ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГИБА КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГРУЗА, РАСПОЛОЖЕННОГО СО СМЕЩЕНИЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕЕ ЦЕНТРА Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

НАУЧНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИИ И НАУКЕ / SCIENTIFIC SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE

УДК 519.673, 004.896

DOI: 10.25559/SITITO.17.202103.633-641

Научная статья

Численное моделирование прогиба круглой мембраны под действием груза, расположенного со смещением относительно ее центра

М. Р. Бортковская, А. Н. Васильев*, Т. Т. Каверзнева, П. А. Кожанова, В. В. Кудрявцева, Д. А. Тархов, Е. С. Чёрная

ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого», г. Санкт-Петербург, Российская Федерация

195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29 * [email protected]

Аннотация

В работе рассматривается задача о прогибе круглой мембраны под действием груза, расположенного на некотором расстоянии от ее центра. Задача состоит в получении экспериментальных данных о прогибе мембраны и построении по относительно небольшой выборке экспериментальных точек полуэмпирических математических моделей для определения величины прогиба мембраны в любой заданной точке ее поверхности. Прогиб мембраны в зависимости от координаты можно с приемлемой точностью описать уравнением Лапласа. В процессе работы получено точное решение уравнения Лапласа с помощью метода, основанного на конформном отображении, и приближенное решение - с помощью метода нейросетевого моделирования. Расчеты проведены для случаев использования двух грузов различной массы. В результате работы получено распределение прогиба мембраны с известными характеристиками в зависимости от координаты под действием груза определенной массы. В методе, основанном на конформном отображении, решение представляет собой ряд. С увеличением количества членов частичной суммы ряда, аппроксимирующей решение, оно становится более точным, но при этом менее устойчивым к погрешностям, вносимым экспериментальными данными. Метод нейросетевого моделирования является более устойчивым и приводит к решению, которое лучше согласуется с экспериментом. Отличие расчетных данных от экспериментальных при этом на порядок меньше по сравнению с результатами, полученными методом на базе конформного отображения.

Ключевые слова: круглая мембрана, прогиб мембраны, уравнение Лапласа, конформное отображение, нейросетевое моделирование, полуэмпирическая модель

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Для цитирования: Численное моделирование прогиба круглой мембраны под действием груза, расположенного со смещением относительно ее центра / Бортковская М. Р., Васильев А.Н., Каверзнева Т. Т. [и др.]. - DOI 10.25559^ГПТО.17.202103.633-641 // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - 2021. - Т. 17, № 3. - С. 633-641.

|© Бортковская М. Р., Васильев А. Н., Каверзнева Т. Т.,

Кожанова П. А., Кудрявцева В. В., Тархов Д. А., Чёрная Е. С., 2021|

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.

Vol. 17, No. 3. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru

Modern Information Technologies and IT-Education

SCIENTIFIC SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE

Modeling the Deflection of Circular Membrane Effected by a Cargo Positioned Asymmetrically Relative to the Center

M. R. Bortkovskaya, A. N. Vasilyev*, T. T. Kaverzneva, P. A. Kozhanova, V. V. Kudryavtseva, D. A. Tarkhov, E. S. Chernaya

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Saint Petersburg, Russian Federation 29 Polytechnicheskaya St., St.Petersburg 195251, Russian Federation * [email protected]

The paper considers the problem of deflection of a circular membrane under the action of a load located at some distance from its center. The task consists in obtaining experimental data on the membrane deflection and constructing semi-empirical mathematical models based on a relatively small sample of experimental points to determine the magnitude of the deflection of the membrane at any given point on its surface. The deflection of the membrane, depending on the coordinate, can be described with acceptable accuracy by the Laplace equation. In the process of work, an exact solution of the Laplace equation was obtained using a method based on conformal mapping, and an approximate solution was obtained using the neural network modeling method. Calculations were carried out for cases of using two loads of different weights. As a result of the work, the distribution of the deflection of the membrane with known characteristics is obtained depending on the coordinate under the action of a load of a certain mass. In a method based on conformal mapping, the solution is a series. With an increase in the number of terms of the partial sum of the series approximating the solution, it becomes more accurate, but at the same time less resistant to errors introduced by experimental data. The neural network modeling method is more stable and leads to a solution that better agrees with the experiment. The difference between the calculated and experimental data is an order of magnitude smaller compared to the results obtained by the method based on conformal mapping.

