CC BY
12
№ 10 (79)
AunIve
TEXHI
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
октябрь, 2020 г.
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ, ПОСТАВЛЕННОЕ НА ВЕКТОРНОМ ВОЛНОВОМ УРАВНЕНИИ В ОБЛАСТИ С УГЛОМ
Имомова Шафоат Махмудовна
ст. преподаватель Бухарского государственного университета, Республика Узбекистан, г. Бухара
Исмоилова Махсума Нарзикуловна
ст. преподаватель Бухарского государственного университета, Республика Узбекистан, г. Бухара E-mail: maxsuma. ismoilova@mail. ru
NUMERICAL SOLUTION OF A MIXED PROBLEM, POSED ON A VECTOR WAVE EQUATION IN A DOMAIN WITH AN ANGLE
Shafoat Imomova
Senior Lecturer, Bukhara State University, Uzbekistan, Bukhara
Mahsuma Ismoilova
Senior Lecturer, Bukhara State University, Uzbekistan, Bukhara
АННОТАЦИЯ
Получена априорная оценка в пространстве Соболева решения смешанной задачи для векторного волнового уравнения в угловом пространстве. Получение априорной оценки основана на построении «диссипативного интеграла энергии». В данной статье построена разностная схема для численного решения смешанной задача для волнового уравнения в области с углом, доказывается её устойчивость.
ABSTRACT
An a priori estimate in the Sobolev space of the solution of the mixed problem for the vector wave equation in angular space is obtained. Obtaining an a priori estimate is based on the construction of a "dissipative energy integral". In the article a difference scheme for numerical solution of mixed problem for wave equation in wiz corner is constructed. The difference scheme stability is proved.
Ключевые слова: смешанная задача, матрица, разностная схема, устойчивость, комплекс, вектор, условия Лопатинский.
Keywords: mixed problem, matrix, difference scheme, stability, complex, vector, Lopatinskiy terms.
Математико-физические задачи очень обширны и неразрывно связаны с изучением различных физических, механических, биологических и других процессов. Математико-физические уравнения направлены на изучение трех классических: эллиптических, параболических, гиперболических классов. В тех случаях, когда аналитическое выражение решений математико-физических уравнений найти невозможно, приходится находить их числовые
решения. Для уравнения векторной волны в угловой области, относящейся к типу симметричных Т-гипер-болических уравнений, программа численного решения смешанной задачи используется при изучении задач механики сплошных сред. Рассмотрим следующую задачу: Найти решение уравнение векторной волны
и-иа-и„ = о (1)
Библиографическое описание: Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Численное решение смешанной задачи, поставленное на векторном волновом уравнении в области с углом // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. 10(79). URL: https://7universum. com/ru/tech/archive/item/10828
№ 10 (79)
Aun!
ТЕ)
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
октябрь, 2020 г.
в среде R = {(t, х, y)| t, x, y > 0j удовлетворяющее при x = 0
JU - AUX - BUy = 0 , (t,y)e R+ (2) при y = 0
JU - A2U -B2Uy = 0 , (t, x)e R+ (3)
Для этого произведём замену v = е2 - в системе (5) и напишем в следующей форме:
e'A^ — -
dY d^Y] dY
dt дв
- C0 — + д£
Q — C +—вп 0 2 0 de 0
ел dY jj dY dY eeA--B0--C0— +
^ dt 0 дв 0 de
Q0 -- C
Y = 0 (9) Y = 0 (10)
граничным условиям и
U = Ф( х, y), Ut = W(. х, У), t = 0, (x,y) e R+ (4) начальным условиям.
Здесь J, A, B, J, B ,A ~n -размерные фиксированные комплексные матрицы. В монографии [1] получена априорная оценка решения этих задач. Оценка Априора основана на построении «диссипа-тивного интеграла энергии». В задачах (1)-(4)
7
t > 0, 0 < в < —, % e R' полярные координаты
%,в(х = r cos в, y = r sin в, % = ln r) проходят в области
{Ч Ъ ~ B0 в C0 Q0 } = а t > 0, (в,%)еП (5)
JV + AV - BV = 0, e = -, t > 0, ее R' (6)
Умножаем системы (9) - (10) на матрицу Б = diag (у, у, уъ) слева. Сложим полученные системы и формируем систему:
2eeDA--D
0 dt
dY ^b0y]-db„ dY - 2DC dY+
de
дв
de
(11)
+D
2Q0 - C0 +-JZ B0
de
Y = 0
На
рассматриваемой
области
t> 0,0Я1 построим сетку с соответствующими шагами Д, = Д, Дв = Де, Де = Д по осям ,, в, % .
