CC BY
30
А. В. Бурмистров, М. Д. Бронштейн, А. Т. Гимальтынов, А. А. Райков, С. И. Саликеев
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКОВ ГАЗА В ЩЕЛЕВЫХ КАНАЛАХ С ДВИЖУЩИМИСЯ СТЕНКАМИ ПРИ ДАВЛЕНИЯХ НИЖЕ АТМОСФЕРНОГО
Ключевые слова: течение газа, безмасляный вакуум, бесконтактный насос, щелевой канал, массовый расход, движущиеся
стенки, зазор, численный эксперимент.
Для расчета откачных характеристик безмасляных бесконтактных насосов необходимо знать величины перетеканий через щелевые каналы, образованные движущимися стенками. Такие данные нужны для спиральных, двухроторных, винтовых и кулачково-зубчатых насосв. С помощью пакета Ansys-Fluent исследовалось течение газа через каналы, образованные двумя выпуклыми стенками или выпуклой и вогнутой. Целью поставленных численных экспериментов является исследование влияния движения стенок канала на массовые расходы при различных геометрических и физических условиях. Численные эксперименты проводились для разных газов при варьировании скорости стенок, зазора, давлений на входе и выходе, температуры газа на входе, коэффициента аккомодации. Скорости стенок изменялись независимо от 0 до 50 м/сек. Эксперименты проводились для четырех газов: воздух, гелий, водород и углекислый газ. Радиусы кривизны стенок изменялись независимо от 20 до 1000 мм. Расчеты в основном проводились для ламинарного режима течения газа, причем в качестве граничного условия на стенке задавалось максвелловское скольжение. В случае больших зазоров и при давлениях, близких к атмосферному, в канале мог наступить турбулентный режим, и проводились дополнительные численные эксперименты с использованием одной из моделей турбулентности, предлагаемой пакетом Fluent. Показано, что для легких газов изменение входной температуры практически не сказывается на массовых расходах, т. к. газ успевает принять температуру стенки при подходе к зазору. При малых давлениях движение стенок приводит к многократному росту массового расхода. С ростом входного давления и зазоров влияние движения стенок на массовый расход постепенно ослабевает, причем для гелия и водорода влияние движения стенок почти в два раза меньше, чем для воздуха и углекислого газа. При больших давлениях роль подвижности стенок становится незначительной.
Key words: gas flow; oil free vacuum; non-contact pump; slot channel; mass flow rate; moving walls; clearance; numerical simulation
To calculate pumping characteristics of oil free non-contact pumps it is necessary to know backward leakage through slot channels formed by moving walls. Such data are necessary for scroll, screw, claw and Roots vacuum pumps. The most typical channels are channels formed by two convex walls or by convex and concave walls. Rarefied gas flow through these two types of channels is studied with the help of software ANSYS-Fluent. The aim of numerical experiments is to study the influence of channel walls movement on mass flow rate at different geometrical and physical conditions. Numerical experiments are carried out for different gases (atmospheric air, helium, hydrogen and carbon dioxide) at various walls velocities, clearances, inlet and outlet pressures, gas temperatures, accommodation coefficients. Walls velocities are varied independently from 0 to 50 m/s. Walls curvature radii are varied independently from 20 to 1000 mm. Calculations are carried for laminar gas flow with sliding at the wall as boundary condition. When clearances are large and pressures are nearly equal to atmospheric pressure turbulent flow may occur, and additional numerical experiments are carried out with the help of turbulence model given by software Fluent. It is shown that the change of inlet temperature does not influence mass flow rates for light gases because gas has time to take wall temperature when approaching clearance. At low pressures and moving walls the dependence of mass flow rate vs clearance value is more linear for air than for helium. At high pressures the significance of walls movement becomes negligible. With increase of inlet pressure and clearance the influence of walls movement on mass flow rate decreases being two times less for hydrogen and helium than for air and carbon dioxide.
