ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВИХРЕЙ В ТЕЧЕНИИ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА СЖИМАЕМОГО ГАЗА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 75

www.mai. ru/science/trudy/

УДК 532.526

Численное моделирование вихрей в течении Куэтта-Тейлора

сжимаемого газа

До Суань Зоань

Московский физико-технический институт (государственный университет), Институтский пер., 9, Долгопрудный, Московская область, 141700, Россия

e-mail: do_xuan_doanh_83@yahoo. com

Аннотация

Течение Куэтта-Тэйлора в сжимаемом газе имеет большое значение для теоретической, а также для прикладной науки. Данному течению в сжимаемом газе или жидкости посвящено большое количество статей, содержащих как теоретический анализ, так и результаты численных расчетов. Однако число исследований для сжимаемого газа ограничено, несмотря на возрастающий практический интерес. Целью данной работы является численное исследование вихревой структуры течения Куэтта-Тэйлора для сжимаемого газа в зависимости от числа Рейнольдса и температуры поверхности цилиндров с использованием программного комплекса ANSYS CFX.

С целью получения надежных результатов для неограниченных коаксиальных цилиндров в построенной физической модели предполагается, что длина цилиндров существенно превышает промежуток между ними (в 100 раз в рассматриваемой модели). В качестве сжимаемого газа взят воздух. Численные результаты

показывают, что траектории жидких частиц в соседних вихрях симметричны, что означает, что вихри являются спаренными.

Получена зависимость плотности вихрей, а также их структуры от числа Рейнольдса и поверхностной температуры цилиндров. Число Рейнольдса в данном случае определено по скорости внутреннего цилиндра и изменяется в пределах от 4.104 до 4.105, а температура отнесена к температуре торможения. Результаты расчетов показывают схожие зависимости плотности вихрей от числа Рейнольдса и от температуры поверхности. С ростом числа Рейнольдса плотность вихрей возрастает, затем достигает определенного уровня, после чего резко снижается.

Похожая картина наблюдается для соотношения плотности вихрей и температуры. В рассматриваемой модели температура поверхности внутреннего цилиндра фиксирована, а температура внешнего цилиндра изменяется в диапазоне от одной до восьми температур торможения. Вихревая плотность перестает изменяться, когда температура поверхности внешнего цилиндра превышает температуру торможения в семь раз.

Ключевые слова: течения Куэтта Тэйлора, влияние сжимаемости, структура течения.

Введение

Устойчивость течений Куэтта-Тэйлора изучалась в течение более чем 70 лет. Это течение возникает между двумя коаксиальными цилиндрами в случае, когда, оба или один цилиндр вращаются. Если параметры вращения превосходят критические значения, течение Куэтта-Тэйлора становится неустойчивым, так что появляется вторичное течение с ненулевыми радиальной и осевой компонентами

скорости; это новое течение может иметь форму противоположных тороидальных вихрей, расположенных рядом друг с другом в осевом направлении.

Как известно, первая успешная оценка устойчивости вязкого течения между вращающимися цилиндрами принадлежит Тейлору. Теоретический анализ Тэйлора предполагал, что разница радиусов двух цилиндров была небольшой по сравнению со средним радиусом. Условия, при которых течение переходит к неустойчивости, могут быть выражены через характеристическое число, известное как число Тейлора. Позже, Мексин решил проблему математическим методом, который отличается от метода Тейлора. На основе отдельных асимптотических решений ему удалось вывести условие устойчивости в замкнутой форме.

Исследованию течений несжимаемой жидкости посвящено много работ. В то же время с точки зрения технологических приложений и фундаментальной науки имеет несомненный интерес анализ течений сжимаемого газа. Наиболее распространенными являются численные методы анализа. В ряде статей были представлены результаты решения уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа [1].

В число безразмерных параметров, характеризующих течение, входит ряд параметров, таких как число Рейнольдса, геометрические параметры, величины температурных факторов и т.д.

На практике могут реализовываться, в частности, и течения с конечными числами Рейнольдса. Течение в таком случае описывается обычными уравнениями Навье-Стокса нелинейными или линейными в зависимости от рассматриваемых задач (описания среднего течения или исследовании устойчивости). Понятно, что

для решения таких задач единственным способом является использование численных методов, основанных на использовании конечных разностей или представлениями в виде разложений в ряды.

При анализе течений с большими числами Рейнольдса возникает вопрос о сосуществовании инерционного и вязкого течений. Под вязким понимается течение, описывающееся только диссипативной частью уравнений Навье-Стокса. На самом деле, даже без предположения об отсутствии инерционности только принимая условие одномерности течения, можно получить описание с диссипативными членами (как в случае несжимаемой жидкости [3-4]).

В настоящей работе приведены результаты численного решения задач, для различных величин температуры поверхностей цилиндров и скоростей, приводящих к образованию вихрей.