Введем следующие обозначения:
-; = У (иД,, ¿Дв, ]Д,) =
г
= (У1 (иД,, ¿Дв, }Д( ) , У2 (иД,, ¿Дв, }Д( ) , У3 (иД,, ¿Дв, }Д( )) ,
JV -AV -BV = 0, в = 0, t >0, ее R' (7)
i = 0,I, n, j = 0,1,...
V = Ц (ö,e)} , t = о, (ö,e) e П (8)
1 I w '
|И =AeAeXS ee'(AYjY), L = (1,1,1)
i=0 j=-«
здесь
A0 =
C0 =
Q0 =
(K L M Л L K iN
B0 =
( L K iN Л K L M
VM -iN K y
(M -iN K Л
iN -M L
K L M
ч /
( m 00 Л (v Л
V-iN M -L y
iN 0 0 K 0 0
V=
V2
V V У
^eeUt ^ U в
V e У
Ь, М, # - эрмитовые матрицы, которые их любые элементы связаны с в.
Построим параметрическую разностную схему, аппроксимирующую смешанную задачу (5) - (8) .
Теперь мы построим параметрическое разностное уравнение, которое аппроксимирует уравнение (11):
и уП+1 —У и
D
1B0Y с -(B0Y
+ Di"++1 (B0)i+!
уи+1 уин Yi+1jj - Yij
уи + 1 ^" + 1 уи+1 уи+1
+j (C0 )iY+Y^ + D" (C0 )i Yj+-Y^
(12)
-(1 -a)
D¡-
(B0Y )"+1,-(B0Y);
-D"+1j (B0)i
yn _ уи
+Dj (C0 )i
уи _ у и
Yij+1 Y ij
D"+1 (C0 )i
ии Yij+1 Yij
+D"
2Q0 - C0 +— B0
de
y i" = 0
и = 0, N-1, i = 0,I-1, j = 0,1,2,
-a
№ 10 (79)
AunI
ТЕ)
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
октябрь, 2020 г.
i = 0, |j| = 0,1,2,...da
U )i, - «2 (.У )" - ¿2 (Уз )" = 0, (13)
i = I, Iii = 0,1,2,... da
(y )I, + «1 (У2 )j - Ä (Уз)I = 0, (14)
I = 0, i = 0,1,2,...,I, Hl = 0,1,2,...da
( 1
У =
«'• I (15)
Теорема. Предположим, что выполнено ровное условие Лопатинского. Тогда для сте[0,1] разностная схема (12) -(15) будет устойчив при энергетической норме .^77, здесь
1-1 +■»
7-=ДаЕЕ( а^ , к);.
/=о j=—«
Доказательство.
Вышеперечисленную систему уравнений с правой стороны скалярно умножаем на вектор, который составители состоят из единиц.