Keywords:circular membrane, membrane deflection, the Laplace equation, conformal mapping, neural network modeling, semi-empirical model

The authors declare no conflict of interest.

For citation: Bortkovskaya M.R., Vasilyev A.N., Kaverzneva T.T., Kozhanova P.A., Kudryavtseva V.V., Tarkhov D.A., Chernaya E.S. Modeling the Deflection of Circular Membrane Effected by a Cargo Positioned Asymmetrically Relative to the Center. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2021; 17(3):633-641. DOI: https://doi. org/10.25559/SITITO.17.202103.633-641

Abstract

Современные информационные технологии и ИТ-образование

Том 17, № 3. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru

M. R. Bortkovskaya, A. N. Vasilyev,

T. T. Kaverzneva, RA. ^гт^ SAIENTIEICSOFTWARE IN EDUCATION ANDSCIENCE

V. V. Kudryavtseva,D. A.Tc^hw, E. S. Thwcoya

Введение

Широкое применение материалов на тканевой основе обуславливает необходимость разработки и применения методов моделирования их поведения поддействием награни. Моделирование такиа явлснийобдчно есдщесееляетесс помою.ею дифференциадкных уравнений с сооутосвающими граничными условиямп, ыачкломмш ^слвс^5^ми и т.д.1 Сущеспеусм множество под^онмя к есиеидю аовтавленной задачи, среди которых мы можно назватьпкоод вплрдых o^i^t^m.oо (0VM) [1], оптимизацию мом частс, [М-, вяЫемомхо важности с высд-кой точностью-б], меИяенные сети (ANN) яня

решения уравдкниП вямстдэк ирс^м^иопенл1п кам для краовыя, так и для начады^1^-х^^,ва1- [Н-Д],[Л2].

Задача измерения прогиб направлена на изучение поведения материала в зависимости от расстояния между рассматриваемой точкой объекта и его центром. Мембраны часто используются в манометрах с эластичными элементами. Они достаточно чувствительные и могут измерять уровень давления в широком диапазоне. Дляизготдвления мепбрлп поименяют-ся различные мвбсриилы: высрдбзмоесивенная стниои броед за, а также ресин о вы е, п иасти ковые кии леоббивпые нити. (И нашем случае эай эласнаноноя мемсранд, иеготoввепдоя из пожарного батута. Благодаря плетеной структуре и эластичности материгас мсм^рпб имеем нмв.авлнндя сы^^мории, аналогичные стмдабдрабыычных тканей2 [о]пl].

Цель исслeдoмaнюя

Выполнить измерения прогиба мембраны при положении груза, смещенном относительно ее центра. Построить модели прогиба мемб наныпод,оействием мруза на лcноессйблcитeль-но небольшой выборки экспериментальных данных с использованием полуэмпгри.ескихмабнмамечкских моделей: метода, основанного на конформном от ображен ии, и метода ней-росетевого моделирования. Оценить пригодность полученных моделей для рвсбита пюкгйOддомбpaны смэнкретнышл hb.hk-теристиками в любой точке ее поверхности.

Методика экспери мента

Для достижения цмли работы инпользоввлись полиимлирические модели, основанные на математипескнх моделях. Одним из этапов получения решения задачи стало решение уравнения Лапласа.

При варьировании специфических параметров модель может быть использована для расчета про гиб а м емб ран разл ич ных размеров, разной массы груза и т.д. Спачалн пыОлраетсяоеше-ние, соответствующее экспериментальным данным, затем это решение используется для расчета прогиба в любой точке с заданными полярными координатами (г,ф) для конкретной мембраны с грузом определенной массы с еаданхыхположе-нием на поверхности мембраны.

Экспериментальный метод, как одна из основных частей нашего исследования, требует оборудования, изготовленного с высокой точностью, и равномерного натяжения мембраны, при котором ее поверхность параллельна полу. Соответствующие условия обе спечива ют достаточную точн ость юзмере-юия прогиба. чзмзбзния гфюзодалюоь точтвх, расалоамеенных вокруг грузь. ить аузмбы.зи нарисозаны координатным лзи^ч и cдоуоня рмзмеслч интеуваотвчечез кзжды м 10™. Нясвевч-ментальная установка изготовлена из дерева, мембрана - из эласмнчл, ясе измерения выполнены с помощью ивзечочго дввьня.