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 621.521
Для расчета откачных характеристик безмасляных бесконтактных насосов необходимо знать величины перетеканий через щелевые каналы, образованные движущимися деталями насоса. Наиболее характерными являются каналы, образованные гладкими кривыми, показанными на рис. 1. В случае спиральных насосов каналы типа A образованы, как правило, дугами эвольвент, спиралей Архимеда или окружностей. Каналы типа Б встречаются при расчете межроторных перетеканий в двухроторных вакуумных насосах (ДВН) и кулачково-зубчатых вакуумных насосах (КЗВН). Практически во всех случаях минимальный зазор Л канала лежит в
пределах от 0.03 до 0.3 мм, причем наиболее характерным интервалом для Л является интервал (0.05; 0,2) мм. Поэтому основная часть проведенных нами численных экспериментов относится именно к этому диапазону. Все эксперименты проводились с помощью системы ANSYS-FLUENT [1].
Целью поставленных численных экспериментов является исследование влияния движения стенок канала на массовые расходы при различных геометрических и физических условиях. Скорости стенок изменялись независимо от 0 до 50 м/сек. Эксперименты проводились для четырех газов: воздух, гелий, водород и углекислый газ.
Массовые расходы через каналы типа А и Б без учета движения стенок исследовались в работах [2-5].
Рис. 1 - Геометрия исследуемых каналов: a -канал типа А, b - канал типа Б
Отношение т выходного давления Pout к входному PIN менялось от 0.05 до 0.98 (использовалось 5-7 различных значений). Входное давление менялось в пределах от 100 Па до 100 кПа (10-12 различных значений) при выполнении дополнительного ограничения: число Кнудсена не должно превосходить 0.1. Это ограничение вызвано особенностями пакета Fluent, предназначенного для расчета течений в вязкостном режиме. Интервал числа Кнудсена от 0.01 до 0.1 можно рассматривать как начало переходного режима от вязкостного к молекулярному. В этом интервале стандартные для вязкостного режима условия прилипания заменяются скользящими граничными условиями Максвелла [6, 7]. Для расчета течений со скользящими граничными условиями нужно знать не только динамическую вязкость ц газа, но и длину X свободного пробега молекул, а также коэффициент аккомодации а, который согласно [7, 10] лежит в интервале (0.4; 1).
Радиусы кривизны стенок изменялись независимо от 20 до 1000 мм. Отметим, что для каналов типа А радиус r1 кривизны нижней стенки должен быть обязательно больше радиуса r2 кривизны верхней, в то время как для канала типа Б радиусы могут совпадать (именно такой случай изображен на рис. 1). Температура Tw стенок канала в численных экспериментах имела два значения 300 K и 330 K. Температура Tin газа на входе в канал бралась равной 250, 330, 420 и 550 K, температура газа на выходе TOUT=300 K не изменялась, поскольку было установлено, что ее значение практически не сказывается на характеристиках течения в окрестности зазора и, в частности, на массовых расходах.
Если брать лишь по 3 значения скорости на каждой стенке, по 8 значений радиусов кривизны, шесть значений А, четыре значения ц и X и четыре a, и менять все вышеупомянутые параметры независимо друг от друга, то необходимо провести 3x3x8x8x6x4x4x7x10x3x2=23224320 экспериментов. Это абсолютно нереально выполнить за разумное время, к тому же надо принять во внимание, что часть экспериментов приходится повторять, меняя сетки. Поэтому потребовалось тщательное планирование экспериментов с анализом не только массовых расходов, но и профилей скоростей и температур газа в окрестности наименьшего зазора, что позволило выявить главные факторы, определяющие массовый
расход для каждого диапазона параметров. Нами было проведено и проанализировано свыше 10000 экспериментов. Для обработки экспериментов использовались Excel и пакет Wolfram Mathematica.
Перейдем к описанию методики численных экспериментов. Для каналов типа A или Б задавались минимальный зазор А и радиусы r1 и r2 нижней и верхней стенок для геометрий типа A или Б. Линейная скорость движения стенок задавалась через угловую скорость вращения ю1 и ю2 нижней и верхней стенок относительно центров окружностей, определяющих стенки. Вход в канал располагался слева от зазора, выход - справа. Поскольку при работе насоса точка зазора всегда перемещается к выходу из насоса, где давление выше, то согласно принципу относительности движения, можно считать, что стенки канала движутся по направлению к неподвижному зазору со стороны входа в канал. Таким образом, для канала типа А обе угловые скорости положительны, а для канала типа Б угловая скорость о1 отрицательна, так как направление скорости v1 соответствует вращению по часовой стрелке. Абсолютные значения угловых скоростей удовлетворяют неравенству |©j|<50/ry. Вход в канал и выход из канала выбираются так, чтобы на входе и выходе ширина канала была больше А в 8-12 раз. В этом случае расширяющаяся часть канала практически не влияет на расход газа [9].
