CC BY
17
УДК 519.6+536
Численноерешениеоднойзадачи фильтрации жидкости в вязкоупругойпористо й среде
P.A. Вирц^А.А.Папи^^.А.Вайгант2
1Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия) 2Боннский университет (Бонн, Германия)
NumericalSolotion ofaProblem bf Fluid Filtration in aViscoelastic PoaousMedium
R.A.VittS,A.A. PapmVW.A. Weigant2
1Altai State University (Barnaul, Russia) 2Bonn nniveraIy(Bonn,G ermany)
Рассматривается мсдель филкфациивпекоц весжа-Агемой жввкопти в дыПораиру^вгозпе^ариитойиреви. Пющсс сгру^тыс^1^1вр можетбыеь описоншистемый, со-втоящем тиое;^аине]^]^]иегвыонеиуи^исв^^ для повера втвердтйфаз,уакогс фарси, летлoгилеcuoшcooтюм-шепип д^япт^зыст^й сутй:^1иза^с^о^с1ас^од^с^1^емия баиаю-
треда облад автиеызкими и ешругимисеай етвампУ од-иомертомелвыае оевыеход ir петеменньшЛагцанжа по-иг^рдыт^^е(^тиитуувм;пю систему оп^двляющив^ув-ныний шсюстомедвух уфгевенийуув эффвкуипюото вывленивм ирригцоетиошответстотоп^с^.Цет^^ю рабя-тыводуется числендоеетследовоние уыльно-д^евой зедачо.В прнктеlдaныпrттaнoеIИзв дачи иrpаткийоиыдo oитepaе;2гuтIПоlЫУзыим и дааной вемекааттам. ]Bыанпт2 2пyоеодутcяп]2еoрртзтвырue уcхай^пн еисттмы yp^^m^, о пeзпльтaтукc>тоеюcо
ыратuснуеыropoгппррлрлo иоо веео1^а1вяе^е^^ иура^^у^^у^е пмртого йыдедьы в^)Iянр-.истости.1 пнuьзyопpeдоoжупaцгopитмниcyoньотo ^еерая начаыт1го-ырыевой(адачи. Длuчиcлeнuoй ру-елиnaципиcпc>увIпеcrлyюлнocтнaвcxeмв доя^авно-вио теылопрооодпссми с пртекй пеетыки eP2Фnрuнгe-^ютывео0!! порядка аппроксимации.
Ключевыесловопорузроскь, фольтоаокя.пороупрп-ьость,зскон .
Thepaper considepa modd forfiltering a viscous incompres sibleflu i dinade form abbaped)^ medium. The fiiteaefon paer^om can beaescribed Op a systern ee nbai^i^ga f aeaseconse rvallon equatio nafs^oPch^dbdd tbCd phtees, DatcyP laeorPeolbaical l^^tbtionfdeopoeous fbnservaeeoporbalpncedffo rtec. Tdippaper tes umcrlpU: thaqcd^ocia^i^i^c ms dfhm htceotC vlscoue eniselastic prc^f^i^c^l^ler. Intheone-dimensidnal eesr, thefdtr^^ltiee tanagranptvariablre aHows uo qa pcdurc ue e inCtidcsy^^e ma f ge>verning eppatidds tdíeuystemba twpaq^u^t^c^nr foa effectiehpretyurr nod jereo^ty, resjerettnety. The c[mof tlae \i^(^rlcpanumerieal etudy op the emorgmq imtial-pdbndfcnvolue probkm. Parageapn s gh^es tpe statement of Ae prodlemand e bcreo tc^^^wofrd^e htetatoe sn \rosh^ c]psreo ate todtr.enpacagcrph ^the initia^yrtem o^quations d tranffoemtd,asareru hof Khieha s econd-opdeere^ntien forrffecWve jtresspreano tlee first-aide: eqeeatipu fea pproert- orifr.Pauageapn p ^o^ses ^n afporirdm toeo^efteirntial^oendary valus bcobCemnumcriealid. arpdfcernre eeheme foctitf heae eqeatiepwrth lherioht-h;^r^ifei ^and aRungee^tta stcdndrnrdera^roqmfatien scheme areused fornumericalimplfmentation.
Key words: porosity, filtration, poroelasticity, Darcy law.