Методика вычыслеюий

Рассматривается круглая мембрана, на которой расположен груз на некотором расстоянии от ее центра. Область под грузом также считается круглой. Ставится задача: рассчитать величину прогиба мембраны h = h(r,ф) и сравнить результаты расчета по модели с экспериментальными данными. Началь-ныеусюсеиу следующие: известен рaддycмвмЬоммыЬÍ, ртдиуо r0 ебласаз тамгрлзан, засьтояние аот лвнтра нсмбрады дз центда i^^^m^k1^1^^0!, рВлacан о вес мемзнчяы m . Тзм самым аыиснимвозможнчсть ьилменеьия ауентагаемой мнами для данного объекта. r,ф - полярные координаты, полярная ось пр о ведвнсче^з цине^ы вемулвдщ1 н нaгpвьрнноН нбласть а нaпчaaрннди ов дбььнамемервуы кu^вноpм ьбласти аьд г^ ;зо:м, волюс даыпслнжьн y^^i^'^^e мемЫьсныв IP > a + r0 >2Mo. Маиса мтюбвены мснопт срмввзммы с ы^ьссзй Для расче-

та прогиба используем уравнение Лапласа:

К. + К = 0 (1)

и решаем для него первую краевую задачу в области D = {(x,y)|(x + a)2 + y2 > r20,x2 + y2 < Л2} (эксцентрическое кольцо). На окружности {2 + y2 = Ra, граничное условие будет h = 0 (прогиб на краю мембраны нулевой), на окружности ((х + a)2 + y2 = r02} граничное условие неизвестно, и мы в дальнейшем воспользуемся экспериментальными данными для получения приближенного решения в отсутствие этого граничного условия.

Сделаем в уравнении (1) замену переменных u=u(x7y),v = v(x,y) такую, чтобы выполнить конформное отобрзжение области D в концентричестое колгцк Д = {(и, v)|p02 < гг2 + v2 < l| - Дия построениЯ еакого отображ2-ния удобно рассмотреть дробно-линейную функцию ком-

i^j^eKMой переменной вида w = k Az + B , гре z = x + cv,

A-z + B- 7

w = w(z) = u(x,y) + iv(x,y). КоэМфицдднйы лег-

ел оейти, длрд оааОражаемую область и ее образ. В нашем слу-

Vaz Я-R2 Я а2 - r02 -J (R2+а2 - r02)2 - 4а2 R2

w = k-. (2)

Vaz Я R2 Я а2 - r02 Я ^(R2 Я а2 - r02)2 - 4a2R2

Коэффициент k можно выбрать так, чтобы окружность

1 Колпак Е. П., Мальцева Л. С. Большие деформации резиновых мембран [Электронный ресур с] / / М о лодойуче ньш. 2014. № 16. С. 78-84. URL: https://elibrary. ru/item.asp?id=22148881 (дата обращения: 20.07.2021).

2 Соколов А. «Комплексная безопасность - 2016»: батуты для спасения [Электронный ресррс] /- Ор°не Росоин. 04.01.16. URL: https://www.arms-expo.ru/

news/novye-razrabotki/kompleksnaya-bezopasnost-2^6^t^atu^b^-yfyaopoe^i^y4 (дата обращения: 20.07.2021).

Vol. 17, No. 3. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru

Modern Inform ató n Technologies and IT-Education

(х2 + у2 = отображалась на единичную окружность {и2 + у2 = 1 :

/с = Л/(Д + а)2-г„2+У(Д-а)2-г02

^К + а)2-г2-^-а)2-г2

(вещественное положительное число). Используя обозначения_

Q±=R2+a2-r02±J(R2+a2-r02) -4a2R2, можно записать полученные формулы в удобном для вычислений виде:

2az + Q+ 2aR •

Граница нагруженной области {(х + a)2 + y2 = r02j отображается на окружность {u2 + v2 = p02j, радиус р0 определен уже построенным отображением (2):

= к V^2 -i.a-r0)2 - У^2 ~ (д + Га)2

Р° s¡R2 ~{a-ra)2 +*Jr2 ~(a + r0f '

Поскольку функция комплексной переменной (2) дифференцируема в области D, используя условия Коши-Римана, видим, что построенная нами замена переменных приводит уравнение Лапласа к виду ((uy)2 + (v'y)2)(h"uu + h',V) = 0 , то есть после замены переменных мы снова приходим к уравнению Лапласа h"uu + = 0 , решения которого уже надо рассматривать в замкнутой области Dl (концентрическое кольцо). Теперь удобно перейти к полярным координатам (р,9) на плоскости {(u, v)} : u = рcos9,v = рsin9 , и решать уравнение Лапласа в полярных координатах