Внутри канала строились 7 дополнительных сечений sj, (/=1,...,7), перпендикулярных средней линии L1L2. Сечения выбирались так, чтобы |s4|/A=1, |лз|/А = |л5|/А=1.5, |s2|/A = |s6|/A=2, Is1l/A = lsyl/A=3 (здесь Is/I - ширина сечения s/; сечения пронумерованы в порядке прохождения газом). Сечения sj позволяли узнать профиль скорости, температуры и давления вдоль каждого s/. Давление вдоль каждого сечения с точностью до десятых долей процента было постоянным во всех случаях. Профиль давления вдоль канала сильно зависит от скорости движения стенок. На рис. 2 показан профиль давления вдоль канала типа Б при входном давлении Р/д=800 Па и выходном Pout = 400 Па, температуре стенок и газа 300 Ko, r1=35 мм, r2=30,7 мм, А=0.08 мм и скоростях движения стенок v1=v2=30 м/сек. Вследствие вязких сил трения в окрестности зазора появляется максимум давления. При прочих равных условиях высота максимума зависит от средней длины свободного пробега молекул газа. Согласно справочным данным [7, 8, 11, 12], средняя дина свободного пробега молекул при давлении 1 Па и температуре 330 Ko для гелия, водорода, воздуха и углекислого газа равна соответственно 23, 14, 8 и 5 мм. Длина свободного пробега может быть найдена через вязкость газа согласно теории Чапмена-Кроулинга [13]. Необходимо отметить, что в пакете Fluent имеется большая база данных, в которой для каждого газа содержится вязкость, а длина свободного пробега вычисляется через вспомогательный параметр L-J Characteristic Length. Значения длины свободного пробега, найденные согласно базе данных Fluent таким методом, для многих газов отличаются в полтора-два раза по сравнению с указанными в других источниках. В
связи с этим часть расчетов пришлось повторить, задавая свое значение параметра L-J Characteristic Length. Длина свободного пробега оказывает заметное влияние только при давлениях ниже 0.1 Атм. Попутно отметим, что коэффициент аккомодации тоже начинает оказывать влияние лишь при давлениях ниже 0.1 Атм, причем уменьшение коэффициента аккомодации вызывает постепенное снижение высоты пика на рис. 2.
1400-
1200
1000
800-
600-
400-
в,
Н2 / 1 5оздух
г / Не
\
V
-15 -10 -5 0 5 10 X, мм
Рис. 2 - Профиль давления по длине канала Б для разных газов
На рис.3 показано влияние коэффициента аккомодации на массовые расходы при различных скоростях в случае воздуха для симметричного канала Б: г$ут=0.5 м, Л=0.1 мм, Р/Л=500 Па, Роит=100 Па, Тщ=300 К.
2,0
1,5
1,0
1
1 а=0.5) /(mQ(v,i 2=1))
< nQ(v,a= 0.8)/(т dv,a=i ))
1 1
0 5 10 15 20 25 30 35 V, м/с Рис. 3 - Влияние коэффициента аккомодации a на массовые расходы
Основная часть расчетов проводилась в предположении ламинарного режима с включенной опцией Low-Pressure boundary Slip. Однако в случае больших зазоров при давлениях близких к атмосферному мог наступить турбулентный режим. В качестве критерия возможного перехода к турбулентному режиму нами использовался массовый расход, приходящийся на единицу длины. Это можно обосновать следующим образом. Принято считать, что при числе Рейнольдса Re>2300
ламинарный режим течения заканчивается, и начинается переход к турбулентному течению. Найдем число Рейнольдса в окрестности минимального зазора. По определению, Re=p v Df/ц, где Dh=2 z - гидравлический диаметр, p - плотность. Возьмем в качестве v средне интегральную скорость в минимальном сечении канала. Тогда Re=2mg/rq , где mq - массовый расход, приходящийся на единицу длины в направлении, перпендикулярном профилю канала (кг/(сек м)). Поэтому мы можем переформулировать критерий Рейнольдса так: при mq>1150^ ламинарный режим течения заканчивается и возможен переход к турбулентному течению. Для воздуха, углекислого газа, гелия и водорода критические значения массового расхода равны соответственно 0.021, 0.016, 0.023 и 0.011 кг/(сек м). Отметим, что во всех экспериментах число Рейнольдса, вычисленное через массовый расход, отличалось от максимума чисел Рейнольдса по всем ячейкам сетки Fluent не более, чем на 15%. В случае превышения указанных выше массовых расходов, проводились дополнительные численные
эксперименты с использованием одной из моделей турбулентности, предлагаемой пакетом Fluent.