D (A)
yi+1+yi ^ (
jJ_V т
д ,L
D+I (Л)
yi+1 I yi
(A),YL-YL,(DL)I + (A.)i (DL)
у v
Л f
у i+1 — yi ^
y-^ ,L
д
yi+1 —yi "N
У v
^ (A>y л;'—д (A>y -T
( \ BY Г — \ BY J" A
(1—CT)D \ 0 Ji+1j \ 0 Jj, L
(1 — *)Di".j \B0l =(1—a)
yi _yi \ y i+1 j y ij
f\BYJLj —\В0У Jj ^
+ (1 — a) 1 — a
yi _ yi yi+1j yij
\ B0y l
i+1, j
д ( B0Y ,Y )i+lJ — ^(b.y ,y )j
дв Ae
(1 — a) Di (C0)
yi _yi
Y+1 Yij , L
Yi, — У
(1 — a) Di+1 \C01 , L
yi _ yi yij+1 yij
= (1 — a) , (C0 ),yj
+ (1 — a) 1 — a
v A ^ yi _ yi
У j+1 Yj v A
\СоУ JJ
i, j+1
D
A, (C0У,Уj—У,У)i
d
Q0 — MC. +— B0 du
Qo — /"C0 +dB0
У ,L J + ( D [Q. — ^C. ]y, L ) = У ,У | + (D Q — ДC0 ]У ,У) =
d
Q. + Q. — 2Re MC(i +— B( du
У, У I
aD
\ B0y Ji+1 —\B0y Ji
aD,+1 [ B0 ]
= a
\ B0y Ji+1 —\B0y Ji
=a( b.Y ,y )i+1, vУ)
+ a
\ B0y \
У — У yi+1 yi £
i+1 д ,
Ae у
Л
У, — У
i+1 ji ii+1, д
i+1 j д
здесь Б = Б", = Бпм и т.д. Получим уравнения:
ij ' i+1 i+1 j
Л f
У — У aDaj-j, L
У — У aD..„Cyj+!-j, L
+10
v "i у v
f V _V \ f
= a
Cn
Y+nI^ y
+ a
СУ
A
+ у
i у Л
j+^ j
0* j+1'
=Aa( c»y ,y )j+1 — A^(c. y,y )i
v ^
ij '
Из этих уравнений получаем соотношения
^^ {(АГ ,Г)"+1 -(АоГ ,Г),+1 - (V ,г),} —
Г )j+I - (СоГ}-^^{(ВоГ, 7)+ -(Бо7 Г), }-- ^{(С/,7 ).+1 -(Со7 7).}+
Q. + Q. — C. +—B.
dU
У У | = о
'а
Эту соотношению умножаем на Д^, ^ и сложим по 1 от 0 до I -1 и по . от -то до +». Введя обозначение
2 I . _
г+Чд =Ае-А,-ХХ ¿'{ЛУГ, УГ ) и
принимая
i=0 j=—«
+
+
№ 10 (79)
AunIve
TEXHI
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
октябрь, 2020 г.
во внимание вЦ^-1» ||Y|| = (Y,Y)2 ^ 0 получим уравнение
А из этого получим соотношение
\\u"
¿V
ГЕ-llYt ^v^ftw^-(wk}+ .^jj jr j(u ,и )j +(u„u, ); +(Ux U); +u u )j}
/=1
+A,• WXX
¡=0 j=-«
Q0 + 00 -2ReßC0- — B0 ав
Y,Y I hi
Это полностью доказывает теорему. В статье показано приближенное решение смешанной задачи поставленного векторного волнового уравнения на угловом пространстве.
На основе [2] можно доказать неравенство:
(AYYY)j > 0, e1 (A Y, Y)j+1 > 0, -c(B0Y,Y); > 0, c(B0Y,Y)j > 0, c(B0Y,Y)"o j > 0, (1 -с)(B0Y,Y); .> 0
Список литературы:
1. Блохин А.М., Ткачев Д.Л. Смешанная задача для волнового уравнения в координатных областях. Получение априорных оценок для смешанных задач для многомерного волнового уравнения. // Вычислительные технологии. Т.1, № 1,2. 1996, с.13-37, 26-46.
2. Бердиева С.М., Имомова Ш.М. Использование инновационных технологий на уроках информатики// Наука, техника и образование. 2018.10 (51).С. 28-31.
3. Бердиева С.М., Имомова Ш.М. Построение двухмерных графиков на уроках информатики средствами Excel // ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ. 2017. № 12(30).
4. Исроилов М.И. Х,исоблаш усуллари. 1-кисм.-Тошкент, Узбекистон нашриёти, 2003.
5. Исмоилова М.Н., Имомова Ш.М. Интерполяция функции // ВЕСТНИК НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ 2020. № 3(81). Часть 3. С. 5.
6. Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Вычисление наибольшего собственного значения матрицы и соответствующего ей собственного вектора в среде Mathcad// ACADEMY. 2020. № 6(57). C9.
7. Худойберганов М.У. Устойчивость разностных схем для векторного волнового уравнения. // Труды Международной научной конференции. Дифф. урав. частными производными и родственные проблемы анализа и информатики. -Ташкент. 2004, с. 305-308.
2
W.