_Jr2-(а-г0)2-^2-(а + г0)2 (3)

Ро ~~ К

jR2-(a-r0)2+jR2-(a + r0)2 '

Р = РО,ф) = £

4а г + 4arQ_ cos cp + Qz

4a г + 4arQ+ cos cp + Q\

J и

rJ(R2+a2- 'о') \2 -4R2a2 sincp

{R2+r2) | + r| (*2 + аг~г2) Icoscp

тов по экспериментальным данным. Для этого вместо ряда (5) рассматриваем конечную сумму

т 1 1 ( сл

й(р,0) = У(р" -—Жcosne + Впsinne) + D0In- (6)

»=1 р" р

и! выбираем коэффициенты, решая задачу минимизации

,Фк) - Кп,Фк)) , здесь Кп,Фк) = h- значения проги-

к=1

ба, измеренные в эксперименте в нескольких (l) точках, ближайших к нагруженной области. Для решения этой задачи нужно решить СЛАУ с симметричной матрицей коэффициентов M = {^j]2j+ , при 1< i<m

ti"' 'fití'i^" -^]cos(ifl»)sin(('/'-m)e*)'

m + l< j< 2m,

tí-yj-a*»»)". j = 2m +1,

sin(fí - m)9k) • sin((7 - m)9k), i< j < 2m,

A) ■• I рГ" - I ■ - m)et), j = 2m +1,

Его решение записывается в виде ряда

й(р, e) = f;p"(4,cos/ie + B„ sin ив) + £>0 In - + Y—(!„ cos ив + М„ sin и8) (4)

.-о Р »-i Р"

Коэффициенты решения (4) можно найти, исходя из граничных условий задачи.

Используя нулевое граничное условие на внешней окружности {u2 + V2 = 1, то есть условие h(1,9) = 0 при 9 е [0,2п], найдем A0 = 0, An + Ln = 0, Bn + Mn = 0, n = 1,2,..., поэтому решение (4) можно записать в виде:

А(р,0) = У'(р" - —)(Д, cos и9 + sin nQ) + Z)0 ln — (5)

»=i P" P

Подставим в формулу (5) выражения «новых» полярных координат через «старые», которые получаются из формулы дробно-линейного отображения (2):

tg9 =

Тем самым будет получена запись решения непосредственно для точек исходной области О с полярными координатами Р, Ф .

Коэффициенты Ап,Вп,D0 ищем методом наименьших квадра-

ЩшЛЛ-Л Pi ,

t-i

и столбцом правых частей, где В = , '=1.....т<

ъ,= УЛ,-[/'Г"--|™(0'-»|)вД < = m +1.....2m,

И I Л~")

pt, i = 2m + \.

. k=1 В частности, при m = 1 матрицам имеет вид:

Z|A-—I cos^-sinS, Z|A- — I -Z(toA)'[

Aj «-Л Pt) «-1 I, Pt)

"ZC^A)'! A- — -ZfaAHA- —Wet Zta2A

*-l V Pt J t-1 ^ Pt) i-1

а столбец правых частей

Z^A-^-j^sinSi i _

Для получения достаточно точного решения может потребоваться рассмотрение большого числа членов частичной суммы ряда. Однако при этом система становится плохо обусловленной, а решение менее устойчивым и более чувствительным к ошибкам, вносимым экспериментальными данными. Устойчивое решение может быть получено при использовании нейросетевого моделирования [13-20]. Найдем решение уравнения (1) в виде нейронной сети н^ основе радиальных базисных функций (RBF) ^х,у,с1,а,) = ^су(х,у,а,) . Параме-

I=1

тры а( наряду с параметрами с1 обычно подбираются в процессе обучения нейронной сети. Процесс обучения заключается в минимизации функционала ошибок J = Jl +SJ2 +8Ji, здесь

Современные информационные технологии и ИТ-образование

Том 17, № 3. 2021

ISSN 2411-1473

sitito.cs.msu.ru

SCIENTIFIC SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE

637

J1 характеризует оценку удовлетворения полученного решения уравнению Лапласа, J2 - граничным условиям, J3 - экспериментальным данным (содержит соответствующие слагаем

мые). В рассматриваемой задаче J (у + Ь" )(х. у ))2 ,

К р ]_

л=Еь2(хк,у*), =Ё№,Ук) - к)2. Весовые множители

к=1 к=1

5 > 0, 5 > 0 учитывают вклад соответствующих слагаемых в функционал ошибок. В вычислениях мы использовали гауссову базисную функцию V вида ехр(-6((х - й1)2 + (у - d2)2)).

