Численное моделирование волоконной решетки Брэгга в среде MatLab Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

5. Юрков, Н.К. Компьютерное моделирование и его роль в современном вузовском образовании/ Н.К. Юрков, А.Н. Якимов // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2017. - Т 2. -С. 373-374.

6. Юрков, Н.К. Модельное представление электронных средств/ Н.К. Юрков, А.Н. Якимов // Сборник трудов IX Международной научно-практической конференции «Информационные и коммуникационные технологии в образовании, науке и производстве» (г. Протвино, 27 июня - 01 июля 2016г.) / под ред. Ю.А. Романенко, Н.А. Анисинкиной, О.А. Солошенко, С.А. Чвелёвой. - Протвино: АО «НПО «Турботех-ника», 2016. - С. 403-405.

УДК 681.7.068

Кашаганова1 Г.Б., Амиргалиева2 С.Н., Калижанова3 А.У., Картбаев2 Т.С., Козбакова2 А.Х.

Казахско-Американский университет, Институт информационных и вычислительных технологий КН МОН РК Алматы, Казахстан

2Институт информационных и вычислительных технологий КН МОН РК, Алматы, Казахстан ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛОКОННОЙ РЕШЕТКИ БРЭГГА В СРЕДЕ МАИАВ

В данной работе проведен анализ математических моделей и решеток Брэгга.

Ключевые слова:

ВОЛОКОННАЯ ОПТИКА, ВОЛОКОННЫЕ РЕШЕТКИ БРЭГГА, ТЕЛЯ, МЕТОД МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ, МЕТОД РУАРДА

Волоконная оптика является одной из интенсивно развивающихся областей современной науки, её достижения в настоящий момент востребованы как во многих научных исследованиях, так и в практических приложениях [1]. Одним из наиболее ярких достижений волоконной оптики является создание волоконных датчиков, лазеров, имеющих широкий круг различных применений, таких как волоконно-оптические линии связи, медицина, метрология, спектроскопия, промышленная обработка материалов и т.д.

Несмотря на улучшения технологий производства оптического волокна и продвижения в области в целом, соединить основные оптические устройства, как зеркала, длинноволновые фильтры и частичные отражатели, с оптическим волокном оставалось многообещающей, но не решённой задачей. Однако, с появлением возможности изменять показатель преломления в одномодовом оптическом волокне путём поглощения ультрафиолетового излучения, дело приобрело другой характер. Фоточувствительность оптических волокон позволяет создавать фазовые структуры, называемые решетками Брэгга, непосредственно в сердцевине волокна. Волоконные решетки Брэгга (ВРБ) могут выполнять много важных функций, например, отражение и фильтрация с большой эффективностью и низкими потерями. Это свойство стало основой для многих значительных инноваций. При изготовлении ВБР к их параметрам предъявляются жесткие требования. Наиболее важными параметрами волоконных решеток являются распределение амплитуды модуляции показателя преломления Дп (х) и закон изменения периода ДА(х) решетки вдоль продольной оси волокна. Отклонение этих параметров от требуемых значений приводит к ухудшению спектральных характеристик ВБР и работы волоконно-оптической линии связи в целом.

ВБР могут изготавливаться (записываться) различными методами, каждый из которых применяется для конкретных структур решеток и имеет свои достоинства и недостатки. К современным тенденциям в развитии методов изготовления ВБР следует отнести:

- обработку оптических волокон газообразным водородом при высоком давлении для повышения их фоточувствительности;

- активное применение сверхкоротких лазерных импульсов для изготовления решеток;

- запись ВБР непосредственно в процессе вытяжки волоконного световода и ряд других.

В настоящее время наиболее часто используются следующие методы записи ВБР [2]:

- интерференционные методы (однолучевой и двухлучевой);

- метод фазовой маски;

- метод поточечного изготовления.

В силу малого периода ВБР их изготавливают, как правило, с использованием интерференционных методов. Так как процесс записи необходимой решеточной структуры может длиться несколько десятков минут, изготовление качественной решетки

методов, позволяющих проводить расчет параметров волоконных

ТЕОРИЯ СВЯЗАННЫХ МОД, МЕТОД ЭФФЕКТИВНОГО ПОКАЗА-

возможно лишь при высокой стабильности интерференционной картины. Такие условия могут быть обеспечены лишь при хорошей пространственной и временной когерентности фотоиндуцирующего излучения, что накладывает жесткие требования на источники излучения для записи ВБР [3] .

