On numerical solution of the problem on shock-free compression of one-dimensional gas layers. Computational Technologies. 2001; 6(2):104-109. (In Russ.)
8. Bautin S.P., Nikolaev Yu.V. A method for calculating shockless powerful compression of unidimensional gas layers. Computational Technologies. 2000; ">( !):.''> 12. (In Russ.)
9. Novakovskiy N.S. Analytical and numerical reconstruction of generalized central compression wave's sound characteristics. Mathematical Structures and Modeling. 2017; 2(42):94-104. (In Russ.)
10. Novakovskiy N.S. The combined numerical method for solving the one-dimensional ideal gas shock-free strong compression problem in R. Mises configuration. Mathematical Structures and Modeling. 2017; 1(41):92-101. (In Russ.)
11. Novakovskiy N.S. One-dimensional math modeling of ideal gas strong compession in R. Mises configuration. Mathematical Structures and Modeling. 2016; 3(89):93-109. (In Russ.)
12. Mises R. Matematicheskaya teoriya techeniy szhimaemoy zhidkosti [Mathematical theory of flows of compressible fluid]. Moscow: Izdatel'stvo inostrannoy literatury; 1961: 588. (In Russ.)