Результаты расчетов

В работе рассмотрены два условия задачи. В первом случае использован груз массой 300 г, во втором случае - 100 г. Грузы имеют круглую форму, диаметр составляет 3.95 см. Положение обоих грузов одинаковое, расстояние от центра мембраны а = 10 см. Радиус мембраны Я = 50 см.

Получено точное численное решение, основанное накосфнрм-ном отображении при массе груза 300 г (по 24точкам). Соот-ннтснвующре коэффициенты решения н формулт (бе: 4 = 0.0000395,Вр = 0.0003628,Юе0 =0.0053, барометр т = 1 . На сис. 11^-зусе,те^;ауп-^1^с^-ум(^с^т^1С величинытуотиба ме1жбупе[ы от координон!^-, на рюс. Пб - отлмчне ата чистееных р;сс-

чечовот эксперимеымтльныт Д9нных. Максиевльнее е^р^1сптмс-пие соее;ае.с!оот 0.-1 ем, что отноеителвнн мнмсо,мРЯ дчнывтп снрианта рвачетов, 1г целом с^<се.нбас^^оннс °асаета н эмспт.м-ментн мтжнелчноaео удовлс тсоринрмтнвIM.

discrepancy

»(sm) 50 .gj

Р и с. 1. Точное численное решение. Вес груза 300 г. m = 1 F i g. 2. The difference between the exact numerical solution and experimental measurements. Cargo weight 300 g. m = 1 В целях получения более точного решения было рассмотрено большее число членов частичной суммы ряда (6), соответствующие коэффициенты A1 = -0.0001 , A2 = 0.00000014 , B1 = -0.00013, B2 = 0.00011, D0 = 0.0043, параметр m = V . Решение представлено на рис. 3. По рис. 4 видно, что ошибка упала почти в 2 раза (по сравнению с рис. 2). Максимальная отклонение составляет 0.3 см (рис. 4), среднеквадрат ичиое отклоие-ние - 0.15 см. Результат расчетов значительно лучше согласуется с экспериментом. При этом число обусловленности матрицы системы для нахождения коэффициентовре шения (6), основанное на второй норме, выросло до 1011 (прит и- оно составляет порядка 104).

0.5 0.4 0.3 0 2 0 1

1 0

' -0 1 -0.2 -0 3-0 4-0 5-

Р и с. 2. Отличие точного численного решения от экспериментальных измерений. Вес груза 300 г. m = 1 Fig.2.Thedifferencebetweentheexact numericalsolution andexperimental measurements. Cargoweight 300 g.m = 1

y(sm)

Р и с. 3. Точное численное решение. Вес груза 300 г. m = 2 F i g. 3. Exact numerical solution. Cargo weight 300 g. m = 2

0.3 0.20 1 -

1 °-l -0 1

discrepancy

a

x(sm)

Р и с. 4. Отличие точного численного решения от экспериментальных измерений.Весгруза300г. m=2 Fi g.4. Thedifferencebetweentheexactnumericalsolutionandexperimental measurements.Cargoweight300g.m = 2

Vol. 17, No.3. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msurru

Modern Information Technologies and IT-Education

Также получено точное численное решение, основанное на конформном отображении при массе груза 100 г. Соответствующие коэффициенты решения в формуле (6): А1 = — 0.00076, В1 = 0.000246 , Э0 = 0.0021 при параметре т = 1 (визуализация решения на рис. 5) и А1 = -0.0011, А2 = 0.000037 , В1 = -0.000212, В2 = 0.0000075, Э0 = 0.0015 при т = 2 (решение на рис. 7). На рис. 6 и 8 продемонстрировано отличие результатов численных расчетов от экспериментальных данных, в обоих случаях максимальное отклонение составило 0.3 см, среднеквадратичное отклонение 0.13 см и 0.19 см соответственно. В случае, когда рассматривается воздействие груза меньшей массы, повышение точности решения за счет рассмотрения большего числа членов частичной суммы ряда улучшений не дало, однако полученные результаты достаточно хорошо согласуются с экспериментом [21-25].