Спектральные свойства являются одной из важнейших характеристик волоконных решеток Брэгга. Как правило, при изготовлении и эксплуатации ВБР регистрируют спектры отражения/пропускания решеток, а также динамику изменения спектров. В первую очередь обращают внимание на такие спектральные параметры, как положение пика отражения/пропускания, его ширина и глубина. Вместе с тем, интерес представляют и другие характеристики, например, глубина и отстройка боковых лепестков, селективные коротковолновые потери, обусловленные связью с оболочечными модами, и т.д.

Для понятия и вычисления этих характеристик мы используем математическое моделирование.

Для анализа распространения электромагнитных волн в световодах, содержащих решетки Брэгга, был разработан ряд методов [4]. Взаимодействие мод световода обычно описывается с помощью теории связанных мод, в рамках которой предполагается, что на определенной длине волны только две моды удовлетворяют условию фазового синхронизма и, таким образом, могут эффективно передавать друг другу энергию. Кроме того, предполагается, что поля мод в присутствии слабого периодического возмущения остаются неизменными. Изначально теория связанных мод была разработана для однородных решеток, однако Когельник [5] распространил модель и на апериодические структуры. Метод формализма связанных мод применяется только в наиболее общих случаях, поскольку система связанных дифференциальных уравнений для неоднородных решеток не будет иметь аналитического решения. Также для анализа решеток были разработаны матричные методы, такие как метод эффективного показателя (effective index method - EIM) [6] и метод матрицы рассеяния (transfer matrix method - ТММ) [7]. В методе EIM решетка делится на секции, длина каждой из которых намного меньше наименьшего значения периода возмущения. Поля рассчитываются внутри каждой секции с использованием метода эффективного показателя преломления из интегральной оптики. При этом считается, что показатель преломления в ее пределах остаётся постоянным. Поля внутри каждой секции согласуются с полями предыдущих и последующих секций, образуя матрицу отношений между левой и правой частями каждой секции. Общая матрица, полученная умножением индивидуальных матриц этих секций, характеризует полную структуру. Этот подход чрезвычайно удобен для описания интегрально-оптических решёток, где максимальная длина структуры составляет всего несколько миллиметров. Однако в случае волоконных решеток,

длина которых часто достигает нескольких сантиметров, этот метод может потребовать непомерно большого времени вычисления.

В методе матрицы рассеяния решетка делится на секции, длина преломления считается постоянной. Каждая каждой из которых много больше наибольшего периода возмущения. Внутри каждой секции модуляция показателя такая секция описывается матрицей рассеяния, соответствующей однородной решётке, а вся структура характеризуется общей матрицей, полученной из частных матриц. Этот подход удобен для периодических и апериодических структур, а также для длинных решёток. Для анализа решеток также было предложено несколько менее известных методов.

Теория связанных мод является подходящим инструментом для анализа и получения качественной информации о спектре волоконной решетки Брэгга. Метод матрицы рассеяния может быть использован для решения однородных и неоднородных волоконных решеток Брэгга.

Теория связанных мод. Определение электромагнитных полей с помощью теории связанных мод нашло широкое применение при моделировании оптических волноводов. Аналогичную методику расчета можно применить при анализе волоконных решеток Брэгга.

Оптическое волокно будем считать одномодовым, без потерь на распространение и слабо направляющим (разность между показателями преломления оболочки и сердцевины маленькая). Предполагается что электромагнитное поле перпендикулярно оси z волокна, а состояние поляризации сохраняется в процессе распространения (т.е. свет поляризован вдоль оси х) . Теории связанных мод приводит к набору дифференциальных уравнений первого порядка, описывающие изменение амплитуды поля вдоль волокна.

Кроме того, модуляция показателя преломления решетки принимается однородной и ограничена сердцевиной волокна. Возмущение показателя преломления n(z) определяется как

n(z) = п0 + Anac(z) cos(^z + 9(z)) + Andc(z), (1)

где n0 - показатель преломления сердцевины без возмущения, Апас и Ando - амплитуды переменной и постоянной составляющих модуляции показателя преломления, соответственно, a Ad - период решётки, 9(z) -функция чирпа. Огибающие волн, бегущих вперёд и назад (u и v, соответственно) взаимно связаны уравнением связанных мод для слабых коэффициентов связи du(z,8)

du(z—

dz dv(z—)

= + i Su + q(z)v, = — íSv + q * (z)u, (2)

йг

где 8 = Р~п/Лй называется расстройкой волнового числа (Р = кпeff- постоянная распространения). Функция q(z) называется коэффициентом связи, а её амплитуда и фаза определяются как

