CC BY
149
The practical aspects of calibration flat resistance thermometers designed, in particular, to record the temperature, various elements of technological systems are considered. Paid considerable attention to the leveling of the apparatus, and the temperature characteristics of working with him.
Key words: measurement, error, temperature, calibration, thermo-meter resistance characteristics.
Malikov Andrey Andreevich, doctor of tehnical sciences, professor, head of chair andrej-malikov@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Sidorkin Andrey Victrovich, candidate of tehnical sciences, research engineer, alan-a@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.3
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОНТАКТА АВИАЦИОННОЙ ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ШИНЫ С ПОВЕРХНОСТЬЮ ВЗЛЕТНО-ПОСАДОЧНОЙ ПОЛОСЫ
С.Е. Богословский, Н.Н. Курдюмов
В двумерной постановке проведено конечно-элементное моделирование авиационной пневматической шины. Произведен анализ нагружения шины внутренним давлением (наддув) и последующего её обжатия от веса транспортного средства. В результате получены эпюры распределения контактного давления по радиальной координате пятна контакта для разных величин обжатий пневматической шины. В результате расчета получена величина нормальной (вертикальной компоненты) нагрузки, действующей через пятно контакта на транспортное средство, и проведено сравнение полученных усилий на узлы установки шины по величине обжатия колеса с результатами натурных испытаний.
Ключевые слова: контактное взаимодействие, пневматическая шина, метод конечных элементов, моделирование, двумерная постановка.
Конструкция и методы расчета пневматических шин. Рассматривается авиационная пневматическая шина. Основными элементами её конструкции являются каркас 1, брекер 2, протектор 3, борт 4 (рис. 1) [1].
Усиленный многослойный каркас 1 авиационной бескамерной шины формируется системой нескольких пар перекрестно армированных ре-зинокордных слоев (из корда анид) на основе волокон с переменным углом армирования, изменяющимся по меридиану. Резинокордные слои аналогичной перекрестной, но менее плотной структуры формируют брекер шины 2. Протектор 3 (слоистая структура, армированная кордом) представляет собой слой устойчивой к истиранию резины. Борт шины 4 сложной конструкции передает нагрузки на обод колеса.
138
Рассматриваемая бескамерная шина имеет следующие эксплуатационные характеристики:
- стояночная нагрузка, кН (кгс) 132,43 (13500) / 147,15 (15000) / 166,77 (17000);
- рабочее давление, МПа (кгс/мм2) 1,373 (0,14) / 1,619 (0,165) / 1,864 (0,19).
Конструктивные характеристики шины: диаметр наружный 992 (± 10) мм, ширина профиля 320 (± 8) мм. Основные слои каркаса - 18 слоёв. Разреженные слои каркаса - 2 слоя. Рисунок протектора - продольные канавки. Борт состоит из трёх колец, ширина борта 78 (± 6) мм. Масса шины 66 (± 4) кг.
Рис. 1. Сечение авиационной шины: 1 - каркас (основные слои);
2 - брекер; 3 - протектор; 4 - борт; 5 - разреженные слои каркаса,
герметизирующий слой
За последние 50 лет были развиты различные типы математических моделей пневматических шин. Каждая из моделей предназначалась для особой узкоспецифической задачи. В зависимости от области применения и целей работ модели различаются по уровню сложности и точности. При составлении моделей для снижения сложности задач всегда использовались различные приближения и аппроксимации. [2]
Существующие модели шин можно разнести по четырём категориям. Первые - построенные только по экспериментальным данным, в которых приближение к натуральному полному масштабу для результатов испытаний шин достигается посредством подбора уравнения, наилучшим образом описывающего взаимосвязь между несколькими переменными.
Вторая категория - модели шин, в основе построения которых лежит метод подобия, основанный на искажении, изменении масштаба задачи и на комбинировании основных характеристик. Третья категория - простые физические модели шин, в которых используется простейшее механическое представление, по возможности наиболее близко повторяющее аналитическое решение. Четвертая категория моделей шин физически наиболее сложная; шина изображается в мельчайших подробностях, с высокой степенью детализации; применяется компьютерное моделирование с использованием метода конечного элемента (МКЭ) [2].
Согласно принятым номерам модели шин от первой к четвёртой категории изменяются в сторону уменьшения доли в их основании экспериментальной составляющей и с нарастанием теоретической части, описывающей физическую структуру шины [2].
До того, как МКЭ и пакеты прикладных программ (ППП) на его основе получили достаточное для решения прикладных задач развитие, разрабатывались почти исключительно приближенные двумерные оболочеч-ные модели шин. Наиболее полный анализ моделей диагональных шин на базе классических теорий оболочек был проведен в работе Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [1].
