© Л.Ю. Левин, М.А. Семин, A.B. Зайцев, 2013
УДК 622.4
Л.Ю. Левин, М.А. Семин, А.В. Зайцев
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ B РУДНИЧНОЙ АТМОСФЕРЕ И ОКРУЖАЮЩЕМ ПОРОДНОМ МАССИВЕ ДЛЯ СЕТИ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ *
Данное исследование посвящено построению и алгоритмизации сопряженной модели массо- и теплораспределения в рудничном воздухе и прилегающем горном массиве в случае произвольной топологии рудника. Делается анализ механических и тепловых физических процессов, происходящий в руднике. Предлагается эффективный численный алгоритм на подвижных сетках для решения задачи теплопроводности в горном массиве и в вентиляционной сети. Осуществляется аналитическая оценка глубины проникновения тепловых полей в породную толщу в зависимости от расчетного времени, температуропроводности массива, требуемой точности вычислений
Ключевые слова: вентиляция, дифференциальное исчисление, скорость воздуха, депрессия, напорная характеристика, тепловое поле, кондиционирующая установка, математическая модель, микроклиматические параметры, шахтная атмосфера, воздуховод, теплообмен, мощность теплового потока, воздушно-депрессионная съемка, термо-влажностная съемка.
Введение
Теплофизические процессы играют важную роль в формировании рудничного микроклимата. При этом протекание теплофизи-ческих процессов во многом определяется процессами механическими, а именно - полями расходов и давлений рудничного воздуха. В некоторых задачах существенной является и обратная связь - когда поле температур вносит существенный вклад в поля расходов и давлений воздуха - как, например, это имеет место при больших перепадах температур воздуха в стволах и негоризонтальных выработках, что приводит к возникновению тепловых депрессий, меняющих воз-
духораспределение [2].
Помимо этого, теплофизические процессы, протекающие в рудничном воздухе, сильно зависят от термодинамических параметров прилегающего горного массива в силу наличия теплообмена между горным массивом и рудничным воздухом. Концептуальная постановка задачи
Вентиляционная рудничная сеть представляется в виде ориентированного графа, ветвями которого являются прямые или криволинейные отрезки горных выработок, характеризуемые длиной Ь, площадью поперечного сечения 5, аэродинамическим сопротивлением К вследствие шеро-
*Работа выполнена при поддержке Президиума УрО РАН: молодежный научный проект № 13-5-НП-354 «Разработка модели нестационарного сопряженного теплообмена между рудничным воздухом и породным массивом в сети горных выработок глубоких рудников». 176
ховатости стенок, расходом р.
При моделировании процессов массо- и теплопереноса в воздухе принимается ряд гипотез:
1) Течение воздуха в вентиляционной сети считается одномерным;
2) Течение воздуха всюду турбу-лизированно [6];
3) Воздух описывается уравнением состояния совершенного газа [3];
4) Рассматривается только конвективный теплоперенос в рудничном воздухе.
С каждой ветвью графа вентиляционной сети свяжем горный массив - полую цилиндрическую область, окружающую рассматриваемую выработку и имеющую конечную протяженность по толщине (рис. 1).
Рис. 1. Расчетная область
При моделировании процесса теп-лопереноса в горном массиве принимаются следующие упрощения:
1) Массив - квазигомогенная сплошная среда, всюду однородная и изотропная.
2) Горная выработка имеет всюду круговой поперечный профиль.
3) Температурное поле в горном массиве, окружающем данную выработку, никак не связано с темпера-
турными полями в горных массивах, окружающих другие выработки
4) Начальное распределение температур однородно.
5) Рассматривается только диффузионный механизм теплопереноса с эффективным коэффициентом теплопроводности [2].
6) Массив имеет конечную протяженность.
Математическая постановка задачи
Воздухораспределения в рудничной вентиляционной сети определяется путем решения уравнений Кирх-гоффа 1-го и 11-го рода [1]
= 0, к = 1.....Мпос1е, (1)
од2 - Н,^ V 0, I 1 $ дt ) (2)
У=1.-. мс(гс
Здесь Q/, р/ и И/ - расход, плотность и источник тяги (например, вентилятор) в /-й ветви; ^ и Б/ - длина и площадь поперечного сечения /-й ветви; Ак - множество индексов ветвей, входящих в к-й узел, В) - множество индексов ветвей, входящих в у-й независимый контур; - количе-
ство узлов графа, Мс,-гс - количество независимых контуров графа.
Для нахождения поле температур в рудничном воздухе в каждой ветви решается линейное уравнение тепловой конвекции с источником [4]
Ц дГ-+^0^) =д™«+Яь, (3)
где су - удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме, - тепло от теплообмена со стенкой мас-
сива и ц^ - источник тепла техногенного характера (пожар, работа дизельного оборудования).
Внутри области горного массива решается двумерное однородное уравнение теплопроводности
дТ ,
( д 2Т
1 д
—г +--
дг г дг
дг
Л
у
(4)
Здесь р, еу, X - плотность, теплоёмкость и теплопроводность горного массива, г - радиальная и осевая координаты.
Граничные условия
Прежде всего, рассмотрим перенос температуры в сопряжении ветвей в узлах. Пусть узел представляет сопряжение N = + Nо^ ветвей, причем через Njn ветвей воздух поступает в сопряжение, а из ^^ уходит. Из Njn входящих ветвей в единицу времени поступает масса воздуха
(5)
=1
имеющая среднюю температуру
ТрДТ
т=
1=1
1рА
1=1
(6)
которая в дальнейшем задается на входе во все ^^ исходящие ветви.