ЛЯ'АпдсО)

q(z)

Arg(q(z))=j + 9(z) — 2цк £ AndC(z')dz',

(3)

d2u(z—) dz2

= (\q\2 — s2)u

(4)

Уравнения такого же типа могут быть получены для v(z,8) [8]. Используя соответствующие граничные условия, амплитуда отражения г(8) и амплитуда пропускания М8) могут быть найдены как г(8) =

-qsinh(yL)

y cosh(yL)-i—sinh(yL) г

r(8)=-г—г-, (5)

у cosh(yL)-i<5sinh(yL)

где y2 = \q\2 —б2. Интерпретируемое выражение q получается для периода, в точности соответствующего физическому периоду Л и для эффективного показателя преломления п0 + Ande (таким образом, интегральный член в (3) исчезает). В этом случае фактор фазы коэффициента связи уменьшается до л/2г и значит, q = i \q \= i• ц-n-Anac/X..

Численное решение уравнения Риккати для неоднородных ВРБ. Пусть функция r(z,d)=v(z,d)/u(z,d) [6]. Тогда уравнение Рик-кати может быть получено дифференцированием г по г и заменой уравнений (2)

dr(z,S)

= —q(z)r2 — 2iSr + q(z),

(6)

Используя граничное условие г^,8) = 0, уравнение может быть численно решено с конца решётки назад до z=0 с использованием метод Рунге-Кутта. Амплитуда коэффициента отражения находится как г(8) = г (0,8). Обычно вычисление методом Рунге-Кутта требует большего числа ступеней, чем метод Т- матрицы.

Метод матрицы рассеяния. В методе матрицы рассеяния [5, 8, 9] решетка делится на N участков длины Лj(j = 1,...,Ю, в каждом из которых параметры Лпас, Лпdс и Л считаются постоянными. Затем решётка определяется N секциями с коэффициентами связи qj и физической шириной Лj

Зная поля ^ и vj на входе секции j, можно найти поля ^+1 и vj+1 на её выходе. Это обстоятельство может быть представлено в форме выражения с транспортной матрицей:

= T

"■1-1 v1-i\

(7)

где

cosh(yyAi) + i — sinh(fiAi)

KyA)

2

fjSÍnh(YiAi) —

cosh(Yi^i) — i — smh(YiAi)

sml

где у? = 1ц)12-82. Поля и1 носятся, соответственно шётки. Между собой они соотносятся как

(8)

1 1J yj U1 1J

vi и uN+1 , vN+1 от-к входу и выходу ре-

(9)

ÍUN+

rui]

]f

где ц - часть мощности, которая распространяется в сердцевине волокна.

Аналитическое решение для однородных ВРБ. Однородные ВРБ имеют постоянные значения Лпас,Лпас и L в диапазоне В этом случае, уравнения

связанных мод могут быть решены аналитически дифференцированием уравнений (2) и заменой первых производных уравнениями (2). Например, для u(z, 8), мы имеем

-'Т'' ■■■•ТЧ»1\ Т^\ [Т2!

Амплитуда коэффициента отражения г(8) определяется с граничными условиями и1 и '^N+1 = 0:г(8) = v1 = -Т21/Т22. Амплитуда коэффициента пропускания Ь(ё) находится при граничных условиях и1 = О и 'N+1 = 1: 1(8) ='1= 1/Т22.

Предложенная формулировка матрицы рассеяния принимает во внимание интеграл перекрытия 77, которым часто пренебрегают [8, 7], и эффект видимости штрихов может быть включён в определение распределений Лndc и Лпас.

Метод случайной матрицы рассеяния. Для секции j с толщиной Лj эффект решетки аппроксимируется одним групповым отражателем с отражательной способностью pj. Групповой коэффициент отражения pj определяется из группового коэффициента связи

qj■

р] = -ЬтЪ(1Ч]^А])^-^ (10)

Таким образом, матрица ^, представляющая секцию j, может быть определена как продукт чистой матрицы пропускания TЛj и транспортной матрицы Tpj [11]

(11)

eib&i 0 ]

0 e-ibAi]'

i ■ 1 p*/

¡i-lpjl2 —Pi 1 _

Отсюда

(12)

Множитель (1-|pj|2)-1/2 отвечает за амплитуду отражения. Матрица Тр,] также может быть получена из уравнения (8) если принять qj ^ <х а матрицу ТЛj если принять qj ^0 сохраняя qj Лj постоянным.

dz

u

v1

Л

TAJ =

T =

'PJ

T1 = TM • TP,1.