DOI 10.14258/izvasu(2020)1-11
1. Постановка задачи. В йаМрду изучает-вп вумипющап рпатыyынrцнап вывсгио пйапнrныц врвдапнрcр сыта:
дфPf dt
dps(l - Ф) dt
+ div(4>vf pf) = 0, (T)
+ div((l - ф)щр^) = 0, (2)
ф(Vf - Vs) = -kW(Vpf + pfQ), divvs = -ai(ф)ре - а2(ф)(^pf + vs ■ Vpe) Pe = Ptot - Pf,
Vptot - ршд = 0,
(р)
(4)
(5)
Рш = фpf + (1 - ф)Ра, Ргаг = фpf + (1-Ф)Рв. (6)
Система (1)-(6) решается в области (х, 4) е QT = £1 х (0,Т), £1 е Ип при краевых и начальных условиях
\дЯт = ¿.Г \дЯт = 0, ф
ф0(х).
дф + (1 - ф) д у у ) (1 - ф) д ф
— + --— — (фу.) = ———Ф,
дЬ 1 - ф0 ЭХ
1 - ф0 дХ
д(1 - ф) 1 (1 - ф)2 ЗФ3
дЬ
+
1 - ф0 дХ
Здесь р.— соответственно истинные плотности и скорости жидкой и твердой фаз, ф — пористость, р.,рл — соответственно давления жидкой и твердой фаз, ре — эффективное давление, рш — общее давление, рш — плотность двухфазной среды, д — вектор ускорения силы тяжести; ^ф) — коэффициент фильтрации, а1 (ф) — коэффициент объемной вязкости, а2(ф) — коэффициент объемной сжимаемости. Плотности жидкой и твердой фаз считаются постоянными. Задача записана в эйлеровых координатах (х,Ь) е Qт.
Математические модели фильтрации представляют особый интерес в связи с их широким применением в различных областях исследований. Рассматриваемая в данной работе модель применима для описания процессов фильтрации жидкостей через пористые среды, например: движение магмы в земной коре, движение грунтовых вод, нефти и газа [1-4]. Отличительным моментом при исследовании данного рода задач является учет сжимаемости пористого скелета. В настоящей работе учитывается деформация пористой среды, т.е. функция пористости является искомой.
Близкие по структуре системы уравнений рассматривались в [5-12]. В этих работах на основе ряда упрощающих предположений исходные системы сводились к одному уравнению высокого порядка. В [5] установлена локальная разрешимость задачи Коши пространствах С. Л. Соболева. В [6, 7] исследованы решения типа «простой волны». В работе [8] проведено численное исследование одномерной задачи фильтрации жидкости в случае преобладания вязких свойств пороупру-гой среды. Численное исследование одномерного движения магмы в отсутствие массовых сил проведено в [9]. Вопросы обоснования моделей фильтрации в деформируемой пористой среде в модельных случаях исследованы в [13-18].
2. Одномерная задача. Рассмотрим одномерный случай и перейдем в этой системе уравнений к переменным Лагранжа [15]. Пусть Х = Х(т, х, Ь) — решение задачи Коши
дх
— = у6(Х,т), Х \т=г= Х.
Положим Х = Х(0, х, Ь) и возьмем за новые переменные Х и Ь. Тогда 1 - ф(Х,Ь) = (1 -ф0(Ф)).ф(Х,Ь), где .ф(Х,Ь) = дХ(Х,Ь) — якобиан перехода. Вместо (1)-(6) имеем
ф(у8 - V.)=д.- ф.ф),
(1 - ф) ду8 ф „ . ф дре
Т-ф0эх = -а1(ф)Ре - а2(ф)Ж,
(1 - ф) дрш 1 - ф0 ЭХ
= -фгагф.
Поскольку
, дф д ф фдУз дХ дХ дХ
то уравнение неразрывности для жидкой фазы можно привести к виду:
1 дф 1 д ф 1 фдУл
1-ф дь + 1-ф0 ЭХ(ф(у.- щ)) + Т-ф фЭФ = 0.
Используя уравнение неразрывности для твердой фазы, получим:
дф
+
1д
дЬ 1 - ф 1 - ф0 дХ
(ф(У. - Ф3))=0.
Переходя от (Х , Ь) к массовым лагранжевым переменным (у,Ь) по правилу (1 - ф°(Х))dХ =
Х
Лу, у(Ф) = 1(1 - ф0(п))Л-ц е [0,1] и формально
0
заменяя у на х, приходим к следующей системе:
- ф)2 ЭХ=0, (7)
д [ ф \ д . , .
ф + д (ф(у. - Ул)) = 0, (8)
дЬ \ 1 - ф) дх
дР.