50 g

Р ис.5.Точноечисленное решение.Весгруза100г.т = 1 F ig. 5. Exact numerical solution. Cargo weight 100 g. m = 1

0.3-,. 0.20.1 -

f

-0.1 -. -0.2-

^ discrepancy I

50 g

Р ис.7.Точноечисленное решение.Весгруза100г.т =2 F i g. 7. Exact numerical solution. Cargo weight 100 g. m = 2

y(sm)

Р и с. 8. Отличие точного численного решения от экспериментальных измерений. Вес груза 100 г. m = 2 F i g. 8. The difference between the exact numerical solution and experimental measurements.Cargoweight100g.m = 2 Результаты нейросетевого моделирования представлены на рис. 9 и 11, графики отклонения рассчитанных значений прогиба от экспериментальных - на рис. 10 и 12. Максимальное отклонение составляет порядка 0.2 см. При воздействии груза массой 300 г среднеквадратичное отклонение равно 0.05 см, при массе груза 100 г - 0.02 см. Оказалось, что при использовании нейросетевого моделирования среднеквадратичное отклонение результатов расчетов от экспериментальных данных получается существенно меньше, чем при применении метода, основанного на конформном отображении.

50 о

x(sm)

у (s m)

Р и с. 6. Отличие точного численного решения от экспериментальных измерений. Вес груза 100 г. m = 1 F i g. 6. The difference between the exact numerical solution and experimental measurements. Cargo weight 100 g. m = 1

Современные информационные технологии и ИТ-образование

Том 17, № 3. 2021

ISSN 2411-1473

sitito.cs.msu.ru

SklENTIFIT SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE

639

x(sm) 50 -5Q y(sm)

Рис. 9.Приближенноенейросетевоерешение.В ее груза 300 г F i g. 9. eopvooimats aousal nerwaaOsatuean. tsrva w€^tvlit k00 g

*

* discrepancy

* %

-25 — .25

-50 -50

Y(sm) x(sm)

Р и с. 10. Отличие приближенного нейросетевого решения от экспериментальных измерений. Вес груза 300 г F i g. 10. The difference between the approximate neural network solution and experimental measurements. Cargo weight 300 g

K(sm)

y(sm)

Рис.11.Приближенноенейросетевоерешение.Весгруза100г F i g. 11. Approximate neural network solution. Cargo weight 100 g

discrepancy

с • •

* »

""" о

о

-50 -5D

y(sm) }(бш)

Рис.12.Отличиеприближенногонейросетевогорешенияот экспериментальных измерений. Вес груза 100 г F i g. 12. The difference between the approximate neural network solution and experimental measurements. Cargo weight 100 g

Заключение

В работе рассмотрены два подхода к решению задачи о прогибе круглой мембраны под действием груза, расположенного со смещением от центра, с учётом экспериментальных данных. Первый подход базируется на конформном отображении и разложении в ряд. Второй подход основан на использовании методанейросетевогомоделирования.

Основной результат работы заключается в построении полуэмпирических математических моделей для определения величины прогиба мембраны в заданной точке ее поверхности. Метод нейросетевого моделирования приводит к более точному решению. Метод, основанный на конформном отображении, позволяет получить решение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными, при условии рассмотрения большего числа членов частичной суммы ряда, в виде которого представлено решение. Этот факт становится более заметным при увеличении массы действующего груза. Однако увеличение числа членов частичной суммы ряда приводит к менее устойчивому решению и не всегда повышает степень согласования результатов расчетов с экспериментом. Таким образом, метод нейросетевого моделирования является более предпочтительным для построения модели прогиба мембраны с известными характеристиками, поскольку он более устойчив и позволяет получить более точное описание рассматриваемого физического процесса.

Vol. 17, No. 3. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru

Modern Information Technologies and IT-Education

References

[1]

[13]

Peherstorfer B., Willcox K. Dynamic data-driven reduced-order models. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2015; 291:21-41. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1016/j.cma.2015.03.018

[2] Rosenblatt F. The perceptron: A probabilistic model for information storage and organization in the brain. Psychological Review. 1958; 65(6):386-408. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1037/h0042519 [14]

[3] van der Maaten, L., Hinton, G. Visualizing Data Using t-SNE. Journal of Machine Learning Research. 2008; 9:2579-2605. (In Eng.)

