Численное моделирование распространения плоской термоупругой волны Текст научной статьи по специальности «Математика»

References

1. Vojno L. I. Pitanie kak faktor vsestoronnego razvitija lichnosti / L. I. Vojno, I. A. Vojno // Mezhdunarodnyj zhumal jeksperimentarnogo obrazovanija. - 2012. - № 7. - s. 34 - 36.

2. Mirovaja statistika zdravoohranenija 2010 god. Publikacija VOZ. -177 s.

3. Bitueva Je. B. Rublenye polufabrikaty s dobavleniem jagodnogo syr'ja/ Je. B. Bitueva, E. Je. Ajusheva// Mjasnaja industrija. - 2011. - № 3. - s. 48 - 50.

4. Zharinov, A. I. Osnovy sovremennyh tehnologij pererabotki mjasa: kratkij kurs / A. I .Zharinov; pod red. M. P. Vojakina. - Moskva.-1994 - 154 c.

DOI 10.18454/IRJ.2016.47.136 Брыков Н.А.

Ассистент кафедры плазмогазодинамика и теплотехника, Балтийский государственный технический университет

«ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова, Санкт-Петербург ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ТЕРМОУПРУГОЙ ВОЛНЫ

Аннотация

В статье рассмотрен аналитический и численный метод решения нелинейной задачи распространения плоской термоупругой волны. Состояние тела описывается системой уравнений связанной динамической задачи термоупругости. Аналитическое решение получается с помощью интегрального преобразования Лапласа. Численное решение основано на использовании метода конечных разностей. В статье изложена неявная трехслойная пятиточечная схема для метода прогонки. Представлены результаты аналитического и численного расчета.

Ключевые слова: связанная задача термоупругости, термоупругая волна, метод прогонки.

Brykov N.A.

Assistant of the Department of heat engineering and plasmagasdynamic, BALTIC STATE TECHNICAL UNIVERSITY

«VOENMEH» named after D.F. Ustinov, St. Petersburg NUMERICAL MODELING OF THE PROPAGATION OF THERMOELASTIC WAVES

Abstract

The article describes a numerical method for solving a nonlinear problem of propagation of a plane thermoelastic waves. Body condition is described by the equations of dynamic thermoelasticity related problem. Presents an analytical solution to the problem of thermoelasticity. The analytical solution is obtained by Laplace transform. The numerical solution is based on the finite difference method. The article presented implicit three-layer scheme for a five-point sweep method. The results of the analytical and numerical calculation.

Keywords: problem of thermoelasticity, thermoelastic waves, sweep method.

Рассмотрим задачу о распространении плоской термоупругой волны, возникающей в пластине при мгновенном нагреве одной из её границ. Такая постановка задачи описывает ситуации воздействия на поверхность пластины интенсивных пучков энергии, например лазерное или пучковое нагружение. Если скорость изменения температуры велика, то становится существенными напряжения и перемещения частиц среды, вызванные тепловым расширением. В свою очередь, существенная деформация тела может привести к заметным тепловым эффектам. Взаимосвязь и взаимовлияние этих эффектов можно проследить с помощью моделирования связанной задачи термоу пру го сти.

В ряде случаев влиянием тепловыделения при деформации среды можно пренебречь по сравнению с эффектами теплопроводности, но эффекты температурного расширения остаются существенными в динамической задаче. В этом случае динамическая и температурная задачи разделяются в том смысле, что задача изменения температурного поля тела может быть решена независимо от динамической задачи, а затем получается решение динамической задачи, в которой используются данные о текущем температурном состоянии для учета температурных напряжений - система приходит к так называемой несвязанной динамической задачи термоупругости. Общим для двух этих задач является учет динамических членов - ускорений частиц - в уравнениях движения, что и определяет классификацию данных задач как задач динамических

Наиболее общая постановка задачи термоупругости, так называемая связанная динамическая задача термоупругости, включает в себя векторное уравнение движения, в котором присутствует член, определяющий ускорения частиц среды из-за температурного расширения, и уравнение для температуры, включающее член, определяющий выделение тепла при деформации среды [1]. Состояние тела описывается системой уравнений связанной динамической задачи термоупругости:

д2ах д2в

- v2-- = -В-

dt2 е дх2 р dt2'

Р2Т0\дв д2в /ЗТ0дах (1)

) 4 дх2

где ах - напряжение, Хц - коэффициент теплопроводности, с£ - удельная теплоемкость при постоянном тензоре

деформаций, р = (ЪХ + 2^)ат, X и ^ - коэффициенты Ламе:

уЕ Е

^ = Га > .ЛГА 1-Л ' №

(1+v)(1-2vV * 2(1+v)' 48

Е - модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона. Величина аТ = const - средний коэффициент линейного теплового расширения в интервале температур [Т0, Т]. ve - скорость распространения в упругой среде волны расширения:

N

Я + 2 /л

Р

N

Е(1 - v)

(1 + v)(1 -2v)p

Начальные и граничные условия имеют следующий вид:

t = 0: Т=Т0, ах = 0 0 < х < I,

х=0: Т1 = Т„, x=l: TN =

°X1 = 0, Огы = 0.