ф(у. - Ул) = -Кф)((1 - ф)-ЭХ - р.д), (9)
(1 - ф)Э~ = -рмд,
(10)
(1 - ф) ЭХ = -а1(ф)Ре - °2(ф) . (11)
а
Второе уравнение системы с учетом закона Дарси принимает вид:
^т-ф) - дХх(к(ф)((1 -ф)тРх - Pfg)) = °-(12)
Далее рассматривается случай, когда о1(ф) = аф, о2(ф) = ßф. Из (7) и (11) следует уравнение:
д ( ф dt —
ßpe
аРе - ßdr . (13)
дх(кШ1 - ф) дх+9{ptot+Pi )) ф dp = 1-ф (аРе + ßlt ^
(14)
ф
ф0
-exp(-a ре(х,т )dr -
0
дф = -Лре - BÜPeщг - ф,
Ь(ф)дх + <ф)) \х=0,х=1=0, Ре \t=0= Р°е(хх), ф \t=0= ф°(х),
где f = аф Чхг - ^ о(ф) = —,
1Ре ( ФР f
1-0' f
(17)
(18) Ь(ф) =
3. Численное исследование. В области Qт = [0,1] х [0,1] построим сетку с шагами Ь = 1/М, т = 1/М. Значение сеточной функции ф(х,^), ре(х,£) в узлах сетки ) будем обозначать фП,
рп, г = 0,1,...,М; п = 0,1,...,М.
Уравнение (16) аппроксимируем разностной схемой для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами [19, с. 407]:
pn+1 - pn ni i 1 i
Используя представление (10) и уравнения (12) и (13), получим уравнение для определения функции ре:
Л Л (ОРП+1 + (1 - а)рП) +
i = 1, 2,..., N - 1, n > 0, (19)
2h
— - о^Р".
где Ap = (bpx)x, ° = 1, = £~ Уравнение (17) аппроксимируем методом Рунге-Кутта второго порядка [20, с. 219]:
ф
n+1
ф" + 0.5т (kl + к2),
(20)
Из (13) вытекает следующее представление для пористости:
1 - ф 1 - ф0
-ß (pe(x,t) - p°e(x))),
гарантирующее выполнение физического принципа максимума 0 < ф < 1 при ф0 G (0,1) и достаточной гладкости pe.
Уравнение (13) для нахождения пористости перепишем в виде:
дф = (-ape - ßd-p)ф(1 - ф). (15)
Перейдем в уравнениях (14) и (15) к безразмерным переменным X = x/L, t = t/T, p'e = pe/P. Так как а = 1/n, ß = ß^>, k(ф) = кфп/р, то в уравнениях возникнут безразмерные параметры
А = Ä с = ML,Y = пк,А = PT,в = ß^>p-
Рассмотрим следующую краевую задачу. Пусть в исходной области в переменных Эйлера на границах берутся условия vs |ж=о,ж=1= vf |ж=о,ж=1= 0, тогда, учитывая (9), приходим к задаче для отыскания функций pe и ф:
t = am 1 %)+^ (16)
где ki = f(v?, фП), k2 = f(pn, ФП + Tki), f =
( Ape - вde)ф(1 - ф).
Алгоритм счета следующий: из уравнения (19), используя начальное приближение для пористости, находим p1, далее из уравнения (20) находим значение пористости на следующем временном слое. Повторяем алгоритм M раз.
Рассмотрим следующие значения физических параметров [21, с. 563]: положим, ц = 1013 Па • с, вф = 10-8 Па"1, k = 10-8 м2, L = 103 м, / = 1 Па • c, P = 105 Па, g = 10 м/с2, ps = 3 • 103 кг/м3, T = 106 с , тогда Л = 1, е = 3 • 102, y = 10, A = 10-2, B = 10~3. Если T = 105 с, то Л = 10"1, е = 3 • 101, y = 1, A = 10~3' B = 10"3. Если T = 107 с, то Л = 10, е = 3• 103, y = 102,A = 10"1, B = 10"3' В качестве начального значения для пористости выбрано ф°(х) = 0.5. Изменение пористости и эффективного давления представлено на рис. 1, 4 и 2, 5 соответственно. Скорости фаз представлены на рис. 3, 6, 7.
Устойчивость вычислительного алгоритма проверяется путем вычислительных экспериментов, применяя известное правило Рунге [22, с. 75]
R:
Р(х, h) - р(х, h/2) 2Р- 1 .
фп(1 - ф), с(ф) = фп(+ (1 - ф) + f ).
Под p понимается порядок точности использованного численного метода, под R — погрешность решения p(x, h/2). Достаточно провести два расчета на сетках с шагами h1 = h, h2 = h/2, Ti = Лhi, Л = const, i = 1,2. Наблюдения ведутся за эффективным давлением pe. В рассматриваемом случае p = 2, R « 0.005, и приближенно определяемая относительная погрешность е « 2%.
