ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УСЛОВИЙ НА ОБРАЗОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИОННЫХ ПОЛОС РОСТА ПРИ ВЫРАЩИВАНИИ КРИСТАЛЛОВ МЕТОДОМ БРИДЖМЕНА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Бриджмена конвекция имеет стационарный ламинарный характер. Температурные флуктуации в этом случае возникают в результате менее значительных факторов, таких как погрешность поддержания температуры на нагревательных элементах и неравномерность перемещения ампулы в печи.

Современные мировые требования, предъявляемые к однородности полупроводниковых подложек Ga(As,P), (Ga,In)As, ^^п^Ь, (Cd,Hg)Te, достаточно высокие. Микроскопическая неоднородность примеси в таких материалах должна иметь значение 5С = 10-4—10"5 [2]. При этом точность управления температурой внутри расплава у фронта кристаллизации согласно требованиям [3] должна составлять 0,1 К. Анализ технических характеристик ряда современных установок по росту кристаллов показал, что точность поддержания температуры в печи АТ варьируется от 0,1 до 2 К, а минимальный шаг перемещения ампулы АЬ составляет от 0,01 до 0,1 мм. В настоящей работе рассчитывается величина микронеоднородности 5С в этих пределах погрешностей при различных значениях параметров технологического процесса (скорости протяжки ампулы в печи и температурного градиента у фронта кристаллизации).

Постановка математической задачи. Для моделирования процесса выращивания кристаллов методом Бриджмена решается двухфазная нестационарная задача Стефана с системой уравнений Навье-Стокса в расплаве и уравнением теплопроводности в кристалле и ампуле (рис.1). Уравнения На-вье-Стокса решаются в приближении Бус-синеска. Для расчета концентрации примеси в расплаве решается уравнение диффузии.

Задача решается в цилиндрических координатах в двумерном осесимметричном случае. В безразмерном виде уравнения записываются следующим образом: система уравнений Навье-Стокса в расплаве (0 < г < Я, ф(г) < г < 1):

к к+н г

Рис.1. Область решения модельной задачи (г, г - цилиндрические координаты; 5", Ь - области кристалла и расплава соответственно; ф(г) — координата фронта кристаллизации; К - внутренний радиус ампулы; Н - толщина боковой стенки ампулы)

дп дп дп --ъ п--ъ м—

дг дг дг

дм дм дм

— + п— + м —

дг дг дг

дТ дТ дТ

— + п— + м—

дг дг дг

др+1 дг Яе

др

'д

дг Яе

д V

1 дгп

г дг ) дг2

1 д г дг

1

(

ЯеРг

1 А.(ГТ V—Т

г дг ^ дг ) дг2

1 д(гп) дм --— +— = 0:

г дг дг

)

)

2„Л

' дм Л д м г— 1 +

дг )

\

дг2

)

р = 1;

уравнение теплопроводности в кристалле (0 < г < Я, 0 < г < ф(г)):

дТ 1 (1 д (Т\ + д 2Т \

дг Ре

г дг ^ дг ) дг2

уравнение теплопроводности в ампуле (Я < г < Я + Н, 0 < г < 1):

дТ

1 1 д ( Т\+ 1 д2Т

дг РеЯ г дг \ дг ) Ре^ дг2 уравнение для примеси в расплаве (0 < г < Я, ф(г) < г < 1):

дС дС дС

--+ и--+ w— =-

дг дг дг Яе Бе

1 (1 д (С\+д2С\

г дг ^ дг ) дг2

Здесь и и w - радиальная и осевая компоненты скорости течения расплава соответственно; р - давление; Т - температура; р - плотность; С - концентрация примеси; Яе - безразмерное число Рейнольдса; Рг - число Прандтля; Ре, РеЯ, Ре^ - числа Пекле в кристалле, ампуле вдоль радиуса и вдоль оси соответственно; Бе - число Шмидта.

На подвижной фазовой границе для температуры ставятся два условия Стефана:

Т (г, ф(г )) = ^

ж

дТ_ дп

дТ_

дп

+ & • V,,

где Т0 - температура плавления; Х8ь = 'к5/- отношение температуропроводности кристалла и расплава; - число Стефана; vg - скорость роста кристалла.