[4] Lagaris I.E., Likas A., Fotiadis D.I. Artificial neural networks

for solving ordinary and partial differential equations. IEEE [15] Transactions on Neural Networks. 1998; 9(5):987-1000. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1109/72.712178

[5] Lazovskaya T., Tarkhov D. Multilayer neural network models based on grid methods. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2016; 158:012061. (In Eng.) DOI: [16] https://doi.org/10.1088/1757-899X/158/1Z012061

[6] Vasilyev A.N., Tarkhov D.A., Tereshin V.A., Berminova M.S., Galyautdinova A.R. Semi-empirical Neural Network Model of Real Thread Sagging. In: Ed. by B. Kryzhanovsky, W. Dun-in-Barkowski, V. Redko. Advances in Neural Computation, [17] Machine Learning, and Cognitive Research. NEUROINFOR-MATICS 2017. Studies in Computational Intelligence. 2018; 736:138-144. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1007/978-3-319-66604-4_21

[7] Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differen- [18] tial Equations I. Nonstiff Problem. Springer Series in Computational Mathematics, vol. 8. Springer, Berlin; 1987. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12607-3

[8] Lazovskaya T.V., Tarkhov D.A., Vasilyev A.N. Parametric Neu- [19] ral Network Modeling in Engineering. Recent Patents on Engineering. 2017; 11(1):10-15. (In Eng.) DOI: https://doi.org /10.2174/1872212111666161207155157

[9] Lozhkina O., Lozhkin V., Nevmerzhitsky N., Tarkhov D., Vasilyev A. Motor transport related harmful PM2.5 and PM10: from onroadmeasurements to the modelling of air [20] pollution by neural network approach on street and urban level. Journal of Physics: Conference Series. 2016; 772: 012031. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/772/1/012031 [21]

[10] Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics. 2019; 378:686-707. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j. [22] jcp.2018.10.045

[11] Han J., Jentzen A., Weinan E. Solving high-dimensional partial differential equations using deep learning. Proceedings ofthe National Academy of Sciences. 2018; 115(34):8505- [23] 8510. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1073/ pnas.1718942115

[12] Tarkhov D.A., Vasilyev A.N. Semi-Empirical Neural Network Modeling and Digital Twins Development. Academic Press, Elsevier; 2019. 288 p. (In Eng.) DOI: https://doi.

org/10.1016/C2017-0-02027-X

Vasilyev A.N., Tarkhov D.A., Tereshin V.A., Berminova M.S., Galyautdinova A.R. Semi-empirical Neural Network Model of Real Thread Sagging. In: Ed by. B. Kryzhanovsky, W. Dunin-Barkowski, V. Redko. Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research. Studies in Computational Intelligence. 2018; 736:138-146. Springer International Publishing. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1007/978-3-319-66604-4_21 Vasilyev A.N., Tarkhov D.A. Mathematical Models of Complex Systems on the Basis of Artificial Neural Networks. Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2014; 17(3):327-335. Available at: http://www.j-npcs.org/online/vol2014/ v17no3p327.pdf (accessed 20.07.2021). (In Eng.) Egorchev M.V., Tiumentsev Y.V. Semi-Empirical Continuous Time Neural Network Based Models for Controllable Dynamical Systems. Optical Memory and Neural Networks. 2019; 28(3);192-203. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.3103/S1060992X1903010X

Degroote J., Vierendeels J., Willcox K. Interpolation among reduced-order matrices to obtain parameterized models for design, optimization and probabilistic analysis. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2010; 63(2):207-230. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1002/fld.2089 Amsallem D., Zahr M., Farhat C. Nonlinear model order reduction based on local reduced-order bases. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2012; 92(10):891-916. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1002/ nme.4371

Chaturantabut S., Sorensen D. Nonlinear model reduction via discrete empirical interpolation. SIAM Journal on Scientific Computing. 2010; 32(5):2737-2764. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1137/090766498 Mainini L., Willcox K.E. Sensitivity analysis of surrogate-based methodology for real time structural assessment. Proceedings of the AIAA Modeling and Simulation Technologies Conference (AIAA SciTech 2015). Kissimme, Florida, AIAA; 2015. AIAA Paper 2015-1362. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.2514/6.2015-1362 Rasheed A., San O., Kvamsdal T. Digital Twin: Values, Challenges and Enablers From a Modeling Perspective. IEEE Access. 2020; 8:21980-22012. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1109/ACCESS.2020.2970143 Rai R., Sahu C.K. Driven by Data or Derived through Physics? A Review of Hybrid Physics Guided Machine Learning Techniques with Cyber-Physical System (CPS) Focus. IEEE Access. 2020; 8:71050-71073. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1109/ACCESS.2020.2987324 Frank M., Drikakis D., Charissis V. Machine-Learning Methods for Computational Science and Engineering. Computation. 2020; 8(1):15. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.3390/ computation8010015