Дальнейшее уточнение моделей шин связано с описанием контактного взаимодействия и динамического напряженно-деформированного состояния [3, 4].
Ряд авторов предпринял попытки решения в трехмерной постановке задачи нелинейной теории упругости. Так, радиальная шина рассматривалась в работе [5], причем беговая часть шины описана трехмерной КЭ-моделью, а боковина - на основе теории слоистых анизотропных оболочек Тимошенко [6].
В целом практически значимые модели диагональных шин (по принятой классификации принадлежащие к четвертой категории) можно разделить на два основных класса: приближенные двумерные модели и трехмерные модели, реализуемые численно с использованием МКЭ. Данные модели нацелены на более детальный анализ шины. МКЭ начал применяться к расчету шин с 80-х гг. XX в. Помимо обеспечения точной формулировки трехмерной задачи геометрически и физически нелинейной теории упругости, КЭ-решение позволяет вычислить поля напряжений в каркасе, напряжения на границе раздела «протектор-брекер», «брекер-каркас» и т. п. Особо важным для приложений представляется аккуратное вычисление контактного давления в области взаимодействия колеса с дорожным покрытием, что необходимо для вычисления сил трения скольжения и момента трения верчения в области контакта при различных условиях качения колеса [2].
Из последних исследований в данной области, проводимых с использованием МКЭ, можно выделить работы [7, 8].
Конечно-элементное моделирование. В данной работе в двумерной постановке задачи проведено конечно-элементное моделирование пневматической шины в ППП MSC/Nastran [9] и Simulia/Abaqus [10]. В работе проводится анализ для случаев нагружения шины внутренним давлением (наддув) и для последующего её обжатия от веса транспортного средства.
Моделирование гиперупругих (резиноподобных) материалов в рамках модели Муни - Ривлина, проводится через физические константы, отвечающие за формоизменения гиперупругой резиноподобной среды (коэффициенты сю = С01), и соответствующие энергии изменения объема (коэффициент объемного деформирования d{).
В модели Муни - Ривлина форма потенциальной энергии деформирования имеет вид [10]
1 2
U = С10 (7i - 3) + coi (/2 - 3) + -J -1) ,
где U - потенциальная энергия деформации в единицу объёма; Сю, Сц, di - параметры материала (зависящие в общем случае от температуры); /i и /2 - первый и второй инварианты девиатора деформаций, определяемые
как /1 =l1 +12 +1з2 и /2 = 1 2)+1( 2)+1( 2), где девиаторы удлинений l = J( 131; J - общий объёмный коэффициент; Jel - упругий объёмный коэффициент; 1 - главные удлинения.
Начальный модуль сдвига и модуль объёмной упругости (модуль объёмного сжатия) задаются соответственно как mo = 2 (сю + С01), ^0 = 2/ d1.
Для моделирования гиперупругих материалов в ППП необходимо задавать коэффициенты сю, С01 и d1. В данной работе величины коэффициентов имеют следующие значения: сю = С01 = 0,01 кгс/мм , d1 = 0,005 кгс/мм2.
Составленная расчетная КЭ-сетка для шины содержит в себе 19748 КЭ типа Quad 4 (4 - х узловые параллелограммы), 20386 узлов.
Посадка шины на барабан колеса моделируется однородным краевым условием Uj = 0, i = 1,2,3. Все узлы шины закреплены в направлении продольной оси Х качения пневматика (из плоскости сечения). Распределение нагрузки, имитирующей наддув, проводится по нормалям к свободным граням внутренних КЭ гермослоя. Рассмотрены три случая рабочего
давления наддува (каждый из которых соответствует определенному
22
весу транспортного средства): 1) 0,14 кгс/мм ; 2) 0,165 кгс/мм ; 3) 0,19 кгс/мм2.
Вертикальная нагрузка на колесо задается через смещение по оси Y (от 0 до 40 мм) смоделированного участка дороги, находящегося в контакте с КЭ-моделью шины, т. о. моделируется обжатие пневматика. Узлы КЭ, имитирующие дорогу, закрепляются по перемещениям в направлениях осей X, Z. Общий вид КЭ-модели шины с участком дороги с приложенными нагрузками и закреплением представлен на рис. 2.
Для разрешения контактной задачи используется решатель Abaqus /Standard [10]. В Simulia/Abaqus задаётся контакт типа «узлы - поверхность»; в качестве главной поверхности принимается поверхность дорожного полотна; в качестве подчиненных указываются узлы на КЭ по внешнему контуру протектора исследуемого сечения шины. В свойствах созданного контактного взаимодействия в первом приближении принимается коэффициент трения, близкий к нулю.