Для концентрации на фронте кристаллизации ставится условие сегрегации примеси в виде потока на границе:

дС_ дп

= ЯеБе (1 - к С

V

ф

где к - коэффициент сегрегации; Сф - концентрация примеси на фронте в расплаве.

Другие граничные условия имеют следующий вид. Для вектора скорости на границе с ампулой и фронтом кристаллизации ставятся условия непротекания и прилипания:

дw

и = 0, w = 0; на оси (при г = 0 ) и = 0, — = 0. На нагревателях при г = Я + Н задается

дг

температурный режим Т = Тш (г), на верхнем и нижнем торцах т = тгор,

Т = ТЬоШш(г) соответственно. На границе кристалла и расплава с ампулой при г = Я ставится условие равенства радиальных тепловых потоков; на оси при г = 0 - условия

дТ „ дС „ симметрии — = 0 и -= 0. Для концентрации примеси на границе с ампулой и на

дг дг

Т = Тгор (г) и

ь

ф

верхней границе расплава ставятся условия на отсутствие диффузионного потока. Более подробно численная схема описана в [4-6].

Исследование влияния нестационарных воздействий аппаратуры выполнено на примере арсенида галлия, легированного кремнием (GaAs:Si). В качестве материала ампулы выбран пиролитический нитрид бора pBN. Геометрические размеры ампулы: длина - 100 мм; внутренний радиус - 15 мм; толщина ампулы - 1 мм. Рассчитанные

числа подобия для данной задачи: Яе = 104; Рг = 2,6 -10—2 ; Ре = 1,5 -103; РеЯ = 2,3 -103;

Ре^ = 1,2 • 102; 8е = 44,8 ; = 77 ; Xзь = 0,4. Коэффициент сегрегации кремния к = 0,1.

Моделирование нестационарных воздействий аппаратуры. В современных многозонных печах, оборудованных несколькими независимыми нагревательными элементами, можно сформировать широкий диапазон температурных профилей. Выберем профиль Тж (г) так, чтобы осевой температурный градиент на внешней стенке ампулы в области кристалла составлял 60 К/см, в расплаве 5 К/см, у фронта кристаллизации 20 К/см. Отметим, что температурный градиент 20 К/см у фронта кристаллизации наиболее часто реализуется при выращивании кристаллов GaAs.

Перемещение ампулы относительно печи можно рассматривать как перемещение температурного профиля относительно неподвижной ампулы. Рассмотрим вычислительный эксперимент, в котором первые 3000 с рост кристалла происходит с пересчетом температурного профиля на каждом шаге по времени. Это соответствует практически непрерывному изменению Т (г).

Затем «включается» неравномерное перемещение привода ампулы. Тогда температурный профиль Т (г) будет перемещаться через каждые Аг секунд на величину Ак = 0,01—0,1 мм (рис.2). Эти две величины связаны между собой соотношением Аг = Ак/уа , где Уа - средняя скорость перемещения ампулы. Для сравнения при расчетах величина Аг составляет до 6 • 104 шагов по времени используемой численной схемы.

На рис.3 приведено решение модельной задачи, где средняя скорость перемещения ампулы Уа = 2 мм/ч, шаг Ак = 0,05 мм. В первые 3000 с колебания скорости роста кристалла и концентрации примеси отсутствуют. Затем неравномерное перемещение профиля Тж (г) приводит к резким изменениям температуры вблизи фронта кристаллизации и колебаниям скорости роста кристалла, которые больше у стенки и меньше на оси ампулы (рис.3,а). Это приводит к образованию микроскопических неоднородностей

концентрации примеси, величина которых составляет дС = 2 • 10—3, а характер кривых приведен на рис.3,б. Здесь дС = (Стах — Ст;п)/Ст;п .

Следует отметить, что скорости течения расплава малы и конвекция стационарна. Поэтому имеется возможность проследить влияние неравномерного перемещения профиля Т (г) на колебания скорости роста кристалла и, следовательно, на образование микросегрегаций примеси.