Влияние скорости движения стенок на массовые расходы для канала Б (J=0.1 мм , rSym=0.5 м, TW=300 К, a=1) при течении воздуха и гелия для трех входных давлений PIN=300, 500 и 3000 Па показано на рис.4. При этом выходные давления были равны соответственно 150, 250, 1500 Па.
та(,/(та(у=°)) 14-
12
10
/
Р*Г20 ОПа V /
Рш =500 Па V
PIN=3000 п а ^ \\ А
С*"
0 2 4 6 8 V, м/сек,
Рис. 4 - Влияние скорости движения стенок на массовые расходы газа через канал Б: сплошная -воздух, пунктир - гелий
Для оптимизации конструкций бесконтактных безмасляных насосов очень важно знать, как зазор Л влияет на массовый расход газа. иллюстрирующих это влияние в различных диапазонах параметров (рис. 5).
Заслуживает внимания факт, что при малых давлениях и движущихся стенках зависимость массового расхода от зазора ближе к линейной в случае воздуха, нежели гелия.
Расчеты также показали, что при больших давлениях роль подвижности стенок становится незначительной.
mQ, мг/(сек*м)
0,05 0,10 0,15 0,20 Д мм
Рис. 5 - Влияние зазора Л на массовые расходы: Гг=70 мм, r2=61 мм, Р/Л=500 Па, POU7=100 Па, 7=330 К, а=1: сплошная - воздух, пунктир - гелий
Подавляющая часть экспериментов во Fluent проводилась массивами с переменными значениями входных и выходных давлений PIN и POUT, входных температур TIN, скоростей движения стенок v1 и v2. Каждый массив содержал 200-300 точек с различными PIN, POUT, TIN, v1 и v2. Остальные параметры внутри каждого массива оставались постоянными. Именно возможность проводить эксперименты сразу для массивов позволила охватить такой большой диапазон разнообразных параметров. При вычислении использовалось два компьютера с шестиядерными процессорами, которые независимо выдавали характеристики потоков одновременно для 12 массивов. В таблице в качестве иллюстрации приведен фрагмент массива результатов расчета для углекислого газа в симметричном канале со стенками радиуса r1=r2=0.5 м и зазором А=0.21 мм. Здесь mgin и mgout - значения массового расхода на входе и выходе, PA - давление газа в зазоре, PMIN -минимальное давление во всем канале, TMINА и TMAXА - минимальная и максимальная температура газа в зазоре, TMIN - минимальная температура газа во всем канале. Значения mgin и mgout в стационарном режиме обязаны совпадать. Однако в ходе экспериментов было замечено, что mgout подвержено пульсациям, если входное давление достаточно большое, а выходное в 4-7 раз меньше входного (см. например, строчки 15-18 табл. 1).
Пульсации mgout сохраняли свою амплитуду независимо от выбора сетки и исчезали только после того, как искусственным путем увеличивалась вязкость газа или ламинарный режим заменялся одной из моделей турбулентного режима течения. Все это свидетельствует о том, что стационарное уравнение Навье-Стокса не имеет решения при таких значениях PIN и POUT. Разумеется, при исследовании этого эффекта пришлось отказаться от использования массивов.
Из таблицы видно также, что при давлении выше 0.4 атм температура газа в окрестности зазора существенно отличается от температуры стенок. С другой стороны, как показали все наши
эксперименты для четырех газов, при Р/Л<0.1 атм, температура газа в окрестности зазора отличается не более, чем на 2% от температуры стенок, независимо от входной температуры.