Рис. 2. Simulia.Abaqus. КЭМ-шины с участком дороги: нагрузка и закрепление (шина показана без наддува)
После проведения анализа в САЕ-системе Simulia/Abaqus производились замеры диаметра пятна контакта с указанием количества узлов сечения шины, вошедших в контакт, а также проводился анализ максимальных значений величин давлений в контакте для различных вариантов обжатий пневматика (табл. 1).
При допущении кругового пятна контакта пересчет нормальной (вертикальной компоненты) нагрузки, действующей через пятно контакта на ось колеса, производился по формуле
2рЯ 2р Я
N = | р(г0)й¥ = | | р(г)гс1гс10 = | йв\ р(г)Ыг =
¥ 0 0 0 0 (1) Я ( )
= 2р | р(гг)гйг
0
где г, 0 - полярные координаты, радиус и угол соответственно; ¥ - площадь круга пятна контакта в полярной с. к.; р(г,0) - контактное давление по узлам КЭ-сетки сечения шины, в нашем случае, р(г), р Ф р(0), т. е. давление изменяется только по радиусу; Я - радиус пятна контакта в полярной с. к.
Таблица 1
Результаты расчета от случая равномерного обжатия пневматика после наддува давлением 0,14 кгс/мм
№ п/п Обжатие пневматика, мм. Диаметр пятна контакта, мм. Количество узлов КЭ-шины, вошедших в контакт Максимальное давление в контакте, кгс/мм2
1 2 50,7688 87 0,0274
2 4 70,4825 121 0,055
3 5 77,3368 133 0,0688
4 8 95,3614 165 0,107
5 12 114,126 199 0,1456
6 16 128,166 225 0,167
7 20 138,667 245 0,172
8 25 151,105 269 0,1597
9 26 153,126 273 0,1554
10 27 155,135 277 0,1507
11 28 157,142 281 0,1598
12 29 160,273 287 0,1725
13 30 161,152 289 0,1856
14 35 171,070 309 0,2604
15 40 179,751 327 0,343
Для обработки данных и расчета величины нормального усилия на ось колеса использовался программный комплекс МАТЬАВ R2010a [11].
В результате обработки данных составлена табл. 2, в которой представлены результаты расчета нормального усилия на ось колеса (на основе данных анализа КЭ-модели) для различных обжатий пневматика, и различных давлений наддува шины.
Таблица 2
Величины нормального усилия на ось колеса
№ п/п Обжатие пневматика, мм Усилие на ось N (наддув давлением 'у 0,14 кгс/мм ), кгс Усилие на ось N(наддув давлением 'у 0,165 кгс/мм ), кгс Усилие на ось N(наддув давлением 'У 0,19 кгс/мм ), кгс
1 2 23,9029 24,6612 25,2068
2 4 77,2059 79,6188 82,0415
3 5 110,2992 113,8387 117,3324
4 8 229,8182 236,6769 243,5699
5 12 437,3946 447,9625 459,1830
6 16 706,5385 721,3940 737,3671
7 20 1047,9 1069,3 1091,4
8 25 1595,0 1627,9 1662,2
9 26 1721,6 1757,9 1794,9
10 27 1853,5 1893,5 1934,4
11 28 1991,1 2035,0 2079,7
12 29 2134,7 2182,3 2231,1
13 30 2282,8 2335,4 2388,7
14 35 3095,0 3176,8 3257,9
15 40 3998,8 4118,4 4236,0
На рис. 3 представлены эпюры распределения контактного давления по радиальной координате пятна контакта для разных величин обжатий пневматической шины.
По результатам расчета усилий на ось колеса от давления в пятне контакта, представленным в табл. 2, составлены графики зависимостей нормального усилия на ось колеса от обжатия пневматика (рис. 4).
На рис. 4 кривые 2, 3, 4 - результат обработки данных КЭМ; кривая 1 - получена экспериментально, непосредственно данные экспериментов обозначены звездами.
Рис. 3. Контактное давление по радиусу пятна контакта пневматика,
2
надутого давлением 0,14 кгс/мм ; для сглаживания использована полиномиальная аппроксимация 11-ой степени
1500.
