Численное решение в LibreOffice Calc задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №7/2015 ISSN 2410-6070

Для интеграции ЭК в состав систем на базе ФЭС и ВЭУ необходимы дополнительные преобразующие и согласующие устройства силовой электроники, реализующие функции заряда/разряда, контроля и управления. В системах, имеющих подключение к сети, ГН должны быть дополнены устройствами согласования с сетью.

Тем самым при формировании ГН на основе ЭК и АКБ для ветро-солнечных установок актуальной задачей становится разработка зарядно-разрядных устройств с обоснованием параметров и режимов их работы. При этом необходимо, чтобы разрабатываемые устройства обеспечивали оптимальные режимы заряда/разряда ЭК и их взаимодействие с другими компонентами системы, сетью и потребителем.

В дополнение к вышесказанному отметим, что ЭК находят применение в составе сетевых накопителей энергии (СНЭ), например, совместно со свинцово-кислотными аккумуляторами (LA&DL-CAP) в «умных сетях». Список использованной литературы:

1. Тарасенко А.Б., Попель О.С. Накопители энергии для возобновляемой энергетики - проблемы и перспективы // Материалы Первого Международного форума «Возобновляемая энергетика. Пути повышения энергетической и экономической эффективности REENFOR-2013». 22-23 октября 2013 г. / Под ред. д.т.н. О.С. Попеля - Москва: ОИВТ РАН. 2013. - С. 345-347.

2. Козюков Д.А. Применение ионисторов в установках на основе возобновляемых источников энергии /

Актуальные проблемы технических наук: сборник статей Международной научно-практической

конференции (10 июня 2015 г., г. Уфа). - Уфа: АЭТЕРНА, 2015. - С. 84-86.

3. Barton J.P., Infield D.G. Energy storage and its use with intermittent renewable energy // IEEE Transactions on Energy Conversion. 2004. V. 19. N 2. P. 441-448.

4. Ю.М. Вольфкович, Т.М. Сердюк. Электрохимическая энергетика. 2001. Т.1. №4. - С.14-28.

© Д.А. Козюков, 2015

УДК 004.912

Е. М. Кондратьев

к. т. н., доцент Институт высоких технологий Московский государственный университет информационных технологий, радиотехники и

электроники Г. Москва, Российская Федерация

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ В LIBREOFFICE CALC ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Аннотация

Цель настоящей работы - реализация в электронных таблицах LibreOffice Calc метода Эйлера и метода Рунге - Кутты 4-го порядка при численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. На примере продемонстрирована работа созданного средства, которое доступно обычному пользователю персонального компьютера.

Ключевые слова

LibreOffice, Calc, системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, задача Коши, численные методы, метод Эйлера, метод Рунге - Кутты 4-го порядка.

Для численного решения на персональном компьютере любой математической задачи в настоящее время широко используются различные пакеты математических программ, например, Matcad, MATLAB, Maple, Mathematica, которые требуют серьезной подготовки для работы с ними и являются коммерческими продуктами.

Многие численные методы можно доступно осуществить в электронных таблицах Calc, которые входят в состав свободного программного обеспечения (СПО) LibreOffice The Document Foundation. Навыки работы в Calc легко и быстро усваиваются, а переход на СПО в федеральных бюджетных учреждениях определен планом, утвержденным распоряжением Правительства РФ от 17 декабря 2010 г. № 2299-р [1].

35

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №7/2015 ISSN 2410-6070

Примеры таких реализаций приведены в работах [2, с. 10; 3, с. 53; 4, с. 251; 5, с. 21, 6, с. 39; 7, с. 30]. В данной статье рассматривается построение в Calc численного решения методом Эйлера и методом Рунге - Кутты 4го порядка задачи Коши для случая систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Реализация была выполнена в многоязыковом свободном офисном пакете программ LibreOffice The Document Foundation версии 4.4.3.2 под Windows (рис. 1).

Рисунок 1 - О LibreOffice Пусть дана система из двух уравнений [8, с. 144]

' У = f (x, У, z),

1 z = f (x, y, z) (1)

относительно неизвестных функций у и z от переменной х. Решением её на некотором конечном или бесконечном промежутке Хс R называется пара непрерывно дифференцируемых на X функций у = ф(х), z = у(х), которые при подстановке в систему превращают уравнения в тождества на X.

Задача Коши для системы (1) заключается в поиске таких решений ф и у, которые удовлетворяют начальным условиям:

ф(хо) = Уо, у(хо) = zo. (2)

Будем считать, что в достаточно большой окрестности начальных данных выполнены условия существования и единственности решения задачи Коши, а также необходимые для вывода вычислительных формул свойства функцийf иf - непрерывность всех их частных производных первого и второго порядка. В этом случае гарантируется непрерывность первой и второй производных функций ф и у.

