Численное моделирование термоупругих напряжений при росте кристаллов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Заключение

На основе проведенных экспериментальных исследований по воздействию ИЭМП на ИМС выявлен механизм воздействия, установлен характер развития деградационных процессов в микроструктурных элементах и выявлены причины локальной деградации проводящих микроструктур. Более подробное рассмотрение физических процессов в микроструктурных элементах ИМС возможно при их моделировании. Для этого необходимо решить дифракционную задачу для определения поля вблизи микросхемы, кроме того, создать электротепловые модели типовых микроструктурных элементов и их комбинаций.

Литература: 1. Чернышев А.А. Основы надежности полупроводниковых приборов и интегральных микросхем. М.: Радио и связь, 1988. 255 с. 2. Ефимов И. Е., Кальман И.Г., Мартынов В.И. Надежность твердых интегральных схем. М.: Изд-во стандартов, 1979. 217 с. 3. Князев А.Д. Электромагнитная совместимость радиоэлектронных средств. М.: ИПК МРП СССР, 1982. 131 с. 4. Григорьев Е.В., Малишевский С.В., Таран Е.П., Старостенко В.В. Влияние поляризации электромагнитной волны на соотношение между волнами при воздействии на интегральные микросхемы // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №2. С. 19-21. 5. Antinone J. Electrical Overstress Protection for Electronic Devices. 1986, New York. 387р. 6. Wunsch D.C., Bell R.R. Determination Of Threshold Failure In Metallization Due To Pullse Voltages // IEEE Trans., 1970. Vol. NS-18, № 4. Р.212-220. 7. Гадецкий Н.П., Кравцов К.А, Магда И.И. и др. Взаимодействие мощного СВЧ излучения УКДИ с приемно-усилительным трактом СВЧ диапазона // Материалы IV Междунар. конф. “СВЧ-техника и спутниковый прием”. Том 2. Севастополь, 1994. С. 536-538. 8. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Посашков С.А.,

Самарский А.А. Квазилинейное параболическое уравнение со сложным спектром неограниченных автомодельных решений // В кн.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986. С. 142-182.

Поступила в редколлегию 16.01.2002

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Чурюмов Г.И.

Григорьев Евгений Владимирович, старший преподаватель кафедры радиофизики Таврического национального университета (ТНУ). Научные интересы: экспериментальные исследования деградационных процессов в микроструктурных элементах интегральных микросхем при воздействии электромагнитных полей. Адрес: Украина, 95007, Симферополь, ул.Ялтинская, 4.

Малишевский Станислав Владимирович, аспирант кафедры радиофизики ТНУ. Научные интересы: моделирование дифракционных явлений в неоднородных металлодиэлектрических структурах при воздействии электромагнитных полей. Адрес: Украина, 95007, Симферополь, ул. Ялтинская, 4.

Старостенко Владимир Викторович, канд. физ.-мат. наук, зав. кафедрой радиофизики ТНУ. Научные интересы: моделирование вакуумных и твердотельных устройств СВЧ, исследование деградационных процессов в различных объектах и средах при воздействии электромагнитных полей. Адрес: Украина, 95022, Симферополь, ул.Б.Куна, 31, кв. 13, тел.: раб. (0652)230360, дом. (0652)575401.

Таран Евгений Павлович, канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель кафедры радиофизики ТНУ. Научные интересы: моделирование процессов в микроструктурах при воздействии электромагнитных полей. Адрес: Украина, 95004, Симферополь, ул. Лермонтова, 11, кв.79, тел.: раб. (0652)230360, дом. (0652)251466. Email: tatan@tnu.crimea.ua

УДК 532.534

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОУПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ РОСТЕ КРИСТАЛЛОВ

ТЕВЯШЕВ А.Д., СУЗДАЛЬ В. С, БОРОДАВКО Ю.М, ПЕЛИПЕЦА.А.

Рассматривается задача численного моделирования термоупругих напряжений при росте монокристаллов. Для цилидрических кристаллов с плоским фронтом затвердевания, выращиваемых в осесимметричном температурном поле, приводятся результаты численных расчетов температурных и упругих полей.