2000
1500
1000
и
А Н
Си
500
1 точки эксперимента 1 полиномиальная аппроксимация 4-ой степени + 2 (данные из МКЭ)/Кргор наддув 0,14 кгс/мм"2 -2 полиномиальная аппроксимация 9-ой степени • 3 (данные из МКЭ)/Кргор наддув 0,165 кгс/ммЛ2 -3 полиномиальная аппроксимация 9-ой степени О 4 (данные из МКЭ)/Кршр наддув 0,1 9 ктс 'мм 2 -4 полиномиальная аппроксимация 9-ой степени
1
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Обжатие пневматика, мы
Рис. 4. Сравнение усилий на ось колеса авиационного пневматика по величине обжатия для КЭМ от давлений наддува 0,142, 0,165 и 0,19 кгс/мм2 - кривые 2, 3, 4), и эксперимента кривая 1
Геометрические размеры колеса, исследованного в эксперименте: ширина пневматика 290 мм, радиус колеса 420 мм; рабочее давление наддува 1,5 МПа. Аналогичные параметры для шины, исследованной МКЭ: ширина 320 мм, радиус 496 мм; рабочее давление наддува: 1,373 / 1,619 / 1,864 МПа. Эксперимент проводился до величины обжатия 20 мм.
Кривые по данным КЭМ (рис. 4) построены с учетом коэффициентов подобия, связывающих КЭМ и эксперимент:
1,5 4202 2902 _ ,.. , 1,5 4202 2902 *0,14 = тттг-2-2 = 0 643; ^,165 = ТТГ^-2-2 = 0,545;
1,373 49б2 3202 1,619 4962 3202 (2)
1,5 4202 2902 Л „„„
^0,19 = -2-2 = 0,474.
1,864 4962 3202
Выводы
Для различных значений обжатий пневматика для нескольких вариантов давления наддува определен диаметр пятна контакта шины. Определены деформированное состояние шины, радиус пятна контакта в зависимости от увеличения обжатия пневматика. Построены эпюры контактного давления по радиальной координате пятна контакта для всех рассмотренных вариантов обжатий пневматика. На основе собранных данных об уровне контактных давлений и диаметрах пятна контакта для различных обжатий пневматика получены значения вертикальных нагрузок N на ось колеса. По данным о нормальных усилиях на ось колеса с учетом коэффициентов подобия, связывающих исследованную КЭ-модель с экспериментальными данными, составлены графики зависимостей нормального усилия на ось колеса.
Список литературы
1. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988, 287 с.
2. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. Oxford: ButterworthHeinemann. 2006. Ск 2,5. P. 84-89.
3. Ridha R.A. Computation of stress, strains and deformations of tires // Rubber Chemistry and Technology. 1980. Vol. 53. No.4. P. 849 - 902.
4. Франк Ф., Хофферберт В. Механика пневматической шины // Новое в технологии резины. М.: Мир, 1968. С. 208-284.
5. Григолюк Э.И., Носатенко П.Я. Расчет радиальных шин методом конечных элементов. М.: МАМИ, 1984, 25 с. Деп. в ВИНИТИ 11.03.84, № 1527-84.
6. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Численное решение задач статики геометрически нелинейных анизотропных многослойных оболочек вращения // Механика композитных материалов. 1981. № 3. С. 443 - 452.
7. Ghoreishy M.H.R. Finite Element Modelling of the Steady Rolling of a Radial Tyre with Detailed Tread Pattern // Iranian Polymer Journal N 8. 2009. Vol. 18. p. 641-650.
8. Moisescu R., Fratila G. Finite Element Model of Radial Truck Tyre for Analysis of Tyre-Road Contact Stress // U.P.B. Sci. Bull. Iss. 3. 2011. Series D. Vol. 73.
9. MSC. Nastran. Numerical Methods User's Guide.
10. Simulia/Abaqus. User's guide. Dassault systemes simulia corp.
11. SoftLine Corp. MATLAB Simulink & Toolboxes: материалы авторизованного партнера «The Math. Works» Inc. в России, 2009.
Богословский Станислав Евгеньевич, асп., [email protected], Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),
Курдюмов Николай Николаевич, ст. преподаватель, nick. n. kurdyumov@,gmail. com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)
NUMERICAL SOLUTION A PROBLEM OF CONTACT PNEUMATIC TRUCK TIRE
WITH ROAD SURFACE
S.E. Bogoslovskii, N.N. Kurdyumov
In two-dimensional statement of the problem conducted a finite-element modeling (FEM) of pneumatic truck tire. Carried out analysis for loading tire by internal pressure (boost) and for following compression of tire from weight of vehicle. As result of analysis were obtained the diagrams of contact pressure distribution vs. contact spot radial coordinate for different values of compression ofpneumatic tire. Generated recalculation of normal load (vertical component), acting on vehicle through contact spot. Carried out a comparison of forces acting on attachment fittings of tire vs. compression of the pneumatic tire for finite-element model and for full-scale experiments.
Key words: contact mechanics, pneumatic tire, finite-element modeling, two-dimensional statement.
Bogoslovskii Stanislav Evgenyevich, postgraduate, bog [email protected], Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Kurdyumov Nikolay Nikolaevich, senior teacher, nick.n.kurdyumov@,gmail.com, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