4. Заключение. В работе проведено численное исследование одномерной нелинейной задачи фильтрации несжимаемой жидкости в вяз-коупругой пористой среде.
Рис. 1. Изменение пористости при i = 1
Рис. 2. Изменение эффективного давления i = 1
Рис. 5. Эффективное давление при т = 105 с
Рис. 6. Скорость твердой фазы т = 105 с
Рис. 3. Изменение скоростей фаз при i = 1
Рис. 7. Скорость жидкой фазы т = 105 с
Рис. 4. Пористость при т =10 с
Библиографический список
1. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media // Elseiver. New York. 1972.
2. Connoly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta, 11 (1998). DOI: 10.1016/S0985-3111(98)80006-5.
3. Morency S., Huismans R.S., Beaumont C, Fullsack P. A numerical model for coupled fluid flow and matrix deformation with applications to disequilibrium compaction and delta stability // Journal of Geophysical Redearch, 112(2007), B10407. DOI: 10.1029/2006JB004701.
4. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М., 1987. Ч. 1.
5. Simpson M., Spiegelman M., Weinstein C.I. Degenerate dispersive equations arising in the stady of magma dynamics // Nonlinearty, 20(2007). DOI: 10.1088/0951-7715/20/1/003.
6. Abourabia A.M., Hassan K.M., Morad A.M. Analytical solutions of the magma equations for molten rocks in a granular matrix // Chaos Solutions Fract., 42(2009). DOI: 10.1016/j.chaos.2009.03.078.
7. Geng Y., Zhang L. Bifurcations of traveling wave solutions for the magma equations // Applied Mathematics and computation, 217(2010). DOI: 10.1016/j.amc.2009.11.035.
8. Вирц Р.А., Папин А.А., Вайгант В.А. Численное решение одномерной задачи фильтрации несжимаемой жидкости в вязкой пористой среде // Известия Алт. гос. ун-та. 2018. № 4 (102). DOI: 10.14258/izvasu(2018)4-11.
9. Koleva M.N., Vulkov L.G. Numerical analysis of one dimensional motion of magma without mass forces // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2020. Т. 366. DOI: 10.1016/j.cam.2019.07.003.
10. Токарева М.А., Вирц Р.А. Аналитическое и численное исследование задачи фильтрации в пороупругой среде : c6. трудов Всероссийской конференции по математике "МАК-2016". 2016.
11. Байкин А.Н. Динамика трещины гидроразрыва пласта в неоднородной пороупругой среде : дисс. ... канд. физико-математических наук. Новосибирск, 2016.
12. Dushin V.R., Nikitin V.F., Legros J.C., Silnikov M.V. Mathematical modeling of flows in porous media // WSEAS Transactions on Fluid Mechanics. 2014. T. 9.
13. Tokareva M.A. Solvability of initial boundary value problen for the equations of filtration poroelastic media // Journal of Physics: Conference Series. 2016. T. 722. №1. DOI: 10.1088/17426596/722/1/012037.
14. Papin A.A., Tokareva M.A. Correctness of the initial - boundary problem of the compressible fluid filtration in a viscous porous medium // Journal of Physics: Conference Series. 2017. T. 894. № 1. DOI: 10.1088/1742-6596/894/1/012070.
15. Papin A.A., Tokareva M.A. On Local solvability of the system of the equation of one dimensional motion of magma // Журн. Сиб. федерального ун-та. Серия: Математика и физика. 2017. T. 10. №3. DOI: 10.17516/1997-1397-2017-103-385-395.
16. Токарева М.А. Конечное время стабилизации уравнений фильтрации жидкости в поро-упругой среде // Известия Алт. гос. ун-та. 2015. Т. 2. № 1. DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-28.
17. Tokareva M., Papin A. Solvability of the system of equations of one-dimensional movement of a viscous liquid in a deformable viscous porous medium // Journal of Physics: Conference Series. IOP Publishing, 2019. Т. 1268. № 1. DOI: 10.1088/1742-6596/1268/1/012053.
18. Tokareva M.A., Papin A.A. Global solvability of a system of equations of one-dimensional motion of a viscous fluid in a deformable viscous porous medium // Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2019. Т. 13. № 2. DOI: 10.1134/S1990478919020169.
19. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977.
20. Самарский А.А., Гулин A.B. Численные методы. М., 1989.
21. Fowler A. Mathematical Geoscience. Springer-Verlag London Limited, 2011. DOI: 10.1007/s11004-012-9399-0.
22. Калиткин Н.Н. Численные методы. M., 1978.