1. Постановка задачи

Исследуется течение между двумя концентрическими цилиндрами бесконечной длины, которые вращаются с различными угловыми скоростями. Предполагается, что поверхности цилиндров имеют различные температуры.

1.1. Система координат

Вводится цилиндрическая система координат . На рис. 1 показан эскиз системы координат для установившегося потока сжимаемой вязкой жидкости. Течение газа между двумя коаксиальными цилиндрами поддерживается за счёт постоянной угловой скоростью одного или обоих цилиндров, при этом в среднем течение в осевом направлении отсутствует [осреднённый поток в осевом направлении равен нулю]. Внутренний цилиндр имеет радиус ^ и вращается с

угловой скоростью ^, а внешний радиус Л, и вращается с угловой скоростью Звёздочкой обозначены размерные величины.

Рис. 1. Система цилиндрических координат 1.2. Определяющие уравнения в цилиндрической системе координат

Уравнения Навье-Стокса для сжимаемого газа включают в себя уравнение сохранения массы, момента импульса и уравнение сохранения полной энергии. Предполагается, что пространство между цилиндрами заполнено совершенным газом с постоянным коэффициентом теплоемкости. Все функции и координаты величин обезразмерены и отнесены к некоторым характерным значениям. Радиус одного из цилиндров используется для обезразмеривания координат г и 7. В уравнениях содержатся безразмерные параметры:

* * *

Ке = , м = Ц-, Рг

А

а

* * и с

<х> р *

К*

Координаты г,0 измеряются вдоль оси цилиндров, вдоль радиуса и в

окружном направлении соответственно. Обозначения и, V, w относятся к компонентам вектора скорости в направлениях 2,г,0. Температура отнесена к температуре торможения. Уравнения Навье-Стокса в цилиндрической системе координат можно записать в виде [5]:

ди дЛ дБ 1 дС 1 Л

-+ — + — +--+ - В = 0

д1 дг дг г д0 г

(1)

Л =

ри

рии + р -т2 рш -тгг

рuw - т

0г

и =

р

ри

Pv рw

рЕ

РН + Чг - ит22 - т - ЦТТ

г

Б =

022

PV

Р^ -Тг2 Р^ + Р -

рvw - т

0г

С =

рw рuw - т рvw - т

0г

0г

рww + р - т

0г

Р^ + Чо- ит0г - т0г - М/тв

В =

рШ + Чг - иТгг - т - ^

РV

Р ^ -тгг

Р^ -р^ -тгг + т00

Ог

2рvw - 2т

0г

рvH + дг - итг2 - VIгг - wтi

0г У

(2)

где полная энергия естьЕ = Т / у {у-1)М2J + И2ииг и полная энтальпия

Н = Е + р / р. Предполагается, что отношение удельных теплоемкостей у = 1.4. Компоненты тензора напряжений имеют вид:

2^

т77 = 22 ЭЯе

^ди дv 1 дг дг г

дw

л

^-v

\д0 у

г

2 а

3Яе

ди ^ду 1 — + 2---

дг дг г

дм

л

+ V \дв у

(4)

гвв

2 а

3Яе

ди ду ^ 1

дг дг г

дм ~дв

+ V

(5)

г„.

Яе

ди ду дг дг

(6)

г

вг

Яе

дм 1 ди --1---

дг г дв

(7)

г

вг

Яе

ду

дм

дг

(8)

Компоненты вектора компонент теплового потока записываются следующим

образом:

А

д Т

Рг (у-1) М 2Яе дг

(9)

Чг =

А

д Т

Рг (у-1) М 2Яе дг

(10)

Чв =

А

1 д Т

Рг (у-1) М 2Яе г дв

(11)

где число Прандтля предполагается постоянным: Рг = 0.72.Молекулярная вязкость а вычисляется с использованием закона Сазерленда с константой равной 0.36867. Для замыкания системы уравнений, используется безразмерное уравнениеО состояния р = ( рТ ) / (уМ2).

1.3. Численный метод

1

При численном моделировании задается длина цилиндров в предположении, что она существенно превосходит радиусы цилиндров.

Известно, что в определенном диапазоне изменения параметров течение между цилиндрами не зависит от угловой координаты р. В расчётах рассматривался круговой сектор с заданным углом Г (рис. 26). При□ А, данный круговой сектор можно приближенно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с размерами 0.000175м х 0.001м х 0.1м.

R2

(а) (б)

Рис. 2. Коаксиальные цилиндры (а), рассматриваемый сектор из цилиндра (б) Характерная длина: радиус внутреннего цилиндра R = 0.100 м. Сетка была построена с помощью программы ANSYS ICEM CFD. Сетка является структурированной, содержит более 2 миллионов ячеек (рис. 3).