В сопряжении между горным массивом и рудничным воздухом задается граничное условие !У-рода
дТ
Х-т^ = а(Твозд - Тмас) = дЬ!, дг
(7)
где а - коэффициент теплообмена между рудничным воздухом и горным массивом, Твозд - температура воздуха, X - коэффициент теплопроводности массива.
В данном исследовании для решения системы уравнений (1) - (2) воз-духораспределения использовался метод Андрияшева-Кросса [1].
Для решения уравнения (5) используется численная схема по потоку первого порядка [2, 7] на подвижных сетках. Для дискретизации уравнения теплопроводности (6) также используется подвижная сетка и явная схема ВВЦП [5]
Результаты численного расчета задачи нестационарного сопряженного теплообмена в рудничной сети
Рассмотрим рудничную вентиляционную сеть простейшей топологии, состоящую из двух ветвей общей протяженностью 2000 м. В одной из ветвей температура стенок задается равной Т = 293 К, а в другой - Т = 313 К (см. рис. 4). В одной из ветвей расположен идеальный вентилятор, работающий в штатном режиме, поддерживая в сети скорость воздуха 2 м/сек. Ветви пронумерованы. Порядковый номер «2» относится к ветви, моделирующей подземный участок рудника с температурой массива 313 К.
Приведем результаты численного моделирования теплопереноса в данной сети.
Из рис. 2 видно, что температура стенки массива падает приближенно по закону экспоненты, что хорошо согласуется с опытными представлениями [2, 3].
На рис. 3 приведены результаты расчета теплораспределения для трех случаев:
30 40
Время [сек] (10л3)
Рис. 2 .Временная диаграмма температуры массива на границе с горной выработкой; ветвь Л»2
315
310 --
£ 305 £
о.
£ 300
О)
295 --
290
1 I 1 ,1,1,
1 I 1 1 1
1 "Г
I_ . . \. А 1 __—---1 ---
1 1
1 1 . .. . 1 ......
- ---1- - ----у _ -- ---
I I 1 1 1
- - _1_ ____1 _ --- __1___ ___1___
г ..........[...... ......1.............. ......:.......1....... .......1......:..... ......:.......1.......:......
^.......1 .. . . А . ...... .. . ; . . .1 . .. . . . \ . .. . . . . ..-.. ......
г Т "Г "1
1 1 .:.. .. . ;. .1 . .. I 1
1
■ 1
0
200
400
800
1000
1200
600 Координата
Рис. 3. Результаты расчета задачи тепло- и воздухораспределения, эпюра температуры в ветви № 2: 1 - несопряженный теплообмен, 2 - квазисопряженный теплообмен, 3 - сопряженный теплообмен
• несопряженного теплообмена, когда теплоёмкость массива равна бесконечности;
• квазисопряженного теплообмена, когда горный массив моделируется неявно посредством использования коэффициента нестационарного теплообмена [2];
• сопряженного расчета по алгоритму, описанному в данной работе.
Как видим, даже для достаточно простой задачи теплопереноса в результате расчета (модельное время составляет около суток) наблюдается рассогласование модельных темпера-
тур на величину ~ 2 градусов. Таким образом, можно сделать вывод о том, что отдача массивом тепла и последующее его охлаждение являются важным фактором, во многом определяющим результирующее поле температур в рудничном воздухе.
Заключение
Построена модель несопряженного и сопряженного теплообмена рудничного воздуха и горного массива в сетевой постановке для рудничных вентиляционных сетей произвольной топологии.
1. Андрияшев М.М. Техника расчета водопроводной сети. М.: Советское законодательство, 1932.
2. Воропаев А.Ф. Теория теплообмена рудничного воздуха и горных пород в глубоких шахтах. - М.: Недра, 1966. 219 с.
3. Николаев С.А., Николаева Н.Г., Са-ламатин А.Н. Теплофизика горных пород. -Казань: Изд-во КГУ, 1987. - 151 с.
4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. — Издание 3-е, исправленное и дополненное. — М.: Наука, 1990. — 469 с.
Разработан и отлажен эффективный численный алгоритм на подвижных сетках для решения задачи теплопроводности в горном массиве и в вентиляционной сети.
Сделана аналитическая оценка глубины проникновения тепловых полей в породную толщу в зависимости от расчетного времени, температуропроводности массива, требуемой точности вычислений. Данная оценка использовалась для оптимизации ресурсоёмкости расчета теплопроводности в горном массиве.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Том 2. Методы расчета различных течений. М.: Мир, 1991. - 552 с.
6. Фокс ДА. Гидравлический анализ неустановившегося течения в трубопроводах. М.: Энергоиздат, 1981 г. - 126 с.
7. Courant, R., Isaacson, E., and Rees, M. (1952). «On the Solution of Nonlinear Hyperbolic Differential Equations by Finite Differences», Comm. Pure Appl. Math., 5, 243-255. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -
Левин Лев Юрьевич - зам. директора по научной работе, доктор технических наук, aerolog_lev@mail.ru
Семин Михаил Александрович - аспирант отдела аэрологии и теплофизики; madmechanic@mail.ru
Зайцев Артем Вячеславович - аспирант отдела аэрологии и теплофизики; artzait@rambler.ru
Горный институт Уральского отделения РАН.
А