Из уравнений (10), распространение волн может быть выражено рекурсивной функцией (вместо произведения матриц)

= (13)

Рекурсивная формула позволяет рассчитывать отражательную rj+1 способность ВБР, составленную из секций с j по N.

Метод называется «случайным», поскольку все отражения в секции расположены в одной точке.

Этот метод подобен методу Руарда, который используется для описания спектрального отклика тонких пленок [12]. Различие состоит в толщинах секций. По методу Руарда каждый период решётки делится на несколько секций (для ВБР это бы привело к величине Дj в несколько десятков нанометров), в то время как для случайной матрицы рассеяния нужно использовать такое число секций, чтобы учесть медленно меняющийся коэффициент (допустимы толщины в десятки микрон).

Рисунок 2 - Интерфейс программы в MATLAB

Рисунок 3 - Интерфейс программы в MATLAB

В дальнейших своих исследованиях из выше перечисленных математических моделей для моделирования волоконных решеток Брэгга в среде MatLab будем применять метод матрицы рассеяния. Этот

метод является более подходящим для моделирования спектральных характеристик волоконных решеток Брэгга. Матричный метод может с успехом использоваться не только для расчета однородных

сей длине, но

ВБР с постоянными параметрами по и для расчета неоднородных ВБР.

МАТЬАВ представляет собой среду, которая интегрирует и позволяет сделать расчет, визуализацию и программирование, в котором проблемы и решения представлены в известной математической нотации [13,14]. Типичные области применения могут включать в себя:

— математические расчеты;

— разработка алгоритмов;

— сбор данных;

— моделирование;

— анализ данных, разведка и визуализация;

— научно-инженерная графика.

На основе одной из математических моделей был разработан алгоритм и реализован в МА^АВ.

При моделировании волоконной решетки Брэгга в среда MatLab была реализована математическая модель на основе матричного метода.

Для исследования спектральных характеристик ВРБ при различных функциях аподизации напис ана программа в среде МА^АВ. Интерфейс программы приведен на рисунках ниже

Щ МАТ1АВ ОШГ

Рисунок 1 - Входные параметры алгоритма: Л -период решетки; L - длина neff - эффективный показатель преломления; 5neff - среднее значение показателя преломления модуляции (постоянная составляющая); s - видимость полосы, связанные с модуляцией показателя преломления; А - профиль аподизации;

ф - фазовый сдвиг; и спектральные характеристики решетки: А + и В + в результате работы алгоритма

Рисунок 4 - Код программы

Рисунок - Результаты программы

Заключение. В результате моделирования получены спектральные характеристики волоконных решеток Брэгга, а также проведен анализ и расчет

длины спектра сетки, размер преломления, температуры, растяжения, фазового сдвига и аподизации с учетом влияния различных параметров.

ЛИТЕРАТУРА

1 Дианов, Е.М. Волоконная оптика: сорок лет спустя / Е.М. Дианов // Квантовая электроника. -2010. - Т.40. - No 1. - C. 1-6.

2 Агравал Г. Применение нелинейной волоконной оптики. - СПб.: Изд-во Лань, 2011. - 592 с.

3 Кашаганова Г.Б., Касимов А.О. Технология изготовления волоконных Брэгговских решеток Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», Пенза 2015. - № 2. - С. 106-109

4 Othonos, Kalli. "Fiber Bragg Gratings. Fundamentals and applications in telecommunications and sensing", Artech House, London, 1999

5 H. Kogelnik, "Filter response of nonuniform almost-periodic structures", BellSystem-TechnicalJournal., 55(1), p. 109-26 (1976)

6 Winick, "Effective-index method and coupled-mode theory for almost periodic waveguide gratings: A comparison", Applied Optics, Vol.31, 1992, pp. 757-764

7 Yamada, Sakuda, "Analisis of almost-periodic distributed feedback slab waveguide via a fundamental matrix approach", Applied Optics, Vol.26, 1987, pp. 3474-3478

8 J. Skaar, PhD dissertation, The Norwegian University of Science and Technology, Ch. 2, 5-15 (2000)

9 M. McCall, "On the Application of Coupled Mode Theory for Modeling Fiber Bragg Gratings", JLT, 18(2), p. 236-242 (2000)

10 T. Erdogan, "Fiber Grating Spectra", JLT, 15 (8), p. 1277-1294 (1997)

11 J. Skaar, L. Wang and T. Erdogan, "On the systhesis of fiber Bragg gratings by layer peeling", J. Quantum Electron., 37 (2), p. 165-173 (2001)

12 L.A. Weller-Brophy and D.G. Hall, "Analysis of waveguide gratings: application of Rouard's method", J. Opt. Soc. Am. A, 11, p. 2027-2037 (1985)

13. Ускенбаева Р.К., Калижанова А.У. Козбакова А.Х. Прикладные задачи функциональности распределенной компьютерной системы. Труды международного симпозиума «Надежность и качество», Пенза, Россия , 2012, №1.-C.103-105

Сахибназарова В.Б., Кудрина М.А.