Численное решение задачи Коши ищется в виде двух таблично заданных функций у = у(х) и z = z(x), определенных на одном и том же множестве точек Xi = хо + ih (i = 0, 1, 2, ..., п). Начальными данными этих таблиц являются хо, уо и хо, zo соответственно.

Пусть дана следующая система из двух дифференциальных уравнений:

f У' = У + z

{ z' = 2xy (3)

и начальные условия:

У(о) = 1, z^) = 2. (4)

Будем строить приближенное решение задачи Коши (3), (4) на отрезке [о, 1] с шагом h = о,1.

Метод Эйлера. Алгоритм метода Эйлера состоит из последовательных вычислений по формулам

У! + 1 = y, + hf (Xi, yi, zi), (5)

z i + 1 = z, + h f (Xi, yi, zi)

для i = о, 1, 2, ..., п - 1. (6)

Метод Эйлера легко реализуется в электронных таблицах Calc. Идея использования электронных таблиц Calc в циклических алгоритмах заключается в возможности одновременных вычислений в ячейках, с

36

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №7/2015 ISSN 2410-6070

введенными в них формулами и расположенными на одной строке, путем выделения этих ячеек и последующим движением маркера заполнения вниз листа.

Из стартового окна LibreOffice (рис. 2) на боковой панели в блоке Создать: выберем пункт Таблицу Calc.

Рисунок 2 - Стартовое окно LibreOffice

В столбце А, начиная с ячейки А2, введем начальные данные задачи Коши. Для удобного восприятия начальных данных нужно увеличить ширину столбца А на листе Calc. В первой строке вводится название используемого численного метода.

В ячейки второй строки, начиная с B2, вводятся наименования всех величин, участвующих в расчете, а в ячейки третьей строки вводятся начальные значения величин или формулы для их вычисления. Для численных расчетов по методу Эйлера в нашей схеме используются столбцы с B по H.

В ячейки четвертой строки вводятся числовые значения или формулы для вычислений. Часть ячеек заполняется с помощью маркера заполнения при выделении соответствующих ячеек третьей строки и опускании маркера на четвертую строку. На этом заканчивается этап начального ввода (рис. 2.).

I [ц[ Метод Эйлера_для учебного пособия.ods - LibreOffice Calc I

Файл Правка Вид Вставка Формат Сервис Данные Окно Справка

; В -В'НьлЩ а0Е!|й**1»«|5ИЙ’^'^э’ - ^1Л.1£1*@иу(Я1|0

I © (Liberation Sans |l0 A 42 Д 1 ^ S S = M | 4J в* te а 1С 0=) 0 ■ и - й. - IH.

Z1 & Z - l=2*D4*E4

1 » 1 В I С I 2 J в I F I g

Метод Эйлера для системы ОДУ 1-го порядка

y=y+z

z'=2xy

Гу(0>=1

z(.9>=2

Рисунок 3 - Заполнение ячеек первых строк

‘zl

& & Xi № Zi t/i Z'i

од 0 о; i 21 3 0

■ 1 1 од! 1,3 2 3,3 0,26

_ i -

Далее ячейки с C4 по H4 выделяются, и маркер заполнения перемещается вниз листа на тринадцатую строку. В результате происходят вычисления по построенному алгоритму приближенного решения задачи

Коши (рис. 4).

4Мп Bll-ртЛ Сдм dimr ц*=™

; ffl • в ■ а лез * в 0 *я л ^

[ О lit"****. 3 1'« d iei * w £ & . * «в ♦ А * “*i

[etHU 3 * Г - ji

' "I * T-" J ——

j_ Метод Эйлера для системы ОДУ 1-го порядка

* у’=у*г hi те у< *1 /| 2'i

з z-гху

4 0,1 1.3 2 3,3 0.20

2 0,2 1,63 2,026 3,056 0,652

3 0,3 1,9956 2,0912 4,0868 1,19736

4 0,4 2,4042a 2,210936 4,615216 1,923424

5 0,5 2,6053016 2.4032704 5,20906 2,8055016

6 0,6 3.3927096 2,68985856 6,08256816 4,07125152

7 0,7 4,00096642 3,09698371 7,09795013 5,60135296

в 0,6 4r7l076l43 3,05711901 8,30788044 7,53721829

9 0,9 5,54754947 4,41084084 9,95839031 9,98558905

ID l 0.5433860 5,40939974 U ,9527882 13.086777

“d

ill™

Рисунок 4 - Вычисления по методу Эйлера

37

международный научный журнал «инновационная наука»

№7/2015

ISSN 2410-6070

Для построения графика приближенного решения у выделим столбцы xi, yi и далее на панели Стандартная щелкаем указателем мышки по кнопке

Диаграмма |. В появившемся первом окне

Мастера диаграмм выбираем Тип диаграммы «XY (разброс)», а в нем - «Линии и точки» (рис. 5). После последовательного прохождения следующих шагов мастера получаем графическое представление результатов расчета и помещаем график на листе Calc после таблицы.