Решение сформулированной задачи можно получить в аналитическом виде. Введём в рассмотрение безразмерные переменные:

г Ve

^ = 7*,

С £ Л ^ _ ^^ ^ _ ^Q

.. on а

к. 9

№

рс£

Тогда система (1) примет вид:

д2т

ц2

д2т dij2

д2д dij2'

где S =

(3Л + 2у)2 атт0

Л + 2ц рсе

уравнений примут вид:

(1 + 8)^ +8дТ д%2 дц дц '

- коэффициент связанности. Начальные и граничные условия для преобразованных

т(0,ц)=0, д(0,г])=1;

= т((,ю) = 0, Ц>0;

дд дт

в(%,0) =—(%,0) = 0, т({,0) = — ({,0) = 0, {>0. дц дц

Так как данная система уравнений является линейной, то для решения поставленной задачи можно воспользоваться аппарат преобразований Лапласа. Простота граничных условий и низкая мерность задачи позволяют получить решение в замкнутом виде для малых времен развития процесса.

Основная идея использования метода интегральных преобразований для решения краевых задач состоит в следующем. Пусть /0;) - функция действительного переменного t, определенная на промежутке (0 < I < га), а 5 -комплексная величина. Интегралом Лапласа называют следующее интегральное преобразование функции / О;):

f*(s) = f f(t)

e-stdt.

Входящую в это выражение функцию /0;) называют оригиналом, а функцию - изображением.

Используя обратное преобразование Лапласа можно выписать решение динамической задачи теории термоупругости в следующем замкнутом виде:

т = е

H(ri - 0-1erfc Л

— - ev+Zerfc

Я = егРг (—-).

\2jnJ

В этих уравнениях функция Хевисайда определяется от своего аргумента следующим образом:

н«М1: \<

Входящий в уравнения интеграл связан с функцией ошибок Гаусса:

2

■>

(2)

erfc W = f е ^ dx.

На рис.1 представлены результаты решения системы (2) в моменты времени ц = 1, ц = 20, ц = 50.

о

X

Рис.1 - Изменения температуры и напряжений по длине материала

Распределение температуры является непрерывной функцией (что отражает параболический характер уравнения теплопроводности), а напряжение представляет собой квазиволновой процесс - непрерывность на переднем фронте и разрыв в момент времени ц = %, распространяющейся с конечной скоростью. В произвольной точке полупространства сразу же начинает возникать сжимающее напряжение, достигающее максимума в момент прихода волны расширения. При ц = % происходит скачкообразное изменение напряжения: из сжимающего оно становится растягивающим и с течением времени быстро стремится к нулю. Величина скачка не зависит от расстояния от поверхности и в безразмерных координатах равна единице.

Использование такого аналитического решения сужает область задания дополнительных процессо в, начальных параметров, поэтому особый интерес вызывает численное решение непосредственно системы (1).

Решения сформулированной краевой задачи основано на методе конечных разностей, используется неявная пятиточечная схгма (рис.2), метод прогонки [2]. Для моделирования задачи используются три временных слоя: текущий временной слой "п", предыдущий - "п-1" и следующий - "п+1", отличающиеся друг от друга шагом по времени . Разностная сетка, покрывающая расчетную область, построена в виде равномерной прямоугольной сетки с пространственным шагом h.

Рис. 2 - Неявная пятиточечная схема Дифференциальные операторы в системе (1) заменяем на конечно -разностные аналоги:

д2ох

дх2 ' д12

2о{1+1 + а"*1

к2

- 2о? + а?

дг

д26 в?*1 - 2в?*1

+ в-11

дх2 к2

д2в в?*1 -2в? + в?-1

ы2

дв в?*1 - в?

дг

Тогда система (1) может быть записана в следующие виде:

у2\ 2у2 1\ у2\ 1 2 2В В

■П+11—\ ,тП+1 _-J__Л- гтп+1\ — ДП+1|_|__гсп~1 _—— ап Л. —РП-1

в+' (к?) - в"*1 +в"' © - = -в> {р

Р2Т0\1 рт0

руе2 ) т руе2т

а

*1

а

2

2

а?*1 - а?

?

с£ +

а

Полученная система уравнений нелинейна, для её решения воспользуемся методом простой итерации. Суть метода заключается в пошаговом определении температуры до тех пор пока поле температуры не перестанет отличаться от предыдущего приближения на величину погрешности:

max|77+1 -77I

i

где £ - точность вычислений, 7/ - температура в i-ом узле на s итерации.

Результаты численного решения системы (1) представлены на рис. 3. Материал пластины - алюминий со следующими свойствами: р = 2700 кг/м3, Я = 220 Вт/(м • К), с£ = 861 Дж/(кг • К), аг = 26 • 10-6 1/К, v = 0.34, Е = 70 • 109 Па. Верхний график отображает изменение температурного поля пластины, нижний - изменение напряжений в пластине во времени.

Рис.3 - Температурное поле и поле напряжений в материале в различные моменты времени.

Черная линия соответствует безразмерному времени ^ = 1, синяя - ^ = 15, красная - ^ = 40.

Заключение

Представлено аналитическое решение связанной задачи термоупругости. Изложена численная модель, позволяющая исследовать взаимосвязь деформации тела и тепловых эффектов. На основе изложенной модели связанной задачи термоупругости создан программный комплекс для численного исследования процессов теплопереноса.

Литература

1. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. Пер. с польск. под ред. Г. С. Шапиро, М.: Мир, 1970. -256 с.

2. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 532 с.

References

1. Novackij V. Dinamicheskie zadachi termouprugosti. Per. s pol'sk. pod red. G. S. Shapiro, M.: Mir, 1970. - 256 s.

2. Samarskij A.A., Nikolaev E.S. Metody reshenija setochnyh uravnenij. M.: Nauka, 1978. - 532 s.