Таблица 1 - Параметры газа в канале типа Б
№ V=V2 PIN POUT TIN mQin mQout PA PMIN tminA TMAX А TMIN
м/сек Па Па К г/(сек.м) г/(сек.м) Па Па К К К
1 0 1200 200 330 0.0654 0.0654 832 200 330 330 330
2 8 1200 200 330 0.0924 0.0924 889 200 330 330 330
3 20 1200 200 330 0.142 0.142 982 200 330 330 330
4 30 1200 200 330 0.187 0.187 1053 199 330 330 330
5 0 6000 1000 330 1.16 1.16 4095 996 328 330 326
6 8 6000 1000 330 1.25 1.25 4150 986 327 330 325
7 20 6000 1000 330 1.42 1.42 4245 954 327 330 324
8 30 6000 1000 330 1.55 1.55 4322 914 326 330 322
9 0 16000 1000 330 5.08 5.08 10308 705 315 329 264
10 30 16000 1000 330 5.68 5.68 10533 629 313 329 253
11 0 40000 8000 550 14.2 14.2 23771 5293 336 428 313
12 0 40000 8000 420 15.2 15.2 24067 5408 331 355 272
13 0 40000 10000 330 16.2 16.2 24324 7034 300 328 248
14 30 40000 10000 330 17 17 24628 6054 300 328 239
15 8 84000 24000 330 38.2 40.5 49517 14970 294 327 230
16 30 84000 24000 330 39.1 35 49876 12837 294 327 222
17 0 100000 20000 550 38.5 47.1 57625 10058 338 474 289
18 0 100000 20000 420 42.3 42.6 58086 10645 332 368 251
Стоит отметить, что при известном давлении РА и известной средне интегральной скорости в сечении 54, массовые расходы определяются главным образом температурой в точке М на равноудаленной от стенок и совпадающей с точкой максимума или минимума температуры вдоль 54. Если Т/л=400-500 К, то при больших Рш температура газа в точке М остается больше температуры стенок, что влечет снижение тд. Если же Т1Л=Т№, то при больших Рш минимальная температура газа в становится меньше Т№, так как теплопередача от стенок оказывается недостаточной, чтобы компенсировать потери внутренней энергии газа, вызванные переходом части тепловой энергии в кинетическую энергию потока. Уменьшение температуры газа в сечении приводит к увеличению массовых расходов.
При низких давлениях, течение газа в каналах типа А и Б имеет определенное сходство с течениями Пуазейля и Куэтта. Однако сужение канала приводит к одному принципиальному отличию: в разных сечениях 5 канала профиль скорости может иметь противоположенные направления выпуклости, как показано на рис. 6. Для каждого сечения 5 по оси абсцисс отложена скорость в точке сечения, лежащей на расстоянии \у\ от средней линии Ь1Ь2. Ось ординат соответствует безразмерному расстоянию этой точки до Ь1Ь2 в долях от полуширины сечения.
Изображенные на рис. 6 профили скоростей в семи сечениях, указанных выше, иллюстрируют течение воздуха через щелевой канал типа А: ^=0.07 мм, г1=87 мм, г2=81 мм, Р/л=1000 Па, Роот=100 Па. Обе стенки вращаются с одной и той же скоростью 150 рад/сек =1432 об/мин, т.е. линейные скорости стенок относительно зазора равны у1=13.05 м/сек и у2=12.15 м/сек.
Рис. 6 - Профили скоростей в поперечных сечениях канала А
Основные выводы
1. Массовый расход mQ через каналы типа А практически равен расходу mQSym через симметричный канал типа Б при выполнении равенства 2^^=1^2-1^] и при прочих равных условиях. Более точно, mQ/mQSym лежит в интервале (0.99, 1) при Л<0.12 мм, в интервале (0.975, 0.995) при 0.12<Л<0.21 и в интервале (0.95, 0.975) при 0.21<Л<0.3 мм.
2. При У]=У2>10 м/сек, зазоре Л<0.12 мм и входном давлении ниже 1000 Па массовый расход многократно превосходит соответствующий расход при неподвижных стенках. С ростом входного давления и зазоров влияние движения стенок на массовый расход постепенно ослабевает, причем для гелия и водорода влияние движения стенок почти в два раза меньше, чем для воздуха и углекислого газа.
3. Если менять скорости движения стенок, сохраняя при этом их сумму и все остальные параметры, то расход останется в первом приближении неизменным. В частности, при неподвижной одной стенке и движущейся с двойной скоростью другой, отношение mQ2vymQV¡v лежит в интервале (0.97, 1).
4. Коэффициент аккомодации а оказывает заметное влияние на массовый расход только при Кп>0.02, причем в случае неподвижных стенок уменьшение а от 1 до 0.5 приводит к росту массового расхода на 20^70%, а при движущихся стенках (у,->10 м/сек), наоборот, к уменьшению на 5^10%.