Zjavka L., Snael V. Composing and Solving General Differential Equations Using Extended Polynomial Networks. 2015 International Conference on Intelligent Networking and Collaborative Systems. IEEE Press, Taipei, Taiwan; 2015. p. 110-115. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1109/IN-CoS.2015.28

Современные информационные технологии и ИТ-образование

Том 17, № 3. 2021

ISSN 2411-1473

sitito.cs.msu.ru

M. R. Bortkovskaya, A. N. Vasilyev,

T. T. Kaverzneva, P. A. Kozhanova, SCIENTIFIC SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE

V. V. Kudryavtseva, D. A. Tarkhov, E. S. Chernaya

[24] Gorev B.V., Lyubashevskaya I.V., Panamarev V.A., Iyavoynen S.V. Description of creep and fracture of modern construction materials using kinetic equations in energy form. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2014; 55(6):1020-1030. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1134/ S0021894414060145

[25] Kuznetsov E.B., Leonov S.S. Technique for selecting the functions of the constitutive equations of creep and long-term strength with one scalar damage parameter. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2016; 57(2):369-377. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1134/ S0021894416020218

Поступила 20.07.2021; одобрена после рецензирования

27.08.2021; принята к публикации 04.09.2021. Submitted 20.07.2021; approved after reviewing 27.08.2021; accepted for publication 04.09.2021.

|Об авторах:|

Бортковская Мария Романовна, доцент кафедры высшей математики, Физико-механический институт, ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29), кандидат физико-математических наук, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6696-8880, [email protected]

Васильев Александр Николаевич, профессор кафедры высшей математики, Физико-механический институт, ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29), доктор технических наук, профессор, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0227-0162, [email protected]

Каверзнева Татьяна Тимофеевна, доцент Высшей школы техносферной безопасности, Инженерно-строительный институт, ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29), кандидат технических наук, доцент, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7423-4892, [email protected]

Кожанова Полина Алексеевна, студент Физико-механического института, ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29), ORCID: https:// orcid.org/0000-0003-1736-5914, [email protected] Кудрявцева Василиса Вадимовна, студент Физико-механического института, ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3031-3740, vasilisa. [email protected]

Тархов Дмитрий Альбертович, профессор кафедры высшей математики, Физико-механический институт, ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29), доктор технических наук, доцент, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9431-8241, dtarkhov@ gmail.com

Чёрная Екатерина Сергеевна, студент Физико-механического института, ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29), ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2608-1673, Chernaya.kotyk@ gmail.com

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Maria R. Bortkovskaya, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, Institute of Physics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (29 Polytechnicheska-ya St., St.Petersburg 195251, Russia), Ph.D. (Phys.-Math.), ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6696-8880, bortkovskaya_mr@ spbstu.ru

Alexander N. Vasilyev, Professor of the Department of Higher Mathematics, Institute of Physics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (29 Polytechnicheskaya St., St.Petersburg 195251, Russia), Dr.Sci. (Engineering), Professor, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0227-0162, a.n.vasilyev@ gmail.com

Tatiana T. Kaverzneva, Associate Professor of the Institute of Civil Engineering, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (29 Polytechnicheskaya St., St.Petersburg 195251, Russia), Ph.D.(Engineering), Associate Professor, ORCID: https://orcid. org/0000-0002-7423-4892, [email protected] Polina A. Kozhanova, Student of the Institute of Physics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (29 Polytechnicheskaya St., St.Petersburg 195251, Russia), ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1736-5914, polinakozhanova@ yandex.ru

Vasilisa V. Kudryavtseva, Student of the Institute of Physics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (29 Polytechnicheskaya St., St.Petersburg 195251, Russia), ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3031-3740, [email protected]

Dmitry A. Tarkhov, Professor of the Department of Higher Mathematics, Institute of Physics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (29 Polytechnicheskaya St., St. Petersburg 195251, Russia), Dr.Sci. (Engineering), Associate Professor, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9431-8241, [email protected]

Ekaterina S. Chernaya, Student of the Institute of Physics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (29 Polytechnicheskaya St., St.Petersburg 195251, Russia), ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2608-1673, Chernaya.kotyk@ gmail.com

All authors have read and approved the final manuscript.

Vol. 17, No. 3. 2021 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru

Modern Information Technologies and IT-Education