Рис.2. Изменение температурного профиля Т№(г) при его неравномерном перемещении

Рис.3. Колебания скорости роста и концентрации примеси при уа = 2 мм/ч и ДА = 0,05 мм: а - скорость кристаллизации; б - концентрация примеси Si в кристалле (сплошная линия -6,5 мм от оси ампулы, пунктирная линия - 13 мм от оси ампулы)

Результаты расчетов. В соответствии с предложенным вычислительным экспериментом выполнены расчеты микроскопической неоднородности дС при

Дк = 0,01 — 0,1 мм и различной средней скорости перемещения ампулы Уа. Полученные результаты приведены в табл.1 и могут быть использованы для количественной оценки возможностей применяемой аппаратуры.

Таблица 1

Значение микронеоднородности 8С в зависимости от шага Дк и скорости уа

Скорость перемещения ампулы уа, мм/ч Ш !аг ампулы Дк, мм

0,01 0,05 0,1

1 9-10-5 4-10-3 1-10-2

3 810-6 1-10-3 5-10-3

5 2-10-6 4-10-4 3-10-3

7 2-10-7 2-10-4 2-10-3

10 0 8-10-5 8-10-4

Из представленных результатов следует, что при различных средних скоростях роста требование 5С = 10-4 —10—5 выполняется только при Дк < 0,01 мм. Также следует отметить, что при увеличении скорости до Уа = 10 мм/ч требование к Дк можно несколько ослабить (например, Дк < 0,05 ). Анализ допустимой величины Дк при различных значениях скорости Уа удобно проводить по рис.4.

В предложенной модели роста кристаллов рассчитывается теплообмен в стенке ампулы. Это позволяет рассматривать разные граничные условия на боковом профиле Тж {г), в том числе и флуктуации температуры.

Проведем моделирование наиболее значимого фактора - зависимости микронеоднородности 5С от амплитуды флуктуаций температуры ДТ на нагревателях. Положим

Т№ (г) = Т№ 0 (г) + АТ • ^ г ^. Здесь Тш 0 (г) -

невозмущенный профиль; АТ - амплитуда флуктуаций температуры; т - некоторый период колебаний. При моделировании профиль Тжо (г) будем пересчитывать на

каждом шаге численной схемы по времени (равномерное перемещение ампулы), а величину амплитуды АТ положим постоянной для всего расчета. В табл.2 приведены значения микроскопической неоднородности примеси 50 в зависимости от амплитуды и периода колебаний. Скорость перемещения ампулы во всех случаях постоянна и равна \а = 10 мм/ч.

Таблица 2

Значения микронеоднородности 5С в зависимости от колебаний температуры

Период колебаний т, c Амплитуда колебаний AT, К

0,05 0,1 0,5 1,0

5 2-10-5 610-5 610-4 1-10-3

10 410-5 2-10-4 2-10-3 3-10-3

25 2-10-4 810-4 510-3 1-10-2

50 910-4 310-3 2-10-2 4-10-2

Из анализа табл.2 следует, что современные требования к величине неоднородности SC = 10—4 —10—5 выполняются лишь при высокой точности поддержания температуры на нагревателях (AT = 0,1 К). Большинство установок имеют точность контролирования температуры на боковом профиле 1—2 К. В этом случае значение микронеоднородности значительно выше и может составлять SC = 10—2 —10—3 . Также следует отметить, что она зависит от частоты флуктуаций 1/т. Наиболее опасными являются низкочастотные колебания.

Таким образом, с помощью математического моделирования выполнена оценка значений микроскопических неоднородностей в результате нестационарных воздействий со стороны аппаратуры. Выявлено, что для удовлетворения современным требованиям SC = 10—4 —10—5 шаг перемещения ампулы должен быть не более 0,01 мм, а точность поддержания температуры должна составлять 0,1 К. Модель также позволяет оценить влияние совокупности рассмотренных факторов.

Предложенная модель может использоваться для определения минимальных требований, которым должна удовлетворять аппаратура для получения кристаллов с заданной микроскопической неоднородностью.

Литература

1. Мюллер Г. Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. - 143 с.

2. Hans J. Scheel. Theoretical and technological solution of the striation problem// J. of Crystal Growth. -2006. - Vol. 287. - № 2. - P. 214-223.