5. Для легких газов изменение входной температуры на ±100° практически не сказывается на массовых расходах, так как газ успевает принять температуру стенки при подходе к зазору. Для
тяжелых газов увеличение входной температуры на 100о приводит к снижению массовых расходов на 10^20% в случае больших зазоров (J>0.15 мм) и давлений (P>0.5 атм).
6. В случае легких газов во всех исследованных диапазонах параметров имеет место ламинарный режим течения. Для тяжелых газов при давлениях близких к атмосферному и больших зазорах возможен переход к турбулентному режиму.
Литература
1. ANSYS Academic Research CFD license file for Kazan State Technological University, Customer Number: 607451 created 01.01.2011
2. Саликеев, С.И. Расчет проводимости профильных щелевых каналов бесконтактных безмасляных вакуумных насосов в вязкостном режиме течения газа / С.И. Саликеев, А.А. Райков, А.В. Бурмистров // Вестник МГТУ. - 2013, - № 4 (93). - С.70-79.
3. Salikeev S. Conductance calculation of slot channels in laminar gas flow regime at small pressure difference / S. Salikeev, A. Burmistrov, M. Bronshtein, M. Fomina // Vacuum. - 2014. - Vol. 99. - Р.303-306.
4. Salikeev S. Conductance calculation of channels in laminar gas flow regime at an arbitrary pressure difference / S. Salikeev, A. Burmistrov, M. Bronshtein, M. Fomina, A. Raykov // Vacuum. - 2014. - Vol. 107. - Р.178-183.
5. Salikeev S. Non-contact vacuum pumps. A general-purpose method for conductance calculation of profile slot channels / S. Salikeev, A. Burmistrov, M. Bronshtein, M. Fomina // Vakuum in Forschung und Praxis. - 2014. - Vol. 26. - Is. 1. -Р. 40-44.
6. Г. Берд. Молекулярная газовая динамика. Москва издательство "МИР", 1981, 305 c.
7. Вакуумная техника: Справочник / К.Е. Демихов, Ю.В. Панфилов, Н.К. Никулин и др.; под общ. ред. К.Е. Демихова, Ю.В. Панфилова. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 2009. 590 с., ил.
8. ANSYS FLUENT 12.0 User's Guide / ANSYS, Inc., 2009.2070 с.
9. Прямые и обратные потоки в бесконтактных вакуумных насосах: монография / А.В. Бурмистров, С.И. Саликеев, М.Д. Бронштейн. - Казань: Изд-во Казан. гос. технол. унта, 2009. -232 с.
10. Справочник по вакуумной технике и технологиям. Ф. Розбери . 1972 . 456 с.
11. Физические величины. Справочник. А. П. Бабичев, Н. А. Бабушкина, А. М. Братковский и др.; Под ред. И. С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.:Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.
12. Средняя длина свободного пробега - Вакуумные технологии [Электронный ресурс] // Е.П. Шешин. 2015. URL: http://snvs.ru/knigi/35-vakuumnye-texnologii-ep-sheshin/236--.html
13. С. Чепмен, Т. Каулинг. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-тво иностранной литературы, 1960. 490с.
© А. В. Бурмистров - д-р техн. наук, проф. каф. вакуумной техники электрофизических установок КНИТУ, [email protected]; М. Д. Бронштейн - к.ф-м. наук, доц. каф. высшей математики КНИТУ, [email protected]; А. Т. Гимальтынов - студент КНИТУ, [email protected]; А. А. Райков - к.т.н. техн. наук, ассистент каф. вакуумной техники электрофизических установок КНИТУ, [email protected]; С. И. Саликеев - к.т.н. техн. наук, доц. той же кафедры, [email protected].
© A. Burmistrov - Dr. Tech. Sciences, Professor of the Chair «Vacuum equipment» KNRTU, [email protected]; M. Bronstein - Cand. Sciences, Ass. Professor of the Chair «Hight Mathematics» KNRTU, [email protected]; A. Gimaltinov - student of the Chair «Vacuum equipment» KNRTU; A. Raykov - Cand. Sciences, Assistant of the Chair «Vacuum equipment» KNRTU, [email protected]; S. Salikeev, Cand. Sciences, Ass. Professor of the Chair «Vacuum equipment» KNRTU, [email protected].