1. Введение

Последние достижения в получении совершенных кристаллов различных типов непосредственно опираются на достижения теории внутренних напряжений в кристаллах. При выращивании кристаллов из расплава существенное влияние на формирование структуры монокристалла оказывают термоупругие напряжения, которые возникают при изменении температуры в кристаллизующемся слитке. Возникающие напряжения влияют на образование дислокаций и их размножение, на образование точечных дефектов в кристаллах [2].

32

2. Математическая модель термоупругих напряжений

Для нахождения поля термоупругих напряжений aik в общем случае произвольного температурного поля и произвольной формы кристаллов необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений равновесия и уравнений Г ука, при соответствующих граничных условиях. Указанная система уравнений и является математической моделью термоупругих напряжений при росте кристаллов. Для изотропных кристаллов цилиндрической формы радиуса RK эта математическая модель имеет вид [1-5]:

1 d ч д 1

~—(rarr ) +^°rz =-°qxp;

r dr OZ r

(1)

1 5 / \ 9 n

(rarz)+T- CTzz = 0;

r or oz

(2)

a

rr

Ga

dur

dr

+ k

| duz r dz

- cT •

(3)

РИ, 2002, № 3

асрср = Ga

- + к

u

r

r

dUr duz

dr dz

- cT . ?

(4)

^zz = Ga

duz

dz

+ к

ur dur

—— + —r r Sr

- cT •

(5)

CTrz = Ga

dur du7

—- + —z dz dr

(6)

Граничные условия:

1) r = RK , 0 < z < l: CTrr = 0, arz = 0; (7)

2) 0 < r < rk , z = 0 : CTzz = °, &rz = 0 ; (8)

3) 0 < r < rk ,z =1: CTzz =0, &rz =0; (9)

du7

4) r = 0,0 < z < l: ur = 0 , ~ 0 , (10)

где ur (r, z, t) и uz (r, z, t) — радиальное и осевое

перемещения; T (r, z, t) — известное температурное поле, которое для случая роста кристаллов находится в результате решения задачи Стефана; G —

модуль сдвига; a = 2(1 -ц)/(1 - 2 ц), к = ц/(1 - ц),

c = а(1 + ц)/(1 - ц); ц — коэффициент Пуассона; а — коэффициент теплового расширения.

Выражения (1), (2) — уравнения равновесия, а (3)-(6) соответствуют закону Гука, связывая компоненты тензора термоупругих напряжений с компонентами тензора деформаций.

Граничные условия (7)-(10) записаны в предположении, что поверхности, включая границу раздела фаз, свободны от внешних сил, а на оси выполняются условия симметрии.

Подставляя (3)-(6) в (1), (2), получаем уравнения равновесия в смещениях:

^d2ur 1 dur ur d2ur ^ v dr2 r dr r2 dz2 j

+ 2b

d2uz _ d T drdz dr ; (11)

a

(я 2 о u7

1 duz

dr 2 r dr

d 2u dz2

(

+ 2b

1 du r dz

2

r d ur r + r

drdz

,dT_

dz

= d—,(12)

a

где b = 1/(1 - 2ц) , d = 2 1+ /U a.

1 - 2ц

Для перехода в граничных условиях (7)-(10) к смещениям используем зависимости (3)-(6):

2) 0 < r < RK, z = 0 :

duz ( dur ur

z + к 1 —-

dz ^ dr r

dur duz 0;

, dz dr

z =

duz ( dur ur

z + к| —-

dz ^ dr r

dur duz 0;

, dz dr

4) r = 0, 0 < z < l:

|ur = 0;

duz

dr

- = 0;

5) r = RK, z = 0 :

(14)

(15)

(16)

du

dr

du„

r S"z = 0;

dz

duz

dz dr

- = 0;

(17)

6) r = RK, z = l:

dur duz = 0,

dr dz ’

dur duz H — = 0. (18)

, dz dr

3. Метод решения

Метод переменных направлений (МПН). При решении уравнений математической модели используется метод конечных разностей — МПН [4]. Для аппроксимации дифференциальных уравнений введем пространственную сетку с координатами

ri = ih , zz = jl ,

где h, l — шаги сетки по координатам Tj, z соответственно, i = 0, m , j = 0, n .