ФГАОУ ВО «Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева», Самара, Россия

ИССЛЕДОВАНИЕ ВАРИАНТОВ РЕАЛИЗАЦИИ И МЕТОДОВ УСКОРЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОГО СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Проведено исследование алгоритмов фрактального сжатия изображений. Рассмотрены три варианта реализации классического алгоритма фрактального сжатия, разнящихся способом выбора подходящего доменного блока: алгоритм поиска первого подходящего блока без разбиения, алгоритм поиска первого подходящего блока с разбиением и алгоритм поиска доменного блока с минимальным среднеквадратическим отклонением от рангового блока. Изучены методы повышения скорости сжатия изображения: метод предварительной классификации блоков и метод эталонного блока. Исследованы зависимости скорости фрактального сжатия изображений, качества декодируемого изображения и коэффициента сжатия от размера рангового блока, выбранного метода сжатия и применения методов повышения скорости фрактального сжатия. Проведено сравнение параметров алгоритмов сжатия для изображений в оттенках серого и цветных изображений

Ключевые слова:

ФРАКТАЛЬНОЕ СЖАТИЕ, СКОРОСТЬ СЖАТИЯ, ДОМЕННЫЙ БЛОК, РАНГОВЫЙ БЛОК, СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Одной из главных характеристик любого канала связи является скорость передачи информации. Необходимо передавать как можно больше информации в сообщении наименьшего размера. В случае передачи графической информации для уменьшения объема передаваемых данных используются различные методы сжатия изображений. Все алгоритмы сжатия изображений обобщенно можно разделить на две группы: сжатие без потерь информации и сжатие с частичной потерей информации. Как правило, алгоритмы сжатия с потерей информации имеют более высокие коэффициенты сжатия по сравнению с алгоритмами сжатия без потерь. При этом качество изображения ухудшается не сильно, порой изменения даже незаметны для человеческого глаза. Кроме того, при сжатии изображений для передачи их по каналам связи повышается надежность передачи [1]. Надежность растет с уменьшением трафика, поскольку время передачи сокращается, и тем самым увеличивается объем передаваемой информации за единицу времени без увеличения ширины канала.

Одним из алгоритмов сжатия изображений с частичной потерей информации является фрактальное сжатие. Образно процесс фрактального сжатия можно описать как поиск самоподобных областей на изображении. Данный метод основан на использовании системы итерируемых функций Iterated Function System (IFS) [2]. Сама система итерируемых функций представляет собой набор трехмерных аффинных преобразований, переводящих одно изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространстве (х_коорди-ната, у_координата, яркость). С учетом использования IFS для осуществления фрактального сжатия (или фрактальной компрессии) исходное изображение делится на подобласти квадратной формы,

называемые ранговыми блоками. Ранговые блоки пересекаться не могут. Также на исходном изображении выделяют доменные блоки (домены), являющиеся совокупностью 4-х соседних ранговых блоков. Домены могут пересекаться. Все ранговые блоки и домены - это квадраты со сторонами, параллельными сторонам исходного изображения. В ходе работы алгоритма компрессии для каждого рангового блока производится поиск домена, который после аффинных преобразований (сжатие доменного блока в 4 раза, поворот и/или отражение) и изменения яркости наименее всего отличается от рангового блока.

Степень схожести рангового и доменного блока вычисляется как среднеквадратическое отклонение (СКО):

¡=1 ¡=1

где N - длина стороны рангового блока, - значение цветовой компоненты пикселя доменного блока, г^ - значение цветовой компоненты пикселя рангового блока.

Подходящий доменный блок может выбираться несколькими способами: до первого найденного доменного блока, удовлетворяющего условию СКО<£. Если ни один доменный блок не удовлетворяет заданному условию:

берем доменный блок с минимальным СКО (алгоритм А1, представлен на рисунке 1);

разбиваем ранговый блок на 4 блока и для каждого из них ищем подходящий доменный блок (метод квадродерева, алгоритм А2, представлен на рисунке 2).

доменный блок с минимальным СКО (ищется с помощью полного перебора всех возможных доменных блоков).