Рис.4. Зависимость микронеоднородности 5C от скорости va при неравномерном перемещении

3. Гоник М.М., Боевкин В.И. Повышение точности управления температурным режимом в установках выращивания кристаллов // Управление большими системами: сб. тр. - 2010. - № 28. - С. 211-229.

4. Гончаров В.А., Марков Е.В. Численная схема моделирования задач термоконвекции // Журн. вы-числ. матем. и матем. физ. - 1999. - Т. 39. - № 1. - С. 87-97.

5. Гончаров В.А. Об одном методе решения двухфазной задачи Стефана с неплоской границей // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 2000. - Т. 40. - № 11. - С. 1706-1715.

6. Гончаров В.А., Дормидонтов А.Н. Применение трехслойного попеременно-треугольного метода для решения уравнения Пуассона в математической модели выращивания кристаллов полупроводников // Вест. Моск. гос. акад. делового администрирования. Сер.: Философские, социальные и естественные науки. - 2012. - № 3(15). - С. 154-158.

Статья поступила 22 апреля 2013 г.

Гончаров Виктор Анатольевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики № 1 МИЭТ. Область научных интересов: вычислительная математика, методы оптимизации, численное моделирование роста полупроводниковых кристаллов. E-mail: vagonch@gmail.com

Дормидонтов Алексей Николаевич - аспирант кафедры высшей математики № 1 МИЭТ. Область научных интересов: численные методы, математическое моделирование роста кристаллов, программирование.

/-Ч

Информация для читателей журнала «Известия высших учебных заведений. Электроника»

С тематическими указателями статей за 1996 - 2013 гг. и содержанием последних номеров можно ознакомиться на нашем сайте:

/

http://www.miet.rU/structure/s/894/e/12142/191

\_)

ч_)

ТЕХНОЛОГИЯ МИКРО- И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ

УДК 621.382

Формирование пленок поликристаллического кремния с полусферическими зернами для конденсаторных структур

с повышенной емкостью

А.В. Новак

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Посредством атомно-силовой микроскопии изучено влияние условий формирования на морфологию пленок кремния с полусферическими зернами (HSG-Si), полученных методом химического парофазного осаждения при низком давлении (LPCVD). Найдены условия формирования HSG-Si-пленок с большой площадью поверхности. Полученные HSG-Si-пленки позволили изготовить конденсаторные структуры, электрическая емкость которых в два раза больше, чем в конденсаторах с «гладкими» электродами из поликристаллического кремния.

Ключевые слова: поликристаллический кремний с шероховатой поверхностью, HSG-Si-пленки, химическое парофазное осаждение при низком давлении (LPCVD), атомно-силовая микроскопия (АСМ).

В интегральной электронике с увеличением степени интеграции возникает необходимость увеличения удельной емкости конденсаторных структур, в частности в конденсаторах хранения динамической памяти. Для этого наряду с применением диэлектрических слоев с более высокой диэлектрической проницаемостью, построением сложных трехмерных конструкций конденсаторов используют в качестве нижнего электрода пленки поликристаллического кремния с большой эффективной площадью поверхности (HSG-Si-пленки). Такие пленки состоят из нанозерен полусферической формы, переходящей в столбчатую форму, размеры которых составляют несколько десятков нанометров. Использование HSG-Si-пленок позволяет получить увеличение емкости единицы площади элемента примерно в 2 раза по сравнению с «гладким» электродом [1-4]. HSG-Si-пленки могут применяться в конденсаторных структурах разных конфигураций (планарных, щелевых, цилиндрических). Кроме того, HSG-Si-пленки используются в микроэлектромеханических системах [5, 6]. Пленки с малым размером зерен (1-20 нм) интересны для формирования различных структур на основе кремниевых наночастиц, в частности могут применяться в одноэлектронных приборах [7, 8].

HSG-Si-пленки получают на основе метода химического парофазного осаждения при низком давлении (LPCVD) из моносилана при специальных условиях формирования (температуре, давлении и времени осаждения, температуре и времени отжига) [1-3, 9]. Одним из наиболее критических параметров является температура осаждения, поскольку

© А.В. Новак, 2013