Введем следующее обозначение: cp(ih, jl) = pt j.

Производные по пространственным переменным будем аппроксимировать конечными разностями:

dp ffi+1, j ~Фі-\, j d2p ffi+1, j - 2Vi,j +Vi-\,j _ dr 2h ’ dr2 h2 ;

1) r = Rk , 0 < z < l:

dur (ur duz

dr ^ r dz

dur , duz = 0.

dz dr ’

РИ, 2002, № 3

dp Фі, j+1 ~Vi, j-1 d 2p Vj, j+1 ~ 2Vi, j + Vi, j-1 _

cz ~ 2l ’ az2 T2 ’

d2p Vi+\,j+1 ~Vi-\,j+\ ~Vi+\, j-1 + Vi-1, j-1 (13) drdz 4hl "

33

мпн позволяет свести решение двумерных уравнений к последовательности одномерных уравнений с трехдиагональными матрицами. Существует ряд методов, использующих эту общую идею и отличающихся некоторыми деталями (метод переменных направлений или метод продольно-поперечных прогонок, метод расщепления, метод дробных шагов, локально одномерный метод). Общую структуру МПН поясним на двумерном операторном уравнении вида

дф

dt

(L1 + L2)<p + F ,

(19)

где L1 и L2 — одномерные операторы, действующие по разным направлениям.

Решение уравнения (19) методом переменных направлений осуществляется в два этапа, которым

соответствуют временные индексы к +1/2, к +1, а именно:

,„к+1/2 к

' ' ~ s-rJk+1/2 і ~ к , т-’к //-чл\

---------------= Lj(p + L22р + F ; (20)

г / 2

к+1 к+1/2

(р -у

т/2

~ ,_к+1/2 | ~ к+1 | тт’к+1/2 /'■чіч

ь1ф + L2p + F . (21)

Здесь L1 и L2 — разностные одномерные операторы. Оба разностных уравнения (20), (21) приводятся к стандартному трехдиагональному виду. На первом этапе прогонками в одном из направлений находится решение (рк+1П на полуцелом временном слое; затем, используя это решение, осуществляются прогонки по второму направлению для получе -

к+1

ния искомого решения на целом временном

слое. На установившемся режиме решение не зависит от временного шага г , поэтому данная схема может использоваться и для решения стационарных задач «на установление».

Итак, имеем:

(L1 + L2)^ — F ;

дф

dt

(L1 + L2^~F ,

где ф =

( 1dT ur „32uz Л

d v a-— - 2b

F =

dr

2

drdz

d 2ur

d — - 2b-dz drdz

f fd 2(-) +1 5(.)л

A( ■) =

dr 2 r dr

0

fd 2(-) + 1 5(.) ^

dr 2 r dr

JJ

L 0 =

a?" 0

dz 2

2b 1 5(-) 5 2(0

2b-----a-----—

r dz

dz2

u

r

u

z

0

a

„к+1/2 к

------2^ = А/+1/2 + ~Vk + Fk;

r/2

„к +1 ,_к+1/2

-----= Цфк+1/2 + Ь2фк+1 + F]i+1/2 ;

r/2

ик+1/2 - ик uri,j uri,j _

r/2 “

— (ик+1/2 _ 2ик+1/2 , ик+1/2) , 1 (ик+1/2 _ ик+1/2)

^^\uri+1,j zuri, j ^uri-1,j)^~ 2ih^Mri+1,j Uri-1,j>

■ a / к г* к і к \ d srp rp \ a к і

+ /Г^п, j+1 _ 2uri, J + ип, j-1) - ^ T+1.j _ Ti-1,j ) и", 1

+ 2/h (и*і+1, j+1 _ Uzi-1,j+1 _ Uzi+1,j-1 + +W1);

ик+1/2 -ик Uzi, j Uzi, j _

r/2

(ик+1/2 _2ик+1/2 + ик+1/2)(ик+1/2 -ик+1/2) +

- Л2(игі+И 2и2і, j + uzi-\j ) + ^2 (Uzi+1j ) +

Ь / к к х а у к к к х

+j+1 _Uri,j-1) + ~2(игі,j+1 _^zij + uzi,j-1) _

_2/ T+1 ~Ti’ j^1) + 2h/ (и"+1,!+1 _ иТі-1,]+1 ~ и"+и-1 + и*і-1, j-1);