В работе проведены расчеты с применением коммерческой программы ANSYS CFX (лицензия МФТИ). Рассматриваемые течения моделируются с помощью уравнений Навье-Стокса, записанных в цилиндрических координатах. Для расчета использовалась модель турбулентности SST (Shear Stress Transport), в предположении, что газ является совершенным

Рис. 3. Сетка в рассматриваемой зоне 2. Результаты 2.1. Случай О, = О, С^ = 20об. / сек и Тх = Т2 = Тгаз = 293 К Результат: Появилась 61 пара одинаковых вихрей, имеющих равномерное распределение. Одна пара состоится из двух осесимметричных вихрей. В сечении Охгразмер каждого вихря = Лхdгде Л = |Л2 - Я^ = Н/(61х2)« 0.8196721жм (см. рис. 4).

Рис. 4. Пара оси симметричного вихря

Распределения компонентов вектора скорости представлены на рис. 5.

Рис. 5. Распределения поля скорости вихря 2.2. Температуры цилиндров Тх=Тг = Тгаз = 293° К и 0,2 = 0. Изменение Ие от 4*104 до 4*105 (Ц от 10 об/ сек до 100 об / сек)

Характерная угловая скорость: Линейная скорость внутреннего цилиндра при угловой скорости Ц = 20об/ с : V* = 2яЦД = 6,2832м/ с.

^ - V 2лП1Я1 Ц

Безразмерная скорость V = —* =-* = —1

V 2яЦ ^ Ц

Число Рейнольдса Яе = —, где

Л

9_0 п2

В = ^ = 0,100м; К = 2яЦЯ; л = 15,11.10-5 м2 / с, поэтому Яе = 1 1 .

Л

Анализ полученных результатов показывает, что при изменении числа Рейнольдса от 4*104 до 4*105 количество пар вихрей изменяется в соответствии с кривой, показанной на рис. 6. При числе Рейнольдса Re=41583.05 поле является стационарным и не содержит вихрей. Из графика 4 видно, что при числе Рейнольдса Re<20*104 количество пар вихрей монотонно возрастает с увеличением числа Рейнольдса. В диапазоне изменения числа Рейнольдса от 20*104 до 30*104 количество вихрей быстро уменьшается. После этого оно почти остается постоянным, хотя число Рейнольдса продолжает увеличиваться. При Re> 30*104 течение становится нестационарным. Пары вихрей изменяют свою форму и становятся несимметричным.

900

Рис. 6. Зависимость плотности пар вихрей от числа Рейнольдса

Рис. 7. Изменение поля вихрей при увеличении вращательной скорости 2.3. Влияние температуры поверхности при фиксированном числе Рейнольдса Яе = 8*104 (скорости вращения внутреннего цилиндра)( т.е. £1, = 20об./сек, = 0), Тх = Тгаз = 293°К Т2 = 400,800,1200,1600,2000,2400 К

V2

Температура торможения: СрТ0 = СрТ , где

7

V = 6,2832м/ с;Т = 293К;С^ = 7Я = 3,5.287 = 1004,5Дж/(Кг.К), поэтому

ТУ С\ осзо

Т = Т + ^ = 293 + ; 832 ^ = 293,0786(К)

2С_

2.1,004,5

- Т

Характерная температура Т = —

Т

В результате проведенных расчетов показано, что при изменении температуры

внешнего цилиндра, поле скоростей остается стационарным. Пары вихрей образуют

периодическую структуру. Плотность пар вихрей (количество пар вихрей в размере одного метра цилиндра) незначительно изменяется (см. рис. 8).

Сначала, при Т < 4 количество пар монотонно увеличивается с повышением температуры. После этого оно уменьшается и, наконец, стабилизируется при Т > 7.

0123456789

попсИтепвюпэ! temperature

Рис. 8. Зависимость плотности пар вихрей от температуры внешнего цилиндра

Выводы

Численными методами исследовано течение Куэтта-Тейлора вязкого сжимаемого газа. На основе физической модели получены численные результаты для разных температур поверхностей и угловых скоростей цилиндров. Исследовано влияние данных параметров на плотность и структуру вихрей в течении. Выявлены немонотонные зависимости числа вихрей (или размеров вихрей в окружном направлении) от числа Рейнольдса и от температуры поверхности внешнего цилиндра.

Библиографический список

1. Kao K.-H., Chow C.-Y. Linear stability of compressible Taylor-Couette flow // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics, Vol. 4, 1992, pp. 984-996.

2. Боголепов В.В., Липатов И.И. Влияние сжимаемости на структуру вихрей Гертлера // Механика жидкости и газа, Т. 1, 1997, С. 36-47.

3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. В 2 ч. — М.: Физматлит, 1963, c.728.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидромеханика. — М.: Наука, 1986, 735 с.

5. Richard D. Sandberg Governing equations for a new Navier-Stokes Solver in general cylindrical coordinates //Report No. AFM-07/07, University of Southampton, 2007. — http://eprints.soton.ac.uk/49523