Рисунок 5 - Выбор типа диаграммы

Для построения графика приближенного решения z выделим столбцы xi, zi и далее повторяем все действия, рассмотренные выше.

В результате получаем табличное и графическое представление приближенного решения по методу Эйлера системы (3) с начальными условиями (4) (рис. 6).

Рисунок 6 - Результаты расчетов с графиками

Метод Рунге - Кутты четвертого порядка

Расчет по методу Рунге - Кутты четвертого порядка системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (3) с начальными условиями (4) ведется на ряде последовательных равноотстоящих шагов h по следующим формулам:

h

yi+1 = yi + T(k1i + 2k2i + 2k3i + k4i) , i = 0 1 2 • • • , 6

h

z,+1 =z, + — (l1i + 2l2, + 21 3i + l4i ) , i = 0, 1, 2 ••• ,

6

(7)

(8)

где kii, k2i, k3i, k4i, lii, l2i, l3i, Д - поправки, вычисляемые по формулам:

kii = yi + Zi,

(9)

38

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №7/2015 ISSN 2410-6070

k2i = kii (1+ h), (10)

ksi = kli + hk2i, (11)

k4i = kii + 2hk3i, (12)

hi = 2xyi, (13)

hi = 2(xi + h/2)(y + h/ii/2), (14)

/3i = 2(xi + h/2)(yi + h/2i/2), (15)

/4 = 2(Xi + h)(yi + h/3i). (16)

В таблице Calc создадим новый лист. В столбце А, начиная с ячейки А2, введем начальные данные задачи Коши. Для удобного восприятия начальных данных нужно увеличить ширину столбца А на листе Calc. В первой строке вводится название используемого численного метода.

В ячейки второй строки, начиная с B2, вводятся наименования всех величин, участвующих в расчете, а в ячейки третьей строки вводятся начальные значения величин или формулы для их вычисления. Для численных расчетов по методу Рунге - Кутты четвертого порядка в нашей схеме используются столбцы с B по N.

В ячейки четвертой строки вводятся числовые значения или формулы для вычислений. Часть ячеек заполняется с помощью маркера заполнения при выделении соответствующих ячеек третьей строки и опускании маркера на четвертую строку. На этом заканчивается этап начального ввода (рис. 7).

Далее ячейки с C4 по N4 выделяются, и маркер заполнения перемещается вниз листа на нужную строку (тринадцатую строку для нашего варианта). В результате происходят вычисления по построенному алгоритму приближенного решения задачи Коши.

Рисунок 7 - Заполнение ячеек первых строк

Для построения графиков приближенного решения используется рассмотренная выше методика. Результаты вычислений с построенными графиками приведены на рис. 8.

'Д

о порядка для системы ОДУ 1-го пррядка

_______■" -

3,33-

1,3321:_ 3,34215017 3,67636518 3,70978363 _

3,666;

1,0841075” 2,0100 5017

5Т 5,1036. 0,20201

0,26642 _ 0,4036263 0,40568439 0,54909738,

0,2 1,70207602! 3,75269467 4,12796414 4,16549108 4,58579289 ' 2,05061865- 0,6808304И 0,86805877 0,87273948: 1,073609983!___ ____0,3-_2,11749932 : 4,2553862 6 4,6309237Й[ 4J2347763- 5,200080731 2,13783593 1,27049959 1,52671701 1,53568462 1,81685423

‘‘ 0,4. 2,5Й'Е7047| 4,87999235 5,35799158 5,41679151 '5,9633506V2,29142188- 2,07085638 2,42290196 '2,42874401: 2,53244487 '

05 _3,12878662; 5,66398406 6,23038246 5,2870223 6,92138852; 2,63519843 3,12878562 . 3,6137474- 3,64042029 . 4,19139318

0,6- 3,75578866:' 6,65479556 "7,32027523 >'38682318-' 8,1321603-' 2,899007'4,50694639 5,17547577 5,21893125!' 5,9887545-

Ь/ 4,49247454. 7,91289016 8,70417917. 8,78330807' 9,66965177, 3,42041662 6,28946435 _7,21042163 7,27949343- 8,35267821 “

0 8. 5,36843148,'9,61587997 ' 10,457468 "10,5в2'в268- 11,6284053-' 4,1474435. 8,53949037 9,8554402 9,964130Э'з.”и"45б'72Ь2

0,Э'_6,42183939! 11,5640771 J^2,7204848 12,8361266 14,1313022- 5,14223771 11,56931091 13,2996294 13,4649596: 16,5366707'“

10 1 7,70198_273 \~ 1 14,1879731. 15.60577СУ 15,7486501 _17,33770311 _5,48599037 15,4039655' 17,7915301 13,0422798 20_J13S635-

■ 1 ■ 1 1 1 ■

<3

Метод Рунге • Кутты 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка

Метод Рунге • Кутты 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка

Рисунок 8 - Результаты расчетов с графиками

39

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №7/2015 ISSN 2410-6070

Сравнение полученных результатов с результатами вычислений по методу Эйлера показывает их заметное расхождение. Только при шаге h = 0,01 эти результаты не очень сильно отличаются (табл. 1).