„к+1 „,к+1/2

"г і, j "г і, j

= a

r/2

—(ик+1/2 -2ик+1/2 + ик+1/2) ч_—(ик+1/2 -ик+1/2)

h2 ("гі+1, j 2uri, j + uri-1,j ) + 2 ^"гі+Ц j uri-1,j )

+^(икЦ.1 - 2и“ + и‘*1_1>- d(72,1,j -T_1,j) -

a к+1/2 . b I к+1/2 к+1/2 к+1/2 . к+1/2 х.

(ih)2 "ri’ j + 2/h ^і+1,1+1 и*І-1.!-+1 игі+и-1 + Uzi-1, j-1) ;

к+1 _ к+1/2

и z і, j U z і, j a к+1/2 ~ к+1/2 . к+1/2 ч .

----7^-= -T(uzi+1,j - 2uzi,j + Uzi-1,j ) +

r/2 h111

a

^TT(u^u -uzr-1,j) +— (UrKi! 1+1 -<1J_1) +

2 ,,к+1/^ . b ґ„,к+1 ,,к+1

2ih2

ih/

і a к+1 к+1 і к+1 \ d /гті rp x

+ J +1 _ 2u z i, J + игг, j-1) - 2 7 J+1 _ Ti, J -1) +

, b ( к+1/2 _ к+1/2 _ к+1/2 , к+1/2 );

+ 2h/ ^Uri+1,j+1 uri—1, j+1 Uri+1, j-1 + uri-1,j-1 ) ;

А ,_к+1/2 . у'"» к+1/2 d к+1/2 т-\к • •» •»

- Ai,jVi-1,j + сі,jW,j -ві,]Фі+1,] = A,.,, і = 1,m-1;

(

\j =

aa

h2 2ih2

0 a a

h2 2ih2 у

В,, =

aa h2 + 2ih2

aa h2 + 2ih2

;Ci, j =

r 2+^ai о '

r h2

0 2 + 2a_

T h2,

0

0

0

34

РИ, 2002, № 3

Dk ■ =

i,J

Turi, j + 12 j +1 2Uri, j + иГг, j -l) 2h (T+U Ti ~1’j )

a k Ь . k k k kx

u" ■ + T7T (uzi +1,/ +1 _ uzi-1,i +1 _ uzi+1./-1 + uzi-1,/-1);

(ih)

2 ri,J

2lh

~ukzi,/ + — Vr,/-+1 _ Uru-1) +~(ukzi,j+1 _ 2u-kzi,/ + ukzi,/-1) _

ihl

,, (Ti,j +1 Ti,j-1) + ,(uri+1, j+1 uri-1,j+1 uri+1, j-1 + uri-1, j-1)

2l 2hl

4) i = 0 , j = 0,

iur o,; = 0;

1(uz 1,j - uz o,]) =0; (26)

5) i = m , j - 0:

- 1 + cu1 = Dj 2 j = 1, n -1 ;(22)

к +1

k+1

xk+1/2

a,; =

^ a ^ a \

0 0

l2 • B = l2

b a i,j b a

v ihl 72 4 ihl l2 l /

hl

urm,1 u r m,0 uzm,0 u z m-1,0

l

h

• = 0; = 0; (27)

6) i = m, j = n :

CU =

(2 2a t l2 0

2 2a_

t l2 ,

urm,n urm-1,n uzm,n uzm,n-1

h

l

l

h

= 0; = 0.

(28)

(2 1

- <C2 + 4u*1;; - -^l2 + kk;)+

t h

— (uk+1/2 -.k+1/2\n d

2Uh

dZ+1/2 _ Di,j -

На основании уравнений (23) -(28) легко получить А граничные условия на границе и в угловых точках.

1

і /..k+1/2 к+1/ 2\-i M рр гр ч

+7772 (uri+1,; un-1,;)] ~2h (T+1 j T-1, j)

a k+1/2 . b k+1/2 k+1/2 k+1/2 . k+1/2 4

uri,] + -(W! _кп-1,]+1 -uzi+1,j—1 + Щі-1,;-1)’

ah2 ru

/2

2k+ш au+ш _2uk+1/2 +uk+1/2) ,

uzi,j + i2(uzi+1,j 2uzi,j ™zi-1,j) + h

1 /...k+1/2 „,k+1/2\ srp rp 4

+^h^uzi+1’j ~uzi~1J) _ 21^?i’j+1 _7І’/ч) +

, b ( k+1/2 _ k+1/2 _ k+1/2 , k+1/2 ) + , ,(uri+1,j+1 uri-1, j+1 uri+1,;-1 + uri-xj-V

\ 2hl

Граничные условия:

1) i = m, j = 1, n -1:

1, ч ,Д

ih

d

T(urm, j -urm-\,j ) + k(~hurm, j +~ (uzm,j ~uzm,j-1))“cTm, j = 0;

Схема устойчива при ц< — [4].

Для решения систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей был использован метод . матричной прогонки.

Условие окончания вычислений: ||^kj1 - ^k;| < є .

Метод конечных элементов (МКЭ). Он основан на идее аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции вычисляются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области.

При построении дискретной модели поступают следующим образом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или узлами.

1 1 1 2. Значение непрерывной величины в каждой

-(uzi 1 - uzi 0) + k(—(uri 0 - uri_1 0) + — uri 0) - cTi 0 = 0; узловой точке считается переменной, которая дол-

l h ih

1 1 жна быть найдена.

l (uri,1 uri,0) + h (uzi,0 uzi-1- 0) _ 0; 3. Область определения непрерывной величины

(24) разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют

1 1 1 форму области.

-(uzi n - uzi Д + k(—(uri n - uri , n) + — uri n) - cT n = 0; TT

l n z ,n 1 h n ih n 4. Непрерывная величина аппроксимируется на

1 u ) + 1 (u u ) _ 0. каждом элементе многочленом, который определя-

l ( ri,n ri,n1) h ( zi n zi1n) _ ; ется с помощью узловых значений этой величины.

(25)

h

l (urm, j _urm, j-1) +h (uzm, j ~uzm-1,j) = 0;

(23)

2) ; = 0, i = 1, m -1:

3) j - n , i = 1, m -1:

n

u

rm.0 urm-1,0 uzm,1 uzm,0

0

u

rm,n urm,n-1 uzm,n uzm-1,n

РИ, 2002, № 3

35

Для каждого элемента определяется свой многочлен, но многочлены подбираются таким образом, чтобы сохранилась непрерывность величины вдоль границ элементов. Полином, связанный с каждым элементом, называют функцией элемента

5. Объединение конечных элементов в ансамбль. В этом ансамбле узловые значения неизвестной функции должны быть отрегулированы таким образом, чтобы обеспечить наилучшее приближение к истинному непрерывному распределению. Этот этап приводит к алгебраической системе линейных уравнений относительно узловых значений. Эта система является моделью искомой непрерывной функции.

6. Решение полученной системы, т.е. нахождение узловых значений.

7. Нахождение искомой величины в любой точке области по узловым значениям и функциям элементов.

Разбиение двумерной области начинают от ее границы в целях наиболее точной аппроксимации формы границы. Затем производят разбиение внутренних областей.

Для приведения исходной дифференциальной задачи к системе линейных алгебраических уравнений будем использовать метод Галеркина. Общую структуру МКЭ поясним на двумерном операторном уравнении вида

Lu + f = 0 ; (29)

du

dn

= <Pi .

Решение будем искать в виде

П

u=Z Niui.

i=1

(30)

(31)

u Г =Pl ,

Г

где Ni, i = 1, n — система ортогональных базисных функций; ui — значение функции u в узлах сетки.

Приближенное решение будет наилучшим, если интеграл взвешенной невязки равен нулю:

J(Lu + f)NidR = 0 , i = 1,n . (32)

R

Пусть L = Д .

Интегрируя (32) по формуле Грина, с учетом краевых условий (30) получаем

J VuVNt dR -j<p2Nidr = J JNtdR (33)

R Г R

Подставляя (31) в (33), получаем систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов:

Xavus = bj , (34)

i

где

atJ =jVN,.VNjdR ; R (35)

b, =J fN,dR + ]>2N,dr . (36)

R Г

Таким образом, решение дифференциального уравнения, как и в МКР, сведено к решению системы алгебраических уравнений.