Метод Эйлера очень прост, и его реализация в LibreOffice Calc имеет минимальные затраты ручного ввода на начальном этапе. Однако он редко используется из-за своей невысокой точности. Этот метол в

основном применяют для оценочных расчетов.

Метод Рунге - Кутты четвертого порядка очень широко распространен при численном решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Стандартная схема метода Рунге - Кутты четвертого порядка реализована в популярных математических пакетах: Mathematica, Maple, Mathcad, MATLAB, Maxima. Реализация этого метода в СПО LibreOffice Calc требует уже заметного увеличения затрат ручного ввода на начальном этапе по сравнению с методом Эйлера, но он обеспечивает хорошую точность вычислений даже при крупном шаге h.

Таблица 1

Сравнение методов Эйлера и Рунге - Кутты 4-го порядка

xi h = 0,1 h = 0,01

yi zi yi zi

Метод Эйлера Метод Рунге - Кутты 4-го порядка Метод Эйлера Метод Рунге - Кутты 4-го порядка Метод Эйлера Метод Рунге - Кутты 4-го порядка Метод Эйлера Метод Рунге - Кутты 4-го порядка

0 1,0000 1,0000 2,0000 2,0000 1,0000 1,0000 2,0000 2,0000

0,1 1,3000 1,3321 2,0000 2,0101 1,3141 1,3175 2,0108 2,0119

0,2 1,6300 1,7021 2,0260 2,0506 1,6637 1,6712 2,0539 2,0568

0,3 1,9956 2,1175 2,0912 2,1379 2,0563 2,0692 2,1445 2,1500

0,4 2,4043 2,5886 2,2109 2,2914 2,5024 2,5221 2,3007 2,3101

0,5 2,8658 3,1288 2,4033 2,5352 3,0153 3,0438 2,5442 2,5596

0,6 3,3927 3,7558 2,6899 2,8990 3,6124 3,6522 2,9023 2,9267

0,7 4,0010 4,4925 3,0970 3,4204 4,3159 4,3705 3,4090 3,4467

0,8 4,7108 5,3684 3,6571 4,1474 5,1545 5,2285 4,1078 4,1650

0,9 5,5475 6,4218 4,4108 5,1422 6,1650 6,2647 5,0547 5,1403

1 6,5434 7,7020 5,4094 6,4860 7,3943 7,5283 6,3226 6,4491

Разработанные средства для нахождения в LibreOffice Calc численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка доступны обычному пользователю ПК.

Список использованной литературы:

1. Об утверждении плана перехода федеральных органов исполнительной власти и федеральных бюджетных учреждений на использование свободного программного обеспечения на 2011-2015 г.г. (Электронный ресурс): распоряжение Правительства РФ от 17 декабря 2010 г. N 2299-р. URL: http://base.garant.ru/6746035/ (дата обращения: 15.06.2015).

2. Кондратьев Е.М. Метод Эйлера в Calc: методические указания. М.: Изд-во МГУПИ, 2013. - 16 с.

3. Кондратьев Е.М. Численное интегрирование в Calc // Вестник МГУПИ. Серия «Приборостроение и информационные технологии», № 47. М.: Изд-во МГУПИ, 2013. - С. 53-60.

4. Кондратьев Е.М. Численные методы в Calc // Бюллетень лаборатории математического, естественнонаучного образования и информатизации. Рецензируемый сборник научных трудов. Том V. Воронеж: Научная книга, 2013. - С. 251-257.

5. Кондратьев Е.М. Метод Эйлера - Коши в Calc // Путь науки. - 2014. - № 7 (7). - С. 21-23.

6. Кондратьев Е.М. Метод Рунге - Кутты четвертого порядка в Calc // Путь науки. - 2015. - № 1 (11). - С. 39-42.

7. Кондратьев Е.М. Численное решение в Calc задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков // Путь науки. - 2015. - № 2 (12). - С. 30-35.

8. Исаков В.Б. Численные методы: учебное пособие. М.: Академия, 2003. - 192 с.

© Е.М. Кондратьев, 2015

40