4. Анализ результатов

По описанным алгоритмам была составлена программа для расчета температурного поля и термоупругих напряжений в прямоугольной области

(0 < r < RK ,0 < z < L). Также эта задача была решена в системе FlexPDE, разработанной компанией PDE Solutions Inc. Кроме основных составляющих напряжений стгг, , ctzz , &rz, рассчитывались сдви-

говые напряжения т1, т2, г по плоскостям скольжения в направлении выращивания. Точность расчетов проверялась на модельном примере, взятом из книги А.Д. Коваленко [6]. Это пример расчета

напряжений для цилиндра (0 < r < 1, -1 < z < 1) с

распределением температуры T = cr2 (рис.1), свободной поверхностью и отсутствием нагрузки на торцах цилиндра. Для этого случая в [6] приводится аналитическое решение и соответствующие расчеты термонапряжений. Расчеты по описанному выше алгоритму сравнивались с аналитическим решением из [6] (рис. 2-4). На рисунках даны поля напряжений arr, , azz, нормированные к

величине

k1 G(1 + ju)ac

К1 —

8(1 -м)

(37)

Отрицательные значения термоупругих напряжений соответствуют сжатию, положительные — растяжению.

Z

-0.6 -0.3 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

Ь

q

d

Р

h

s

g

o

c

0.3-

n

k

0.6-

e

0.9

R

Рис. 1. Линии уровня температуры в кристалле

36

РИ, 2002, № 3

R

Рис. 2. Термоупругие напряжения arr / k1 (z = 0)

R

Рис. 3. Термоупругие напряжения ст^ / k1 (z = 0)

R

Рис. 4. Термоупругие напряжения azz / k1 (z = 0)

5. Заключение

Произведено численное моделирование полей термоупругих напряжений, возникающих в слитке при выращивании монокристаллов методом Чох-ральского. Оценки показывают, что термоупругие напряжения могут быть значительно уменьшены путем подбора конфигурвции теплового поля, устраняющего или выравнивающего сильные теплопотоки с поверхности образца.

Литература: 1. Тевяшев А.Д., Суздаль В. С., Бородавко Ю.М., Пелипец А.А. Математическая модель термоупругих напряжений при росте кристаллов // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 2. С. 27-33. 2. Инденбом В.Л., Освенский В.Б. Теоретические и экспериментальные исследования возникновения напряжений и дислокаций при росте кристаллов // В кн.: Рост кристаллов. М.: Наука, 1980. Т.13. С. 240-251. 3. Шашков Ю.М. Выращивание монокристаллов методом вытягивания, М.: Металлургия, 1982. 4. Вахрамеев С. С. Расчет термических напряжений в кристаллах, выращиваемых из расплава // В кн.: Ученые записки: Вопросы теории кристаллизации. Ч2, Рига: Латв. ГУ, 1975. Т.237. С. 101122. 5. Иденбом В.Л., Житомирский И.С., Морозовская Н.Н., Чебанова Т.С. Численное решение задачи об остаточных напряжениях, возникающих при наращивании полубесконечного цилиндра // В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наук. думка, 1970. Вып. 9. С. 136-148. 6. Коваленко АД. Основы термоупругости. Киев: Наук. думка, 1970. 374 с .

Поступила в редколлегию 13.06.2002

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Гордиенко Ю.Е.

Тевяшев Андрей Дмитриевич, д-р техн. наук, профессор, зав. каф. ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: системный анализ и теория оптимального стохастического управления. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Суздаль Виктор Семенович, канд. техн. наук, зав. отделом НТК “Институт монокристаллов”. Научные интересы: системы управления технологическими процессами получения монокристаллов. Адрес: Украина, 61001, Харьков, пр. Ленина, 60.

Бородавко Юрий Михайлович, канд. техн. наук, доцент кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование физических процессов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Пелипец Андрей Александрович, аспирант кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование процессов выращивания монокристаллов из расплава. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

РИ, 2002, № 3

37